航海专业数学基础
第一章 航海专业数学基础
第一节 球面三角
一．球面几何
1．球面和球面上的园
1）球面和球
球面(spherical surface)：半个圆周绕其直径旋转360而成的旋转面称球面。
球：球面所包围的几何体称球。
球的半径：
球的直径：
2）球面上的圆
（1）大圆(great circle)：过球心的平面和球面相截的截痕。
（2）小圆(small circle)：不过球心的平面和球面相截的截痕。
①过球面上不在同一直径两端的任意两点，只能有一个大圆，却能作无数个小圆。
②一个球面上不可能有两个大圆平行，两个大圆的平面的交线是他们的直径，并且两个大圆互相平分。
2．球面角和球面距离
1）轴、极、极距、极线
（1）轴(axis)：垂直于任一圆面(大圆或小圆)的球直径。
（2）极(pole)：轴与球面相交的两点。
（3）极距(polar distance)：从大圆弧或小圆弧上的一点到极的大圆距离，又称该圆的球面半径。球面半径并非球的半径。
（4）极线：极距为90的大圆弧又称为极线或称为赤道(equator)。
2）球面角及其度量
（1）球面角(spherical angle)：球面上由两个大圆弧所构成的角。
其交点叫做球面角的顶点。
（2）球面角的三种度量方法：
①切于顶点的大圆弧的切线的夹角。
②顶点的极线被其两边大圆弧所截的弧长。
③极线上的弧所对应的球心角。
3）球面距离的距离和最近距离
（1）球面距离：连接球面上两点的大圆弧长，以大圆弧所对应的球心角用度、分、秒来度量。
（2）球面上两点间的最近距离：过球面上两定点间小于180o的大圆弧(劣弧)。
4）圆心角相等的大圆弧与小圆弧的长度关系。
结论：地球纬度圈与赤道的长度关系：
例题见教材。
二．球面三角形
1．球面三角形(spherical triangle)
1）球面三角形及其六要素
球面三角形：在球面上由三个大圆弧所围成的三角形称为球面三角形。
球面三角形六要素:构成球面三角形的三个角和三个边。
航海上研究的是六个要素均大于0o而小于180o的欧拉球面三角形。天文定位实质上就是解天文球面三角形。
2)球面三角形的分类
（1）球面等腰三角形和球面等边三角形。
两边或两角相等的三角形称球面等腰三角形。
三边或三角都相等的三角形称球面等边三角形。
（2）球面直角三角形和球面直边三角形。
至少有一个角为90o的球面三角形称为球面直角三角形。
至少有一个边为90o的球面三角形称为球面直边三角形。
（3）球面初等三角形(primary triangle)。
三个边相对于其球半径来说非常小的球面三角形称为球面小三角形(三个角不会很小)；
只有一个角及其对边均甚小的球面三角形称为球面窄三角形；
而球面小三角形和球面窄三角形统称为球面初等三角形。
（4）球面任意三角形。
凡不具有特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形。
3）球面三角形的关系
（1）球面全等三角形。
在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形。
（2）球面相似三角形。
在半径不同的球面上，边角度数对应相等的三角形。
（3）球面对称三角形
从球面三角形的三顶点作直径与球面交得另外三个顶点，相连得到另一球面三角形。
（4）球面极线三角形(polar triangle)。
球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形，称为球面三角形的球面极线三角形。
4）球面三角形的性质
（1）球面三角形与三面角的关系
（2）球面三角形的每一边必大于0o而小于180o，三边之和大于0o而小于360o（3）球面三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（4）球面三角形的每一角必大于0o而小于180o，三个角的和大于180o而小于540o
（5）球面三角形三角之和超出180o的部分称为球面盈角。
（6）球面三角形两角之和减去第三角小于180o
（7）球面三角形的外角小于相邻的两内角之和而大于它们之差。
5）球面三角形的成立条件
（1）当给定了球面三角形的三个边时：
①任一边应大于0o，小于180o；
②三边之和大于0o，小于360o；
③二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。
（2）当给定了球面三角形的三个角时：
①任一角应大于0o，小于180o；
②三角之和大于180o，小于540o；
③二角之和减去第三角小于180。
（3）若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于0o，小于180o的条件，球面三角形都成立。
（4）若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角，则该三角形是否成立，情况比较复杂。
2．解球面三角形
（1）余弦公式(cosine formula):
边的余弦公式是：
cosa=cosbcosc+sinbsinccosA
cosb=cosacosc+sinasinccosB
cosc=cosacosb+sinasinbcosC
一个边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积。
角的余弦公式是：
cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa
cosB=-cosCcosA+sinCsinAcosb
cosC=cosAcosB+sinAsnBcosc
一个角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦的乘积。
（2）正
弦公式(sine formula)：
各边的正弦与其对角的正弦成比例。
（3）余切公式即四联公式(four parts formula)：
ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosb
ctgasinc=ctgAsinB+cosBcosc
ctgbsina=ctgBsinC+cosCcosa
ctgbsinc=ctgB+cosAcosc
ctgcsina=ctgCsinB+cosBcosa
ctgcsinb=ctgCsinA+cosAcosb
外边余切内边正弦的乘积等于外角余切内角正弦的乘积加上内边内角余弦的乘积。
四联公式可以转化，例：
ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC
可转化成： ctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC
3．球面直角三角形公式和球面直边三角形公式: （"大"字法则）
1）球面直角三角形(right-angled triangle)公式:
任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积。
若已知a和b，求c。按任一要素的正弦等于与其相隔二要素余弦乘积的法则，可得：
sin(90o-c)=cosacosb
cosc=cosacosb
又若已知A和B，求c。按任一要素的正弦等于与其相邻二要素正切乘积的法则，可得：
sin(90o-c)=tg(90-A)tg(90-B)
cosc=ctgActgB
2）球面直边三角形(quadrantal triangle)公式：
任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积。若等式右边的正切和余弦的乘积中，遇有两个要素都是边或都是角时，则在乘积之前冠以负号。
4．球面初等三角形
1）球面小三角形
其特点是：
A．三边相对球半径甚小；
B．三角不会很小；
C．三角和接近180°；
D．其面积接近平面面积。
一般可将球面小三角形视为平面三角形进行近似计算。
2）球面窄三角形
其特性是：
A．一边a相对球半径甚小；
B．小边的对角A也很小；
C．另外两边的差很小（两边近似相等b≈c）;
D．小边的邻角等于另一邻角的外角，B≈C外。
3）解球面窄三角形，已知小边a与其邻角B及边c，而需要求角A及边b。
（1）求b边的第一近似公式和第二近似公式；
（2）求角A第一近似值和第二近似值公式
在第一近似值不能满足高精度要求时，可求第二近似值。
4） 度与弧度的换算
关系如下：
弧度
1弧度＝
某一角，其值用度或分制单位表示为或，用弧度制单位计量，则它们之间的关系为：
x弧度＝
arc1°=(1°的弧度值)＝0.01745弧度
arc1′=(1′的弧度值)==0.00029弧度
上式则可写成： x弧度＝x°arc1°=x′arc1′
5．球面三角形的解法
1）画图法：根据该三角形的已知条件，画出示意图，求出未知量
例：已知a=50?,b=70?,C=120? 画图求c A B
解：在球上取B、C两点，使BC=a＝50?,
过C点作与BC夹角120?的大圆弧
在大圆弧
上取CA=70?=b
用大圆弧连接BA
则三角形ABC即为所求球面三角形
在此三角形上量出c=105?,A=75?,B=70?
2）公式法：根据已知条件，选择合适的公式，求出未知量。有以下几种解法：
三角函数对数表法--已经淘汰。
查表法--天文中讲。
计算器解算法--用得最多，这里只讲此方法。
第二节 观测误差
一、观测误差的种类、性质与处理方法
1．观测
定义：观测也称测量。它是将所求量与作为测量单位的同类量作比较而得出测定值，是一个较复杂的过程。按观测条件及观测结果的质量，
分类：等精度观测和非等精度观测。
2．误差：观测值与所观测量的真值之间的差值。
1）误差=观测值-真值
2）产生观测误差的主要原因有：
①人为过失
②测量仪器的不完善
③测量方法不准确
④测者感观上的缺陷
⑤环境条件的影响
⑥所用的计量单位不能量尽被测量的量
3．误差的种类
观测误差按其性质可分为：
1）粗差(mistake)：
由于观测方法的谬误或者由于观测者的粗心大意等过失而产生的误差。如看错物标，读错读数，以及测量方法上的错误等等。
2）系统误差(systematic error)：它服从于一定的函数关系。在同一条件下反复观测时，它不改变数值和符号；在条件变化时，误差或保持不变，或按一定的规律变化着。如存在于罗经中的基线误差或罗经差、六分仪中的指标差、计程仪改正率、以及天体高度改正等都属于系统误差。
3）偶然误差(随机误差,random error)：
其个别值不服从任何一定的函数关系。在同一观测条件下，它不断地改变数值和符号。随着观测次数增多，它产生的原因是临时性的、偶然性的和随机性的。从总体上看，呈现出统计学上的规律，观测次数越多，这种规律性越明显。如测量值中的观测误差和凑整误差、航向不稳而引起的误差，船舶摇摆而引起的观测误差等都属于偶然误差。
基本特征：
A在一定的观测条件下，偶然误差的数值有一个限度；
B绝对值小的误差出现机会比绝对值大的误差出现机会较多；
C绝对值相等的正误差与负误差，其出现的机会相等。
D当观测次数无限增多时，误差的算术平均值趋于零。
4．误差的处理方法
观测误差的消除和削弱的方法，是根据误差的种类不同而不同。
1）粗差：
一般用重复观测或检核计算的方法来发现和消除它，对观测者来说应该尽可能地避免发生和排除粗差的产生。
2）系统误差的消除，通常采用下列两种方法：
A解系统误差的规律，针对
既定情况，将它求出或测出，然后对观测结果加以改正消除它。如仪器的零点差、某地区的磁差、一定航向上的自差、计程仪的误差、天体高度天文蒙气差等等。
B直接求出该系统误差，而是采用适当的测量方法和步骤，将它的影响消除掉。如三方位陆标定位时，就是消除系统误差的方法。
3）偶然误差：
对偶然误差性质的了解、规律的掌握和由此所采取的相应措施，可使我们在一定程度上削弱它的影响。
二、观测的最概率值及其精度
1．偶然误差的概率分布
偶然误差服从正态分布密度函数
?(?)=
式中： ?──偶然误差值；
m──该观测组的均方误差(standard error)。
从函数分析可知：
1) f(?)为偶函数，在?=0处，曲线有一高峰〔?(?)=〕，由高峰向两边对称下降，其拐点位置在?=?m处，下降到两端趋于平缓，并以横轴为渐近线。这曲线反映了观测偶然误差的基本特征。
2) 当观测值的均方误差改变时，曲线的峰值、形状也随着改变。m减小峰值增加，但曲线以下面积仍等于1，所以曲线两边很快趋近横轴(如图1-2-2所示)。m值愈小，表示观测组中绝对值小的误差愈多，则观测愈精确。
2、 观测误差尺度及其概率
1) 误差尺度的选择
衡量的几种尺度：
(1) 误差的算术平均值利用高斯符号表示，不能作为衡量误差的尺度。
(2) 误差绝对值的算术平均值(称为平均误差)，比较正确反映了观测的精确度，可以用来作为衡量观测误差的尺度。
（3）均方误差m= ，
均方误差(或称标准误差)正确地反映了观测组的精确度，更加如实地反映了观测组误差如下的本质：
①它不等于零，因为绝对不含误差的观测是不可能的；
②它与诸的符号无关，因为误差的符号对观测组精确度的评定并无实际意义；
③较大误差的影响能更明显地反映出来；
④它比较稳定，在观测次数足够多的情况下，任意多一次或少一次，均方误差变动不大。
观测组的均方误差也称为单一观测的均方误差。
2) 偶然误差概率的计算
令 t=,标准正态分布密度函数
f(t)=
式中：t==。
显然误差落在[-tm、+tm]区间的概率
正态分布函数为偶函数
极限误差＝3m，大于3m的误差则视为粗差，其观测值剔除不用。但在要求较高的观测中也有用2m作为极限误差，以确保观测结果的准确性。
概率等于50%的误差界称为或然误差(或中央误差)，即误差绝对值大于或然误差或小于或然误差的机会均为50%。t=0.6745时其概率恰为50%，所以或然误差与均方误差的关系为：
?=0.6745m= --或然误差
平均误差--误差绝对值的算术平均值与均方误差也有如下简单的关系：
?--平均误差。
3、 观测的最或是值及其精度
1)观测的最或是值
真误差(true error)简称真差，ln-X=?n
将两边各项相加并以n除之，则得
观测值的算术平均值L是真值X的最或是值。即在等精度的观测情况下，可以将观测值的算术平均值作为观测的结果。
2) 观测最或是值的精度
已知在等精度观测中，算术平均值是观测结果的最或是值。
算术平均值的均方误差只等于观测值均方误差，算术平均值的精确度比观测值提高了倍。
4、 均方误差的实用公式
残差：每一观测值与它们算术平均值之差。
m=, =
1
2