第4章 原子的精细结构：电子自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋原子是构成物质的基本单位，其结构包括核和围绕核运动的电子。
在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个非常重要的物理概念，它们对原子的性质和行为都有重要影响。
一、电子自旋1.电子自旋的概念电子自旋是电子固有的一种内禀性质，它并不是电子真正的旋转运动，而是描述电子的一种量子性质。
电子自旋可以用两种态来描述，即上自旋态和下自旋态，分别用↑和↓表示。
这两种态是对应于电子自旋在空间中的两个方向，它们之间没有中间态。
2.电子自旋的测量电子自旋的测量是基于量子力学的原理，它具有不确定性。
当进行电子自旋的测量时，不可能同时测量出电子的位置和自旋方向。
根据量子力学的测不准原理，测量电子的自旋方向会使得其位置的不确定性增加，反之亦然。
3.电子自旋的性质电子自旋在原子结构中具有重要的作用。
它决定了原子在外加磁场下的行为，从而影响了原子的磁性。
电子自旋还与化学键的形成和原子光谱的性质有关。
由于电子自旋的存在，原子的能级结构会呈现出一些特殊的规律，如Pauli不相容原理等。
4.康普顿散射电子自旋还与康普顿散射现象相关。
康普顿散射是指X射线与物质中的自由电子相互作用而发生散射的现象。
在康普顿散射中，X射线会与电子的自旋磁矩相互作用，使得散射角度发生变化，从而可以用来测量电子的自旋。
二、核自旋1.核自旋的概念核自旋是核子固有的自旋角动量，通常用I来表示。
与电子自旋类似，核子的自旋也具有量子性质，即其自旋角动量只能取离散的数值。
在自然界中，存在很多核素，它们的核自旋可以是整数或半整数。
2.核自旋的性质核自旋是核物理研究的重要参数之一，它与原子核的稳定性、核衰变、核磁共振等现象密切相关。
核自旋还可以影响原子的磁性和核荷分布，从而影响原子的化学性质。
3.核自旋共振核自旋可以通过核磁共振技术来研究。
核磁共振是一种利用核自旋的方法来研究物质结构和性质的技术。
在核磁共振中，外加磁场使得具有核自旋的原子核产生共振吸收信号，从而可以得到有关原子核的信息。
原子物理学 课后答案
目录第一章原子的位形 (2)第二章原子的量子态：波尔模型 (8)第三章量子力学导论 (12)第四章原子的精细结构：电子的自旋....................... 错误！未定义书签。
第五章多电子原理：泡利原理 (23)第六章X射线 (28)第七章原子核物理概论.......................................... 错误！未定义书签。
1.本课程各章的重点难点重点:α粒子散射实验公式推导、原子能量级、氢原子的玻尔理论、原子的空间取向量子化、物质的波粒二象性、不确定原则、波函数及其物理意义和薛定谔方程、电子自旋轨道的相互作用、两个价电子的原子组态、能级分裂、泡利原理、电子组态的原子态的确定等。
难点：原子能级、电子组态、不确定原则、薛定谔方程、能级分裂、电子组态的原子态及基态的确定等。
2.本课程和其他课程的联系本课程需在高等数学、力学、电磁学、光学之后开设，同时又是理论物理课程中量子力学部分的前导课程，拟在第三学年第一学期开出。
3.本课程的基本要求及特点第一章原子的位形：卢瑟福模型了解原子的质量和大小、原子核式模型的提出；掌握粒子散射公式及其推导，理解α粒子散射实验对认识原子结构的作用；理解原子核式模型的实验验证及其物理意义。
第二章原子的量子态：玻尔模型掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式；理解玻尔原子模型的基本假设、经典轨道、量子化条件、能量公式、主量子数、氢能级图；掌握用玻尔理论来解释氢原子及其光谱规律；了解伏兰克---赫兹实验的实验事实并掌握实验如何验证原子能级的量子化；理解索菲末量子化条件；了解碱金属光谱规律。
第三章量子力学导论掌握波粒二象性、德布罗意波的假设、波函数的统计诠释、不确定关系等概念、原理和关系式；理解定态薛定谔方程和氢原子薛定谔方程的解及n,l,m 三个量子数的意义及其重要性。
第四章 原子的精细结构：电子的自旋理解原子中电子轨道运动的磁矩、电子自旋的假设和电子自旋、电子量子态的 确定；了解史特恩—盖拉赫实验的实验事实并掌握实验如何验证角动量取向的量子化；理解碱金属原子光谱的精细结构；掌握电子自旋与轨道运动的相互作用；了解外磁场对原子的作用，理解史特恩—盖拉赫实验的结果、塞曼效应。
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋
原子结构知识：原子结构中电子自旋和核自旋1.引言原子结构是指原子内部的组成和排列方式，包括核子和电子的结构。
在原子结构中，电子自旋和核自旋是两个重要的概念，它们对于原子的性质和行为起着重要作用。
2.电子自旋电子是原子中最轻的带电粒子，它的自旋是电子最重要的特性之一。
电子自旋是指电子围绕自身轴心旋转的现象，它的大小和方向可以用自旋量子数来描述。
根据量子力学理论，电子自旋量子数可以取两个值，分别为+1/2和-1/2。
这意味着电子自旋可以分为两种状态，即自旋向上和自旋向下。
3.核自旋与电子自旋类似，核自旋也是原子结构中非常重要的一个概念。
核自旋是指原子核内部核子（质子和中子）围绕自身轴心旋转的现象。
核子的自旋量子数也可以取两个值，分别为+1/2和-1/2。
不同于电子自旋，核自旋的大小和方向会受到核外电子的屏蔽效应的影响。
这意味着核自旋的取值范围和性质会受到核外电子的影响而发生改变。
4.电子自旋和核自旋的相互作用在原子结构中，电子自旋和核自旋之间存在着相互作用。
这种相互作用会对原子的性质和行为产生影响。
在原子内部，电子与核子之间会发生自旋-轨道耦合，这是因为电子不仅有自旋运动，还有轨道运动。
这种耦合会导致电子的自旋和轨道运动不再是完全独立的，而是相互影响的。
另外，电子自旋和核自旋之间还会发生磁相互作用，这种相互作用会导致原子具有磁性。
5.电子自旋和核自旋在原子物理中的应用电子自旋和核自旋在原子物理中具有广泛的应用。
其中，最重要的应用之一是核磁共振(NMR)技术。
核磁共振是利用原子核的自旋性质来获取物质结构和性质的一种分析方法。
通过NMR技术，可以研究原子核自旋和化学环境之间的相互作用，从而获取大量化学信息。
此外，电子自旋和核自旋还在磁共振成像(MRI)领域得到广泛应用，用于医学诊断和研究。
6.结论电子自旋和核自旋是原子结构中重要的概念，它们对于原子的性质和行为具有重要影响。
在原子内部，电子自旋和核自旋之间存在相互作用，这种相互作用会引发许多重要的物理现象。
原子的精细结构.
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
为使氢原子束在磁场区受力，则要求磁场在Å的线度 范围内是非均匀磁场（实验的困难所在）。 在外加非均匀磁场中原子束产生分裂。是对原子在外 磁场中取向量子化的首次直接观察，是原子物理学中最 重要的实验之一。
12
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
分析矢量μ的进动。图（b）取自与B 垂直的、μ进动平面上的一小块扇面。 μ与B的垂直距离即为扇面半径 显然：d sin d d d sin sin 于是： dt dt d d d dt sin d 由此知 即为角速度。 （ b） dt 6
3
《原子物理学》第四章 原子的精细结构：电子的自旋
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
由经典电磁理论，载流 线圈的磁矩： iSn 电子绕核运动等效于一 载流线圈,必有一个磁矩。
i
n
r
i
n
L
r
v 设电子旋转频率: 2r
则原子中电 子绕核旋转 的磁矩为：
e
电子与自旋相联系的 磁矩类似于电子轨道 运动的磁矩。可写出 电子自旋的磁矩为：
3 s s ( s 1) B B 2 m 1 s B B sz 2
但这两个式子与实验不符，为此乌仑贝 克与古兹米特进一步假设：电子的磁矩 为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍。
（*如果视电子为带电小球，半径为0.01nm，它绕自身 1 的轴线旋转，则当其角动量为 时，表面处的切向线速 2 度大大超过光速！）
电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一 个重大发展。狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融 洽的理论，可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的 自然结果。
原子的精细结构电子的自旋
原子的精细结构电子的自旋原子是化学分子的基本单位，也是化学反应和化学变化的基本参考物。
原子结构是原子面临化学反应和化学变化的基本特征。
原子由核，电子和电子云构成。
核是原子中带有正电荷的中心，而电子则存在于核外的电子云中，又称外层电子。
电子是原子中最活跃的成分，掌握对电子的研究可以掌握整个原子的特征和行为。
其中包括原子的精细结构和电子自旋。
一、原子的精细结构原子的精细结构是指原子中电子能级的精细结构，通过电子吸收能、发射能和电子竞争的方式进行研究，以探测电子的能级结构和运动规律。
（一）原子能级原子能级是指原子中每个电子在不同能量状态下所处的状态。
原子中的能级可被分为基态，电子激发态以及离散态。
基态是能量最低的状态，所有能量处于基态的状态。
离散态是中间状态，处于基态和激发态之间。
电子激发态是指原子中的电子因为吸收或者失去能量而移动到一个较高的能量状态，成为激发态。
电子跃迁是指电子在不同的能量态之间运动时所产生的变化，这种变化会产生一定的能量。
电子跃迁的能量差可以通过光谱来测量，也可以通过测量电触发的荧光强度来测量。
（二）光谱分析光谱分析是一种探测化学物质的工具，通过电子的吸收和发射能来进行化学分析。
光谱分析可以被用于化学分析，探测电子沿着不同化学反应模式的运动规律。
光谱分析可以被用于探测分子和原子的特征，包括丰度，引力能和外加势能等等。
从光谱分析中可以得知原子的基态，激发态和离散态之间的能差，以及电子传递特征，提供了关于原子的精细结构和电子自旋的信息。
二、电子自旋电子自旋是指电子的一个内禀性质，即电子在原子内部的旋转方向。
电子是一种带有负电荷的基本粒子，也是电子云中最活跃的成分。
电子的自旋是由于自身的旋转而产生的，它与电子的电荷和运动都有关系。
电子的自旋是一种内在的、量子力学的性质，是由能量的守恒和角动量的守恒原理共同决定的。
（一）电子的自旋量子数电子的自旋是用量子力学的方法描述的，它具有双重自性，既是粒子，又是波。
第四章 电子的自旋
在原子内部，有两种角动量 L 和 S
必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。
s 与s
l 与 l
分别共线，合成后
j ls
l s
三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
原子的精细结构—电子自旋
j , z m j g j B
轨道 g 1 l 运动
l , z
e Lz m l B 2me
S z ms
S s ( s 1)
e e s S s( s 1) 2 s( s 1) B me me
自旋 gs 2 运动
s , z
e e Sz m s 2m s B me me
自旋-轨道耦合 的附加能量。
作数量级估计（对氢，n=2）：
U e2 ( c ) 2 4 0 2 E0 2 4a1 3 (1.44eV nm)(197eV nm) 2 105 eV 2(0.511106 eV ) 2 (4 0.53nm)3
精确计算：求 S L 2 2 2 J S L J S L 2S L
L 0, 1, 2, 3,
能级重数
2S+1
2
S1/ 2
S P D F
J 值= L S ， S ＋1， ，L S L
见课本p163，表……
（4）施特恩－盖拉赫实验的解释
Bz dD z2 cos z 3kT
其中μ 应为原子的总磁矩，即轨道磁矩和自旋磁矩 的合成 cos J cos mJ g J B
§4.4 碱金属双线
（1）碱金属谱线的精细结构：定性考虑 碱金属的原子光谱有四个主要线系（以锂为例）： 主线系：np→2s跃迁；
锐线系：ns→2p跃迁；
漫线系：nd→2p跃迁；
基线系：nf→3d跃迁。
当用高分辨率光谱仪观察，发现这些谱线有双 线结构：
主线系
np→2s
线系限
锐线系
ns→2p
原子物理第四章课后习题
Hence, j , z B , B 4.4.In a Stern-Gerlach experiment,a thin beam of silver atoms which are in the 2 S1 2 ground state passes through a very inhomogeneous magnetic field and reaches a screen.The length of the magnetic field region is d 10cm. The distance between the center of the magnet and the screen is D 25cm. The speed and mass of each Ag atom are 400m/s and 107.87u,respectively.The interval distance between two neighboring lines in the spectrum after the splitting is 2.0mm.Find the value of B z .
在施特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场， 并射到屏上，磁极的纵向范围 d 10cm ，磁极中心到屏的距离 D 25cm. 如果银
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2 5
6 5
原子的速率为 400m / s ，线束在屏上的分裂间距为 2.0mm ，试问磁场强度的梯度 值应为多大？银原子的基态为 2 S1 2 ，质量为 107.87u.
2 z mJ g J B 2 B , B 3 B dD B dD 2 B dD 2 B z B z z2 z z z2 , z2 z 3kT z 3kT 3 z 3kT
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lz l cos
(19- 5)
而实验结果中z却是量子化的，从 而要求 lz 必须量子化，即要求cos 量子化，即磁矩的空间取向是量子 化的。 从而证明了磁矩空间 取向的量子化特征。
掌握：史特恩－盖拉赫实验的意义
21
例题 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束 3 B / Z 10 T/m 通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为 ， 磁极纵向范围d=0.04m，从磁极中心到屏距离D=0.14m， v 5 102 m/s 原子的速度 。在屏上两束分开的距离 l为 0.002m。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小 （设磁场边缘的影响可忽略不计）。 B dD 解：原子束偏离平衡位置距离公式：z lz z mv 2 l m 由题意知： z 0.001 2 27 m 108 1 . 66 10 kg 银原子质量：
12
即角动量矢量在 空间有三个取向
与l =1情况相同，我们有l =2时有5个6
2
L 2(2 1) 6, ( l 2) ml 0 0,1,2, ( l 2)
0 , ,2 Lz 2
l2
即，角动量量子数为l 时，其在空间有2l+1个取向， 它对应有2l+1个投影值ml
3
§4.1 原子中电子轨道的运动磁矩
从电磁学理论出发，得到电子轨道运动引起的磁 矩的经典表达式，根据量子力学的计算结果，得出电 子轨道磁矩的量子表达式。对电子轨道磁矩的讨论使 我们发现，电子运动轨道的大小，运动的角动量以及 原子内部的能量都是量子化的。不仅如此，我们还将 看到，在磁场中或电场中，电子的轨道只能取一定的 方向，一般地说,在电场或磁场中，原子角动量的方向
23 0 . 93 10 J/T 将各量数值带入得： lZ
22
思考：具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非 均匀磁场中运动时有什么不同？(考研题) 设原子的磁矩为 ，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁 场方向的分量记为 Z，于是具有磁矩的原子在磁场中
所受的力为 F Z
的梯度。因为对于均匀磁场有
e 2me
称旋磁比
L为电子的轨道角动量
6
磁矩在外磁场B中受力矩 τ μ B，将引起角动量的变化
dL μ B (18 - 2) dt dμ γL μγB dt 或 dμ ＝ ω μ (18- 3) dt
B(z)
sin
B B ，其中 是磁场沿Z方向 Z Z B
Z 0 ，原子在磁场中
不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉莫尔进动，且对磁 场的取向服从空间量子化规则。对非均磁场有 B ， 0 原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原
Z
子束的路径要发生偏转。
23
中国科技大学 《原子物理学》 2004考研真题
11
3. 角动量取向量子化
我们知道，当l =1时:
L l (l 1) 2
Z
L 2
0
Lz ml 有三个取值: - , 0,
v 轨道角动量的大小 L及其z分量Lz的取值是量子化的， 而 Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向是量子化 的，因为对于每一个l值有2l+1个ml值,即 L 在z 轴上应 有2l+1个分量，因而 L 有2l+1个取向。
可以看出μB 是轨道磁矩的最小单元
10
另外，因为
第一玻 尔半径
2 2
e 1e 1 B e c(ea1 ) 2 2me 2 c me e 2
原子的磁偶 极矩的量度 精细结构常数 原子电偶极矩的量度
可见磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级， 所以电相互作用决定原子的粗线条结构而磁相互 作用决定了原子的精细结构。
9
又因为量子力学中角动量 L 在z方向的投影大小为：
Lz ml ml 0,1,2,, l
其中ml为磁量子数，共有（2l+1）个取值。（此式将在 《量子力学》中学习） 所以 l 在z方向的投影 l , z 为：
l ,z
e Lz m l 2m e ml B m l 0,1,2,, l (18 - 5)
24
25
仔细观察实验结果，我们发现氢（基态）原子 （T=7×104K, kT=9.0eV<10.2eV）进入史特恩－盖拉 赫装置后分裂为两束；基态氧原子分裂为五束，汞原 子束不分裂。
按照氢原子玻尔理论，基态氢是1s态，l＝0，ml＝0， 所以 μz ＝0，不受力，一条原子束不会分裂为两束！ 且分裂条数（2l+1）不可为偶数！！ 如何解释这 一矛盾呢？ 这说明到此为止，我们对原子的描述仍是不完全的，通 过下一节课的学习，我们将使这种描述更趋于完美！
15
实验结果 与经典预 言的对比
怎么解释 预言与结 果的差异 呢？
16
磁场和热平衡时原 子速度分别满足：
B B 0, x y
B 0, z
mv 2 3kT
其中k为玻尔兹曼常量，T为绝对温度 磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一 样，质心会受力作用而运动：
F (-μl B)
第四章
原子的精细结构: 电子的自旋
§4.1 原子中电子轨道的运动磁矩 §4.2 史特恩－盖拉赫实验 §4.3 电子自旋的假设 §4.4 碱金属原子双线结构 §4.5 塞曼效应
1
前面我们用玻尔理论详细讨论了氢原子和碱金 属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可 是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还 有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。本
也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
4
1. 电子轨道磁矩的经典表示式
iSn 电磁学中我们学习过，闭合通电回路具有磁矩：
n
i
n
i
L
r
r
e
由于电子带负电，所以它绕核运动就形成一个闭 合通电回路，从而也具有一定的磁矩。
5
电子的轨道磁矩大小的经典表示式为： e 2 e e 2 2 μ i S e r r m e r L 2 2m e 2m e 因为L和μ反向，所以 e μ＝ － L L (18- 1) 2m e
章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁
场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构， 并且我们要介绍史特恩-盖拉赫实验，塞曼效应，碱 金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设 的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原
子的光谱和塞曼效应。
2
玻尔理论考虑了原子中最主要的相互作用， 即原子中电子和原子核的静电相互作用，也可以 称为库仑作用，这种作用导致了原子内部的粗线 条结构，如巴尔末光谱系等。
(19- 5)
按照经典预言 z 应该是个连续值，由
B dD B dD 或 于 是个确定值， 2 z mv z 3kT
所以 lz 是个连续值，而l l (l 1)B 是量子化的，只能 cos 是连续的，即 磁矩空间取向是连续的。
20
B dD B dD z lz ＝lz 2 z mv z 3kT
l (l 1) B l (l 1) , l 0,1,2,, n 1 (18 - 4)
e B 0.9274 10 23 A m 2 2m e 0.9274 10 23 J T 1 0.5788 10 4 e v T 1
为玻尔磁子，是轨 道磁矩的最小单元。 是原子物理学中的 一个重要常数。
S
2
S
28
“自旋”概念是量子力学中的新概念，与经典力学不相容， 一经提出便遭到泡利等一批物理学家的反对。但后来的事实 证明，自旋的概念是微观物理学最重要的概念之一。 如果视电子为带电小球，半径为0.01nm，它绕自身的 1 轴线旋转，则当其角动量为 时，表面处的切向线速度 2 大大超过光速! 电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一 个重大发展。狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融 洽的理论，可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的 自然结果。 电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转，它是电 子内部的属性，与运动状态无关。在经典物理中找不到对应 物，是一个崭新的概念
d 即 dt
由此可见，在均匀外磁场B中，高速旋转的磁矩并不 向磁场B方向靠拢，而是以一定的角速度ω绕B作进动， 且ω与B同向 8
2.
的量子表示
l 0,1,2,, n 1
因为μ=-γ L，且量子力学的角动量是量子化的
L l (l 1),
e l 2me
其中l为角动量量子数，所以
1 z az t 2 2 (19- 3)
18
在 x＝ d处
1 1 Fz d 2 z1 a z t 1 2 2 mv 1 B d 2 lz 2 z mv 2
2
在x从d到D＋d/2段 原子不受力，作自由运动。经D-d/2 后沿z偏移为： lz B d D d 2 z 2 v 2 t 2 a z t1 t 2 m z v v 原子沿z总位移 B d d 1 z z1 z 2 lz d( D ) 2
由电磁学知识容易看出，电子的运动使它和 原子核之间除了存在库仑作用之外还应该存在磁 相互作用，而且通过计算得知磁相互作用比电相 互作用要弱的多，既然电相互作用导致了原子的 粗线条结构，那么磁相互作用就决定了原子的精 细结构。而在实验中我们的确发现了光谱线的精 细结构，如巴尔末系中的 H 线不是单线，其中 含有七条谱线等
z 2 2 mv B dD B dD lz ＝ lz 2 z mv z 3kT (19- 4)
19
因此说原子蒸气送入不均匀磁场后，发射的原子束分裂 为多束，每束沿z方向偏离平衡位置的距离为： B dD B dD z lz ＝lz 2 z mv z 3kT 如图知：lz l cos