第六章 流体力学

工程流体力学
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S= E V T)
S = S(V,T)
比定容热容和比定压热容 cV 比定容热容 两者的关系 γ = cp cV c p 比定压热容 p V = 等温过程 p V 热力学过程
选用与微弱扰动波一起运动的相对坐标系作 为参考坐标系, 为参考坐标系,流动转化成定常的了
第一节 气体一维流动的基本概念
由连续方程 略去二阶微量 由动量方程
(ρ1 + dρ )(c − dv )A − ρ1cA = 0
cdρ = ρ1dv
(1)
ρ1cA(c − dv) − c] = [ p1 − ( p1 − dp)]A [
2 1 1 2
绝热过程 等熵过程
dQ = 0
p
ργ
= 常数
或者
pvγ =
常数
第一节 气体一维流动的基本概念
声速和马赫数 声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度
p2
ρ2
T2
c − dv
c
p1
ρ1
T1
活塞以微小的速度dv向右运动, 活塞以微小的速度dv向右运动,产生 dv向右运动 一道微弱压缩波, 一道微弱压缩波,流动是非定常的
或者
1 p0 − p = ρv2ε p 2
压缩性因子
ε p = 1+ Ma2 +
1 4
2-γ 4 Ma +L 24
极限状态 气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度 极限速度
能量方程的另一种形式
vmax = 2γR T0 γ −1
2 2 c0 c2 v 2 v max + = = γ −1 2 2 γ −1
(
)
联立得
dp 1－M a2 dA = d p ρ γM a2 2 dv A
Ma < 1
Ma > 1
ρ
= −Ma
v
Ma = 1 At = Acr
dT dv = −(γ −1)Ma2 T v
p、 v
(1) Ma〈1时，气流作亚声速流动 dv与dA正负号相反， 与dA正负号相同。 。 dp 由此可知：对于亚声速 变截面的流动，随着流 通截面积的增大，气流 速度 降低，压强增大；截面 积减小，则流速增大， 压强降低。
Ma > 1
或者
0
v cr
v max
v
令Ma=1 则总静 参数比公式变成
p cr 2 γ −1 = γ + 1 p0
γ
ρ cr 2 = γ + 1 ρ0
1 γ -1
第四节 气流的三种状态和速度系数
速度系数 气流速度与临界声速的比值 vmax γ +1
dρ c= dp s
ρ1cdv= dp
(2)
由（1）、（2）得 ）、（2 流体的体积模量
K=
声速公式
c＝ K
Vdp dp =ρ dV dρ
代入声速公式得
dρ ρ 1 = = dp γp γRT
ρ
由等熵过程关系式以及状态方程可得 代入声速公式得
c= γ p
ρ
= γRT
第一节 气体一维流动的基本概念
pcr 2.1132 ×105 ρ cr = = = 2.8653 kg m 3 RTcr 297 × 248.32
vcr = γRTcr = 1.4 × 297 × 248.32 = 321.33 m s
qm = ρ cr vcr
πd 2
4
= 2.8653 × 321.33 ×
π × 0.052
4
γ γ −1
ρ γ -1 2 = 1 M∗ ρ0 γ + 1
1
γ −1
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动, 设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动,在该流管的微元距离dx上,气体 质量力可以不计, 流速由v变为vdx,压强由p变为p+dp,质量力可以不计,应用牛顿第二定律
ρvdv= −dp
同除以压强整理， 同除以压强整理，并引入声速公式 对等熵过程关系式取对数后微分有
dp ρ 2 dv = − vdv = −γMa p p v
dp dρ =γ ρ p
dp dρ dT = + p ρ T
对完全气体状态方程取对数后微分
第五节 气流参数和通道截面之间的关系
dA dv = Ma 2 − 1 A v
( 2 ) p amb p 0 = p cr p 0 时，喷管内为亚声速流 ，出口截面的气流达临 界状态， Ma = 1, p = p cr = p amb , q m q m , max = 1, 气体在喷管内仍可得到 完全膨胀。
(3) pamb p0 〈 pcr p0 时，整个喷管的气体流动为亚声速，在出口截面上Ma = 1, p = pcr 〉 pamb , qm qm ,max = 1。由于出口的气流压强高于环境背压，气体在喷管内没有完全膨胀，气体流出 喷管后将继续膨胀，故称膨胀不足。此时，虽然背压小于临界压强，由于微弱扰动波不能 逆流上传，流量不再随着背压降低而增大，称这种现象为壅塞现象。
当v=vmax时
Ma2 =
2 ∗
∗
M∗max =
ccr
=
M ∗ = v ccr
γ -1
M*与Ma的关系 2M 2
(γ +1) − (γ −1)M∗2
M
(γ +1)Ma2 = 2 + (γ -1)Ma2
总静参数比用速度系数表示
γ -1 2 T c2 = 2 = 1M∗ T0 c 0 γ +1
p γ -1 2 = 1 M∗ p0 γ + 1
(2) Ma〉1时，气流作超声速流动 dv与dA正负号相同，dp与dA正负号相反。 。 可见，对于超声速流， 随着截面积的增大，气 流速度增大，压强降低 ；截 面积减小，则气流速度 减小，压强增大。
v(x)
pcr
vcr
p(x)
x
(3) Ma = 1时，气流跨声速流动。 dA = 0, dv = 0, dp = 0。根据上式分析可知， 气流由超声速变为亚声 速时， 管道必须先收缩，后扩 张，中间必然出现一个 最小截面。在这一截面 上流速度实现声速，达 到临界状态， 最小截面称为喉部。其 后随着截面积的增大， 气流作超声速流动。
γ γ −1
总静参数比
据等熵关系式
ρ0 γ -1 2 = 1 + Ma ρ 2
1 γ -1
第四节 气流的三种状态和速度系数
考虑气体的压缩性与否及会带来多大误差γ p (2 - γ )γ 6 γ γ 2 4
= 1 + Ma + Ma + p 2 8
0
2 -γ 1 Ma + L = 1 + Ma2 1 + Ma2 + Ma4 + L 48 2 24 4
2c 3c 4c
(a)气体静止不动 (a)气体静止不动
(a)
2c
3c
4c
o
(b)
2
o
(b)气流亚声速流动 (b)气流亚声速流动 (c)气流以声速流动 (c)气流以声速流动 (d)气流超声速流动 (d)气流超声速流动 马赫角
c 1 sin α = = v Ma 1 α = sin Ma
= 1.8076 kg s
缩放喷管
流量
第六节 喷管流动的计算和分析
2 qm,cr = At γ +1 A A
At =
γ +1 2 (γ -1)
v2 Ma = γRT
2
Ma＜1 Ma=1 Ma＞1
亚声速流 声速流 超声速流
马赫数通常还用来划分气体的流动状态
第二节 微小扰动在空气中的传播
如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制, 如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制,则扰动源 发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播, 发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播,其传播速 度为声速. 度为声速.分四种情况讨论 v = 0 v< c
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
气体一维定常绝能流的制止焓是个常数 得
cp =
2
v2 T+ = T0 2cp
γR γ −1
v2 Ma = 2 c
c = γRT
2
}
2 T0 c 0 γ -1 2 = 2 = 1+ Ma T c 2
p0 γ - 1 Ma 2 = 1 + p 2
第六节 喷管流动的计算和分析
收缩喷管
列容器内虚线面上和喷管出口的能量方程 2
γ p v γ p0 + = γ－ ρ 2 γ −1 ρ0 1
p 0
0
得
v=
2γ p0 p ρ0 1− γ −1 ρ0 p0 ρ
T 0 v =0 0 p T v
γ −1 γ −1 pγ pγ 2γ p0 2γ v= 1− = RT 1− p0 γ −1 0 p0 γ −1 ρ0
例6 − 1封闭容器中的氮气 [γ = 1 .4， R = 297 J (kg ⋅ K )] 的滞止参数 p 0 = 4 × 10 5 Pa ， T0 = 298 K 。气体经过安装于容器 壁面上的收缩喷管流出 ，已知喷管出口直径 d = 50 mm ，出口环境背压 p amb = 10 5 Pa ，试求喷管的质量流量 。 2 2 Tcr = = = 0.8333 T0 γ +1 1.4 +1 解