变限积分确定的函数的性质及其应用
高等数学课程教学改革中变限积分函数的性质证明及其应用
高等数学课程教学改革中变限积分函数的性质证明及
其应用
变限积分是一种改革高等数学课程的重要方式。
本文将从变限积分的性质证明及其应用分析两个方面对其进行深入探索。
一、变限积分的性质证明
1、变限积分的相似性：变限积分是一种可以用来表示一维复分被定积分的通解运算，由不同区间上函数f（x）的积分求解得出，可以相互改变积分的上下限，因此可以证明出变限积分具有无穷近似性和交换性质。
2、变限积分的可分解性：变限积分可以拆解为不同区间上的积分，引入了不同区间的思想，可以更好的来处理变限积分的问题，从而提出了可分解性的性质证明。
3、变限积分的替换性：变限积分表达式中的变量可以进行替换，因此可以引申出一个简单的替换性的性质证明。
二、变限积分的应用
1、决策期权定价：变限积分可以用来估算期权定价，可以用变限积分来代表所有可能出现在不同时刻点的期权价格，从而更准确的推算出期权最佳定价。
2、利率风险总结：变限积分可以用来描述不同时刻面对的利率风险，可以更加的清晰的表达不同时间点收取的不同利率，同时可以更准确的总结出利率风险的总和。
3、利率期权定价：变限积分可以用来进行利率期权定价，利率期权是一种将未来的利率风险转换成投资机会的一种交易工具，变限积分可以更准确的表示未来可能利率，从而对未来利率期权定价有重要的应用。
综上所述，变限积分是高等数学中一个重要的内容，在改革数学课程中被广泛运用。
经过上面的分析，可以得出变限积分的性质证明及其在实际应用中的重要性。
关于变上限积分所确定的复合函数的若干性质与应用的探讨
即复合 函数 Ｆ ｘ ＝ ’ （ ｄ 在 【，】 有界 。 （） ¨ ｆ ｔ ｔ 口６上 ） 定理 ４（ 偶性 ） 设 在 【厶Ｌ 【，］ ，函数 ｆ（） 奇 一 】 口ｂ上 ｘ 和 （） 均连续 ，则
（ ） （） １ 当 ｘ 为偶函数时，复合函数 Ｆ ｘ ： ’ （ ｄ 也为卜厶 上的偶函数。 （） ｆ ｔ ｔ ）
证明 因为ｆ ｘ 在 【， 连续，因此它在 【， 上必有界 ，即存在 Ｍ， ０，对于任意的 ∈ 口ｂ ，恒有 （） 口ｂ 】 口ｂ 】 ＞ 【， 】 ｌ ｘ Ｍ。 ｆ（） ；而 由函数 （） 界知 ，必存在 Ｍ： 有 ＞０，使得 对于任意 的 Ｘ∈ 口ｂ ，恒有 ｌ ｘ ｌＭ ： 【，】 （） ＜ 。所 以 ， 若取Ｍ ＝Ｍ。 ＋ １，则对于任意的 【 Ｉ ］ ａ ∈口ｂ ，南积分中值定理及 角不等式可得 ［， 】
１ 定理 及其证 明
定理 １（ 调性 ） 设 函数 ｆ ｘ 在 ［，】 单 （） 口ｂ上非 负 、连续 ，且 （） 【，】 单调增 加 （ 在 口ｂ上 或减 少 ） ，则复 合 甬数 Ｆｘ ＝ ’ ｔ ｔ 【，】 （） ｆ（ｄ 在 口ｂ 上单调增 加 （ ） 减少 ） 。 证明 这里 只证单 调增加 的情形 ，单调 减少 的情形 与此类似 。
Ｆ ｘ ＝ ’（）ｔ （） ｆ ｔ 的最 ｄ Ｅ ｄ ｑ 周期 小 于或等于 （） 的最小 正周期 。 定理 ３（ 有界性 ） 设 在 ［，】 ，函数 ｆｘ 连续 ，函数 （） 口６上 （） 有界 ，则 复合 甬数 Ｆ（） 杠ｆ ｔ ｔ ｘ ＝ ’ （ ｄ 也在 ）
【，］ ｂ 上有界 。 ．
文章 编 号 ：１０ — ８ Ｘ２ １）１ ０８ — ４ ０７ ９４ （０００ — ０ １ ０
在目 前流行的高等数学教材 及公开发行的杂志 中， 对积分上限函 （ ： ｆｔｔ 数 ￣ （ｄ的性质与应用 ） ）
牛顿莱布尼兹公式教学难点变上限积分的性质与应用
A
sin xdx
0
y
cos
x
0
2.
o
x
例题
例4
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解
2
1
2
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1 f ( x)dx
y
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例5 求下列式子的导数
x t2
1)
e 2 dt
a
2)
a t2
的函数
dx
dx a f (t)dt f ( x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积 分学之间的关系．
例题
思考题
设
f
( x)在[a, b]上连续，
x
[a,
b]
,则
x
a
f
(t )dt
,
b
x
f
(u)du是 x的函数还是
t
与
u
的函数？它们的导数
存在吗？如存在等于什么？
例题
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与 b x
f
(u)du都是x
另一方面 s s(T2 ) s(T1)
定 积 分 的
T2 v(t)dt
变限积分的性质
变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。
本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。
通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。
关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。
下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。
1. 变限积分的概念与理解1.1变限积分的定义[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。
变限积分
变限积分的性质及其应用作者：葛芹 指导老师：岳素芳摘要：本文在给出变限积分定义的基础上，讨论变限积分的一些性质，例如连续性，奇偶性，单调性，周期性等.又结合着例题探讨了变限积分的在题目中的具体应用，比如求分段函数的原函数，函数的极限值，求函数的导数等，变限积分还可以作为辅助函数证明等式以及不等式等等.关键词：变限积分;连续;可微性;奇偶性;单调性;周期性.1引言变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的连续性，可微性，连续性奇偶性，周期性，特殊性决定了它的重要性，它是产生新函数的重要工具，是一种新的函数的表示方法，解决了在闭区间上连续的初等函数的原函数存在问题，可用积分上限函数表示非初等函数，为研究非初等函数的性质提供了工具.变限积分除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用，因此，有必要对其进行广泛和深入的探讨，以便对其有一个较全面地认识和较深刻地掌握.2 变限积分的定义如果函数()f x 在区间[],a b 上可积，则称()x ϕ=()xa f t dt ⎰，x ∈[],a b (1)为变上限积分， 如果函数()f x 在区间[],a b 上可积，则称()x ψ=()xaf t dt ⎰,x ∈[],a b (2)为变下限积分，其中，变上限积分和变下限积分通称为变限积分.3变限积分的性质 3.1变限积分的连续性定理1若函数()f x 在区间[],a b 上可积，则变上限积分()x ϕ=()xa f t dt ⎰在[],ab 上连续且可积3.2变限积分的可导性（原函数存在定理）定理2若函数()f x 在[],a b 上连续，则由(1)式所定义的函数()x ϕ在[],a b 处处可导，且()()xad d f t dt f x dx dx ϕ==⎰,x ∈[],a b . 例1 设()f x 在[],a b 上连续, ()F x =()()xaf t x t dt -⎰证明''()F x =()f x ,x ∈[],a b .证明 因为()F x =()()x x aaxf t dt tf t dt -⎰⎰=()()x xaax f t dt tf t dt -⎰⎰从而'()F x =()xaf t dt ⎰+()xf x -()xf x =()xaf t dt ⎰故''()F x =()f x ,[],x a b ∀∈.变限积分的求导法则：如果()f x 在[],a b 上连续, ()f x 在(),()u t v t 在上可导，那么()()()(())(())v t u t d dv duf x dx f v t f u t dx dt dt =-⎰ 3.3变限积分的奇偶性定理3若函数()f x 为[],a a -上的奇函数，则()x ϕ=0()xf t dt ⎰,x ∈[],a a -为偶函数若函数()f x 为[],a a -上偶函数，则()x ϕ=()xf t dt ⎰,x ∈[],a a -奇函数.证明 设()x ϕ=0()xf t dt ⎰,其中函数()f x 在区间[],a a -上可积，若函数()f x 为[],a a -上的奇函数. 由变量替换有:()()()()()()x x xx f t dt f u d u f u du x ϕϕ-==--==⎰⎰⎰即()x ϕ为偶函数若函数()f x 为[],a a -上的偶函数，由变量替换有：()()()()()()x x xx f t dt f u d u f u du x ϕϕ-==--=-=-⎰⎰⎰即()x ϕ为奇函数3.4变限积分的单调性定理4设()f x 在(),-∞+∞在上连续，()F x =0()(2)xf t x t dt -⎰，()f x 单调递减，则()F x 单调递增证明 因为()F x =0()(2)x f t x t dt -⎰=0()2(),x xx f t dt tf t dt -⎰⎰又f(x)在R 上连续，所以'()F x =0()+()2()()()x xf t dt xf x xf x f t dt xf x -=-⎰⎰由积分中值定理存在ξ介于0与x 之间，使'()()()(()())F x xf xf x x f f x ξξ=-=- 0故()F x 单调递增3.5变限积分的周期性定理5以T 为周期的连续函数()f x 的原函数以T 为周期的充分必要条件是0()0Tf x dx =⎰例2设()f x 是在(),-∞+∞内以T 为周期的连续函数，则0()()x xf t dt f t dt --⎰⎰也以T 为周期证明 由周期函数的积分性质得，()()()()()x Tx x Tx Txf t dt f t dt f t dt f t dt f t dt ++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰000()()()()()xTx Txx Txf t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -------=+=+⎰⎰⎰⎰⎰因而()Tf x dx ⎰不一定为零，所以0()x f x dx ⎰与0()xf t dt -⎰不一定以T 为周期，而()()()()x Tx x Txf t dt f t dt f t dt f t dt +----=-⎰⎰⎰⎰所以()xf x dx ⎰-0()xf t dt -⎰以T 为周期4变限积分的应用应用[]41 求分段函数的原函数分段函数的变限积分；由于a t x ≤≤，所以被积函数各分段的表达式要依x 的取值范围而定，从而分段函数的变限积分一般仍是分段函数例3 设2,01()2,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩ 求()f x 的原函数解 []320(),0,13x x x t dt x φ==∈⎰；1201()xx tdt t dt φ=+=⎰⎰31136x + (],1,2x ∈ 例4 设2,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨≤≤⎩ 求()f x 的原函数解 []20(),0,12xx x tdt x φ==∈⎰;1201()xx tdt t dt φ=+=⎰⎰31136x + (],1,2x ∈ 应用[]42 求函数的极限值运用变限积分的定义及可微性，可以解决有关定义函数式，求函数极限值与最值，求解方程和积分方程等的重要应用例5求23lim (sin )(),x xx t f t dt t+→∞⎰其中()f t 可微,且已知lim () 1.t f t →∞=解 由积分中值定理,存在[],2x x ξ∈+,使23(sin )()x xt f t dt t+⎰32sin ()f ξξξ=,所以23lim(sin )()x xx t f t dt t+→∞⎰=3lim 2sin()()x f ξξξ→∞=3sin6limlim ()61163x f ξξξξ→∞→∞==例6设201lim1sin x x bx x →=-⎰，试求正常数,a b . 解显然有200lim0,lim(sin )0xx x bx x →→=-=⎰，这是00的不定式，如果200xx x →→=则它与所求极限相等若221011,1-cos x 2121cos 1,42x x b b x a ≠≠=→=-== 则上述极限为，故则有（.例7设()f x=21(1)sin 2tx xt +⎰(0)x ，求1lim ()sin n f n n →∞解 首先由积分中值定理可得()f x=21(1)sin )2c x x c +- ，其中c 介于x 与2x 之间，当x →+∞时，1l i m (1)2c x c →+∞+=12e，221)sin ()x x x x x -- ，而21lim sin ()x x x x →+∞- =+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞，由罗必塔法则可知1lim ()sin x f x x →+∞=2lim 1sin tx x x→+∞=222limcos 11sin x x x x→+∞2221lim lim cos 1sin x x x x x→+∞→+∞ =12120211e e -=应用[]43求函数以及函数值例8设[)00()0+()(),0()3xxx f x tf t dt f t dt t f x ∞=⎰⎰ 在，上可微，且满足，求解 001()()()()2().33x x xxf x f t dt f x f t dt f x =+∴=''⎰⎰两边继续对x 求导，得f(x)=2f(x)+2xf (x),即2xf (x)=-f(x)解此微分方程得())f x c =为常数 若c 00lim ()()x f x f x →+≠，则不存在，这与在x=0处连续矛盾，故c=0,从而f(x)=02()xf t dt ⎰由f (x)=，方程两边对x 求导，' 得2f(x)f(x)=f(x). 而x 0时,f(x)0,1122'所以f (x)=,从而f(x)=x+c(c 为常数)又因为且f(x)连续,001lim lim (),2x x x c c →+→++=故f(0)=f(x)=0c ∴=1,02x x ≥因此f(x)=例9设()f x 连续，0x ∀ ， ()f x 0 ，且0x ≥时，有()f x0x ≥时的()f x . 解法一：当0x =时，，当 x 0时'f (x)=12所以()f x =12x +C 又因为()f x 连续，可得0+C=0,所以C=0 故()f x =12x ，0x ≥. 解法二：当 x 0时，()0f x ，2()f x =0()xf t dt ⎰又因为()f x 连续，所以()xf t dt ⎰可导，所以2()f x 也可导，所以2()f x '∙f (x)=()f x 0 '1f (x)=2，故()f x =12x +C.又f(0)=0=02C + , 所以()f x =12x ，0x ≥.应用[]44 可以应用于求一些导数. 例10设(),x F x t dt -=⎰求(0)F '. 解 (0)F '+=0limx →+=0limx →+=0limx x →=0ln limx x→+=01lim11(x xx →+=0类似 ， (0)F '-=0)limxx t dt x→--⎰=-0lim)x x →-=0 所以(0)F '=0例11设0x ，()f x =2sin x xuxdu u⎰，求解()f x ' 解 ()f x '=2sin ()x xuxdu u '⎰+32sin 2x x x 2sin x x - =2cos x xuxdu +⎰322sin sin x x x- =3sin x x 2sin x x -322sin sin x x x-+=321(3sin 2sin )x x x- 例12设()f x 可导，且()g x =0()()x yf x y dy g x ''-⎰求解法一：'g (x)='⎰xyf (x-y)dy +(0)f x=()x yf x y --+()xf x y dy -⎰+(0)f x=(0)f x -+0()x f x y dy -⎰+(0)f x=0()xf x y -⎰()g x ''='⎰xf (x-y)dy +(0)f=()x f x y --+(0)f=(0)f -+()f x (0)f +=()f x解法二：() g x =⎰xyf(x-y)dyx y u dy du+==−−−→←−−−0()()()x x u f u du --⎰ =0()xxf u du ⎰()xuf u du -⎰'g (x)=0()xuf u du ⎰+()()xf x xf x -=()xuf u du ⎰故而， ()g x ''=()f x应用[]45 求解极大值与极小值例13 设()F x =0cos ,(0)(0)(0)xt e tdt F F F -'''⎰试求：（1），，（2）()F x 在闭区间[]0π，上的极大值与极小值.. 解（1）(0)F =cos t e tdt -⎰=0， ()cos (0)=1x F x e x F -''=，所以又()cos sin ,xx F x e x e x --''=--(0)F ''所以=-1（2）令()F x '=0，x ∈[]0π，，方程cos xex -=0，在[]0π，上有一个根x =2π 当x 2π时，()F x '0 ；当x 2π时，()F x '0 .所以在x=2π时，()F x 取极大值为2201()cos 22teF e tdt πππ--+==⎰，()F x 在[]0π，上无极小值 应用[]46应用于求最值的问题中例13求证()()(sin )xn f x t t t dt =-⎰（n 为正整数）在0x ≥上不超过1(22)(23)n n ++证明 因为22()()(sin )n f x x x x '=-，所以当01x 时，()0f x ' ；当1x 时，()0f x ' ；故对一切0x ≥，()(1)f x f ≤而 1220(1)()(sin )n f t tt dt =-⎰1220()()n t t t dt ≤-⎰=22231()22230n n t t n n ++-++ 112223n n =-++ 1(22)(23)n n =++所以当 0x ≥时，1()(22)(23)f x n n ≤++，从而得证.应用[]47 求方程的根对于某些含有积分变限的函数方程可以利用分析方法（求极限，求导或积分运算）去求方程的根例14求x 使2lim()x tt t t x te dt t x-∞→∞+=-⎰解 分别运用求极限和积分运算，有(1)lim()lim (1)t x xtx tx t t x t t x t x x t -→∞→∞-⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦=-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=2x xx e e e-==且2212xx t tte dt tde -∞-∞=⎰⎰ 221()2x t t xte e dt -∞=--∞⎰2221111()()2224x x x xe e x e =-=- 所以 2211()24xx e x e =-解得 52x =例15 设函数()f x 在[]0,π上连续，且0()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰，求证：在()0,π内至少存在两个不同的点1ξ，2ξ，使1()0f ξ=，2()0f ξ=证明 令0()()xF x f t dt =⎰[](0,)x π∈，则有(0)()F F π=，又因为0()cos cos ()f x xdx xdF x ππ==⎰⎰=0()cos ()sin ()sin 0F x xF x xdx F x xdx πππ+=⎰⎰所以存在(0,)ξπ∈，使得()sin 0f ξξ=.因若不然，则在(0,)π内或()sin f ξξ恒为正，或()sin f ξξ恒为负，都与()sin 0F x xdx π=⎰矛盾，又当(0,)ξπ∈时，sin 0ξ≠，故()0F ξ=，于是()F x 在[]0,π上有三个不同的零点；0ξπ ，再用罗尔定理，则存在2(,)ξξπ∈，使得1()0F ξ'=，2()0F ξ'=，即1()0f ξ=，2()0f ξ=例16设函数()f x 在[],a b 上连续，()0f x ，又1()()()x xabF x f t dt dt f t =+⎰⎰， 证明：（1）()2F x '≥；（2）()0F x =在[],a b 中有且仅有一个实根.证明 因为函数()f x 在[],a b 上连续，所以()F x 在[],a b 上可微，且1()()2()F x f x f x '=+≥= （2）由（1）可知()20F x '≥≥，所以()F x 在[],a b 上单调递增. 因为对一切[],x a b ∈，()0f x ， 所以 11()0()()ab ba F a dt dt f t f t ==-⎰⎰()F b =()baf t dt ⎰由零值定理及()F x 的单调性可知，()0F x =在[],a b 中有且仅有一个实根..应用[]48求解积分方程对于一些含有积分变限函数的积分方程，可以利用积分变限函数的可导性，将原积分方程转化为微分方程，从而得解.例17设函数()y f x =满足方程0cos y xt e dt tdt +⎰⎰求函数()y f x =和y '.解：对方程两边关于x 求导得cos 0y e y x '+=此为一阶分离型微分方程有cos y dy xdx e=- cos y e dy xdx =-⎰⎰即sin y e x c =-+ 所以ln(sin )y c x =-又知原方程 当0x =时10ye -=，所以0y = 即(0)0y =代入有ln(1sin )y x =-且cos cos 1sin sin 1x xy x x -'==-- 应用[]49 求幂级数的和函数例18求幂级数01nn e n -∞=+∑解 考虑幂级数01nn x n ∞=+∑，其收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-，当1x =-时，001(1)11n nn n x n n ∞∞===-++∑∑收敛；当1x =时，00111n n n x n n ∞∞===++∑∑发散，因此其收敛域[)1,1-， 设其和函数为()s x ，则x ∀∈(1,1)-，0000()11n n xx x n n t t s t dt dt dt n n ∞∞====++∑∑⎰⎰⎰=101n n xx x ∞+==-∑， 于是 21()()1(1)x s x x x '==--，故2201()1(1)n n e e s n e e -∞===+-∑ 例19给定幂级数232132(1)nx x x n n ++++- ()1确定它的收敛半径与收敛区间；()2求出它的和函数.解 （1）对幂级数2(1)n n x n n ∞=-∑，由1(1)lim lim1(1)n n n na n n a n n +→+∞→+∞+==-, 知其收敛半径为1，收敛区间为（-1,1），当 1x =±时，级数均收敛，故其收敛域为[]1,1- （2）由逐项微分定理知122()()(1)1n n n n x x S x n n n -∞∞==''==--∑∑，12221()()11n n n n x S x x n x -∞∞-=='''===--∑∑， 故 001()()ln(1)1xxS x S t dt dt x t'''===---⎰⎰()()ln(1)xxS x S t dt t dt '==--⎰⎰=(1)ln(1)0x t t =--+0xdt ⎰ ()()1ln 1x x x =--+ 应用[]410 变限积分作为辅助函数证明例20设函数()f x 在任何有限区间上可积，且lim ()x f x l →+∞=求证：01lim ()xx f t dt l x →+∞=⎰证明 由函数()f x 在任何有限区间上可积及lim ()x f x l →+∞=可知，对任给ε0 ，存在0M 时，有()2f x l ε-，从而000111()()x x xf t dt l f t dt ldt x x x-=-⎰⎰⎰ =[][]01()()M xMf t l dt f t l dt x-+-⎰⎰[]011()()MxM f t l dt f t l dt xx≤-+-⎰⎰ []011()2Mx M f t l dt dt xx ε≤-+⎰⎰=[]01()22M Mf t l dt x εε⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦⎰显然，当x 足够大时，必有[]01()22M Mf t l dt x εε⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰，所以01()22x f t dt l x εε-+⎰ ε= 所以01lim()xx f t dt l x →+∞=⎰例21证明：若()f x 为[]0,1上的连续函数，且对一切[]0,1x ∈有0()()0x f u du f x ≥≥⎰，则()0f x ≡.证明： 显然(0)0f =，对任意()00,1x ∈，有01000()()()x f x f u du f x ξ≤≤=⎰，其中100x ξ≤≤而()f x 在[]0,1上的连续，所以()f x 在[]0,1上存在最大者M 对于上面的1ξ，有112100()()()f f u du f ξξξξ≤≤=⎰，其中210ξξ≤≤，所以20210200()()()f x f x f x ξξξ≤≤≤ ，依次进行下去，可知存在[]00,n x ξ∈，使得0000()()nnn f x f x Mx ξ≤≤≤当0lim 0,nx n Mx →+∞→+∞=时，有所以0()0f x =又()f x 在[]0,1上的连续，所以1(1)lim (1)0x f f →-==所以，对一切[]0,1x ∈，有()0f x ≡应用[]411 变限积分函数作为辅助函数证明不等式 例22 设12()sin x xf x t dt +=⎰，求证：0x 时，1()f x x. 证明作变换t =，则12()s i n x xf x t d t +=⎰=22(1)sin x xu +⎰=22(1)1(cos )2x x u +-⎰=222(1)322(1)11cos cos )24x x x u u du xu ++--⎰ =22(1)2232111cos cos cos (1)22(1)4x x u x x du x x u +⎡⎤-+-⎣⎦+⎰ 从而，当0x 时，有()f x 223(1)211122(1)4x x u du x x -++++⎰=1122(1)x x ++111()21x x --+=1x例23若()f x 在[],a b 上二次可微，()02a bf +=，证明3()()24baM b a f x dx -≤⎰，其中max ()M f x ''=（[],x a b ∈）.证明 考虑函数()()xaF x f t dt =⎰，则()F x 在[],a b 三阶可微，且()()F x f x '=，()()F x f x '''=，()()F x f x '''''=由泰勒公式知()()()222a b a b b a F a F F ++-'=- 21()()222a b b a F +-''+ 311()()62b a F ξ-'''- 21()()()()()222222a b a b b a a b b a F b F F F ++-+-'''=++ 321()()62b a F ξ-'''+其中122a ba b ξξ+ ，从而()()()baf x dx F b F a =-⎰=[]312()()()()248a b b a F F F ξξ+-'''''''++=[]312()()()()()248a b b a b a f f f ξξ+-''''-++又已知()02a bf +=，所以 []312()()()()48bab a f x dx f f ξξ-''''=+⎰3312()()()()4824b a M b a f f ξξ--⎡⎤''''≤+≤⎣⎦ 其中max ()M f x ''=（[],x a b ∈）应用[]412 变限积分证明某些级数的一致收敛性例24若(,)K x t 在{},D a x b a t b =≤≤≤≤上连续，0()u x 在[],a b 上连续，且对任意的[],x a b ∈，令1()(,)(),1,2,3xn n a u x K x t u t dt n -==⎰则函数列{}()n u x 在[],a b 上一致收敛.证明 (,)K x t 在闭区域D 上连续，从而在D 上有界，即10M ∃ ，使得对(,)x t D ∀∈，1(,)k x t M ≤， 0()u x 在[],a b 上连续，从而在[],a b 上有界，即20M ∃ ，使得对[],x a b ∀∈，02()u x M ≤，所以101212()(,)()()()xau x K x t u t dt M M x a M M b a =≤-≤-⎰22112()(,)()()xxaau x K x t u t dt M M t a dt =≤-⎰⎰22221212()()2!2!M M x a M M b a --≤≤， 由数学归纳法可知()n u x ≤12()!n n M M b a n -，由12()lim0!n nn M M b a n →+∞-=及柯西准则可知 ()n u x 在[],a b 上一致收敛.例25设()f x 在上连续，1()()f x f x =，11()()n n xf x f t dt +=⎰，x ∀∈[]0,1，1,2,3,n =求证1()nn fx ∞=∑在01x ≤≤一致收敛.证明 由于 ()f x 在[]0,1上连续可知，0M ∃ ，使得()f x M ，()01x ≤≤，从而121()()(1)xf x f t dt M x M =≤-≤⎰，2132(1)()()2!2!xM x Mf x f t dt -=≤≤⎰，111(1)()()(1)!(1)!n n n xM x Mf x f t dt n n ---=≤≤--⎰又由于1(1)!n Mn ∞=-∑收敛，所以1()n n f x ∞=∑在01x ≤≤上一致收敛5其它一些应用5.1从定积分的信息中提取被积函数的信息例26设函数()f x [],C a b ∈，()0f x ≥，且()0ba f x d x =⎰，求证：在[],a b 上，()0f x ≡. 证明：因为对区间(),a b 上的每一个点x ，0()()0x baaf t dt f t dt ≤≤=⎰⎰，所以()0xaf t dt ≡⎰，所以 ()(())0xaf x f t dt '=≡⎰，故()0f x ≡()(,)x a b ∀∈，又函数()f x 在[],a b 上连续，故有()0f x ≡[](,)x a b ∀∈例27 设函数()f x [],C a b ∈，()0f x ≥，且()0ba f xd x=⎰，求证：在[],a b 上，()0f x ≡. 证明：因为对区间(),a b 上的每一个点x ，0()()0x baaf t dt f t dt ≤≤=⎰⎰，所以()0xaf t dt ≡⎰，所以 ()(())0xaf x f t dt '=≡⎰，故()0f x ≡()(,)x a b ∀∈，又函数()f x 在[],a b 上连续，故有()0f x ≡[](,)x a b ∀∈.2设平面上一点A(0,a)和抛物线0)a ，动点P 从坐标原点出发，沿抛物线移动，假定线段OA,AP 和抛物线所围成图形的面积对时间的增大速率为常数k ，求P 点的横坐标的变动速率.解由24x y a=设动点坐标P 的坐标为2(,)4x x a，设P 点在x 轴投影为Q ，则点Q 的坐标为(,0)x .再设曲边三角形OAP 的面积为S ，则S=梯形AOQP 的面积-曲边三角形OPQ 的面积=2201()244x x t a x dt a a +-⎰=31224a x x a+，由题设，k=228dS a dx x dxdx dt a dt=+解得2284dx akdt a x=+ 参考文献[1]. 华东师范大学数学系编,数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1981. [2]复旦大学数学系编,数学分析[M]，上海：科学技术出版社，1978. [3] 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法[M],高等教育出版社,1998. [4] 陈纪修 金路 於崇华编,数学分析上册[M],高等教育出版社,1979.[5] 孙本旺 汪浩编,数学分析中的典型例题和解题方法[M],长沙湖南:科学技术出版社,1981.Change to limit quality and its application of the integralAuthor:ge qin Superviser:yue su fangAbstract: In this paper,we discuss the definition of change to limit integral ，and discuss some qualities of change to limit integral .For example, continuity,micro ,strange doublet,monotone, periodic and so on .we combine an instance inquired into changing to limit integral in the subject of concrete application,For example , solve the original function of segmentation function and the limiting value of function, and so on. In addition, it can be lend support to a function verification equation and inequality.Keywords: change to limit integral; continuity; micro; strange doublet monotone;periodic.。
变限积分确定的函数的性质及其应用
变限积分确定的函数的性质及其应用变限积分确定的函数的性质及应用摘要由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。
本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。
关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。
ABSTRACTLimited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.目录一.变限积分的概念及其性质 (5)1.1变限积分的概念 (5)1.2变限积分的性质 (5)二.变限积分函数的应用 (9)2.1问题的提出 (9)2.2 变限积分函数的应用 (11)2.2．1利用变限积分求原函数 (11)2.2．2 化积分问题为微分学问题 (11)2.2.3 求定积分 (12)2.2.4变限积分的积分变量替换 (14)三．结论 (16)一、 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念定义1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积，则称 ⎰=Φxa dt t f x )()(，[]b a x ,∈叫变动上限积分。
变限积分函数的性质及其应用
404§3 变限积分函数的性质及其应用由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。
为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。
本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。
3.1 变限积分定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。
但需要先介绍一个概念：注 由于⎰⎰-=xbbxdt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。
证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。
对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +∆∈，按照Φ的定义有 ()()x x xaax x x fdt f dt +∆∆Φ=Φ+∆-Φ=-⎰⎰。
又函数)(x f 在[a ， b ]上可积，则)(x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对一切[],x a b ∈有()f x M ≤。
又当0x ∆≥时有x xx xx xxxxf dt f dt Mdt M x +∆+∆+∆∆Φ=≤≤=∆⎰⎰⎰。
405又不难验证，当0x ∆<时，上述不等式M x ∆Φ≤∆仍然成立。
从而有lim 0x ∆→∆Φ=。
这就证得Φ在[],a b 上的连续性。
3.2 微积分学基本定理1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。
下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。
下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。
证 ],[b a x ∈∀，任取0≠∆x ，且],[b a x x ∈∆+，则⎰⎰-=Φ-∆+Φ=∆Φ∆+xaxx at d t f t d t f x x x )()()()(⎰⎰⎰⎰∆+∆+=-+=xx xxaxx xxat d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(，由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +∆x 之间，使得x f ∆=∆Φ)(ξ，由于x x →⇒→∆ξ0，再由导数定义及)(x f 的连续性知)()(lim )(lim lim )(00x f f f x x xx x ===∆∆Φ=Φ'→→∆→∆ξξξ。
变限函数的有关性质及应用
一
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ｌ ．（２ ｉ ２ ｉ Ａ ｍ ｓ ｎ ｘ
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
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ｏ ａ ＋ （ 【（）・ （） ）ｔ ｇ 厂 】
是 ） 的一个 原 函数．
定理 ２ 设函数／ 在 ［６上连续 ， （） 吗 ］
２变 函 的 用 限数 应
２１ 利 用 变限函数 的性质 求 函数极 限 ．
∈ ｂ， （ｄ ， 则Ｊ ｔｔ ］ ｆ ）
关 键 词 ： 限 函 数 ； 限 ； 续 性 ； 调 性 变 极 连 单 中图分 类号 ： ７． Ｏ１ ２ ２ 文献标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３ １ ０ （ ０ １Ｏ — ０ ３ ４ １ ７ － ８ ８ ２ １ ） ３ ０ ２ —０
０ 引 言
变限函数又称变 限积分 ， 它是一类重要 的积分 ， 其最著名的应用是在牛顿一 莱布尼兹公式的证明中． 变 限积 分 除 了能拓 展我 们 对 函数概 念 的理 解 外 ， 在许 多 场合 都有 重 要 的应用 ， 其是 研 究生 人学 考 试 ， 尤 近年 来 常常 利用 变 限函数 的有关 性 质考查 求 函数 极 限 ， 函数连 续性 、 调性 与可导 性 的判定 以及有关 定 积分等 单 式 与不 等式 的证 明等方 面的应 用．
变限函数的有关性质及应用
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变限积分确定的函数的性质及应用摘要由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。
本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。
关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。
ABSTRACTLimited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.目录一.变限积分的概念及其性质 (5)1.1变限积分的概念 (5)1.2变限积分的性质 (5)二.变限积分函数的应用 (9)2.1问题的提出 (9)2.2 变限积分函数的应用 (11)2.2．1利用变限积分求原函数 (11)2.2．2 化积分问题为微分学问题 (11)2.2.3 求定积分 (12)2.2.4变限积分的积分变量替换 (14)三．结论 (16)一、 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念定义1：如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积，则称 ⎰=Φxa dt t f x )()(，[]b a x ,∈叫变动上限积分。
⎰=ψbxdt t f x )()(，[]b a x ,∈叫变动下限积分。
定义2：（推广定义）：如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积，0x 为[]b a ,内任一点，则称⎰=Φxx dt t f x 0)()(，[]b a x ,∈叫变动上限积分。
⎰=ψ0)()(x xdt t f x ，[]b a x ,∈叫变动下限积分。
变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊以及它的连续性、奇偶性、周期性等。
特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的一个知识点，现就它的几个性质加以举例说明。
1. 2变限积分的性质定理1(连续性)：设函数)(x f 在区间[a ，b]上可积，则变动上限积分函数⎰=Φxx dt t f x 0)()(在[a ，b]上连续，其中0x 为[a ，b]内任一点。
证：对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义有⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φxx ax axx xdt t f dt t f dt t f )()()(因f 在[]b a ,上有界，可设[]b a t M t f ,,)(∈≤。
于是，当0>∆x 时有⎰⎰∆+∆+∆≤≤=∆Φxx xxx xx M dt t f dt t f )()(；当0<∆x 时，则有x M ∆≤∆Φ，由此得到0lim 0=∆Φ→∆x ，即证得Φ在点x 连续，由x 的任意性，Φ在[a ，b]上处处连续。
定理 2(导数定理)：如果函数)(x f 在区间[a ，b]上连续，则变动上限积分))((⎰=Φxadt t f x 在],[b a 具有导数，并且它的导数是⎰==Φxa x f dt t f dxd x )()()(' 证明:对[]b a ,上任一确定的x ，当0=∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义和积分第一中值定理，有⎰∆+∆=∆∆Φxx x dt t f xx )(1 =10),(≤≤∆+θθx x f 由于f 在点x 连续，故有)()()(lim lim'x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ→∆→∆θ 由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数。
定理 3 (导数推广)：如果函数)(x f 在区间[a ，b]上连续，0x 为[a ，b]内任一点，则变动上积限积分)()()(0x f dt t f dx d x xx ==Φ⎰，x ][b a ，∈。
（证明略） 注：（1）区间a 可为-∞，b 可为+∞；（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x （不是含x 的其他表达式）；第二，呗积函数f 中只含积分变量t ，不含参变量x 。
下面看几个关于变积分导数应用的典型例题: 例1：设dt e u conx t ⎰-=Φ12)(，求)(x Φ。
分析：dt e x ut ⎰--=Φ12)(和u=x cos 复合而成，要使用复合函数求导法则解：222cos cos cos 1sin )(cos )()(x x x xe x edt e dx d x x t ---=-=-=Φ⎰ 例2：设dt t x x x⎰+=Φ2231)(，求)(x Φ。
解：在31t +的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得dt t dx d x x⎰+2231= dt t dx d x ⎰+0231+ dt t dx d x ⎰+2031=-2631281x x x +++例3：设)(x f 可导，求dt t x tf dx d x⎰-0)2(分析：这里被积函数f 中除含积分变量t 外，还含参变量x ，不能直接使用变限积分的导数定理，通常要通过变量替换消去被积函数f 中参数x ，则令u=2x-t 即可解：令u=2x-t ，则⎰⎰-=-xxxdu u f u x dt t x tf 20)()2()2(=2x ⎰xxdu u f 2)(-⎰xxduu uf 2)())2((0dt t x tf dx d x⎰- =2⎰xxdu u f 2)(+2x[2)()2(x f x f -]-[2x )](2)2(x xf x f -=2⎰-xxx xf du u f 2)()(例4：设x=0时dt x t f x F x ⎰=1)()(-dt xf x ⎰1)1(，其中函数)(x f 在区间（0，+∞）上连续且单调增加，试证F(x)在（0，+∞）也单调增加。
分析：自然的想法是求F /(x),F(x)中的第一项变限积分的被积函数f 除依赖于积分变量t 外，还依赖于x ，因此要通过变量替换消去被积函数f 中参数x 证明：令x t u =,则dt t f du u xf x F x x⎰⎰-=111)1()()(=⎰⎰--x x tf dt t f x 111)1()(由变限积分求导法得：)('x F )1()1()1()(211x f xx xf dt t f x ----=⎰=⎰--x dt t f x f x 11)()1()11(比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得：)('x F ⎰⎰-=x x dt t f dt x f 1111)()1( =dt t f x f x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11)()1(当0<x<1时，11>x，1<t<x 1，0)()1(>-t f x f ，当x>1时，0<x 1<1，x 1<t<1，0)()1(<-t f xf ，于是)('x F >0（x>0,x 1≠）,0)1('=F 因此，F(x)在)0(∞+，单调增加。
定理3（奇偶性）设)(x F =⎰xx dt t f 0)(，其中函数)(x f 在区间[a ，b]上可积，0x 为[a ，b]内任一点。
若函数f(x)为奇函数，则)(x F 为偶函数。
证明：由变量替换有 x x -==-)(x F du u f u d u f dt t f xx xx xx ⎰⎰⎰---=--=0)()()()(=⎰-00)(x x du u f +⎰xx du u f 0)(=0+)(x F即)(x F 为偶函数。
例7：如果函数f(x)在区间),(+∞-∞内连续，且F(x)=dt t x f t x x)()2(0--⎰，试证：若函数f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数。
证明：F(x)= dt t x f t x x)()2(0--⎰ut x =-⎰-x du u f x u 0)()2(=du u uf x⎰)(2-xdu u uf x⎰)(2⎰⎰-+=-x xdu u f x du u uf x F 0)()(2)(su -=.)()()(20⎰⎰=-xxx F ds s f x s sf所以F(x)也是偶函数。
定理4（周期性）设)(x f 是以Ｔ为周期的可积函数。
试证：[]dt I t f x x⎰-=Φ0)()(亦是以Ｔ为周期的函数。
式中⎰=Tdt t f TI 0)(1证明：[]⎰+-=+ΦTx dt I t f T x 0)()(＝[][]⎰⎰+-+-T xx xxdt I t f dt I t f )()(0＝⎰+-+ΦTx x IT dt t f x )()(＝⎰⎰-+ΦTTdt t f TTdt t f x 00)(1)()(＝)(x Φ例8：设f(x)是在),(+∞-∞内以T 为周期性的连续函数，则下列函数中也是以T 为周期性的是（A ）⎰x dt t f 0)( (B) ⎰-0)(xdt t f（C ）⎰x dt t f 0)(+ ⎰-0)(xdt t f (D) ⎰x dt t f 0)(+⎰-0)(xdt t f分析：利用周期函数的积分性质解题，一般有以后结论：以T 为周期的连续函数f(x)的原函数以T 为周期⎰=⇔Tdx x f 00)(解：由周期性函数的积分性质得⎰+=Tx dt t f 0)(⎰xdt t f 0)(+ ⎰+Tx dt t f 0)(=⎰x dt t f 0)(+⎰Tdt t f 0)(⎰--=)(Tx dt t f ⎰-0)(xdt t f +⎰---xTx dt t f )(=⎰-0)(xdt t f +⎰Tdt t f 0)(因为⎰T dt t f 0)(不一定为零，所以，⎰x dt t f 0)(与⎰-0)(xdt t f 不一定以T 为周期，而⎰⎰+---Tx Tx dt t f dt t f 0)()(=⎰⎰--x xdt t f dt t f 0)()(所以⎰⎰--x xdt t f dt t f 00)()(以T 为周期而⎰⎰+--+Tx Tx dt t f dt t f 0)()(=⎰⎰⎰++-Tx xt f dt t f dt t f 00)(2)()(所以⎰⎰-+x xdt t f dt t f 0)()(不一定以T 为周期，故选（C ）二、 变限积分函数的应用2.1问题的提出纵观微积分教材，一元函数微积分部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛莱公式），极限是研究这些概念和定理得的工具，也是联系他们的一条无形的链，在说明不定积分与其他概念的联系时，牛莱公式起到了重要作用，牛莱公式是微积分的核心。