第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
Y
E i t ( r , t ) ( r )e
2 2 2 2m 2 2 2 2 E U x , y, z 0 x y z
—— 三维直角坐标系的定态薛定谔方程
2 2 U E 2m
引入拉普拉斯算符 2 2 2 x y z
2 2 2 2
2 2 i Y r , t U r , t Y r , t t 2m
2 ˆ p 2 2 ˆ 引入哈密顿算符 H U (r , t ) U r , t 2m 2m
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解：
Y1 x, t 1 x f t
p E i x i t Ae e i E t p x Ae
—— 沿 + x 方向的平面单色波
Y 2 ( x, t ) 2 ( x ) f (t )
求解两类问题： 一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求 粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x)；
另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势 垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。
§12.7 一维势场中的粒子
§12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子 §12.7.2 势垒贯穿
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
一维定态薛定谔方程的应用授课人：物理科学与技术学院势 阱日常生活中的各种井（阱）物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名水井窨井陷阱UxOaU()U x xOa∞∞00()0 , x aU x x x a≤≤⎧=⎨∞<>⎩这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念这样的势能函数称为 一维无限深势阱建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 222d()()()2d U x x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 222d ()()2d x E x m xψψ-=x x a U x 0 , ()<>→∞阱外( )： 令： 222mE k =得通解： ()sin()x A kx ψϕ=+ 微观粒子的能量不可能达到无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。
()0x ψ≡222d 0d k xψψ+=利用标准条件确定 和 k ϕ因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0A kx x ax x x ϕψ+≤≤⎧=⎨<>⎩，(0)sin 0A ψϕ== a A ka ()sin()0ψϕ=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数2220π()d sin d a n x x A x xa ψ+∞-∞=⎰⎰221A a =⋅= 2A a= n a x x a x ax x aπ2sin0()00 , ψ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩()π()sin 1,2,3n x A x n aψ==⋅⋅， 0ϕ=πn k a=()1,2,3n =⋅⋅⋅，微观粒子在势阱中的能量只能取一系列不连续的分立值，即能量是量子化的。
整数称为量子数 确定能量的可能取值n 由及 222mE k =πk an =得 ()2221,2,3,8n hma n E n ==⋅⋅⋅ 1n =时， 称基态能量 2128h E ma =2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态能级间隔： ()212Δ218n n n h E E E n ma +=-=+2Δ1n E α∝表明： 当 时（宏观尺度）， a →∞Δ0n E →能级消失、能量连续分布，回归经典情况。
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
12-6 薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
15.5.1薛定谔方程一维无限深势阱 - 薛定谔方程一维无限深势阱
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数
2
取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2Ψ x 2
4π2 p h2
2
Ψ
Ψ i2π EΨ t h
自由粒子 (v c) E Ek p2 2mEk
一维运动自由粒子的含时薛定谔方程
h2 8π2m
aa
波动方程
d2
dx2
8π2 mE
h2
0
14
波函数
Ep
(x)
0, (x 0, x a) 2 sin nπ x, (0 x a) aa
o ax
概率密度 (x) 2 2 sin2 nπ x
aa
能量
En
n2
h2 8ma2
15
讨论： 1 粒子能量量子化
Ep
t)
e i 2 π ( Et
0
px) / h
e e i2πpx/ h i2πEt / h 0
(x)(t)
(x) ei2πpx / h 0
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d 2
dx 2
8π 2 m h2
(E
Ep
)
(x)
0
5
三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 .
1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
1
一 薛定谔方程
1 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
一维方势阱中粒子的能量本征值
王雅楠
赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000
摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子，
关键词：
1一维势场中粒子的能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为
（1）
在上式中， （实数值）； 为能量本征； 为相应的能量本征态。
由此可解得：
对于第一组解， 为偶数；对于第二组解， 为奇数。由此可得体系的能量为：
3.2理论推导并计算一维有限深方势阱的能量本征值
3.3理论推导并计算一维不对称方势阱的能量本征值
3.4理论推导并计算半壁无限高势场的能量本征值
结论
参考文献：
定理四：设 ，则对应于任何一个能量本征值 ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值 的任何解，都可用它们来展开。
定理五：对于 有限的阶梯形方位势 能量本征函数 及其导数 必定是连续的（但如果 ，则定理不成立）。
定理六：对于一维粒子，设 与 均为方程（１）的属于同一能量 的解，则 － ＝常数（与 无关）。
3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值
所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大
一种情况是一维非对称无限深方势阱，即
质量为 的粒子只能在 的区域内自由运动，势能函数为：
定态薛定谔方程为：
当 和 时，
；
当 时，
令
代入薛定谔方程得：
此方程的通解为：
由于阱壁无限高，所以
定理七：设粒子在规则势场 中运动（ 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。
2方势
方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值 , , ，…的波函数 ， ，
高二物理竞赛课件：一维无限深势阱中的粒子(15张PPT)
p2 2m
n2h2 8ma 2
n2 22
2ma 2
例4：一个质量为m 的粒子，约束在长度为a的一维线段
上，用不确定关系px h , 确定这个粒子的最小能量值。
2 解：粒子坐标不确定量 x a
p h h 2x 2a
p 0, p p p p
p2 (p)2 h2
E Ek 2m 2m 8ma2
)
n 3,4,5.... R 1.097 107 m1
里德伯常数
猜想：普遍表达式
~ R( 1 1 )
k2 n2
k 1，2，3，4..... n k 1, k 2,
3
a
二个节点
n很大o
a
n 1个节点
量子力学概率密度图
（虚线为经典力学粒子概率密度图）
|1 |2
一个峰值
o
a
| 2 |2
o
a
a 二个峰值
2
| 3 |2
o
a 3
2a 3
a 三个峰值
o
a n个峰值
n ，各处概率大小不可分辨， 过渡到经典力学平均概率密度
对应原理
En
En1
En
(2n
1)
22
2ma 2
En En
| (x) |2 dx
a 0
|
n
(
x)
|2
dx
a A2 sin2 ( n
0
a
x)dx 1
A 2 a
本征函数为: n (x)
2 sin( n x)
aa
e
iEn
t
2
sin( n
x)e
iEn
t
一维势阱中的运动粒子
B Ae i2ka (1)n1 A
x A(eika eika ) 2 A cos kx
(x) 0
U(x)
E4
(x) 0
2Acos(nx / 2a)
（2）n 为偶数：B A
x A(eika eika ) 2 Ai sin n x
2a
归一化条件 a 4A2 cos2 ( n x)dx 1
x Aexp(ikx) B exp(ikx)
x a (a) 0
边 界
a Ae ika Beika 0
条
x a (a) 0
件
a Ae ika Beika 0
方程组若有非零解，系数行列式等于零：
U(x)
(x) 0
(x) 0
I
m II
III
x -a 0 a
eika eika
eika eika
0
ei2ka ei2ka 0 ei2ka ei2ka sin 2ka
2i
2mE 2
k
n
2a
sin 2ka 0 2ka n
E
n2 22
8ma 2
En
n 1,2,3, 结论 1：粒子被束缚在势阱中，体系能量是量子化的
a Ae ika Beika 0
（1）n 为奇数：B A
D
Hale Waihona Puke UU(x)0
a
节点波长频率能量5如果势阱不是无限深粒子的能量又低于阱壁量子理论证明粒子能量尽管小于势阱势能也有可能到达势阱之外即粒子在势阱外不远处出现的概率不为零
一维无限深势阱中的运动粒子 离散谱
通常把粒子在无限远处为零的波函数所描写的状
态，称为束缚态。一般而言，束缚态的能级是离散
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由上面可以看出：
Y ( x, t ) ~
2
2 i t ( x )e
( x)
2
即此时，概率密度也可以用 |(x) |2 来表示，即在定态下概率分 布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x) 称为定态 波函数。
对势能函数 U 与时间 t 无关的一维定态问题， 只需解定态薛定谔方程 (★)式，再利用(★)式即可得波函数 Y(x, t)。 三维： 则薛定谔方程的特解为：
练习题答案
[例] 氢原子由原子核和一个核外电子组成。(1) 请利用不确定关系 DxDp ћ，估算氢原子中的最 小能量。(2) 由薛定谔方程解得氢原子基态 1 1, 0 , 0 e r a0 ，式中 a0 = 0.529 波函数为 32 πa 10-10 m，为玻尔半径。求氢原子处于基态时， 电子处于半径为玻尔半径的球面内的概率。
2 2 算符对应关系： i U ( x, t ) t 2m x 2
作用于波函数，得薛定谔方程
2 2 i Y x , t U x , t Y x , t 2 t 2m x
2. 一般薛定谔方程
若粒子做三维运动
§12.7.1 无限深方势阱中的粒子
一、一维无限深势阱 金属中自由电子的运动，是被限制在 一个有限的范围 —— 称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势 阱中运动，即它的势能函数为
p e 解：(1) E 2me 4π 0 r Dp p， Dx r 2 2 Dp e 2 e2 E 2 2me 4π 0 r 2me r 4π 0 r
2
2
dE e 0 3 2 dr me r 4π 0 r 4π 0 2 解得： r 时， 2 mee
1. 若 a 粒子 (电量为 2e) 在磁感应强度为 B 均匀磁场中沿半径为 R 的圆形轨道运动，则 a 粒子的德布罗意波长是 h/(2eRB) 。 2. 电子经电场加速，加速电势差为 150 V (不考虑相对论效应)， 其德布罗意波长为 l = 1 10-10 m。 3. 能量和一个电子静止能量相等的光子的频率 n = 1.24 1020 Hz； 波长 l = 0.00243 nm；动量 p = 2.73 10-22 kg· 。 m/s 4. 己知： 介子的静能是 765 MeV，寿命是 2.2 10-24 s。求： 它的能量不确定量多大？又占其静能的几分之几？ (DE = 150 MeV，DE/E静 = 20 %) 5. 原子处于某激发态的时间为 t = 10-8 s，该激发态能级宽度为多 少? (DE = 5.3 10-27 J) 6. 在杨氏双缝干涉实验中，已知两缝的距离为 d，计算电子在通过 双缝时横向位置的不确定度。 (d/p)
Y x , t x f t
将其代入薛定谔方程，得
df 2 d 2 i U f 2 dt 2m dx
两边除以 f，得
1 df 1 2 d 2 i U = E (常数) 2 f dt 2m dx 可得含变量 t 和变量 x 的两个方程： df 一个是变量为 t 的方程 i Ed t f
求解两类问题： 一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求 粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x)；
另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势 垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。
§12.7 一维势场中的粒子
§12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子 §12.7.2 势垒贯穿
§12.7.3 简谐振子
p E i x i t Ae e i Et p x
Ae
—— 沿 - x 方向的平面单色波
2 d2 2m d x 2 U ( x ) ( x ) E ( x )
改写成
2m ( x ) 2 E U ( x ) ( x ) 0
Y Y 则 C1 1 ( r ，t ) C 2 2 ( r ，t ) 也是薛定谔方程的解。
方程中含有虚数 i 它是一个复数偏微分方程；其解波函数 Y 是一个复函数。 复数不能直接测量。而|Y |2 代表概率密度，可测量。 运用方法： (1) 已知粒子质量 m 和它在势场中势能函数 U 的形式 便可列薛定谔方程。 (2) 根据初始条件、边界条件求解，得波函数 Y。 (3) |Y |2 给出粒子在任意时刻在任一位置出现的概率密度。
3. 定态薛定谔方程
若 U = U(x, y, z)， 与 t 无关，如： 自由运动粒子 ——
1 e2 氢原子中的电子 —— U 4 π 0 r 则 Y(x, y, z; t) 能分成二部分函数的乘积
U=0
Y(x, y, z; t) = (x, y, z ) f(t)
例如，对于一维运动的情况，波函数可写成
狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量 子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。
§12.6.1 自由粒子薛定谔方程
粒子在 x 方向匀速直线运动，E、px 不变
i p x x E t Y x , t Y0e p2 2Y x , t x 2 Y x , t 2
Y ( x , y, z , t )
U ( x, y, z , t )
将势场中一维粒子的薛定谔方程推广到一般情况
i Y x , y , z , t t
2 2 2 2 2 2 U x , y , z , t Y x , y , z , t 2 2m x y z
引入拉普拉斯算符 2 2 2 x y z
2 2 2 2
2 2 i Y r , t U r , t Y r , t t 2m
2 ˆ p 2 2 ˆ 引入哈密顿算符 H U (r , t ) U r , t 2m 2m
[例] 一维自由运动微观粒子的波函数。
电子枪
晶体
自由运动区 衍 射 屏
K A
U=0
其定态薛定谔方程为 2
d dx
2
2m
2
E 0
—— 二阶常系数 常微分方程
令
得
2mE p d 2 p 2 2 0 dx 2 p
2
它有两个特解：
1
i x e
2
p i x e
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解：
Y1 x, t 1 x f t
p E i x i t Ae e i E t p x Ae
—— 沿 + x 方向的平面单色波
Y 2 ( x, t ) 2 ( x ) f (t )
用哈密顿算符，薛定谔方程可写成
ˆ Y i Y H t
势函数 U 不显含时间时，薛定谔方程可分离变量求解。 哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，外界对 粒子的作用，包括不能用力来表达的微观相互作用，一 般都可以用哈密顿量中的势函数 U(x, t) 来概括。而在 经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒 子上的力。 只讨论势函数 U 与时间无关的情况。
玻恩的统计观点解释了微观粒子波动性和粒子性 之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时间变 化的，我们还需要知道微观粒子的运动遵循什么样的 规律？ 在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方 程描述。所谓微观粒子的运动规律，也就是波函数 Y 随时间和空间的变化规律。Y 满足的方程，薛定谔方 程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相 当于经典力学中牛顿方程的地位。
Emin
(2)
2
2
mee 4 2 13.7eV 2 2 4π 0
a0 2 2 a0
1 2 r a0 2 p 4πr dr e 4πr dr 3 0 0 πa0 2 a0 2 2 r a0 p 2 r de 0.32 a0 0
§12.6 薛定谔方程(Schrö dinger Equation)
定态薛定谔方程的意义：
对波函数进行某种运算或作用的符号称为算符。 如果一个算符作用到波函数上等于一个数乘这个 波函数，则称这个波函数是该算符的本征函数，这个 数值称为该算符的本征值，这个方程称为该算符的本 征方程。因此，定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符 的本征方程，或能量算符的本征方程。 利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以 “自然地” 得到微观粒子的重要特征—量子化结果， 而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方 程的结果，已被无数实验所证实。
Y x，t ：对波函数取复共轭。
*
算符是通过对波函数的作用关系来定义的。
§12.6.2 薛定谔方程和哈密顿量
1. 势场中一维运动粒子的薛定谔方程 定义能量算符、动量算符、坐标算符
ˆ i ， p x i ， x x ˆ ˆ E t x 若粒子处于势场 U(x, t) 中，能量关系为 p2 E x U x, t 2m
2 2 i Y r , t U r , t Y r , t —— 一般薛定谔方程 t 2m
它并非推导所得，是量子力学的基本方程，描述非相对论 性粒子波函数随时间演化规律。
是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理 若 Y1 ( r，t ) 和 Y 2 ( r，t ) 是薛定谔方程的解，
其解为
f
i Et —— (★) Ae
(A 是待定复常数，E 有能量量纲，以后可知是粒子的总能量) 一个是变量为 x 的方程 即
2 d 2 U E 2 2m dx