变限积分确定的函数的性质及其应用

变限积分确定的函数的性质及其应用变限积分确定的函数的性质及应用摘要由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。

本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。

关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。

ABSTRACTLimited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.目录一.变限积分的概念及其性质 (5)1.1变限积分的概念 (5)1.2变限积分的性质 (5)二.变限积分函数的应用 (9)2.1问题的提出 (9)2.2 变限积分函数的应用 (11)2.2．1利用变限积分求原函数 (11)2.2．2 化积分问题为微分学问题 (11)2.2.3 求定积分 (12)2.2.4变限积分的积分变量替换 (14)三．结论 (16)一、 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念定义1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积，则称 ⎰=Φxa dt t f x )()(，[]b a x ,∈叫变动上限积分。

⎰=ψbx dt t f x )()(，[]b a x ,∈叫变动下限积分。

定义2：（推广定义）：如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积，0x 为[]b a ,内任一点，则称⎰=Φxx dt t f x 0)()(，[]b a x ,∈叫变动上限积分。

⎰=ψ0)()(x xdt t f x ，[]b a x ,∈叫变动下限积分。

变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊以及它的连续性、奇偶性、周期性等。

特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的一个知识点，现就它的几个性质加以举例说明。

1. 2变限积分的性质定理1(连续性)：设函数)(x f 在区间[a ，b]上可积，则变动上限积分函数⎰=Φxx dt t f x 0)()(在[a ，b]上连续，其中0x 为[a ，b]内任一点。

证：对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义有⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φx x ax axx xdt t f dt t f dt t f )()()(因f 在[]b a ,上有界，可设[]b a t M t f ,,)(∈≤。

于是，当0>∆x 时有⎰⎰∆+∆+∆≤≤=∆Φxx xxx xx M dt t f dt t f )()(；当0<∆x 时，则有x M ∆≤∆Φ，由此得到0lim 0=∆Φ→∆x ，即证得Φ在点x 连续，由x 的任意性，Φ在[a ，b]上处处连续。

定理 2(导数定理)：如果函数)(x f 在区间[a ，b]上连续，则变动上限积分))((⎰=Φxa dt t f x 在],[b a 具有导数，并且它的导数是⎰==Φxa x f dt t f dxd x )()()(' 证明:对[]b a ,上任一确定的x ，当0=∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义和积分第一中值定理，有⎰∆+∆=∆∆Φxx x dt t f x x )(1=10),(≤≤∆+θθx x f 由于f 在点x 连续，故有)()()(lim lim'x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ→∆→∆θ 由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数。

定理 3 (导数推广)：如果函数)(x f 在区间[a ，b]上连续，0x 为[a ，b]内任一点，则变动上积限积分)()()(0x f dt t f dx d x xx ==Φ⎰，x ][b a ，∈。

（证明略） 注：（1）区间a 可为-∞，b 可为+∞；（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x （不是含x 的其他表达式）；第二，呗积函数f 中只含积分变量t ，不含参变量x 。

下面看几个关于变积分导数应用的典型例题: 例1：设dt e u conx t ⎰-=Φ12)(，求)(x Φ。

分析：dt e x u t ⎰--=Φ12)(和u=x cos 复合而成，要使用复合函数求导法则解：222cos cos cos 1sin )(cos )()(x x x xe x edt e dx d x x t ---=-=-=Φ⎰ 例2：设dt t x x x⎰+=Φ2231)(，求)(x Φ。

解：在31t +的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得dt t dx d x x⎰+2231= dt t dx d x ⎰+0231+ dt t dx d x ⎰+2031=-2631281x x x +++例3：设)(x f 可导，求dt t x tf dx d x⎰-0)2(分析：这里被积函数f 中除含积分变量t 外，还含参变量x ，不能直接使用变限积分的导数定理，通常要通过变量替换消去被积函数f 中参数x ，则令u=2x-t 即可解：令u=2x-t ，则⎰⎰-=-xxxdu u f u x dt t x tf 20)()2()2(=2x ⎰xxdu u f 2)(-⎰xxdu u uf 2)())2((0dt t x tf dx d x⎰-=2⎰xxdu u f 2)(+2x[2)()2(x f x f -]-[2x )](2)2(x xf x f -=2⎰-xxx xf du u f 2)()(例4：设x=0时dt x t f x F x ⎰=1)()(-dt xf x ⎰1)1(，其中函数)(x f 在区间（0，+∞）上连续且单调增加，试证F(x)在（0，+∞）也单调增加。

分析：自然的想法是求F /(x),F(x)中的第一项变限积分的被积函数f 除依赖于积分变量t 外，还依赖于x ，因此要通过变量替换消去被积函数f 中参数x 证明：令x tu =,则dt t f du u xf x F x x⎰⎰-=111)1()()(=⎰⎰--x x tf dt t f x 111)1()(由变限积分求导法得：)('x F )1()1()1()(211x f xx xf dt t f x ----=⎰=⎰--x dt t f x f x 11)()1()11(比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得：)('x F ⎰⎰-=x x dt t f dt x f 1111)()1( =dt t f x f x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11)()1(当0<x<1时，11>x ，1<t<x 1，0)()1(>-t f x f ， 当x>1时，0<x 1<1，x 1<t<1，0)()1(<-t f x f ，于是)('x F >0（x>0,x 1≠）,0)1('=F 因此，F(x)在)0(∞+，单调增加。

定理3（奇偶性）设)(x F =⎰xx dt t f 0)(，其中函数)(x f 在区间[a ，b]上可积，0x 为[a ，b]内任一点。

若函数f(x)为奇函数，则)(x F 为偶函数。

证明：由变量替换有 x x -==-)(x F du u f u d u f dt t f xx xx xx ⎰⎰⎰---=--=0)()()()(=⎰-00)(x x du u f +⎰xx du u f 0)(=0+)(x F即)(x F 为偶函数。

例7：如果函数f(x)在区间),(+∞-∞内连续，且F(x)=dt t x f t x x)()2(0--⎰，试证：若函数f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数。

证明：F(x)= dt t x f t x x)()2(0--⎰ut x =-⎰-xdu u f x u 0)()2(=du u uf x⎰0)(2-xdu u uf x⎰)(2⎰⎰-+=-x xdu u f x du u uf x F 0)()(2)(su -=.)()()(20⎰⎰=-xxx F ds s f x s sf所以F(x)也是偶函数。

定理4（周期性）设)(x f 是以Ｔ为周期的可积函数。

试证：[]dt I t f x x⎰-=Φ0)()(亦是以Ｔ为周期的函数。

式中⎰=Tdt t f T I 0)(1证明：[]⎰+-=+ΦTx dt I t f T x 0)()(＝[][]⎰⎰+-+-T xx xxdt I t f dt I t f )()(0＝⎰+-+ΦTx xITdt t f x )()(＝⎰⎰-+ΦTTdt t f TTdt t f x 00)(1)()( ＝)(x Φ例8：设f(x)是在),(+∞-∞内以T 为周期性的连续函数，则下列函数中也是以T 为周期性的是（A ）⎰x dt t f 0)( (B) ⎰-0)(xdt t f（C ）⎰x dt t f 0)(+ ⎰-0)(xdt t f (D) ⎰x dt t f 0)(+⎰-0)(xdt t f分析：利用周期函数的积分性质解题，一般有以后结论：以T 为周期的连续函数f(x)的原函数以T 为周期⎰=⇔Tdx x f 00)(解：由周期性函数的积分性质得⎰+=Tx dt t f 0)(⎰xdt t f 0)(+ ⎰+Tx dt t f 0)(=⎰x dt t f 0)(+⎰Tdt t f 0)(⎰--=)(Tx dt t f ⎰-0)(xdt t f +⎰---xTx dt t f )(=⎰-0)(xdt t f +⎰Tdt t f 0)(因为⎰T dt t f 0)(不一定为零，所以，⎰x dt t f 0)(与⎰-0)(xdt t f 不一定以T 为周期，而⎰⎰+---Tx Tx dt t f dt t f 0)()(=⎰⎰--x xdt t f dt t f 0)()(所以⎰⎰--x xdt t f dt t f 00)()(以T 为周期而⎰⎰+--+Tx Tx dt t f dt t f 0)()(=⎰⎰⎰++-Tx xt f dt t f dt t f 00)(2)()(所以⎰⎰-+x xdt t f dt t f 0)()(不一定以T 为周期，故选（C ）二、 变限积分函数的应用2.1问题的提出纵观微积分教材，一元函数微积分部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛莱公式），极限是研究这些概念和定理得的工具，也是联系他们的一条无形的链，在说明不定积分与其他概念的联系时，牛莱公式起到了重要作用，牛莱公式是微积分的核心。