D9.1二重积分的概念与性质
第一节二重积分的概念与性质
第一节二重积分的概念与性质第一篇：第一节二重积分的概念与性质第九章重积分第一节二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示★ 曲顶柱体的体积★ 非均匀平面薄片的质量★ 二重积分的概念★ 二重积分的性质★ 例1★ 例4★ 内容小结★习题9-1★ 返回★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习内容要点：一、二重积分的概念引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：二重积分的性质(x例1不作计算，估计I=⎰⎰eD2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域：x2a2+y2b2≤1(0<b<a).例2（讲义例1）估计二重积分I=⎰⎰Ddσx+y+2xy+1622的值, 其中积分区域D为矩形闭区域{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.例3判断r≤x+y≤1ln(x2+y2)dxdy的符号.例4积分⎰⎰D-x2-y2dxdy有怎样的符号, 其中D:x2+y2≤4.例5（讲义例2）比较积分⎰⎰ln(x+y)dσ与⎰⎰[ln(x+y)]2dσ的大小，其中区域D是三DD角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim∑∑en→+∞n2i=1j=11nni2+j2n2.第二篇：第一节二重积分的概念与性质09-3-30第九章重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、二重积分的概念与几何意义1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域其中∆σi表示D D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2,Λ，∆σn，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积f(ξi,ηi)⋅∆σi，(i=1,2,Λ,n)，并作和n∑f(ξ,η)∆σiii=1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值λ=max{di}→0时，这和 1≤i≤n式limλ→0∑f(ξ,η)∆σ的极限存在，且此极限与小区间∆σiiii=1ni的分法以及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为f(x,y)dσ，即D∑f(ξ,η)∆σ.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)dσ称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ dσ称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥n∑f(ξ,η)∆σ称为积分和.iiii=12、面积元素dσ在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为 dσ=dxdy故二重积分可写为DD⎰⎰f(x,y)dσ3、【二重积分存在定理】设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分⎰⎰f(x,y)dσ存在.D4、二重积分的几何意义≥0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)⎰⎰f(x,y)dσD表示以f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数f(x,y)≤0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ,k为常数.DD⎰⎰[f(x,y)±g(x,y)]dσ=⎰⎰f(x,y)dσ±⎰⎰g(x,y)dσ.DDD二重积分的线性性：设α,β为常数则上述两式合并为⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσD=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ.DD3．(二重积分对区域可加性)⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ,(D=D+DDD1D2).4．⎰⎰dσ=σ, σ为D的面积.D．(积分不等式)若f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD注意：若在D上f(x,y)≤g(x,y)但等号不是恒成立，则有⎰⎰f(x,y)dσ<⎰⎰g(x,y)dσ.DD推论:⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，则 mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.其中σ为D的面积.D7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(ξ,η)使得d=⎰⎰f(x,y)σD.σ为D的面积.fξ(η,⋅)σ8．设区域D=D1+D2，且D1与D2关于x轴对称；（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D(2)类似有设区域D=D1+D2，且D1与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于x是奇函数时即f(-x,y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D三、应用举例例1 比较3与(x+y)dσ(x+y)dσ⎰⎰⎰⎰DD的大小,其中D={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}.22解：如图,由于点A(1,0)在(x-2)+(y-1)≤2上,过点A的切线为x+y=1,那么在D上有 1≤x+y≤(x+y)≤(x+y),23(x+y)dσ<(x+y)dσ.⎰⎰⎰⎰DD2222cosx+ydσ,I=cos(x+y)dσ, 2⎰⎰⎰⎰D例2(05.4)设I1=I3=⎰⎰cos(x2+y2)2dσ,其中D={(x,y)|x+y2≤1},则DD(A)I3>I2>I1(B)I1>I2>I3(C)I2>I1>I3(D)I3>I1>I2答(A).因为在区域D上，0≤x+y≤1<所以π,且cosz∈[0,π]为减函数，π>1≥x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0,2222222从而cos(x+y)≤cos(x+y)≤cos(x+y),故I3>I2>I1.例3设D:x2+y2≤a2,当a=()时,(a)1(b)3⎰⎰Da2-x2-y2dxdy=π.331(c)3(d)3 242答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体1433的体积.由⋅aπ=π得a=3⇒选(b).232例4当D是由()围成的区域时,⎰⎰dxdy=1.D(a)x轴,y轴及2x+y-2=0(b)x=1,x=2及y=3,y=1,y=(d)x+y=1,x-y=1 22答(a,b,c).因为⎰⎰dxdy=1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪(c)x=D些选项积分区域的面积为1.例5 判断x+y≤1ln(x2+y2)dσ的正负.解：在区域D={(x,y)|x+y≤1 }上有x+y≤1且等号不恒成立，所以ln(x+y)≤ln1=0且等号不能恒成立，故x+y≤1ln(x2+y2)dσ<x+y1(ln1)dσ=0.例6估计积分值I=⎰⎰xy(x+y)dσ,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.D解：0≤xy(x2+y2)≤6⇒0≤I≤12.（注意：积分区域为矩形SD=2）例7D1={(x,y)|x+y≤1,x,y≥0}D2={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}I1=⎰⎰(x+y)2dσ,I2=⎰⎰(x+y)3dσ,D1D1I3=⎰⎰(x+y)2dσ,I4=⎰⎰(x+y)3dσD2D2试用适当符号连接I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1>I2(0≤x+y≤1),在D2上I4>I3(x+y≥1).又由(x+y)2≤1⇒I1≤由(x+y)2≥1⇒I3≥故I4>I3>I1>I2.22例8 设D={(x,y)|1≤x+y≤4}，证明 3πe≤xe⎰⎰D⎰⎰dσ=D1，2>I1，2+y2⎰⎰dσ=2π>D2dσ≤3πe4.证明因为SD=σ=4π-π=3π，又因为e≤e由积分的估值性质得 3πe≤xe⎰⎰Dx+y2≤e4，+y2dσ≤3πe4.例9设D={(x,y)|x+y≤R}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.Df(x,y)dσ=πf(0,0).R→0R2⎰⎰D（1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则（2）若f(x,y)在D上连续，则limm≤f(x,y)≤M，由积分估值定理知⎰⎰mdσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰Mdσ又D={(x,y)|x+y≤R}所以πmR≤D2D⎰⎰f(x,y)dσ≤πMRDD2，limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.DD（2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续⇒∃(ξ,η)∈D,s..t⎰⎰f(x,y)dσ=πR2⋅f(ξ,η)，所以lim112f(x,y)dσ=lim⋅πRf(ξ,η)R→0R2⎰⎰R→0R2D=πlimf(ξ,η)=πlimf(ξ,η)=πf(0,0).R→0(ξ,η)→(0,0)小结：1.定义∑f(ξ,η)∆σ为二重积分.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.第三篇：6.7 二重积分的概念与性质第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解1．利用二重积分定义证明：⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ。
二重积分的概念和性质
( i , i ) Di ( i 1, 2,, n) ， i 的体积 Vi f ( i , i ) i ( i 1, 2,, n) .
z
o
x
D
y
( i ,i )
Di
Vi f ( i , i ) i
（3）求和 将 n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体
y
（2）近似
( i , i ) D i ( i 1, 2,, n) ，
( i , i )
Di
第 i 块小薄板的质量
m i ( i , i ) i .
D
o
x
（3）求和
整个薄板质量的近似值
m m i ( i , i ) i
z
由定积分的几何意义知
D
1 4 3 a x y d πa 2 3
2 2 2
2 3 πa . 3
O
y
x
9.1.2 二重积分的性质
性质 1 kf ( x, y )d 重积分都存在 k f ( x, y )d .（k 为常数）. 假设以下所涉及到的二
D D
性质 2
二重积分的概念和性质
二重积分的概念和性质
9.1.1 两个实例 1.曲顶柱体的体积
,它的底部是 定义设 有 一 立 体 ox y 面上的有界闭区域 D, 侧 面 是以 D 的边界曲线为准线而母 线 平 行 于z 轴 的 柱 面 , 顶部是曲 面 z f ( x , y ) ( f ( x , y ) 0 且 在D 上 连 续), 这 种 立 体 称 为 曲 顶 柱 ． 体
D D
例 1. 根据定积分的几何意义 求积分的值 :
二重积分的概念和性质PPT讲稿
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
二重积分的概念和性
(2)在直 角 坐 标 系 中若 用 平 行
y
于 坐 标 轴 的 直 线 网 来 划分D,
则 积 分 和 中 的 i xiyi , 从 而面 积 元 素d记 作dxdy,
此时二重积分为
o
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy .
D
D
dxdy称 为 直 角 坐 标 系 中 的 面积 元 素.
(
i
,i
)
i
y
令 max{d(1),d( 2 ), , d( n )},
O
( i , i )
D
i
x
4
3. 二重积分的定义 定 义 设 f ( x, y)是有界 闭区域D上的有 界函数.将 闭
区 域D任 意 划 分 成n个 小 闭 区 域 1, 2 ,, n ,
也表示 小闭区域 的面积.
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对积分区域具有可加性 ( D D1 D2 ) ,
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
11
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上有 f ( x, y) g( x, y),
(1) 用 一组 曲线 网把 闭区 域D分 成n 个 小闭 区域
1, 2 , , n .
(也表示小区域的面积)
z
相应曲顶柱体分成
z f (x, y)
n个 小 曲 顶 柱 体
v1 ,v2 ,, vn .
(也表示小曲顶柱体的体积)
(2) (i ,i ) i , vi f (i ,i ) i (i 1,2,n).
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ= 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有1(,)niiii f I ξησε=∆-<∑不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰niiii Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σin a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from(1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰. Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念与性质ppt课件
(1,0),(1,1), (2,0).
课后习题
解 在 D 内有 1 x y 2 e,
y
故 0 ln(x y) 1,
于是 ln(x y) ln(x y)2,
1
x y2
D
o
12x
x y1
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
20/24
练
机动
1. 习比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d xd y ； I3 xy dxdy
x y 1
1 x1 1 y1
[提示] 被积函数相同，则比较区域D的大小. y
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o
1x
由性质 6 知 e d (x2 y2 ) ea2 ,
D
abπ e d (x2 y2 ) abπ ea2 .
D
19/24
例3 比较积分 ln(x y)d 与[ln(x y)]2d
D
D
的大小,其中 D 是三角形闭区域 ,三顶点各为
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y) 在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
2.【对二重积分定义的说明】
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点
？ 不能 用 i 0 代替 0
10/24
D
D
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
解Ⅰ 积分域D 的边界为圆周
第一节 二重积分的概念与性质 2012-3-31(修改)
§9.1 二重积分的概念与性质教学目的:1.理解并掌握二重积分的概念;几何意义; 二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;2.能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用. 难点: 运用性质判断与计算. 教学方法:直观教学,讲练结合. 教学过程:一、二重积分的概念与几何意义1.【定义8.8】设二元函数(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆，2,σ∆ ，n σ∆，其中i σ∆表示D 第i 个小区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)i i i f ξησ⋅∆，(1,2,,)i n = ，并作和1(,)niiii f ξησ=∆∑，如果当各小闭区域的直径i d 中的最大值1max{}0i i nd λ≤≤=→时，积分和的极限01lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑存在，且此极限与小区域i σ∆的分法以及点(,)i i ξη的取法无关，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即 (,)Df x y d σ⎰⎰01lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑.其中：① (,)f x y 称为被积函数, ② (,)f x y d σ称为被积表达式,③ ,x y 称为积分变量, ④ d σ称为面积元素, ⑤ D 称为积,⑥1(,)niiii f ξησ=∆∑称为积分和.2.面积元素d σ在直角坐标系下用平行于坐标轴的 直线网来划分区域D ,则小区域的 面积为(1,2,)i i i x y i σ∆=∆⋅∆= 取极限后得面积元素为 d dxdy σ= 故二重积分可写为(,)(,)DDf x y d f x y dxdy σ=⎰⎰⎰⎰.3.【二重积分存在定理】 设(,)f x y 是有界闭区域D 上的连续函数,则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰存在.4.二重积分的几何意义(1)当被积函数(,)0f x y ≥时,二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以(,)f x y 为顶,以D 为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数(,)0f x y ≤时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D 上连续. 1．(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰, k 为常数.2．[(,)(,)]Df x yg x y d σ±⎰⎰(,)(,)DDf x y dg x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰.二重积分的线性性：设,αβ为常数则上述两式合并为[(,)(,)]Df x yg x y d αβσ+⎰⎰(,)(,)DDf x y dg x y d ασβσ=+⎰⎰⎰⎰.3．(二重积分对区域可加性)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 12()D D D=+.4．Dd σσ=⎰⎰, σ为D 的面积.5．(积分不等式) 若(,)(,)f x y g x y ≤,则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰.yxOD：若在D 上(,)(,)f x y g x y ≤但等号不是恒成立，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ<⎰⎰⎰⎰.推论:(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰.6.【积分估值定理】设M 、m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，则 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰.其中σ是区域D 的面积.7.【积分中值定理】设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，则在D 上 至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰.其中：σ为D 的面积.8．(特殊性质)设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于x 轴对称； （1）当(,)f x y 关于y 是偶函数即 (,)f x y －＝(,)f x y 时，有1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.当(,)f x y 关于y 是奇函数时即(,)f x y －＝(,)f x y -时，有(,)0Df x y d σ=⎰⎰.(2) 类似有设区域12D D D =+，且1D 与2D 关于y 轴对称； 当(,)f x y 关于x 是偶函数时即(,)f x y -＝(,)f x y 时，有1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.当(,)f x y 关于x 是奇函数时即(,)f x y -＝(,)f x y -时，有(,)0Df x y d σ=⎰⎰.应用举例 例1 比较2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰的大小,其中 22{(,)|(2)(1)2}D x y x y =-+-≤.AyxOD如图,由于点(1,0)A 在22(2)(1)2x y -+-≤上,过点A 的切线为1x y +=,那么在D 上有 231()()x y x y x y ≤+≤+≤+, 所以23()()DDx y d x y d σσ+<+⎰⎰⎰⎰. 例2(05.4) 设d 221cosDI x y σ=+⎰⎰,d 222cos()DI x y σ=+⎰⎰,d 2223cos()DI x y σ=+⎰⎰,其中22{(,)|1}D x y x y =+≤,则【 】(A)321I I I >>； (B)123I I I >>； (C)213I I I >>； (D)312I I I >>. 提示：因为在区域D 上，22012x y π≤+≤<,且cos [0,]2z π∈为减函数，所以 22222220()12x y x y x y π≤+≤+≤+≤<,从而 2222222cos()cos()cos()x y x y x y +≤+≤+,故 321I I I >>. 答案 (A)练习:1{(,)|1,,0}D x y x y x y =+≤≥222{(,)|(2)(1)2}D x y x y =-+-≤.112312(),(),D D I x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰223(),D I x y d σ=+⎰⎰234()D I x y d σ=+⎰⎰试用适当符号连接 1234,,,I I I I .解 在1D 上有12(01)I I x y >≤+≤,在2D 上43I I >(1)x y +≥. 又由 1211()12D x y I d σ+≤⇒≤=⎰⎰， 由 22311()122D x y I d I σπ+≥⇒≥=>>⎰⎰， 故 4312I I I I >>>.AyxOD3设222:D x y a +≤,当a =【 】时,d d 222Da x y x y π--=⎰⎰.(A ) 1 ； (B ) 332；(C ) 334 ； (D ) 312. 提示：根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a 的上半球体 的体积.由ππ=⋅33421a 得323=a ⇒答 (B ). 提问: 当D 是由【 】围成的区域时,d d 1Dx y =⎰⎰.(A )x 轴,y 轴及20x y +-=；(B )1x =,2x =及2y =,4y =；(C )12x =,12y =； (D )1x y +=,1x y -=. 提示：因为d d 1Dx y =⎰⎰表示积分区域的面积为1.答案C.例4 判断221ln()x y x y d σ+≤+⎰⎰的正负.解：在区域{(,)|1}D x y x y =+≤上有221x y +≤且等号不恒成立，所以22ln()ln10x y +≤=且等号不能恒成立， 故2211ln()(ln1)0x y x y x y d d σσ+≤+≤+<=⎰⎰⎰⎰.例5 设22{(,)|14}D x y x y =≤+≤， 证明 22433x y De e d e πσπ+≤≤⎰⎰.证明 因为 43D S σπππ==-=，又因为 224x y e e e +≤≤，由积分的估值性质得 22433x y De e d e πσπ+≤≤⎰⎰.练习 估计积分值()DI xy x y d σ=+⎰⎰{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤.解 0()6012xy x y I ≤+≤⇒≤≤. （注意：积分区域为矩形2D S =）例6 设222{(,)|}D x y x y R =+≤1）若(,)f x y 在D 上有界且可积， 则 0l i m(,)0R Dfx y d σ→=⎰⎰. （2）若(,)f x y 在D 上连续， 则 201l i m(,)(0,0)R Dfx y d f R σπ→=⎰⎰. 证明：(1)设,m M 分别为函数(,)f x y 在D 上的最小值与最大值， 则(,)m f x y M ≤≤，由积分估值定理知(,)DDD md f x y d Md σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰又222{(,)|}D x y x y R =+≤所以22(,)D mR f x y d MRπσπ≤≤⎰⎰，由夹逼定理得 0lim(,)0R Df x y d σ→=⎰⎰.(2) 由积分中值定理知(,)f x y 在D 上连续2(,),..(,)(,)DD s t f x y d R f ξησπξη⇒∃∈=⋅⎰⎰，所以 2220011lim(,)lim (,)R R Df x y d R f R R σπξη→→=⋅⎰⎰ 0(,)(0,0)lim (,)lim (,)(0,0)R f f f ξηπξηπξηπ→→===.小结：1. 定义⎰⎰Dd y x f σ),(iini if σηξλ∆=∑=→),(lim 1为二重积分. 2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明. 课后记：比较大小与证明问题下手较困难.。
第9章 二重积分的概念与性质 9.1
M？
若平面薄片的密度是均匀的，即面密度是常数，则平面薄片 的质量可以用公式 质量 = 面密度 来计算． 若面密度 ( x, y) 是变量，则平面薄片的质量就不能直接用 上述的公式来计算， 但我们可以用类似于上面计算曲顶柱体
面积
的体积的方法（即微元法）来计算平面薄片的质量．
第9章 重积分及其应用
1 2 2 x dxdy y dxdy ( x y )dxdy . 2D D D
2 2
第9章 重积分及其应用
§ 9.1 二重积分的概念与性质
例9.1.1 设 D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 ，求
4d ．
D
解 区域D是半径分别为1和2的两个同心圆围成的圆环 （如图9.4），其面积为 y
则 Vi 近似等于以 f ( i , i ) 为高而底为 Di 的平顶柱体的体积， 即 （3）求和
Vi f (i ,i ) i (i 1,2,, n)．
将这 n 个小平顶柱体的体积相f ( i , i ) i ．
D
i i
f ( x, y)d lim f ( , )
D
0
i 1
i
其中 f ( x, y) 称为被积函数，f ( x, y )d 称为被积表达式， d 称为面积元素，x 与
y
称为积分变量，D 称为积分区域，
f ( , )
i 1 i i
n
i
称为积分和．
第9章 重积分及其应用
D D
第9章 重积分及其应用
§ 9.1 二重积分的概念与性质
性质9.1.4 （积分区域的可加性） 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上 的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和. 例如 D分为两个闭区域 D1 和 D2 则
9.1二重积分的概念与性质
D D
4.二重积分的性质
例4 比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). y 解 三角形斜边方程 x y 2
1 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M 4
( x 0, y 0)
1 1 f ( x , y ) 的最小值 m ( x 1, y 2) 2 2 5 3 4 2 2 故 I 0.4 I 0.5. 5 4
4.二重积分的性质 例3 比较 ( x y ) d与 ( x y ) d的大小,
被积函数 被积表达式
积分号 积分区域
D
f ( x , y ) dσ lim
f (ξ , η )Δσ λ0
i 1 i i
n
i
积分变量 面积微元 对二重积分作几点说明： （1）二重积分的积分值与区域D的分割方式与点 ( i , i ) 的取法无关；即分割与取点具有任意性；
积分和
该值与区域D及 （2）二重积分的积分值是一数值， 被积函数f (x,y)有关，与积分变量无关； （3）若被积函数在有界闭区域上连续， 则一定可积.
d 的值，
(0 b a ).
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域： 2 2 1 a b
解
区域 D 的面积 σ πab,
在D 上
2
0 x y a
2
2
,
1 e e
0
x2 y2
e ,
a2
由性质 6 知
e
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ln(x
2
y ) d x d y ( 0) 的正负.
2
y
解：当 x y 1 时，
1 1
0 x2 y 2 ( x y )2 1
故
ln( x 2 y 2 ) 0
o 1 x 1
D
又当 x y 1 时， x 2 y 2 ) 0 ln(
3)“近似和”
y
( k , k ) k
k 1 n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
( k ,k ) k
x
M lim ( k , k ) k
0 k 1
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7
n
两个问题的共性：
设D 的面积为 , 则
M
若 非常数 , 仍可用
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小”
y
D
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2 , , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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6
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 ( k ,k ),则第 k 小块的质量
y
D3
D2
D1
3
1 x2 y2 d x d y
2 2
o 1 32 x
D1
3 x y 1 d x d y
D2
舍去此项 猜想结果为负
d x d y
D1
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但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
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( sin x 2 cos x 2 )d
D
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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22
作业
P
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23
备用题
1. 估计 I
D 2
d
2
x y 2 xy 16 0 x 1, 0 y 2. 1 解: 被积函数 f ( x, y ) 2 ( x y ) 16 D 的面积 2
1
D
o 1 2 3 x x y 1
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y) 2 ( x y)3
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( x y)
D
2
d ( x y ) d
3 D
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15
例2. 判断
x y 1
积分性质5
y
10
D
o
10
10
x
200 200 I 102 100
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即: 1.96 I 2
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17
在闭区域上连续, 域 D 关于x 轴对称, 8. 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D
19
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
I3
1 1
1 1
x y 1
xy d x d y
xy d x d y
y 1
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
I 2 I1 I 3
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o
1 x
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的值, 其中 D 为
y 2
D
o
1 x
在D上 f ( x, y ) 的最大值
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f ( x, y ) 的最小值 2 2 故 I , 0.4 I 0.5 5 4
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24
2. 判断积分 解: 分积分域为 D1 , D2 , D3 , 则 原式 =
的正负号.
8
二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f ( x, y ) 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.
积分和 积分表达式
x, y 称为积分变量
25
x2 y2 0 x 1 y 在D : 例如, f ( x, y ) 1 x y 0 y 1 D 1 上二重积分存在 ; 但 f ( x, y ) 在D 上 o 1x x y 二重积分不存在 .
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11
三、二重积分的性质
1. k f ( x, y )d k f ( x, y ) d ( k 为常数)
f ( x, y) d ( x, y) d
D D
特别, 由于 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
6. 设 则有
D
f ( x, y ) d f ( x, y ) d
D
D 的面积为 ,
m f ( x, y ) d M
f ( x, y) d 2 f ( x, y) d (2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
D1
1
oD
x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 有类似结果. 在第一象限部分, 则有
D
( x y) d x y 0 x 2 y 2 ) d x d y d 4 (
f ( k , k )
( k , k )
D
k
中任取一点
则
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
n
(k 1, 2 ,, n)
f ( k , k ) k
k 1
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4
4)“取极限”
k max P P2 P ,P2 k 1 1
D
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13
高等数学
7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
在闭区域D上
使
f ( x, y)d f ( , )
D
证: 由性质6 可知, 1 m
f ( x, y) d M
D
由连续函数介值定理, 至少有一点 1 f ( , ) f ( x, y ) d 因此
令
max k
1 k n
f ( k , k )
( k , k )
k
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
n
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5
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为 计算该薄片的质量 M .
于是
x y 1
ln(x
2
y )d xd y 0
2
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16
例3. 估计下列积分之值 d xd y I 100 cos 2 x cos 2 y D
D : x y 10
解: D 的面积为 (10 2) 2 200 由于 1 10 1 1 2 2 102 100 cos x cos y 100
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
高等数学
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3
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体 2)“常代变” 在每个
D
D1
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18
高等数学
内容小结
1. 二重积分的定义
D
f ( x, y ) d lim f ( i ,i ) i (d dxd y )
0 i 1
n
2. 二重积分存在定理
3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
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第九章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第九章
第一节
二重积分的概念与性质
一、引例
二、二重积分的定义与可积性
三、二重积分的性质
四、曲顶柱体体积的计算
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2
一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
2 1 2
(C ) I 3 I 2 I1 ;
提示: 因 0 < y <1, 故 y y y
;
y
1
又因 x 3 0, 故在D上有
y
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D
o x
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21
1
2 x3
y x3 y 2 x3
3. 证明:
解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为