对误差传播定律两个应用问题的探讨
28误差传播定律及其应用
误差传播定律及其应用一、误差传播定律前面已经叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测算工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。
但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。
例如，要测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系来推算，显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。
阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。
下面以一般函数关系来推导误差传播定律。
设有一般函数：（5-3-1）式中：（χ1、χ2、…、χn）为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。
设独立观测值为ℓi，其相应的真误差为∆χi。
由于∆χi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差∆Z。
将式（5-3-1）取全微分：因误差∆χi及∆Z都很小，故在上式中，可近似用∆χi及∆Z代替dχi及d Z，于是有：（5-3-2）式中：为函数F对各自变量的偏导数。
将χi=ℓi代入各偏导数中，即为确定的常数，设则式（5-3-2）可写成：（5-3-3）为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各χi进行了k次观测，则可写出k个类似于式（5-3-3）的关系式：将以上各式等号两边平方后，再相加得：上式两端各除以k：（5-3-4）设对各χi的观测值ℓi为彼此独立的观测，则∆χi∆χj当i≠j时，亦为偶然误差。
根据偶然误差的第四个特性可知，式（5-3-4）的末项当κ→∞时趋近于零，即：故式（5-3-4）可写成：根据中误差的定义，上式可写成：当κ为有限值时，可写为：（5-3-5）即：（5-3-6）上式即为计算函数中误差的一般形式。
应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量，而当ℓi为未知量χi的直接观测值时，可认为各ℓi之间满足相互独立的条件。
式（5-3-6）就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出5-3-1所列简单函数的误差传播定律。
误差传播定律常用公式
误差传播定律：从公式到实际应用误差传播定律是应用于科学与工程领域的重要概念。
其核心是描述当测量结果与理论值之间存在差异时，如何通过合适的计算方法将误差从源头逐步传递下去，以便准确评估最终结果的可靠程度。
本文将详细介绍误差传播定律的常用公式，以及如何在实际应用中灵活运用。
首先，需要明确的是误差传播定律虽然表面上看起来比较抽象，但实际上有着非常直观的物理意义。
比如，在测量物体长度时，由于测量工具本身存在一定的误差，即仪器本身的精度，因此无论使用何种测量方法，都不可能达到绝对精确的结果。
此时，误差传播定律的作用就在于帮助我们分析和计算误差的来源及其对结果的影响。
在具体的计算中，误差传播定律通常使用多种公式来描述不同情况下的误差传递方式。
以下是常用的几种公式：1.基本误差传播公式：假设有一系列变量x1，x2，…，xn，每个变量的测量误差分别为d1，d2，…，dn。
则它们的函数y=f（x1，x2，…，xn）的测量误差为：delta y = sqrt（（delta f1/dx1）^2（delta x1）^2 +（delta f2/dx2）^2（delta x2）^2 + … + （delta fn/dxn）^2（delta xn）^2）其中，delta f1/dx1表示函数f对变量x1的偏导数，delta xi表示变量xi的测量误差。
2.一元函数误差传播公式：当只有一个自变量x和一个因变量y时，它们的误差传播公式为：delta y = abs（f’（x））* delta x其中，f’（x）表示y=f（x）的导数。
3.复合函数误差传播公式：对于多元函数复合的情况，误差传播公式为：delta y = （dy/dx1）^2（delta x1）^2 + （dy/dx2）^2（delta x2）^2 + … + （dy/dxn）^2（delta xn）^2其中，dy/dxi表示y关于xi的偏导数。
总之，误差传播定律在科研和工程实践中都有着广泛的应用。
28误差传播定律及其应用
误差传播定律及其应用一、误差传播定律前面已经叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测算工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。
但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。
例如，要测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系来推算，显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。
阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。
下面以一般函数关系来推导误差传播定律。
设有一般函数：（5-3-1）式中：（χ1、χ2、…、χn）为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。
设独立观测值为ℓi，其相应的真误差为∆χi。
由于∆χi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差∆Z。
将式（5-3-1）取全微分：因误差∆χi及∆Z都很小，故在上式中，可近似用∆χi及∆Z代替dχi及d Z，于是有：（5-3-2）式中：为函数F对各自变量的偏导数。
将χi=ℓi代入各偏导数中，即为确定的常数，设则式（5-3-2）可写成：（5-3-3）为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各χi进行了k次观测，则可写出k个类似于式（5-3-3）的关系式：将以上各式等号两边平方后，再相加得：上式两端各除以k：（5-3-4）设对各χi的观测值ℓi为彼此独立的观测，则∆χi∆χj当i≠j时，亦为偶然误差。
根据偶然误差的第四个特性可知，式（5-3-4）的末项当κ→∞时趋近于零，即：故式（5-3-4）可写成：根据中误差的定义，上式可写成：当κ为有限值时，可写为：（5-3-5）即：（5-3-6）上式即为计算函数中误差的一般形式。
应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量，而当ℓi为未知量χi的直接观测值时，可认为各ℓi之间满足相互独立的条件。
式（5-3-6）就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出5-3-1所列简单函数的误差传播定律。
误差传播分析和容错效果
误差传播分析和容错效果误差传播分析是在各种科学研究和实际应用中常用的一种分析方法。
它用于研究在测量、计算或实验过程中产生的误差如何传播到最终结果，并评估这些误差对结果的影响。
误差传播分析的目的是帮助我们理解和控制误差，从而提高数据的可靠性和研究结果的准确性。
误差传播分析的基本原理是根据误差的数学性质和统计规律，通过对误差的传播规律进行建模和计算。
在实际应用中，误差往往是由多个环节的测量、计算或实验引起的。
因此，误差传播分析需要考虑不同环节的误差来源和传播方式。
首先，我们需要识别和量化每个环节中的误差来源。
这些误差来源可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由系统的固有性质或外部条件引起的，它们可能导致测量值的偏倚或偏离真实值。
随机误差是由各种不确定因素引起的，它们在多次测量或实验中会导致结果的变动。
然后，我们需要确定误差的传播方式。
误差可以通过线性传播或非线性传播的方式进行传播。
线性传播是指误差在不同环节之间按照线性关系进行传播。
非线性传播是指误差在不同环节之间按照非线性关系进行传播。
为了进行误差传播分析，我们可以使用数学模型和统计方法。
数学模型可以帮助我们建立误差的传播关系，并进行误差的计算和预测。
统计方法可以帮助我们评估误差的大小和不确定性，并进行误差的分布分析。
误差传播分析的结果通常以误差边界（error bounds）或置信区间（confidence interval）的形式呈现。
误差边界是指误差的上、下限，它给出了误差的范围。
置信区间是指给定置信水平下误差的范围，它可以帮助我们评估误差的可靠性。
容错效果是指在误差传播过程中，系统的容错性能。
容错效果的好坏会影响最终结果的准确性和可靠性。
如果系统具有较好的容错效果，那么即使系统中存在一定误差，最终结果仍然可以保持较高的准确性。
如果系统的容错效果较差，那么即使系统中的误差很小，最终结果可能会变得不可靠。
在实际应用中，对误差传播分析和容错效果的研究非常重要。
4第四讲误差传播定律(精)
误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算岀来。
例如某未知点B的高程H B，是由起始点A 的高程比加上从A点到B点间进行了若干站水准測量而得来的观測高差h】……厲求和得出的。
这时未知点B的高程H。
是各独立观测值的函数。
那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中课差呢？阐述观測值中谋莖与观测值函数中谋差之间关系的定律，称为误差传播定律。
1、和差函数设有函数：z=x±yZ 为x 、y 的和或差的函数，x 、y 为独立观测值，已知其中课差为 m& m y ,求Z 的中泯差mz 。
设x 、y^z 的真课差分别为亠、△舟亠则 A. =△、+△、, 若对x 、y 均观测了n 次，则(2 1,2……对将上式平方，得= A 2.… + △［讨 ±2A r A v ,(i = 1,2……n)由于亠、亠均为假然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Ay 为独立误差，它们出现的正・负号互不相 关，所以其乘积亠Ay 也具有正负机会相同的性质，在求 ［心］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n 愈大时， 上式中最后一项［g ］ /n 将趋近于零，即 lim lA r A r l 1 - ^ = 0/? —>oo n将满足上式的误差A 禺为互相独立的误差，简称独立 误差，相应的观测值称为独立观測值。
对于独立观测值来说， 即使n 是有限量，由于 罰 式残存的值不大，一般就 观测值的函数求和，并除以n,得k J =忽视它的影响。
根据中谀療是义；得两观测值代数和的中谋差平方，等于两观测值中误差的平方之和。
当z是一组观测值X】、兀…％代数和（差）的函数时，即Z = X}±X2^^^±X n可以得出函数Z的中误差平方为7H：= 〃彳+加；+・・・+加［Z X| x2 xn结论：n个）WU值代数和（差）的中谋差平方，等于n个观灣值中误差平方之和。
11第十一讲 误差传播定律
因为 x
L1 n
L2 n
xX
…
Ln n
称为算术平均值，是 未知量的最或然值
m mx n
算术平均值的中误差为 1 观测值的中误差的 n 倍
二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
同精度观测值中误差公 式： m
观测值改正数为： vi x Li
n i Li X
函数名称 倍数函数 和差函数 函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
2 2 2 mz m1 m2 mn
z x1 x2 xn
线性函数 z k1x1 k2 x2 kn xn 一般函数
Z f ( x1 , x2 , xn )
1,2n)
k 2 2x (i 1,2n)
2 z
z k x (i 1,2n) i i
n n
(4 )转换为中误差关系式 即m 2 k 2 m 2 z x 观测值与常数乘积的中误差， m z km x 等于观测值中误差乘以常数
2、和或差的函数
应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得
2 2 2 2 2 2 2 m z k1 m1 k 2 m 2 k n m n
4、一般函数（非线性函数）
设有函数z=f( x1, x2, xn ) xi 为独立观测值
已知m xi m z ?
(1)求偏导真误差的关系式为：
f f f z x1 x2 xn x1 x 2 x n
令x x X
2
vv
2
n
n
x 2
x 2
误差传播定律在测量上的应用
误差传播定律的局限性
误差传播 定律只适 用于线性
系统
误差传播 定律不能 处理非线
性误差
误差传播 定律不能 处理随机
误差
误差传播 定律不能 处理系统
误差
播定律：描 述测量误差在测量 过程中如何传播的 定律
01
误差来源：测量 仪器、环境、人 为因素等
误差传播定律面临的挑战
01
测量误差的不确定性：误差传播定律 无法准确预测测量结果的误差范围
02
复杂系统的误差传播：误差传播定律 在复杂系统中的应用存在困难
03
测量仪器的误差：测量仪器本身的误 差会影响误差传播定律的准确性
04
实验条件的变化：实验条件的变化可 能导致误差传播定律的失效
误差传播定律的发展趋势
测量仪器
测量数据误差： 通过误差传播 定律计算测量 数据的误差， 以判断测量结
果的准确性
测量系统误差： 通过误差传播 定律计算测量 系统的误差， 以优化测量系
统
测量结果误差： 通过误差传播 定律计算测量 结果的误差， 以评估测量结
果的可靠性
误差传播定律 在测量中的应 用：通过误差 传播定律计算 测量结果的误 差，以优化测 量过程，提高
测量精度
误差传播定律在测量中的优化策略
01
选择合适的测量方法：选择误差较小的
测量方法可以降低误差传播。
02
提高测量仪器的精度：提高测量仪器的
精度可以降低误差传播。
03
减少测量次数：减少测量次数可以降低
误差传播。
04
采用多次测量取平均值的方法：采用多次
测量取平均值的方法可以降低误差传播。
误差传播定律在测量中的 挑战与展望
误差传播定律计算及注意事项
误差传播定律计算及注意事项在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
间接观测量:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律?设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:式中为函数Z分别对各变量xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。
对函数式进行全微分，得求出中误差关系式。
只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：表5-2 常用函数的中误差公式二、应用举例【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。
【例5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD解: 1）首先列出函数式2）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，3）先求出各偏导值如下4）写成中误差形式：5）得结果：D=243.30 m±0.06 m。
绪论2误差传播定律
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
误差传播定律
应用误差步骤
1.列出观测值函数的表达式 Z=f(x1,x2,...xn) 2.对函数Z进行全微分 Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2 4.计算观测值函数中误差
当只有一个独立的观测值时,和函数与倍数函数运用误差传播定律不会出现悖论;如果在测量工作中有多余的 直接观测值,就需用平差后的间接观测值按协方差传播律来计算,这样数学中相等的函数关系才能得到同样的函数 中误差结果 。
测量学误差
测量学误差传播定律是测绘科学基本的、简单的定律，但作用较大，比如测量规范中，水平角观测的限差确 定，导线闭合差的限差确定，水准测量线路的限差确定，等等，都可以利用误差传播定律做到。此外，研究误差 传播定律，还可以较好地解决一些测绘问题或解决较难的测绘问题，丰富和发展测量学教材误差理论，因此，尽 管我们在误差传播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要进一步研究倍数函数：Z=KX 则有： 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 和(差)函数的中误差 和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有mz^2=mx1^2+mx2^2 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。 当Z是一组观测值X1、X2……Xn代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±Xn Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2
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的悖论
对 于和 函数 ｚ＝ ＋ （ 中 为 观 测 值 ， 其 ｚ为
二、 复测支导线 与 闭合 导线 的比较
在 受 地 形 或 控 制 点 等 条 件 的约 束 ， 法 将 控 制 无
观测值的函数 ）运 用误差传播定 律可得 ：ｍ： √ ， ＝２
ｍ（ 中 ｍ 其 为 观测 值 的 中误 差 ， 为 观 测 值 函数 ｍ：
。 终 ＝ａ 一 ∑ 返 Ｏ
．
右 ｎ一１ １０ Ｊ （ ） ８ ￣
＿ 、 ｝ （ １ ， ）
收 稿 日期 ：２０ ．４０ ；修 回 日期 ：０ ２０ ．９ ０ ２０ ．８ ２ ０ ．５２ 作者简介 ： 汪应宏 （９ ７ ）男 ， １６ ． ， 安徽太湖人 ， 副教授 ， 硕士生导师 ， 博士 生， 主要从 事测绘工程 和资源评 价等方面的教学和科研工作 。
一
论 的真正 原 因 。 由此 可 见 ， 些 在 数 学 中恒 等 的 函 一
数关系式 ， 由于其在测量 中代表着不 同的含义和测
量 方 法 ， 产生 的误 差 就 可能 完 全不 一 样 ， 也正 是 其 这
、
关 于 和 函数 与 倍 数 函 数 中误 差
我们为什么要研究和运用合理 的测量方法来提高测 量 精 度 的一 个重 要 原 因 。
摘要 ： 探讨和 函数与倍 数函数运用误差传播定律 可能出现的悖论 ， 出在 数学中相等的 函数关 系 ， 指 在误差传播过程 中不 一定相等 。
然后探讨 复测 支导线 与闭合导线在计算方法 和精度方面的关系 ， 到 了二 者在计 算上 的相似性 以及导 线最 弱点 中误差 之 间的变 得
化 规律 ， 理 论 和 实 践 上 均 具 有 一 定 的指 导 意 义 。 在
１ 分别 以往测 和返测 的转 折角计算终止边 的 ． 方位角 ， 即
ｎ—ｌ
口 往终＝ａ ＋ 卢左±（ Ｏ ｎ一１ １０ ） ８ ￣１
２ｎ
Байду номын сангаас
的 ， 一种 丈 量 方 法 肯定 要 比前 一 种 丈 量 方 法 的 误 后
差大 ， 即此时的 ＋ ≠２ 。这也正是 出现上述悖
不难 发 现 ， 述 两 种测 量方 法 ， 差确 实是 应 不相 同 上 误
此， 我们有必要探讨一下复测支导线与 闭合导线在 计算方法和测量精度方面的差异。
１ 复测支导线与闭合导线的计算方法 比较 ． 鉴 于 闭 合 导线 的 计算 方 法 较 为 常见 ， 里 仅 介 这
绍 复测 支 导 线计 算 的基 本 过程 ， 照 图 １ ： 参 有
维普资讯
８ 文章 编 号 ：４ ４０ １ （ ０ ２ １．０ ８０ ０ ９ ．９ １ ２ ０ ） １ ０ ．３ ０
测
绘
通
报
２０ ０ ２年
第 １ 期 １
中图 分类 号 ： ２ ７ Ｐ ０
文献 标 识码 ： Ｂ
对 误差传 播定 律两个 应用 问题 的探讨
怀疑“ ＋ ＝ ｘ 在测量误差传播 中的正确性。事 ２” 实上 ， 从具体的测量过程来看“ ＋ ” 表示分别丈量
了两 段距 离 ， 结 果 均 为“ ； “ ” 其 ” 而 ２ 则表 示 一 段 长 度为 ２ 的距 离 ， 丈 量 了一 半 ， 结 果 为 “ 。如 只 其 ” 果 以丈量 一根 软绳 的长度 为例 ， “ ＋ ” 当 于分 则 相 段 丈量 了 ２次 ， 果均 为 “ ； “ ” 相 当于先 将 结 ”而 ２ 则 绳子 先对 折 ， 后 丈 量 其 中 的 一 段 ， 结 果 为 “ ” 然 其 。
中误 差 ） 。我 们 知 道 ， 方 面 ， 数 学 上 ， ｚ＝ ＋ 一 在 由
＝
复测 支 导线 的形 式 ， 在 井 工 开采 的 矿 井 中 由 于井 而 下巷 道 条件 的限 制复 测 支导 线 则是 一 种很 常 见 的形
２ ＝ ｚ ， 有 ｍ： ＝ ｍ： 而 ｍ： ＝２ｍ ≠√２ｍ ｘ 应 － ， －
＝ｍ ； ：另一方面， ｍ： 由 ， ≠ｍ：按误差传播定律应有 ，
ｚ 从 而 有 ＋ ≠２ 。为 什 么会 出现 上 述 的悖 ≠ｚ ， ｘ 论 呢？ 我们 知道 误 差传 播定 律 是建 立 在严 密 的理 论 基础 之上 的 ， 正确 性毋 庸 置疑 ； 其 因而 我们 就有 理 由
关键词 ： 误差传播定 律 ； 复测 支导线 ； 弱点 ； 最 中误 差
误 差 传播 定律 是 误差 理论 与 测 量平 差 中 的基本 定理 ， 在测 绘 工作 中有 着 非常 重要 的应 用 ， 本文 将通 过 对其 中两个 常 用 问 题 的 深 人 分 析 ， 探 讨 理 解 和 来 应 用误 差 传播 定律 时应 注意 的一 些 问题 。
汪 应 宏
（ 中国矿 业 大学 环 境 与测绘 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １０ ） 江 ２ ０ ８
Ｓ ｕ ｙ ｏｆＴｗｏ Ａｐ ｉａ ｉ ｎ Ｃａ ｅ ｆｔ ｒ ｒ Ｐｒ ｐａ ａ ｉ ｎ Ｌａ ｔｄ ｐｌｃ ｔｏ ｓ ｓｏ ｈｅＥｒ ｏ ｏ ｇ ｔｏ ｗ
Ｗ ＡＮＧ ｎ － ｏ ｇ Ｙｉ ｇ ｈ ｎ
式， 应用非常普遍 。一方面 ， 复测支导线可 以看成是
已知点 与终 止 点之 间 往 返 测 量 ２次 的 支导 线 形 式 ； 另一 方 面 ， 复测 支 导 线 也 可 以看 成 是 从 已 知 点 开 始 经过 终 止点 再 返 回到 已 知点 的 闭合 导 线 形 式 。 这 ２ 种不 同 理 解 之 间 究 竟 存 在 着 什 么 样 的 关 系 呢 ？ 为
的中误 差 ） 同理 ， 于倍 数 函数 ｚ 。 对 ＝２ ｘ有 ｍ： ＝ ．
导线布设成 闭合或附合导线 的形式 时 ， 经常 只能将
其 布设 成 支 导线 的形 式 ， 进 行往 返 测 ， 常将 这 种 并 通
导 线称 为 复测 支 导线 。在地 面 测 量 中往往 很 少 采用
２ 其中 ｚ为观测值 的函数 ， ： ｍ（ ｍ． 为观测值 函数的