牛莱公式
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牛莱公式与定积分计算
π
例4
求
2
0
sin 4
x
cos
xdx.
或 1e2x dx 0
解 令sin x t，则cos xdx dt，
当x 0时，t 0，当x π时，t 1，则 2
π
所以 2 sin4 x cos xdx 0
1 t 4dt
0
1 5
t
5
1 0
1. 5
π
π
方法二
2
0
sin4
x
cos
xdx
2
0
sin4
上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.
注意：
(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相 应的变换，即“换元必换限”.
(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不 必再还原为原变量.
(3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求
满足 ( ) a,( ) b，即 t 对应于 x a ，t 对应于 x b .
1 0
201 et dt
2[e et
2e (e
1
]
0
1)
2.
练习：P120 3（11）
小结：牛—莱公式，定积分换元积 分法和分部积分法
作业：P120 3（1）、（9）、（10）
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F(b) F(a).
上式称为牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
牛莱公式与换元积分法与分部积分法
xd(
sin
x)
1
sin5 x
π 2
5
0
5
1 5
sin
π 2
sin 05
1. 5
注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以 不引入中间变量
例5 计算
e4 1 x(1 ln x) d x
解
e4
e4
1 x(1 ln x) d x 1 1 ln x d(1 ln x)
=
4ln 1 ln x e 1
1 0
201 et dt
2[e et
2e (e
1
]
0
1)
2.
练习：P120 3（11）
小结：牛—莱公式，定积分换元积 分法和分部积分法
作业：P120 3（1）、（9）、（10）
b
a
(uv)'dx
b
a
vu'dx
b
a
uv'dx,
由于
b
(uv)'dx
a
uv|ba ,
所以
b a
uv
'dx
uv|ba
b
u'vdx.
a
即
b
udv
a
uv|ba
b
vdu
a
例6
求
1 xexdx.
0
解 令u x，dv ex dx；du dx，v ex,
代入分部积分公式，得
xe 1 xexdx
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F(b) F(a).
上式称为牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
微积分牛顿莱布尼茨公式
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
变限积分函数及牛莱公式
x2 sin t dt
dx 1 t
20:30
9
第10页/共25页
变限积分求导公式
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
a
f (x)dx
0
3
0
a
f (x)dx
a3
0
3(a 1)
20:30
21
第22页/共25页
例13. 下列做法是否有问题
1 1
1 x2
dx
1 x
1
1
2
由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满足 Newton—Leibniz定理之条件，故不可用这一公式。
强调：在利用Newton—Leibniz定理的时候，验证定理条件 是否满足是必要的！
F(xn ) F(x0 ) F(b) F(a)
当 n 时，或者说当每一个 xi 0 时， f (i ) f (i ),
= 上面的“ ”化为
20:30
3
第4页/共25页
于是我们就得到了
b
a
f
( x)dx
lim
x0
Sn
F (b) F (a)
即
b
a f (x)dx F (b) F (a)
20:30
22
第23页/共25页
小结
1.积分上限函数的性质，其导数Fra bibliotek计算；2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 的证明及应用
高等数学牛莱公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(x)
d
x
b
,
则
2. 求
的递推公式(n为正整数) .
解：由于 In1
2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
定理1. 若
则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
y f (x)
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10 5t) d t
10t
5 2
t
2
2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
变限积分函数及牛莱公式
f
(t )dt
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
12:54
( x)
oa
x x x b x
8
x
a
f
(t )dt
x x
x
f
(t )dt
x
a
f
(t )dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
o
f ( )x [x, x x],
( x)
2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 的证明及应用
12:54
24
[a, b]上定义了一个函数。
12:54
7
积分上限函数的性质
定 理 １ 如 果 f ( x) 在[a,b]上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
( x)
x
a
f
(t )dt
在 [a,b]
上
具
有
导
数
，
且
它
的
导
数
是
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
(a x b)
y
证
( x
x)
xx
a
f (t )dt
0
x t 2dt
0
当x [1,2] 时,( x)
x
f (t)dt
1t 2dt
0
0
1 x3
3
x
1
t 2
1 x2 1 26
综上, ( x)
1
1 x3, 3 x2 1
,
高等数学5_2牛莱公式
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设 f ( x) 在[0 , + ∞)内连续, 且 f ( x) > ( x) = 0
x
x
在 (0 , + ∞) 内为单调递增函数 . 证: F ′( x) =
0
∫0 f (t ) d t
x
0 2
x
只要证
F ′( x) > 0
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
b
2. 变限积分求导公式
公式
目录
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作业
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节 目录
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结束
备用题
2
1. 设 f ( x) = x − x ∫ f ( x) d x + 2 ∫ f ( x) d x , 求 f ( x). 0 0 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 解： 设
机动 目录 上页
x
>0
(0 < ξ < x )
下页 返回 结束
0， ∴ F ( x) 在 （ + ∞)内为单调增函数 .
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2. 设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原 函数 , 则
∫a f ( x) dx = F (b) − F (a)
x f ( x) ∫ f (t ) d t− f ( x) ∫ t f (t ) d t
x
( ∫0 f (t ) d t )
=
x
=
f ( x) ∫ ( x − t ) f (t ) d t
例3. 设 f ( x) 在[0 , + ∞)内连续, 且 f ( x) > ( x) = 0
x
x
在 (0 , + ∞) 内为单调递增函数 . 证: F ′( x) =
0
∫0 f (t ) d t
x
0 2
x
只要证
F ′( x) > 0
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
b
2. 变限积分求导公式
公式
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作业
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节 目录
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备用题
2
1. 设 f ( x) = x − x ∫ f ( x) d x + 2 ∫ f ( x) d x , 求 f ( x). 0 0 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 解： 设
机动 目录 上页
x
>0
(0 < ξ < x )
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0， ∴ F ( x) 在 （ + ∞)内为单调增函数 .
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2. 设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原 函数 , 则
∫a f ( x) dx = F (b) − F (a)
x f ( x) ∫ f (t ) d t− f ( x) ∫ t f (t ) d t
x
( ∫0 f (t ) d t )
=
x
=
f ( x) ∫ ( x − t ) f (t ) d t
高数微积分牛莱公式
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )
? ?
T2 v(t)dt ?
T1
s(T2 ) ?
s(T1 ).
其中 s?(t) ? v(t).
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
?a f ( x)dx? ?a f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
记
?
(x) ?
x
?a
f (t)dt.
积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数?
(x)
?
x
?a
f (t)dt在[a, b]上具有导数，且它的导
的一个原函数，则
b
?a
f
( x)dx
?
F (b) ?
F (a).
证 ? 已知F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，
又?
x
? ( x) ? ?a f (t)dt也是 f ( x) 的一个原函数,
? F ( x) ? ? ( x) ? C x ? [a,b]
12
? F (x)? ? (x) ? C
b( x )
a( x)
? ?0 f (t)dt ? ?0 f (t)dt,
F ?( x) ? f ?b( x)?b?( x) ? f ?a( x)?a?( x)
7
?1e ? t2 dt
例1 求 lim cos x .
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n
1
i1 1 i
2
1 n
n
1 0
1
1 x
2
dx
[arctan x]10
lim
n
i
p
1
n i1 n n
1 x pdx 0
x p
p 1
1
10
1 p 1
arctan1
4
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另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
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1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
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n n
例6 求
lim
n
i 1
n2
i2
例7.求
1p lim
n
2p n p1
np
( p 0)
lim
n
1
2
1 x2
2 0
arcsin
x
2 0
2
3
6
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例4
求 lim n
n1 i1 1 i
1. n
n
n
解 易见 lim
1 1 是函数 f ( x) 1 在 [0, 1]
n i1 1 i n
1 x
n
上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为
Tn : 0
1 x2dx
0
1 3
x
3
1
0
13 3
03 3
1 3
例2. 1 dx ln x 1 ln1 ln 2 ln 2
2 x
2
例3.
1 2
2x 1 dx 2
1 2
x
1
dx 2
0 1 x2
0 1 x2
0
1 dx
1 x2
1
1 n
L
n 1 1, n
i
i [i 1, nn
i ], n
i
1,
2,L
, n.
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因此
n 1
lim n i1 1
i
1 n
1
0 1
1
x
dx
n
ln(1 x) 1 ln 2. 0
1
例5 求 lim(1 1)(1 2) (1 n)n .
定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件:
(i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,
则
(1) f 在 [a, b] 上可积;
(2)
b
f
( x)dx
F(x)b
F (b)
F (a).
a
a
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例1.
§2 牛顿－莱布尼茨公式
显然, 按定义计算定积分非常困难, 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算.
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若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积分
定义,质点从时该a到b所经过的路程为 s b v(t)dt . a
n n
n
n
1
解
令
an
ln (1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
1 n ln 1 i ,
n i1
n
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则 因此
1
lim
n
an
ln(1 x)dx
0
[(1 x)ln(1 x) ( x 1)]1 0
2ln 2 1.