2016-2017学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷与解析
2023-2024学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．93．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若DM →=13DD 1→，则MB →=（ ） A ．13AA 1→+AD →−AB →B ．−13AA 1→−AD →+AB →C ．−23AA 1→+AD →−AB →D ．23AA 1→−AD →+AB →4．已知向量a →2=3，b →=（2，0），|a →+b →|=1，则a →与b →的夹角等于（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x ，方差为s 2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x ，方差为2，则下列判断正确的是（ ） A ．s 2＝2 B ．s 2＞2C ．s 2＜2D ．s 2与2的大小关系无法判断6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，直线l ：x ﹣my +2m ＝0与圆C 相交于A 、B 两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（ ） A ．m =−43 B ．m =43 C ．m =−43或m ＝0D ．m =43或m ＝07．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点N 在以A 为球心半径为1的球面上，点M 在平面ABCD 内且C 1M 与平面ABCD 所成角为60°，则M ，N 两点间的最近距离是（ ） A ．2√2−2√33B ．2√2−2√33−1C ．2√3−1D ．2√3−2√28．第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ） A ．14B ．25C ．17D ．37二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考英语试题(含答案)
绝密★考试结束前2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级英语学科试题考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4. 考试结束后，只需上交答题卷。
第I卷第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节：（共5小题每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirtA. 19.15B. 9.18.C. 9.15.答案是C。
1. When will the meeting startA. At 9:10.B. At 9:20.C. At 9:25.2. Why does the man make the callA. To learn about a policy.B. To cancel an appointment.C. To ask about a medical bill.3. What are the speakers talking aboutA. A web page.B. A computer problem.C. A downloaded file.4. Where does the conversation take placeA. At an airport.B. In a delivery company.C. At a hotel5. What do the speakers think of JoelA. He is organized.B. He is unreliable.C. He is silent.第二节：（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
【数学】2016-2017年浙江省杭州市地区(含周边)重点中学高三(上)期中数学试卷与答案
2016-2017学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|x＜2或x＞4} 2．（5分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＞1 C．lg（a﹣b）＞0 D．（）a＜（）b3．（5分）在△ABC中，“sinB=1”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设函数y=xcosx﹣sinx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象为（）A．B．C．D．5．（5分）若+=，则sinαcosα=（）A．﹣ B．C．﹣或1 D．或﹣16．（5分）已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞17．（5分）已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=4，则|（x，y）|的值为（）A．4 B．8 C．16D．328．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c﹣b=6，c+b﹣a=2，且O为此三角形的内心，则•=（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（共7个小题，满分21分，将答案填在答题纸上）9．（3分）若a=3，b=log43，则log3a=，a与b的大小关系是．10．（3分）已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P 的坐标是，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于．11．（3分）将函数f（x）=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x），g（x）的单调递减区间是．12．（3分）已知x∈R，函数f（x）=为奇函数，则t=，g （f（﹣2））=．13．（3分）已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λ+（2﹣2λ）|（λ∈R）的最小值为2，若P为边AB上任意一点，则•的最小值是．14．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB的长为．15．（3分）记max{m，n}=，设F（x，y）=max{|x2+2y+2|，|y2﹣2x+2|}，其中x，y∈R，则F（x，y）的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常数）图象上的一个最高点为（，1），与其相邻的最低点是（，﹣3）．（1）求函数f（x）的解析式及其对称中心；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且•=﹣ac，试求函数f（A）的取值范围．17．已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2﹣kx．（1）若k=2时，求出函数f（x）的单调区间及最小值；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=，c=﹣3bcosA．（1）求tanB的值；（2）若c=2，求△ABC的面积．19．设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα），其中λ，m，α为实数．（1）若α=，求||的最小值；（2）若=2，求的取值范围．20．已知函数f（x）=图象过点（﹣1，2），且在该点处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ 是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？2016-2017学年浙江省杭州市地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4} D．{x|x＜2或x＞4}【解答】解：全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩（∁R B）={x|0≤x＜2或x＞4}．故选：C．2．（5分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．＞1 C．lg（a﹣b）＞0 D．（）a＜（）b【解答】解：对于A，令a=0，b=﹣1，02=0，（﹣1）2=1，满足a＞b，但不满足a2＞b2，故A错误；对于B，令a=0，b=﹣1，==0＜1，故B错误；对于C，令a=0，b=﹣1，lg（a﹣b）=lg1=0，故C错误；对于D，y=（）x为减函数，故当a＞b时，（）a＜（）b，故D正确；综上所述，以上四个不等式恒成立的是D．故选：D．3．（5分）在△ABC中，“sinB=1”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若sinA=1，则A=90°；∴△ABC是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，A不一定为90°；∴得不到sinA=1；∴“sinA=1”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）设函数y=xcosx﹣sinx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=xcosx﹣sinx，可得y′=﹣xsinx，在点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0）=﹣x0sinx0，函数k是偶函数，排除A，D，当x0=时，k=﹣＜0，显然B不正确，C正确；故选：C．5．（5分）若+=，则sinαcosα=（）A．﹣ B．C．﹣或1 D．或﹣1【解答】解：∵+=，∴=，∴，两边同时平方，得：1+2sinαcosα=3sin2αcos2α，解得sinαcosα=1或sinαcosα=﹣，当sinαcosα=1时，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=2sin2（）=3，不成立，∴sinαcosα=﹣．故选：A．6．（5分）已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞1【解答】解：分别画出y=与y=kx2的图象如图所示，当k＜0时，y=kx2的开口向下，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，当k=0时，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，当k＞0时，x≥0时，f（x）=﹣kx2=0，即kx3+2k2﹣x=0，即x（kx2+2kx﹣1）=0，即x=0，或kx2+2kx﹣1=0，此时有唯一的解，即△=4k2+4k=0，解得k=﹣1（舍去），当k＞0时，x＜0时，f（x）=﹣kx2=0，即kx3+2k2+x=0，kx2+2kx+1=0，此时有两个解，即△=4k2﹣4k＞0，解得k＞1，综上所述k＞1故选：D．7．（5分）已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=4，则|（x，y）|的值为（）A．4 B．8 C．16D．32【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），∴|f[f（f（x，y））]|=f（f（）=f（），∵定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=4，∴|（）|=4，∴=4，∴=8，故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c﹣b=6，c+b﹣a=2，且O为此三角形的内心，则•=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：设AD=x，BD=y，CE=z，则，解得x==1．如图所示，∵，∴•==﹣=﹣b=（c﹣b）=1×6=6．故选：C．二、填空题（共7个小题，满分21分，将答案填在答题纸上）9．（3分）若a=3，b=log43，则log3a=，a与b的大小关系是a＞b．【解答】解：a=3，则log3a=log33=，b=log43＜1a=3＞30=1，∴a＞b，故答案为：，a＞b10．（3分）已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是（2，3），若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于．【解答】解：令x﹣1=1得，x=2，则此时y=log a1+3=3，∴函数y=log a（x﹣1）+3的图象过定点P（2，3），∵角α的终边经过点P，∴sinα==，cosα=，∴sin2α﹣sin2α=sin2α﹣2sinαcosα==，故答案为：（2，3）；．11．（3分）将函数f（x）=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到的新图象的函数解析式为g（x）=sin（2x+），g（x）的单调递减区间是（kπ+，kπ+），k∈Z．【解答】解：函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得g（x）的单调递减区间是：（kπ+，kπ+），k∈Z．故答案为：=sin（2x+），（kπ+，kπ+），k∈Z．12．（3分）已知x∈R，函数f（x）=为奇函数，则t=﹣1，g（f（﹣2））=﹣7．【解答】解：因为函数是连续函数并且是奇函数，所以f（0）=0，可得20+t=0，解得t=﹣1．函数f（x）=为奇函数，g（f（﹣2））=g（﹣f（2））=g（﹣3）=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣7．故答案为：﹣1；﹣7．13．（3分）已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λ+（2﹣2λ）|（λ∈R）的最小值为2，若P为边AB上任意一点，则•的最小值是﹣．【解答】解：由题意可知：丨丨=4，丨丨=2，|λ+（2﹣2λ）|==，=，=4，=f（λ），当cosA=0时，f（λ）=4=4≥2，由2＞2，∴A=，则建立直角坐标系，A（0，0），B（4，0），C（0，2），设P（x，0），（0＜x＜4），=（4﹣x，0），=（﹣x，2），∴•=﹣x（4﹣x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴当x=2时，•取最小值，最小值为：﹣4，当cosA≠0时，f（λ）=4≥4=2，整理得：1+cosA=，解得：cosA=，∴A=，∴建立直角坐标系，A（0，0），B（4，0），C（1，），设P（x，0），（0＜x＜4），=（4﹣x，0），=（1﹣x，），则•=（4﹣x）•（1﹣x）=x2﹣5x+4=（x﹣）2﹣，当x=时，•取最小值，最小值为：﹣，故•的最小值﹣，故答案为：﹣．14．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB的长为4．【解答】解：在等腰△ABC中，设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角为θ，则由余弦定理得cosθ=，∴sinθ=，由公式三角形：S=absinθ==得：当x2=20时，三角形面积有最大值，即AB=2x=4时三角形面积有最大值．所以答案为：4．15．（3分）记max{m，n}=，设F（x，y）=max{|x2+2y+2|，|y2﹣2x+2|}，其中x，y∈R，则F（x，y）的最小值是1．【解答】解：∵|x2+2y+2|=|（x﹣1）2+2（x+y）+1|，|y2﹣2x+2|=|（y+1）2﹣2（x+y）+1|，若x+y＞0，则|（x﹣1）2+2（x+y）+1|＞1，则F（x，y）＞1，若x+y＜0，则|（y+1）2﹣2（x+y）+1|＞1，则F（x，y）＞1；而当，即x=1，y=﹣1时，F（x，y）=1，故F（x，y）的最小值是1．故答案为：1．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常数）图象上的一个最高点为（，1），与其相邻的最低点是（，﹣3）．（1）求函数f（x）的解析式及其对称中心；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且•=﹣ac，试求函数f（A）的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常数）化简得：f（x）=2sin（ωx+）+c；∵2sin（ωx+）∈[﹣1，1]，即f（x）的最大值为2+c．函数f（x）图象上的一个最高点为纵坐标为1，即最大值为1，则有：2+c=1，解得：c=﹣1．∵最高点为（，1），与其相邻的最低点为（，﹣3）．∴，解得：T=π，∵T=，∴ω=2故得：函数f（x）=2sin（2x+）﹣1；对称中心：2x+=kπ，（k∈Z）解得：x=．故得：函数f（x）的对称中心坐标为（，﹣1）（k∈Z）．（2）由（1）可得函数f（A）=2sin（2A+）﹣1；∵•=﹣ac，，∴﹣ac•cosB=﹣ac，可得：cosB=，故得：B=．∴A∈（0，）2A+∈（，），∴函数f（A）=2sin（2A+）﹣1的值域（﹣3，1]．即函数f（A）的取值范围是（﹣3，1]．17．已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2﹣kx．（1）若k=2时，求出函数f（x）的单调区间及最小值；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）k=2时，f（x）=，当x＜﹣1或x＞1时，y=2x2﹣2x﹣1=2（x﹣）2﹣，f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；当﹣1≤x≤1时，f（x）=1﹣2x单调递减；综上，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；所以f（x）min=f（1）=﹣1．（2）f（x）=，当﹣1≤x≤1时，1﹣kx≥0恒成立，令g（x）=1﹣kx，则，解得：﹣1≤k≤1；当x＞1时，k≤2x﹣恒成立，y=2x﹣在（1，+∞）单调递增，解得k≤1；当x＜1时，k≥2x﹣恒成立，同理解得k≥﹣1．综上，﹣1≤k≤1．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=，c=﹣3bcosA．（1）求tanB的值；（2）若c=2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，∵sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）=﹣3sinBcosA，sinAcosB+cosAsinB=﹣3sinBcosA，即sinAcoB=﹣4sinBcosA，∵cosAcoB≠0，∴tanA=﹣4tanB，又tanC=﹣tan（A+B）===，解得tanB=．（2）由（1）知，sinA=，sinB=，sinC=，∵a==，∴S=acsinB=．△ABC19．设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα），其中λ，m，α为实数．（1）若α=，求||的最小值；（2）若=2，求的取值范围．【解答】解：（1）当a=时，=（m，+），∴||2=m2++=（m2+m）+=（m+）2+，∴||=（2）∵=2，向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα），∴λ+2=2m，λ2﹣cos2α=m+sin2α∴4m2﹣9m+4=sin2α+cos2α=2sin（2α+），∵﹣2≤2sin（2α+）≤2，∴﹣2≤4m2﹣9m+4≤2，解得≤m≤2而=2﹣，∴∈[﹣6，1]20．已知函数f（x）=图象过点（﹣1，2），且在该点处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ 是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？【解答】解：（1）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2+bx+c，则f′（x）=﹣3x2+2x+b，由题意知，解得b=c=0．（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，则P ，Q 只能在y 轴的两侧，不妨设P （t ，f （t ））（t ＞0）， 则q （﹣t ，t 3+t 2），且t ≠1．因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以•=0，即﹣t 2+f （t ）•（t 3+t 2）=0，（1）是否存在点P ，Q 等价于方程（1）是否有解，若0＜t ＜1，则f （t ）=﹣t 3+t 2，代入方程（1）得：t 4﹣t 2+1=0，此方程无实数解． 若t ＞1，则f （t ）=alnt ，代入方程（1）得到=（t +1）lnt ，设h （x ）=（x +1）lnx （x ≥1），则h′（x ）=lnx +＞0在[1，+∞）上恒成立， 所以h （x ）在[1，+∞）上单调递增，从而h （x ）≥h （1）=0， 所以当a ＞0时，方程=（t +1）lnt 有解，即方程（1）有解， 所以对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中联考数学试题 扫描版
高二年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共28分.11、2π；85π+ 12、2；()()41222=-+-y x13、179 14、[]0,4 16三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本题满分14分）解：（Ⅰ）1C (0,0), 2C(4,4),121C C R ==+∴1R = ………………………………………………………………………5分 （Ⅱ） 1C (0,0),2C (4,4)121P C C C ∴为直线与圆的交点（第一象限）∴221y x x y =⎧⎨+=⎩得P ⎝⎭……………………………………………………7分当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k∴:)0l kx y k --=1C l 圆心到直线的距离d ==………………………10分 ∴0k =，此时直线方程为22=y …………………………………………………12分当直线斜率不存在时，直线方程为2x =也满足条件……………………………14分18．(本题满分14分）解：（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于点O1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD1CC BD ∴⊥又AC BD ⊥ ,AC 与BD 交于点OBD ∴⊥平面1ACC ………………………………3分而1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥……………4分同理可证11AC A B ⊥ ,1A B 与BD 交于点B ……6分1AC ∴⊥平面1A BD ………………………………7分（Ⅱ）1AA //1CC ，故直线1CC 与平面1A BD 所成角即为直线1AA 与平面1A BD 所成角 …………9分 由（1）知 1AC ⊥平面1A BD ，设1AC 与平面1A BD 的交点为H易知，点H 在直线1AO 上∴直线1AA 在平面1A BD 上的射影即为直线1AO …………………………………10分 故1AAO ∠即为直线1AA 与平面1A BD 所成角………………………………………11分 设正方体棱长为1则在1Rt AAO 中，111,AA AO AO === ………………………………13分1sin AAO ∴∠=…………………………………………………………………14分（其它解法酌情给分）19．(本题满分14分）解：（Ⅰ）当2n =时，21223S a a a =+=+，即13a = …………………………2分 2n ≥时，21n n S a n =+-，211(1)1n n S a n --=+--，两式相减得：121n n n a a a n -=-+-，即121n a n -=- ……………………………5分 综上：数列{}n a 的通项公式21n a n =+ ……………………………………………7分（Ⅱ）1(21)3n n b n -=+⋅ ，12n T b b =++……n b即012335373n T =⋅+⋅+⋅+……21(21)3(21)3n n n n --+-⋅++⋅ ………………………8分 3n T = 123353⋅+⋅+……21(23)3(21)3(21)3n n n n n n --+-⋅+-⋅++⋅ ………10分 两式相减得：12232(33n T -=+++……13)n -+(21)3n n -+⋅ ………………………12分 化简得：3n n T n =⋅ ………………………………………………………………………14分20．(本题满分15分）解：（Ⅰ）证明： 111A B C ABC - 是三棱台，∴ 11//A B AB , AB ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C∴//AB 平面111A B C ………………………………………………3分l 是平面1ABC 与平面111A B C 的交线，∴//AB l …………5分l ⊄ 平面11A B BA ，∴//l 平面11A B BA ………………………7分（Ⅱ）三棱台111A B C ABC -中，平面ABC //平面111A B C平面1ABC 和平面111A B C 所成锐二面角即为平面1ABC 和平面ABC 所成的锐二面角………………………………………………………………………………………………10分 易知11AC BC =，且AC BC =，取AB 中点O ，连结CO ，1C O 则CO AB ⊥，1C O AB ⊥1C OC ∠就是平面1ABC 和平面ABC 所成的锐二面角的平面角………………………12分可以求得1C O =，CO =32且1CC =4 …………………………………………14分在1C OC ∆中，由余弦定理可知1cos C OC ∠=………………………………15分 （其它解法酌情给分）21．(本题满分15分） （Ⅰ）23423212,3,4,,32a a ab b ===== ………………………………3分 （全对得3分，有错误得1—2分）（Ⅱ）设(),n n n P x y , ()2,n n Q y ,则()111,n n n P x y --- ,()112,n n Q y --2n n y x ∴=-+ ，112n n y x --∴=-+直线n OP 的斜率为1,na 故n n n x a y =，111n n n x a y ---=，12n n y a -=， 1111122n n n n n n n n n n x x y y a a y y y y -------∴-=-=-……………4分 1122n n n n a a y y +-=-=-，即112n n n a a a -+=+ …………5分 {}n a ∴为等差数列，结合（1）易得n a n =，…………6分 而1111221n n n n n n n n x b y a n b x y a n ---+-====-+ ()2n ≥ 累乘得：21n b n =+ ………………………………………8分 （直接给出正确答案每一个通项公式各给1分） （Ⅲ）111111112342223422n n n n T a a a a n n n n =++++=++++++++++++ 倒序相加得：111111112()()()()22232142222T n n n n n n n n =+++++++++++++++…………………………………………………………………………………………12分 ∴ 111111112()()()()22232142222T n n n n n n n n =+++++++++++++++44444(1)3434343434n n n n n n +≥++++=+++++……………………………14分 （114,0,a ba b a b>+≥≥+可由均值不等式当，当且仅当""a b =时取=） ∴2234n T n +>+……………………………………………………………………15分。
浙江省杭州地区含周边重点中学2024_2025学年高二语文上学期期中试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高二语文上学期期中试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间150分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ (本题共5小题,19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：诗教在中国有着悠久的传统，在诸如“不学诗，无以言、“诗，可以兴，可以观，可以群，可以怨”及“诗言志”“思无邪”等为人熟知的表述的促动下，诗歌的影响遍及从国家社稷、社会风尚到日常礼仪、个人修为的不同层面。
进入现代以后，中国诗歌在主题向度、语言形态和构造体式等方面均出现很大变更，诗教的社会文化语境及施行方式也发生了根本性变更。
特殊是对于新的历史条件下的诗教，教化观念的革新与迁移深刻影响了其理论内涵和实践指向。
近代以来由王国维、蔡元培、梁启超等人开创，由鲁迅、宗白华、朱光潜等人丰富完善的美育，通过引入康德、席勒等西方理论家的美学思想，确立了以情感为核心、提倡“审美无功利”、以“立人”为旨归的理论构架。
这些美育观念从多方面推动了中国诗教从传统向现代的转变，促使诗教直面现代乃至当代的境况。
依照朱光潜的“诗教就是美育”这一说法，诗教明显是现代艺术、审美教化的重要组成部分。
正如林语堂所说“中国的诗在中国代替了宗教的任务” ，虽然他所讲的“中国的诗”是指古典诗歌，并且中国诗歌经过现代性的洗礼之后，其样态及其在社会文化中的地位已经发生巨变，仅有百年历史的现代诗歌被认为失去了古典诗歌的辉煌和魅力，但是诗歌本身仍旧具有相当的感召力，对人类的精神生活发挥着无可替代的作用。
由此，处于现代境遇中的诗教，或者说在现代美育观念影响下的诗教，事实上包含两个问题向度：一是传统诗教的适应性，即传统诗教通过调整、转换，寻求合乎现代人生存状态、审美趣味和心理需求的路径；一是依据现代诗歌的特性，找到诗歌与社会文化的连接点，探究诗教的现代意义和方式。
2022-2023学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期中数学试卷（B 卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．若集合A ＝{x ∈Z |ln （x ﹣2）≤1}，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．已知复数z 满足z （1+i ）＝2i ，则复数z 在复平面内对应点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把函数y ＝sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（ ） A ．y =sin(3x +π6) B ．y =sin(3x −π6) C ．y ＝cos3xD ．y ＝cos （3x +π6）4．已知f(x)={e x−2，x ≤3log 5(x −1)，x ＞3，则f （f （126））等于（ ）A ．log 52B ．1eC ．eD ．15．已知向量a →=(√3，1)，向量a →−b →=(√3+1，√3+1)，则a →与b →的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在（x 2√x ）6展开式中，常数项为（ ）A ．﹣192B ．﹣160C ．60D ．2407．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ） A ．150B ．125C ．1825D ．149508．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x ﹣2a 与曲线y ＝ln （x +b ）相切，则1a+2b的最小值是（ ）A ．8B ．4√2C ．6D ．2√2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f （x ）＝﹣x 3+3x 2，则（ ） A ．f （x ）在（0，1）上单调递增 B ．f （x ）的极小值为2 C ．f （x ）的极大值为﹣2D ．f （x ）有2个零点10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）A ．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B ．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C ．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D ．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ=1211．函数f （x ）=12x +cos x （x ＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{a n }，设S n 是{a n }的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．a 4=17π6C ．sin S 2021=12D ．tan （a 3+a 7）=√3312．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点P 1，P 2，⋯，P n （n ≥2且n ∈N *）满足∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝…＝∠P n ﹣1 FP n ＝∠P n FP 1=2πn ，则下列结论中正确的是（ ） A ．n ＝2时，1|P 1F|+1|P 2F|=2B ．n ＝3时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |的最小值为9C ．n ＝4时，1|P 1F|+|P 3F|+1|P 2F|+|P 4F|=14D ．n ＝4时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |的最小值为8三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知函数g(x)=a5x−1+6为奇函数，则实数a ＝ ． 14．已知抛物线C ：4x 2+my ＝0恰好经过圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为 ． 15．若双曲线C 的方程为x 24−y 25=1，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线P A 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为 ．16．已知函数f （x ）＝|xe x +1|，若关于x 方程f 2（x ）﹣2tf （x ）+2＝0（t ∈R ）有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35．试求：（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2√6，CD =√6，cos A =√63， cos ∠ADB =13． （Ⅰ）求cos ∠BDC ； （Ⅱ）求BC 的长．19．（12分）已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足a n （2S n ﹣a n ）＝1（n ∈N *）． （1）求证：数列{S n 2}是等差数列，并求出S n 的表达式； （2）数列{a n }中是否存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k ，1a k+1，1a k+2构成等差数列？请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2√3b ，经过点P （﹣2，1）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM →=NO →，直线PM ，PN 分别交椭圆于AB ，PQ ⊥AB ，Q 为垂足，是否存在定点R ，使得|QR |为定值，说明理由． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（1﹣x ）e x +alnx ．（1）当a ＝0时，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （2）若f （x ）存在大于1的零点x 0，设f （x ）的极值点为x 1； ①求a 的取值范围； ②证明：3x 1＞2x 0．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣xln （x +a ）﹣ae 2x （x ≥0，a ≥1），f （x ）的导函数为g （x ）． （1）若g （x ）存在极值点，求a 的取值范围；（2）设f （x ）的最小值为m ，g （x ）的最小值为n ，证明：m ＜n ．2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期中数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．若集合A ＝{x ∈Z |ln （x ﹣2）≤1}，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8解：由A ＝{x ∈Z |ln （x ﹣2）≤1}＝{x ∈Z |0＜x ﹣2≤e }＝{x ∈Z |2＜x ≤e +2}＝{3，4}， ∴集合A 的子集有∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个． 故选：B ．2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2i ，则复数z 在复平面内对应点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z （1+i ）＝2i ，∴z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ， ∴复数z 在复平面内对应点（1，1）所在象限是第一象限． 故选：A ．3．把函数y ＝sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（ ）A ．y =sin(3x +π6) B ．y =sin(3x −π6) C ．y ＝cos3xD ．y ＝cos （3x +π6）解：把函数y ＝sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的图象对应函数为y ＝sin （3x +π2）＝cos3x ， 故选：C ．4．已知f(x)={e x−2，x ≤3log 5(x −1)，x ＞3，则f （f （126））等于（ ）A ．log 52B ．1eC ．eD ．1解：∵f(x)={e x−2，x ≤3log 5(x −1)，x ＞3，∴f （126）＝log 5（126﹣1）＝3，∴f （f （126））＝f （3）＝e 3﹣2＝e ，故选：C ．5．已知向量a →=(√3，1)，向量a →−b →=(√3+1，√3+1)，则a →与b →的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：根据题意，设a →与b →的夹角为θ，向量a →=(√3，1)，a →−b →=(√3+1，√3+1)，则b →=a →−（a →−b →）＝（﹣1，−√3）， 则|a →|＝2，|b →|＝2，a →•b →=−2√3，则cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=−√32，又由0°≤θ≤180°，则θ＝150°， 故选：D ．6．在（x 2√x ）6展开式中，常数项为（ ）A ．﹣192B ．﹣160C ．60D ．240解：∵由T r +1=C 6r •x 6﹣r •（2√x ）r =C 6r •2r •（﹣1）r •x 6−32r ，∴当6−32r ＝0时得r ＝4，∴二项式（x 2√x）6展开式中，常数项为C 64×24×（﹣1）4＝240． 故选：D ．7．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ） A ．150B ．125C ．1825D ．14950解：在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，基本事件总数n =C 1002=4950， 2张都能中奖包含的基本事件个数m =C 42=6，则2张都能中奖的概率是P =m n =64950=1825．故选：C ．8．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x ﹣2a 与曲线y ＝ln （x +b ）相切，则1a+2b 的最小值是（ ）A ．8B ．4√2C ．6D ．2√2解：设切点为（m ，n ），y ＝ln （x +b ）的导数为y ′=1x+b， 由题意可得1m+b=1，又n ＝m ﹣2a ，n ＝ln （m +b ），解得n ＝0，m ＝2a ，即有2a +b ＝1，则1a +2b =（1a +2b）（2a +b ）＝4+ba +4ab ≥4+2√b a ⋅4ab =8，当且仅当ba=4a b ，即b =12，a =14时等号成立，所以1a+2b的最小值为8．故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f （x ）＝﹣x 3+3x 2，则（ ） A ．f （x ）在（0，1）上单调递增 B ．f （x ）的极小值为2 C ．f （x ）的极大值为﹣2D ．f （x ）有2个零点解：由f （x ）＝﹣x 3+3x 2可得f ′（x ）＝﹣3x 2+6x ＝﹣3x （x ﹣2）， 由f ′（x ）＞0可得0＜x ＜2，由f ′（x ）＜0可得x ＜0或x ＞2，故f （x ）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增， f （x ）有极小值f （0）＝0，极大值f （2）＝4， 故A 正确，B ，C 错误；f （x ）＝0有两解，x 1＝0，x 2＝3，则f （x ）有2个零点，故D 正确； 故选：AD ．10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A ．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B ．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为59C ．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为2536D ．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ=12解：选项A ：甲乙丙三人每人都有6中选择，共有6×6×6＝216种，故A 错误， 选项B ：恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门， 则概率为P =A 6363=59，故B 正确，选项C ：甲不选择课程“御”的概率为1−16=56，甲乙丙同时不选择课程“御”的概率为5363=125216，则甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为12521656=2536，故C 正确，选项D ：由于各门机会相等，则6E （ξ）＝3，所以E （ξ）=12，故D 正确， 故选：BCD ．11．函数f （x ）=12x +cos x （x ＞0）的所有极值点从小到大排列成数列{a n }，设S n 是{a n }的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．a 4=17π6C ．sin S 2021=12D ．tan （a 3+a 7）=√33解：f ′(x)=12−sinx ， 令f ′（x ）＝0可得x =π6+2kπ或x =5π6+2kπ，k ∈Z ， 易得函数的极值点为x =π6+2kπ或x =5π6+2kπ，k ∈Z ， 从小到大为π6，5π6，13π6⋯，不是等差数列，A 错误；a 4=5π6+2π=17π6，B 正确； S 2021＝a 1+a 2+…+a 2021=π6+5π6+13π6+17π6+⋯+π6+2020×2π， ＝（π6+13π6+⋯+π6+2020×2π）+（5π6+17π6+⋯+5π6+2019×2π），=π6×1011+2π×1010+5π6×1009+1009×2π，则根据诱导公式得sin S 2021＝sin （π6×1011+2π×1010+5π6×1009+1009×2π）＝sin π6=12，C 正确；tan （a 3+a 7）＝tan （13π6+π6+6π）＝tan π3=√3，D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，抛物线C 上存在n 个点P 1，P 2，⋯，P n （n ≥2且n ∈N *）满足∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝…＝∠P n ﹣1 FP n ＝∠P n FP 1=2πn，则下列结论中正确的是（ ） A ．n ＝2时，1|P 1F|+1|P 2F|=2B ．n ＝3时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |的最小值为9C ．n ＝4时，1|P 1F|+|P 3F|+1|P 2F|+|P 4F|=14D ．n ＝4时，|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |+|P 4F |的最小值为8解：当n ＝2时，∠P 1FP 2＝∠P 2FP 1＝π，此时不妨到P 1P 2过焦点垂直于x 轴， 不妨取P 1（1，2），P 2（1，﹣2），则1|P 1F|+1|P 2F|=12+12=1，故A 错误；n ＝3时，∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 1=2π3，此时不妨设P 1，P 2，P 3在抛物线上逆时针排列，设∠P 1Fx ＝α，α∈（0，π2），则|P 1F |=21−cosα，则|P 2F |=21−cos(α+2π3)，|P 3F |=21−cos(α+4π3)， ∴|P 1F |+|P 2F |+|P 3F |=21−cosα+21−cos(α+2π3)+21−cos(α+4π3)=21−cosα+4(1+12cosα)(cosα+12)2， 令t ＝cos α+12，t ∈（12，32），则|P 1F |+|P 2F |+P 3F |=43−2t +2t+3t 2，令f （t ）=43−2t +2t+3t 2，则f ′（t ）=8(3−2t)2−2t+6t 3=−27(t−1)(3−2t)2t3， 当12＜t ＜1时，f ′（t ）＞0，f （t ）递增，当1＜t ＜32时，f ′（t ）＜0，f （t ）递减， 故f （t ）min ＝f （1）＝9，故t ＝1，即cos α=12，α=π3时，∴|P 1F |+|P 2F |+P 3F |取到最小值9，故B 正确； n ＝4时，∠P 1FP 2＝∠P 2FP 3＝∠P 3FP 4+∠P 4FP 1=π2，此时不妨设P 1，P 2，P 3，P 4在抛物线上逆时针排列，设∠P 1Fx ＝θ，θ∈（0，π2），|P 1F |=21−cosθ，则|P 2F |=21−cos(θ+π2)=21+sinθ，|P 3F |=21−cos(θ+π)，|P 4F |=21−cos(θ+3π2)=21−sinθ， |P 1F |+|P 3F |=21−cos(θ+π)+21−cosθ=21+cosθ+21−cosθ=4sin 2θ， |P 2F |+|P 4F |=21−sinθ+21+sinθ=4cos 2θ，∴1|P 1F|+|P 3F|+1|P 2F|+|P 4F|=14，故C 正确；由C 的分析可知|P 1F |+|P 3F |+|P 2F |+|P 4F |==4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ≥16， 当sin 22θ＝1时，取等号，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知函数g(x)=a5x−1+6为奇函数，则实数a ＝ 12 ． 解：依题意知g(x)=a 51−1+6为奇函数，∴g （﹣1）+g （1）＝0，即a5−1−1+6+a 51−1+6=0，∴a ＝12，经检验符合题意， 故答案为：12．14．已知抛物线C ：4x 2+my ＝0恰好经过圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为 (0，18) ．解：圆M ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1的圆心（1，2）， 代入抛物线方程可得：4+2m ＝0，解得m ＝﹣2， 所以抛物线C ：x 2=12，焦点坐标为(0，18)． 故答案为：(0，18)． 15．若双曲线C 的方程为x 24−y 25=1，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线P A 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为 √55． 解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0）， 设M （x ，y ），又A （﹣2，0），B （2，0）， ∴直线P A 的方程为y =y 0x 0+2(x +2)，① 直线QB 的方程为y =−y 0x 0−2(x −2)，② 由①得，yx+2=y 0x 0+2，由②得，yx−2=−y 0x 0−2，两式相乘可得y 2x 2−4=−y 02x 02−4， 又P （x 0，y 0）在双曲线x 24−y 25=1上，∴x 024−y 025=1，得y 02x 02−4=54，∴y 2x 2−4=−54，即x 24+y 25=1，其离心率e =√55． 故答案为：√55． 16．已知函数f （x ）＝|xe x +1|，若关于x 方程f 2（x ）﹣2tf （x ）+2＝0（t ∈R ）有两个不同的零点，则实数t 的取值范围为 （√2，32） ．解：令g （x ）＝xe x +1，g ′（x ）＝e x +1+xe x +1＝（1+x ）e x +1，所以在（﹣1，+∞）上，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 在（﹣∞，﹣1）上，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 所以g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣e ﹣1+1＝﹣1，又g （0）＝0，所以作出g （x ）与f （x ）的图像如下：f （﹣1）＝1，令k ＝f （x ）（k ＞0），则方程f 2（x ）﹣2tf （x ）+2＝0（t ∈R ）为k 2﹣2tk +2＝0（t ∈R ），则2t =k 2+2k =k +2k ，令g （k ）＝k +2k，作出g （k ）的图像：当0＜2t ＜2√2，即0＜t ＜√2时，y ＝2t 与g （k ）＝k +2k没有交点， 所以方程2t ＝k +2k无根，则k ＝f （x ）（k ＞0）无解，不合题意． 当2t ＝2√2，即t =√2时，y ＝2t 与g （k ）＝k +2k有1个交点，所以方程2t ＝k +2k 有1个根为k =√2，则k ＝f （x ）（k ＞0）有1个解，不合题意． 当2t ＞2√2，即t ＞√2时，y ＝2t 与g （k ）＝k +2k 有2个交点， 所以方程2t ＝k +2k有2个根为0＜k 1＜√2，k 2＞√2，若k 1＝1时，则k 1＝f （x ）（k ＞0）有2个解，k 2＝f （x ）（k ＞0）有1个解， 所以k ＝f （x ）有3个解，不合题意．若0＜k 1＜1时，则k 1＝f （x ）（k ＞0）有3个解，k 2＝f （x ）（k ＞0）有1个解， 所以k ＝f （x ）有4个解，不合题意．若k 1＞1时，则k 1＝f （x ）（k ＞0）有1个解，k 2＝f （x ）（k ＞0）有1个解， 所以k ＝f （x ）有2个解，合题意． 2t ＜g （1）＝3，且2t ＝g （√2）=√2+2=2√2， 所以√2＜t ＜32，综上所述，t 的取值范围为（√2，32）．故答案为：（√2，32）．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35．试求：（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验共有C 103种结果， 满足条件的事件是选出的3位同学中至少有一位男同学，它的对立事件是选出的3位同学中没有男同学共有C 63种结果，∴根据古典概型的公式得到随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1−C 63C 103=56；（Ⅱ）∵由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的所有事件是从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验共有C 103种结果， 10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中表示再从另外的八人中选一人，共有C 81种结果， ∴10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中的概率是C 81C 103∴甲、乙被选中且能通过测验的概率为C 81C 103×45×35=4125．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2√6，CD =√6，cos A =√63，cos ∠ADB =13． （Ⅰ）求cos ∠BDC ； （Ⅱ）求BC 的长．解：（Ⅰ）因为AB ∥CD ，cos A =√63，cos ∠ADB =13，所以sin A =√1−cos 2A =√33，sin ∠ADB =√1−cos 2∠ADB =2√23，cos ∠BDC ＝cos[π﹣（A +∠ADB ）]＝﹣cos （A +∠ADB ）＝sin A sin ∠ADB ﹣cos A cos ∠ADB =√33×2√23−√63×13=√69．（Ⅱ）由已知及正弦定理BDsinA=AB sin∠ADB，可得√33=√62√23，解得BD ＝3，由于cos ∠BDC =√69，CD =√6，在△BCD 中，由余弦定理可得BC =√CD 2+BD 2−2CD ⋅BD ⋅cos∠BDC =√6+9−2×√6×3×√69=√11．19．（12分）已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足a n （2S n ﹣a n ）＝1（n ∈N *）． （1）求证：数列{S n 2}是等差数列，并求出S n 的表达式； （2）数列{a n }中是否存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k ，1a k+1，1a k+2构成等差数列？请说明理由．解：（1）证明：依题意，正项数列{a n }中，a 12=1，即a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即（S n ﹣S n ﹣1）[2S n ﹣（S n ﹣S n ﹣1）]＝1， 整理，得S n 2−S n−12=1，又S 12=a 12=1， ∴数列{S n 2}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴S n 2=n ，∵数列{a n }是正项数列，∴S n =√n ； （2）数列{a n }中不存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k，1a k+1，1a k+2构成等差数列．理由如下：当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=√n −√n −1， ∵a 1＝1，即∀n ∈N *，都有a n =√n −√n −1， ∴1a n=√n−√n−1=√n +√n −1，假设数列{a n }中存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k，1a k+1，1a k+2构成等差数列，则2（√k +1+√k ）=√k +√k −1+√k +2+√k +1，即√k +1+√k =√k −1+√k +2， 两边同时平方，得k +1+k +2√k +1⋅√k =k ﹣1+k +2+2√k −1⋅√k +2， ∴（k +1）k ＝（k ﹣1）（k +2），整理得k 2+k ＝k 2+k ﹣2，∴0＝﹣2，不成立，故假设错误， ∴数列{a n }中不存在连续三项a k ，a k +1，a k +2，使得1a k，1a k+1，1a k+2构成等差数列．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2√3b ，经过点P （﹣2，1）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM →=NO →，直线PM ，PN 分别交椭圆于AB ，PQ ⊥AB ，Q 为垂足，是否存在定点R ，使得|QR |为定值，说明理由．解：（1）由题意可得{2c =2√3b4a 2+1b2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2＝8，b 2＝2， 所以椭圆的标准方程为：x 28+y 22=1；（2）当M ，N 分别为椭圆的短轴上的端点时，设M （0，√2），N （0，−√2）， 则可得直线AB 为y 轴，由PQ ⊥AB 可得Q 在y 轴上，当M ，N 表示短轴的端点时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 28+y 22=1y =kx +t，整理可得：（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣8＝0，x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−81+4k2，直线P A ：y ﹣1=y 1−1x 1+2（x +2）=kx 1+t−1x 1+2（x +2），令x ＝0可得y =(1+2k)x 1+2tx 1+2， 即M （0，(1+2k)x 1+2tx 1+2）同理可得N （0，(1+2k)x 2+2tx 2+2），由题意OM →=NO →，所以(1+2k)x 1+2tx 1+2+(1+2k)x 2+2tx 2+2=0整理可得：（4k +2）x 1x 2+（4k +2t +2）（x 1+x 2）+8t ＝0， 代入可得：（4k +2）（4t 2−81+4k 2）+（4k +2+2t ）（−8kt 1+4k2）+8t ＝0，整理可得：k （﹣4﹣2t ）+t 2﹣2+t ＝0， 当时，不论k 为何时都成立， 即t ＝﹣2时恒成立，这时直线AB 的方程为：y ＝kx ﹣2， 所以直线AB 恒过T （0，﹣2）， 因为PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥QT ， 所以Q 是以PT 为直径的圆上的点，又因为P （﹣2，1），所以它的圆心为（﹣1，−12）， 所以设R （﹣1，−12），则|QR|为定值，使|QR|=12|PT|，所以存在R使得|QR|为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣x）e x+alnx．（1）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在大于1的零点x0，设f（x）的极值点为x1；①求a的取值范围；②证明：3x1＞2x0．解：（1）当a＝0时，f（x）＝（1﹣x）e x，则f'（x）＝﹣e x+（1﹣x）e x＝﹣xe x，∴f'（1）＝﹣e，又f（1）＝0，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y＝﹣e（x﹣1），即ex+y﹣e＝0．（2）①由题意知：f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=−xe x+a x ；令g（x）＝f'（x），则g′(x)=−(x+1)e x−ax2；当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意；当a＞0时，g'（x）＜0恒成立，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递减，∵f（x）存在极值点x1，∴f′(x1)=−x1e x1+a x1=0，即a=x12e x1；且当x∈（0，x1）时，f'（x）＞0；当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＜0；∴f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减；∵f（1）＝0，f（x）存在大于1的零点x0，∴1＜x1＜x0；则需f(x1)=(1−x1)e x1+alnx1＞0，又a=x12e x1，∴(1−x1)e x1+x12e x1lnx1＞0，即x12lnx1+1−x1＞0，又x1＞1，∴lnx1+1x12−1x1＞0，令t=1x1，则t∈（0，1），t2﹣t﹣lnt＞0；令φ（t）＝t2﹣t﹣lnt（0＜t＜1），则φ′(t)=2t−1−1t=(2t+1)(t−1)t＜0，∴φ（t）在（0，1）上单调递减，∴φ（t）＞φ（1）＝0，即当x1＞1时，f（x1）＞0恒成立；令m（x）＝x2e x（x＞1），则m'（x）＝x（x+2）e x＞0，∴m（x）在（1，+∞）上单调递增，∴m（x）＞m（1）＝e，∴当a＞e时，方程a=x12e x1有解；∴实数a的取值范围为（e，+∞）；②证明：由①知：x1＞1，a=x12e x1，则f(32x1)=(1−32x1)e3x12+x12e x1ln3x12=e x1[(1−32x1)ex12+x12ln3x12]，令ℎ(x)=(1−32x)e x2+x 2ln3x2(x ＞1)， 则ℎ′(x)=−32e x 2+12(1−32x)e x 2−2xln 3x 2−x 2⋅3232x =−(1+34x)e x 2−x(2ln 3x 2+1)； ∵1+34x ＞0，e x 2＞0，2ln 3x 2+1＞2ln 32+1＞0，∴h '（x ）＜0，∴h （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴ℎ(x)＜ℎ(1)=−12e 12−ln 32＜0，又x 1＞1，∴ℎ(x 1)=(1−32x 1)e x12−x 12ln 3x 12＜0，∴f(32x 1)＜0，又f （x 0）＝0，∴f(32x 1)＜f(x 0)，∵32x 1＞x 1，x 0＞x 1，f （x ）在（x 1，+∞）上单调递减，∴32x 1＞x 0，即3x 1＞2x 0．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣xln （x +a ）﹣ae 2x （x ≥0，a ≥1），f （x ）的导函数为g （x ）． （1）若g （x ）存在极值点，求a 的取值范围；（2）设f （x ）的最小值为m ，g （x ）的最小值为n ，证明：m ＜n ． 解：（1）因为函数f （x ）＝e x ﹣xln （x +a ）﹣ae 2x （x ≥0，a ≥1），所以f ′(x)=e x −[ln(x +a)+x ⋅1x+a ]−ae 2，即g(x)=e x −ln(x +a)−xx+a −ae 2， 则g ′（x ）＝e x −1x+a −x+a−x (x+a)2=e x−1x+a −a (x+a)2，g （x ）存在极值点，即g ′（x ）＝0有实数根，即e x −1x+a −a (x+a)2=0有实数根，即e x =1x+a +a(x+a)2有实数根， 令h （x ）=1x+a +a (x+a)2，x ∈[0，+∞），则h ′（x ）=−1(x+a)2−2a (x+a)3=−[1(x+a)2+2a (x+a)3]＜0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递减，因为y ＝e x 在[0，+∞）上单调递增，所以要使e x =1x+a +a (x+a)2在[0，+∞）上有实数根，只需e 0≤h （x ），即e 0≤10+a +a(0+a)2即可，解得a ≤2，所以1≤a ≤2，即a 的取值范围为[1，2]． （2）证明：由（1）知，h （x ）=1x+a +a (x+a)2在[0，+∞）上单调递减，y ＝e x 在[0，+∞）上单调递增， 所以g ′（x ）＝e x ﹣[1x+a+a (x+a)2]在[0，+∞）上单调递增，因为g ′(0)=e 0−[10+a +a (0+a)2]=1−2a ≤0，g ′（1）＝e 1﹣[11+a+a (1+a)2]＞e ﹣（1+1）＞0，所以存在x 0∈[0，1），使g '（x 0）＝0，则当0≤x＜x0时，g′（x0）＜0，当x＞x0时，g'（x0）＞0，所以g（x）在[0，x0）上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增，所以g(x)min=g(x0)=e x0−ln(x0+a)−x0x0+a−ae2，即n=e x0−ln(x0+a)−x0x0+a−ae2，x0∈[0，1)，因为g(0)=e0−ln(0+a)−0+a−ae2=1−lna−ae2＜0，g（2）＝e2﹣ln（2+a）−22+a −ae2＝e2﹣ae2﹣ln（2+a）−22+a=（1﹣a）e2﹣ln（2+a）−22+a＜0，所以存在x1∈（2，+∞），使g（x1）＝0，则当0≤x＜x1时，g（x）＜0，当x＞x1时，g（x）＞0，所以f（x）在[0，x1）上单调递减，在[x1，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（x1）＜f（2）＝e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2，即m＜e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2，令k＝e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2，要证m＜n，只需证k＜n，因为n﹣k=e x0−ln（x0+a）−x0x0+a−ae2﹣[e2﹣2ln（2+a）﹣2ae2]=e x0−ln（x0+a）−x0x0+a−e2+2ln（2+a）+ae2＝（a﹣1）e2+[2ln（2+a）﹣ln（x0+a）]+（e x0−x0x0+a），令φ（x）＝e x−xx+a，x∈[0，1），则φ′（x）＝e x−x+a−x(x+a)2=e x−a(x+a)2＞e x﹣1＞0，所以φ（x）在[0，1）上单调递增，φ（x）≥φ（0）＝1＞0，所以e x0−x0x0+a＞0，n﹣k＝（a﹣1）e2+[2ln（2+a）﹣ln（x0+a）]+(e x0−x0x0+a)＞0，即k＜n，即m＜n．。
浙江省杭州地区含周边重点中学2024_2025学年高一数学上学期期中试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.全部答案必需写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则()UA B ⋂=（）A.{}1,4B.{}1,5C.{}4,5D.{}1,4,5 2.命题“0x ∃>，23x x >”的否定是（） A.0x ∀>，23x x ≤ B.0x ∀≤，23x x ≤ C.0x ∃>，23x x ≤D.0x ∃≤，23x x ≤3.下列函数与()1f x x =+是同一个函数的是（）A.()211x g x x -=-B.()1g x =+C.()21g x =+D.()1g x =4.若,a b ∈R ，则“228a b +≤”是“4ab ≤”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.我国闻名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休."在数学的学习和探讨中，常用函数的图象来探讨函数的性质，也常用函数的解析式来探讨函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A.()211f x x =+ B.()11f x x =- C.()211f x x =- D.()11f x x =- 6.已知函数()f x =对随意两个不相等的实数[)12,2,x x ∈+∞，都有不等式()()21210f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.()0,+∞B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.设函数()()22332321x x a x bx f x x --+-+=+，若()115f =，则()1f -的值为（）A.9-B.11-C.13-D.15-8.已知奇函数()f x 在R 上单调递增，对[]2,2a ∀∈-，关于x 的不等式()()20f a f x ax b x+++>在[)(]2,00,2x ∈-⋃上有解，则实数b 的取值范围为（）A.2b >或1b <-B.6b <-或3b >C.13b -<<D.2b <-或3b >二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2016-2017学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中考试数学(详细答案版)
2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中考试数学一、选择题：共8题1．直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率.由题意得,即直线的倾斜角.选B.2．已知，那么下列不等式成立的是A. B.a+c<b+c C. D.【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质.解答本题时要注意利用不等式的性质，结合特殊值法进行排除.因为，则不妨设，则A中不成立；B中设，则不成立；C中不成立，D中成立，故选D. 【备注】统计历年的高考试题可以看出，不等式的性质是高考的一个考查方向，属于容易题，处于选择题的前3题.3．设是等差数列的前项和，若，则A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质与求和.因为为等差数列,所以=,即;所以=.选A.【备注】等差数列中，.4．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查直观图.还原出平面图形,如图平行四边形所示;其中,,所以;所以原图形的周长==8.选A.5．为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】本题考查直线与平面的位置关系.对A,若，，，则不一定成立,排除A；对B,若，，，则不一定成立,排除B；对D,若，，，则不一定成立.排除D.选C.6．设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=a2,即a=R,则==,选D.7．中，角所对的边分别为，已知且.若角为锐角，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查正弦定理,基本不等式.,由正弦定理得;而,即,所以,排除A,B,C.选D.8．四棱锥中，为正三角形，底面边长为1的正方形，平面平面，为底面内一动点，当时，点在底面正方形内(包括边界)的轨迹为A.一个点B.线段C.圆D.圆弧【答案】A【解析】本题考查空间向量的应用.由题意得:以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系,,,令(,),所以,;而,即,即,整理得;而,,所以,,即,即点在底面正方形内(包括边界)的轨迹为一个点.选A.二、填空题：共7题9．已知直线：与：相交于点，若，则，此时点的坐标为 .【答案】，【解析】本题考查两直线垂直.因为直线与垂直,所以,解得;联立方程,解得,即点的坐标为.10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为 .【答案】，【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,如图三棱锥所示,其中底面;=,所以三棱锥的体积;表面积=.11．如图，在长方体中，，，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是，若，则直线与平面所成的角为 .【答案】，【解析】本题考查线面垂直,线面角.在长方体中，，所以,,而,所以面，而平面，∴；即直线与所成角的大小是; 若，则为的中点;取的中点,连接、,取的中点,连接;则面,此时为直线与平面所成的角；在直角三角形中,,,所以,所以,即直线与平面所成的角为.12．已知圆：，则圆的半径为，过点的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为 .【答案】，【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆:,其圆心，半径为；当过圆心时,弦长最长,此时直线的斜率,所以直线方程为,即过点的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为.13．设实数满足约束条件，则的取值范围为 .【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图三角形所示,,;而表示过点的直线的斜率;=,=;即，所以的取值范围为.14．已知圆的方程为，点的坐标为，设分别是直线：和圆上的动点，则的最小值为 .【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.由题意得,半径;点关于直线：的对称点,则;所以==,即的最小值为.15．已知关于的不等式的解集为，且，则的最小值是 .【答案】【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为，所以,即,且;所以===(当且仅当时等号成立);即的最小值是.三、解答题：共4题16．在中，角的对边分别为，已知，其中为锐角.(1)求角的大小；(2)若，，求边的长.【答案】(1)由得，∵为锐角，∴，可得，∴.(2)由已知及余弦定理得，∴.【解析】本题考查二倍角公式,余弦定理.(1)由得，得，∴.(2)由余弦定理得.17．已知数列的前项和为，且.又数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)若，求使得不等式恒成立的实数的取值范围. 【答案】(1)由可得，∵，∴，∴，∴，即.∴数列是首项为，公比为4的等比数列，∴.又==，∴.(2)==；由恒成立，即恒成立设，∴当时，数列单调递减，当时，数列单调递增；即，∴数列最大项为；∴.【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)由得.∴数列是等比数列，∴，∴.(2)裂项相消得=；求得恒成立，∴.18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点.(1)证明；(2)证明底面；(3)求二面角的正弦值的大小.【答案】(1)证明：在四棱锥中，∵底面，平面，∴∵，，∴平面，而平面，∴.(2)证明：由，，可得∵是的中点，∴，由(1)知，且，∴平面，而平面，∴∵底面，在底面内的射影是，，∴又∵，综上得底面.(3)过点作，垂足为，连结.由(2)知平面，在平面内的射影是，∴∴是二面角的平面角.由已知得，设，可得，，，，在中，∵，∴，则.在中，.【解析】本题考查线面垂直,线面角.(1)∵底面，∴∵，∴平面，∴.(2)证得，所以底面.(3)∴是二面角的平面角.在中，求得.19．已知圆：及圆内一点，过任作一条弦(1)求面积的最大值及取得最大值时直线的方程；(2)若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，求点的坐标.【答案】(1)设，则，当时，，此时到的距离为，，∴，直线的方程为.(2)当直线斜率不存在时，始终平分当直线斜率存在时，设直线：，设，由得：设，，则，.∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴.【解析】本题考查直线与圆的位置关系,三角形的面积公式(1)，∴，直线为.(2)联立方程,套用根与系数的关系得，.∵，∴，求得，∴.。
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2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．104．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为k=1设直线的倾斜角为α，∴tanα=1∵α∈[0，π]∴α=．故选：B．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选：C．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm故选：A．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb ＞2，把ac=b2代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，∵B为锐角，∴0＜cosB＜1，即0＜=﹣2＜1，∵﹣2=﹣3=2p2﹣3，∴0＜2p2﹣3＜1，解得：＜p＜，综上，p的取值范围为＜p＜，故选：D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，A（1，﹣，0），P（0，0，），设M（x，y，0）∵，∴（x﹣1）2+（y+）2=2（x2+y2+），∴x2+y2+2x﹣y+=0，表示圆．故选：C．二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=1．【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a﹣2+a=0，∴a=1，故答案为：1．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面ABC的面积为：×2×2=2，高VA=1，故三棱锥的体积V=，AB=AC==，故侧面VAB和VAC的面积均为：=，侧面VBC的高VD==，故侧面VBC的面积为：×=，故三棱锥的表面积为：；故答案为：，11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为30°．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴•=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），cos＜，＞==﹣，∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．故答案为90°，30°．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为3x﹣y﹣5=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，﹣2），圆C的半径为．过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为y﹣1=（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．过答案为，3x﹣y﹣5=0．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：z=的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BP的斜率k==，由可得A（1，1）OP的斜率k==1，∴﹣3≤z≤．故答案为：．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为2．【解答】解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，故答案为：2．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是2．【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，∴，即ab=1且a＞0；又a＞b，∴a﹣b＞0；∴==（a﹣b）+≥2=2，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时“=”成立；∴的最小值是．故答案为：2．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2C=cosC，可得：2sinCcosC=cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，可得sinC=，可得角C的大小为．（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos=13，可得边c的长为．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（1）由3S n=4a n﹣4可得a1=4，∵3S n=4a n﹣4，∴3S n﹣1=4a n﹣1﹣4，∴3S n﹣3S n﹣1=4a n﹣4﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n=4a n﹣4a n﹣1，即．∴数列{a n}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴．又b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），∴b n=n（n+1）．（2）=1﹣+﹣+…+﹣=，不等式恒成立，即k≥恒成立，设d n=，则d n+1﹣d n=，∴当n≥2时，数列{d n}单调递减，当1≤n＜2时，数列{d n}单调递增；即d1＜d2＞d3＞d4＞…，∴数列最大项为，∴．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．【解答】解：（1）设∠AOB=θ，则，=8，此时O到AB的距离为，，当时，S△AOBmax∴S=8，直线AB的方程为．△AOBmax（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），由得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=0，，∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，∴，∴﹣32﹣6m=0，，∴．。