正弦交流电路基础
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电工基础第二章正弦交流电路及应用
U1 sin 1 U 2 sin 2 U1 cos 1 U 2 cos 2
由相量与正弦量之间的对应关系最后得 u u1 u2 2U sin(t ) U1cosψ1+U2cosψ2
三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！
电工技术
如何把代数形式变 换成极坐标形式？
例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
I m 14.1/ 36.9A
其有效值相量为： 10/ 36.9A I 由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两个要素即可。 即模值对应正弦量的最大值或有效值，
幅角对应正弦量的初相位。
电工技术
复数的运算法则
设有两个复数分别为： A a a1 jb1 A
B B b a 2 jb2
A、B加、减、乘、除时运算公式如下： A B ( a1 a 2 ) j ( b1 b2 )
A B ( a1 a 2 ) j ( b1 b2 ) A B AB a b A A a b B B
补充内容：复数的运算
A 6 j8 B 3 j 4
C 10 30 D 6135
A+B= A-B= A· B=
C+D= C-D= C· D=
A/B=
C/D=
电工技术
(2)正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。 为区别与一般复数，相量的顶上一般加符号“· ”。
正弦量与纵轴相交处若 在正半周，初相为正。
-
正弦量与纵轴相交处若 在负半周，初相为负。
电工技术
电工基础正弦交流电路
1 t i udt L 0
电感元件的磁场能量
di 把式 u eL L 两边乘以 i 并积分得： dt
1 2 uidt Lidi Li 0 0 2
t
t
因此电感元件中存储的磁场能量为：
1 2 Li 2
返回
2.3.3 电容元件
电容的定义
电容元件的电容C定义为电容上的电量与电压的比值：
t
电容元件中存储的电场能量为：
1 2 Cu 2
总结
元件 特征
电阻元件
电感元件
电容元件
参数定义
u R i
N L i
电压电流关系
u iR
能量
t
di uL dt
0
Ri dt
2
1 2 Li 2
q C u du i C dt
1 2 Cu 2
思考题
如果一个电感元件两端的电压为零，其 储能是否也一定为零？如果一个电容元件中 的电流为零，其储能是否一定为零？
从而： U m LI m
Um U L Im I
ωL 单位为欧[姆]。电压U 一定时ωL越大电流I越小 ，可见它对电流起阻碍作用, 定义为感抗：
X L L 2fL
感抗XL与电感L、频率 f 成正比。对于直流电 f ＝0， XL＝0，因此电感对直流电相当于短路。 这样，电压电流的关系可表示为相量形式：
负半周 实际方向和参考方向相反
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
三相正弦交流电路基础知识讲解
. UVW
－IW. U
. IU
(a)
(b)
图 5.10 负载的三角形连接及电压、 电流相量图
第5章 三相正弦交流电路
5.2.2 负载的三角形（△）连接（二）
1、负载的相电压等于电源的线电压
•
•
•
2、相电流为
•
I UV
UUV
,
•
I VW
U VW
,
•
I WU
U WU
ZUV
ZVW
ZWU
3、线电流为
•
•
•
U N'N
ZU 1
ZV 1
ZW 1
ZU ZV ZW
若负载对称, 即 ZU ZV ZW Z Z ，则
第5章 三相正弦交流电路
5.2.1 负载的星形（Y）连接（六）
•
•
•
•
U N'N
UU ZU
1
UV UW ZV ZW
11
1
•
(U U
•
UV
•
UW
)
Z 3
0
ZU ZV ZW
Z
•
•
•
UU UV UW
•
•
IV 2 I U 2 120
•
•
I W1 I U1 120 ,
•
•
I W 2 I U 2 120
第5章 三相正弦交流电路
5.3.2 对称三相电路的一般解法（五）
•
•
I UV2
IU2 3
30
•
•
I VW2
IV2 3
30
•
•
I WU2
IW2 3
电子技术基础： 正弦交流电路
1 T
t Im2 sin2 ωtdt
0
1 T
T 0
Im2
(1
cos 2
2ωt
)dt
Im 2
即 I Im 2
i(t) Im sin t
同样可定义电压有效值 U Um
2
2I sin t
注意：电气工程上电压电流的大小，一般都用有效值来表示， 电气工程测量仪表一般也指有效值。但耐压值指的是最大值。
单相电压220V是指有效值，其最大值约为311V. 电路计算中一般用有效值运算。
3.1.2 正弦交流电的频率与周期
周期T : 正弦量变化一个循环所需要的时间。单位是秒 (s）。
频率f : 单位时间内的周期数。单位是赫兹（Hz )。
显然 f =1/T 或 T =1/f
角频率ω :
i
T Im
反映正弦量变化的快慢。
电压电流相量形式满足KCL，KVL，有效值不满足 KCL、KVL. 求交流电路应用相量关系计算 。
．
例．3 图示电路中，已知．U=220∠0°V U1=100∠60°V，求U2 的值。
解：由基尔霍夫电压定律，得
U&
.
U. 1
U.&2
UU&22UU&-UU&11 2200oV 10060oV
2
3)转换为瞬时式
i 25 sin(ωt 6.9o ) A
3) 5 6.9o
j. I1
注意，只有同频率量才可进行 相量运算。
相量图
.1 .I
I2
3.3 单一元件的正弦交流电路
3.3.1电阻元件
i(t)
+ uR(t) R -
《电工基础》课件——2.交流电
Z称为阻抗，量纲为欧姆，X称为电抗，|Z|称为阻抗的模，φ称为阻抗角，阻抗模是电压 与电流有效值或最大值比值，阻抗角是电路中电压与电流之间的夹角，即电压与电流的相 位差。阻抗是一个复数。阻抗形式的相量模型如图c所示。
2.RLC串联的交流电路
对于任意一个无源单口交流网络的总阻抗计算和直流电路总电阻的计算方法一样，串联总阻抗 等于各阻抗相加，并联总阻抗的倒数等于各阻抗倒数的和，不同的是阻抗的运算要按照复数的 运算法则进行
间的相位差，并说明哪个超前。 解：求相位差要求两个正弦量的函数形式必须一致，所以首先要将电流i改写成正弦函数形式：
i 6sin(t 20 90 ) 6sin(t 110 )A 因此，相位差为： u i 60 110 50
所以电流超前电压50˚。
4.瞬时值、最大值、有效值差
正弦电量的瞬时值是随时间变化的量。 正弦电量瞬时值中的最大值称为正弦量的最大值或幅值；
三相电源
2．三相电源的连接
（2）三角形连接（△接）。
将三相绕组的首端和末端顺次连接在一 起，即A接Z，B接X，C接Y，如右图所 示，称为三角形连接，电源三角形连接 时无中性线，一般用于三相三线制电路。
三角形连接时端线与端线间电压是线电 压，电源每一相电压为相电压。线电压 等于相电压。
U AB UCA U BC
正弦交流电路功率
有功功率 无功功率 视在功率
1.有功功率
交流电路的有功功率又叫平均功率，定义为瞬时功率在一个周期内的平均值。
p UI cos UI
λ=cosφ，称为电路的功率因数，φ称为电路的功率因数角（等于阻抗角）。
对于负载，功率因数不会为负，因为当电路为电阻性电路时，φ=0， cosφ=1，有功功率最大；当电路为感性和容性电路时，考虑到极端 情况，φ=±90˚，cosφ=0，有功功率为零。
2.RLC串联的交流电路
对于任意一个无源单口交流网络的总阻抗计算和直流电路总电阻的计算方法一样，串联总阻抗 等于各阻抗相加，并联总阻抗的倒数等于各阻抗倒数的和，不同的是阻抗的运算要按照复数的 运算法则进行
间的相位差，并说明哪个超前。 解：求相位差要求两个正弦量的函数形式必须一致，所以首先要将电流i改写成正弦函数形式：
i 6sin(t 20 90 ) 6sin(t 110 )A 因此，相位差为： u i 60 110 50
所以电流超前电压50˚。
4.瞬时值、最大值、有效值差
正弦电量的瞬时值是随时间变化的量。 正弦电量瞬时值中的最大值称为正弦量的最大值或幅值；
三相电源
2．三相电源的连接
（2）三角形连接（△接）。
将三相绕组的首端和末端顺次连接在一 起，即A接Z，B接X，C接Y，如右图所 示，称为三角形连接，电源三角形连接 时无中性线，一般用于三相三线制电路。
三角形连接时端线与端线间电压是线电 压，电源每一相电压为相电压。线电压 等于相电压。
U AB UCA U BC
正弦交流电路功率
有功功率 无功功率 视在功率
1.有功功率
交流电路的有功功率又叫平均功率，定义为瞬时功率在一个周期内的平均值。
p UI cos UI
λ=cosφ，称为电路的功率因数，φ称为电路的功率因数角（等于阻抗角）。
对于负载，功率因数不会为负，因为当电路为电阻性电路时，φ=0， cosφ=1，有功功率最大；当电路为感性和容性电路时，考虑到极端 情况，φ=±90˚，cosφ=0，有功功率为零。
电路分析基础第3章 正弦交流电路
初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小 与计时起点的选择有关。另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
电工基础正弦交流电路
（2）190 cos90 j sin 90 j
（3）5.5 90 5.5cos(90) j5.5sin(90) j5.5
4.2.2 复 数 的 运 算
1．复数的加减
若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。
如：
A1=a1+jb1
A2=a2+jb2
则 A1±A2=（a1+jb1）±a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）
改用j代表虚单位，即
j 1
如图4.5所示，有向线段A可用下面的复数 表示为 A=a+jb
由图4.5可见， r a2 b2
r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线
段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，
用 表示，规定幅角的绝对值小于180。
2．复数的表达方式
图4.5 有向线段的复数表示
复数的直角坐标式 ： A a jb r cos jr sin
图4.1 直流电和交流电的电波波形图
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某支路中正弦 电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为
i Im sin(t )
1．瞬时值、最大值和有效值
把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值，用小写字母表示，如i、u及e
角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度。 若交流电1秒钟内变化了f次，则可得角频率 与频率的关系式为
2πf 2
T
图4.2 正弦电流波形图
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素
例4.3 已知某正弦交流电压为 u 311sin 314tV ，求该电压的最大值、
频率、角频率和周期各为多少？
解：
正弦交流电基础知识
3.1.3 有效值
正弦量是一个随时间按正弦规律作 周期性变化的物理量，可以用瞬时值和 最大值来表示。但瞬时值描述较繁琐， 最大值又只能反映瞬间情况，不能确切 表达它的效果，为此工程上引入一个新 概念，即有效值。下面从等效能量概念 来定义有效值。
有效值：如果交流电通过一个电阻时，在 一个周期内产生的热量与某直流电通过同 一个电阻在同样的时间内产生的热量相等， 就将这一直流电的数值定义为交流电的电 流有效值。 I
交流电相比于直流电有如下优点。
（1）正弦交流电在电力供电系统中广泛应 用， （2）交流电可通过变压器任意变换电流、电 压，便于输送、分配和使用。 （3）交流发电机和电动机比直流的简单、经 济和耐用。
交流电的三要素
最大值Im，周期T（或频率ω），初相位Ψ。
正弦交流电的波形图
ω称为正弦电流的角频率。它表示正 弦量的对应的角度随时间变化的速度，或 者说，表示单位时间增加的角度。主单位 是弧度每秒（即rad／s）。正弦量变化的 快慢还可以用周期（T）和频率（f）表示。 周期是指正弦量变化一个循环所需的 时间，用T表示，它的主单位是秒（s）。 频率是指正弦量每单位时间内变化的循环 次数，用f表示，它的主单位是赫兹 （Hz）。频率和周期的关系是互为倒数 。
I=
mபைடு நூலகம்
2
= 0.707 I m
同样，还有电压有效值。
工程上凡是谈到周期电流、电压或电动 势的量值时，若无特殊说明，都是指有 效值而言。在交流测量仪表上指示的电 流或电压也都是有效值。但在分析各种 电子器件的击穿电压或电气设备的绝缘 耐压时，要按最大值考虑。
它是正弦量在计时起点t0时刻的相角即t它又反映正弦量的初始值即t0时刻的值如果能求出正弦电流的振幅频率和初相位根据给定的参考方向就可以完全确定该正弦电流
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2、单个元件R、L、C 的导纳
1 YR G R 1 1 YR j jL L
YC jC
3、感纳和容纳
1 感纳 BL L
容纳 BC C
阻抗（导纳）的串联和并联
一、阻抗的串联
对于 n 个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗
Zeq Z1 Z2 Zn
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用极坐标形式比较方便 设 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F F2 F 1 F2 2 1 1
F F2 / 1 2 1
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
F F (cos j sin )
F
b
O a
模
+1
F
a b
2
2
辐角
b arctan a
3、指数形式 根据欧拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F Fe
4、极坐标形式
F =|F| /θ 3+j4= 5 /53.1°
= 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示 瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母
常数，大写字母加下标m
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 2
UL
L
IL
UL
O
u
IL
i
相量图 +1
U L jL I L
3、电容元件
瞬时值表达式
iC C
+
uC
+j
duC iC C dt
相量形式 +
IC
IC C
i
O
UC
u
相量图 +1
UC
I C jC U C
1 (或U C j IC ) C
4、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
F1 F2
/ 1 2
三、旋转因子
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j
2
j
e
j
2
-j
e
j
-1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如 一个复数乘以j， 等于把该复数逆时针旋转π/2， 一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j， 等于把它顺时针旋转π/2 。
2 2
X
Z
R 阻抗三角形
电路的性质
Z= R + jX 当 X > 0，称Z呈感性； 当 X < 0，称Z呈容性； 当 X = 0，称Z呈电阻性
二、导纳
1、定义
Y
I
U
I / i u Y / Y U
导纳模 | Y | = I / U 导纳角 Y i u 导纳Y的代数形式可写为 Y= G + jB 其实部为电导，虚部为电纳。
U / u i Z / Z I
U
No
-
阻抗角
Z u i
Z= R + jX
阻抗Z的代数形式可写为 其实部为电阻，虚部为电抗。
2、R、L、C 对应的阻抗分别为：
1 ZC j C 3、感抗和容抗
感抗 X L L 反映电感对电流的阻碍作用
容抗 X C
I I m / 2 0.707 I m
Im I 2
Um U 2 Em E 2
四、同频率正弦量相位的比较
i I m cos(t i )
u U m cos( t u )
相位差 u i 相位差也是在主值范围内取值。 φ > 0，称u超前i； φ < 0，称u落后i；
阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式，它们在形
式上与线性电阻电路相似。 对于电阻电路有：
i 0
u Ri
I 0
u 0 i Gu
U 0
I YU
对于正弦电流电路有：
U ZI
用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法
二、正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式： u -
i I m cos(t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 i 2、角频率ω Im 反映正弦量变化的快慢 2π 单位 rad/s O ωT=2π π ω=2πf i f=1/T 频率f 的单位为赫兹（Hz） 周期T的单位为秒（s） 工频，即电力标准频率：f =50Hz, T = 0.02s ω =314 rad/s
2π
ωt
3、初相位（角） i 主值范围内取值
i
Im 2π O
i 180
i
π
2π
ωt
(t i ) 称为正弦量的相位，或称相角。
三、正弦量的有效值
I
I
2
def
1 T
T 0
T
0
i dt
2
def
1 T
Im2 cos2 (t i )dt
1 cos[ 2(t i )] cos (t i ) 2
IS
+
UR
-
+
UL + UC d
-
1 j C
a
I
+
R
b +
jωL UL + UC
c
1 j C
IS
UR
d
设电路的电流相量为参考相量 即令 I I S 5 / 0
U R R I = 15 /0 °V
U L jL I = 5000 / 90°V
= - 4.07 + j3.07
= 5.1 /143°
3-j4 F1 = F2 10 /135°
=
5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 辐角应在主值范围内
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。 对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用 cosine。
φ = 0，称u,i 同相；
φ = π/2，称u，i 正交；
φ = π ，称u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V 求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°)
= 10 cos(314t+30°-90°)
常数，大写字母
常数，大写字母加 下标m再加点 常数，大写字母加点
5 2 / 30 A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都 是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式。 1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0 其相量形式为 I 0 2、基尔霍夫电压定律 对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0
U L jL I L 1 UC j IC C
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件 下得到的；
如果为非关联参考方向，则以上各式要变号。
以上公式 既包含电压和电流的大小关系，
又包含电压和电流的相位关系。
阻抗和导纳
一、阻抗
1、定义
+
I
Z
U
I 阻抗模 | Z | = U / I
Z R j L
1 j C
3
15 j (5000 12 10
1 ) 6 5000 5 10
15 j 20 25 53.13 ()
U I Z
1000 4 53.13 ( A) 2553.13
i(t)= 42 cos ( 5000 t - 53.13o ) A
各个阻抗的电压分配为
Zk Uk U , k = 1,2,…，n Z eq
为总电压 . ,
二、阻抗的并联
对 n 个导纳并联而成的电路，其等效导纳
Yeq Y1 Y2 Yn
各个导纳的电流分配为
Yk Ik I, Yeq
k = 1,2,…，n
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
几何意义
+j
(a1 a2 ) j (b1 b2 )