D5_2 牛莱公式
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
牛莱公式
n
1
i1 1 i
2
1 n
n
1 0
1
1 x
2
dx
[arctan x]10
lim
n
i
p
1
n i1 n n
1 x pdx 0
x p
p 1
1
10
1 p 1
arctan1
4
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另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
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1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
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n n
例6 求
lim
n
i 1
n2
i2
例7.求
1p lim
n
2p n p1
np
( p 0)
lim
n
1
2
1 x2
2 0
arcsin
x
2 0
2
3
6
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例4
求 lim n
牛二定律所有公式
牛顿第二定律所有公式牛顿第二定律是经典力学中的一个基本定律，它描述了力和加速度之间的关系。
牛顿第二定律可以用数学公式表达为：F=ma其中，F是作用在物体上的合外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个公式说明，物体的加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第二定律可以推导出许多其他的公式，用于解决不同情况下的力学问题。
下面我们介绍一些常见的牛顿第二定律的公式。
匀变速直线运动如果物体在直线上做匀变速运动，那么它的速度、位移和时间之间有如下关系：v=v0+ats=v0t+12at2v2=v20+2as其中，v是物体的末速度，v0是物体的初速度，s是物体在时间t内的位移，a是物体的加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
圆周运动如果物体在圆周上做匀速运动，那么它的线速度、角速度和半径之间有如下关系：v=ωr其中，v是物体的线速度，ω是物体的角速度，r是圆周的半径。
这个公式可以用几何关系推导出来。
如果物体在圆周上做非匀速运动，那么它受到两个方向的加速度：向心加速度和切向加速度。
向心加速度指向圆心，切向加速度沿着切线方向。
这两个加速度和线速度、角速度和半径之间有如下关系：a c=v2r=ω2ra t=dvdt=rdωdt其中，a c是向心加速度，a t是切向加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
受力平衡如果物体处于静止状态或匀速运动状态，那么它受到的合外力为零，即：∑F=0这个条件称为受力平衡条件，它可以用于求解静力学问题。
例如，如果一个物体悬挂在两根绳子上，那么它受到三个力：重力、绳子1的拉力、绳子2的拉力。
如果物体不动，那么这三个力必须平衡，即：F g+F1+F2=0其中，F g是重力，F1是绳子1的拉力，F2是绳子2的拉力。
这个方程可以用矢量相加或分解为水平和垂直分量来求解。
动量定理如果物体受到一个变化的力，在一段时间内从初速度变为末速度，那么它的动量也发生了变化。
(十)牛莱公式
的面积 . 解: A= ∫ sin xdx
0
π
y
y =sin x
= −cos x
π
0
= − 1−1] = 2 o [−
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π x
返回 结束
备用题
1. 设
1 2
求
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
∫0
f (x)d x = a ,
∫0
f (x)d x = b , 则
定理2. 定理 函数 , 则
∫a f (x)dx = F(b) − F(a) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
故
x a
b
证: 根据定理 1,
F(x) = ∫ f (x)dx +C
因此 得
记作
∫a f (x)dx = F(x) − F(a)
x
机动
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结束
例1. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3−arctan(−1 ) 2 − 1+ x 1 −1 π π 7 = −(− ) = π 3 4 12 例2. 计算正弦曲线
机动
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结束
例1. 计算 解: 令 x= asint , 则 dx = acost dt , 且
, 当x = 0时 t = 0; x = a 时 t = π . , 2
∴ 原式 =
2 2 2 a 0 cos tdt 2 π
∫πy源自y = a −x2
2
a 2 = ∫ (1+cos2t)dt 2 0
1 3 2 = ∫ (t +3)dt 21 3 1 13 = ( t +3t ) 2 3 1
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿莱布尼茨公式使用的条件
牛顿莱布尼茨公式使用的条件牛顿-莱布尼茨公式（或称牛莱公式）是微积分中的一个基本公式，描述了函数在一定区间上的积分和它的原函数之间的关系。
牛莱公式不仅可以简化微积分的计算，还被广泛应用于各种实际问题的解决中。
但是，牛莱公式在使用时也存在一些限制和条件，下面我们来一一分析。
首先，对于牛莱公式的应用，最基本的条件就是函数必须是连续的。
因为牛莱公式的本质是关于定积分和不定积分之间的关系，而连续函数在一定区间上存在原函数，从而满足积分中值定理的条件。
因此，在采用牛莱公式求解问题时，首先需要确定定义域，并对函数的连续性进行分析，确保函数在这一区间上是连续的。
其次，对于牛莱公式的使用，还需要满足一些其他条件。
例如，函数的积分区间必须是有限的并且是闭合的。
因为不定积分所描述的是函数在一定区间上的变化情况，如果积分区间不是有限的，或者不是闭合的，那么积分的结果就无法确定。
此外，如果积分区间上的点有间断，则需要进行分段处理，才能确保求出的积分结果正确。
另外，还需要满足函数的可微性与可导性。
这是因为牛莱公式需要利用一阶微分的概念，对积分的上下限进行微分，所以函数在积分区间上具有可微性或可导性，才能满足公式的使用条件。
最后，需要注意的是，对于非解析函数和多元函数的积分，牛莱公式并不一定适用。
这主要是因为这些函数的原函数极其复杂，难以找到，导致求积分的方法变得非常困难。
在使用牛莱公式求解实际问题时，以上几个条件是必须要注意到的。
当然，在一些特殊的情况下，还可能存在其他限制和条件，需要结合具体的问题进行分析和判断。
总之，牛莱公式是微积分中的一项重要工具，它的使用条件虽然有些苛刻，但只要在满足这些条件的前提下正确使用，就能有效地简化求解过程，并取得理想的结果。
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3 4 12
例5. 计算正弦曲线
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
361000 3600
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼茨公式
2. 变限积分求导公式
作业
P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(x)
d
x
b
,
则
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式
洛
=
c ≠0 , 故 a 1. 又由
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
例3.
证明
只要证
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
Байду номын сангаас
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
2. 设
时, = o( ) .
证：
lim
x0
洛
lim
x0
tan x
3
sin x 2
2x 1
2x
lim
x0
x 2x
3
x 2
1
2x
lim
x0
2x2
1 2
x
0
所以 = o( ) .
试证: 当
x 0时 tan x ~ x sin x ~ x
3. 求
的递推公式(n为正整数) .
解: 由于 In1
h0
h
h0
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
π2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
In
I n1
π
20 2
cos(2n 1)x sin x
sin
x
dx
2 π2 cos(2n 1)x dx 2(1)n1
0
2n 1
所以
In In1
其中
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a
f
(
x)
dx
F
(
x)
F
(a)
得
记作
或
例4. 计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10
5t)dt
10t
5 2
t
2
2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
第二节 微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
在
内为单调递增函数 .
F(x) 0
x
x
证:
x f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t
x
0
f
(t)
d
t
2
x
f
(x)0 (x t)
x
0
f
(t
)
d
t
f (t) d t
2
f
(x) (x ) f ( ) x
x
0
f
(t
)
d
t
2
(0
0 x)
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2.