1.数理方程中典型方程和定解条件的推导

x
x dx
i ( x, t )
Rdx
Ldx
P
●
i di
Gdx
v ( x.t )
Cdx
●
v dv
x
x dx
电路准备知识
电容元件：
du i C dt
C
C
q Cu dq d (Cu) du i C dt dt dt q idt
电感元件：
di L uL L dt
不含初始条件 不含边界条件
1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （建立偏微分方程并求解）
目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。
步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；
y
将物理学中的矢量方程 ，分别向坐标轴投影。
F ma mr
d2y m 2 Fy m y dt
0

Fx
F d2x m m x
d t2
d2y m 2 Fy m y dt
m
d2x m 2 Fx m x dt
x
第一章
§
一些典型方程和定解条件的推导
u
ds
M M
T’
所以有：

cos 1 ; cos 1
1 tg 2 se c2 1 1 cos2

T
o
N
ds.g
M
tg 正是切线的斜率，即
u x
x
sin பைடு நூலகம்
tg 1 tg 2
tg
u x
x
x
x dx
sin
tg 1 tg 2
三. 电磁场方程的建立
四. 热传导方程的建立 五. 举例
数学物理方程的建立： 从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、 热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其 整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。
适用范围： 这是从事科学研究的基本 方法与路径。
——
―一语道破！”
物理学中对应微分方程 建立的基本原则 ——
流入 由基尔霍夫电流定律:
v i L Ri 0 x t
(1.4)
流出
i ( x, t ) (C d x )
v v i (v d x ) (G d x )(v d x ) i ( x, t ) d x t x x x
辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，
因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
＋
L
x
x dx
物理状态描述:
设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和 电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元 件无论布局如何，均认为其长度为 dx.

－
–
i dx x L
v dx x
x

v G dx v dx x

C
v
duC iC C dt
x dx
di u L dt
L
输出端
由基尔霍夫电压定律:
U R U L v (v
v dx) x
i v Rdx i Ldx dx t x
x dx
v j R j L x t
v (R L ) j 0 x t
亦即
j v G v C x t
亦即
(G C
x
j )v 0 t x
将 G C
作用于第一式, t
作用于第二式,两结果相减,就消去了 v 而得 j 的方程

——摘恩格斯.《自然辩证法》
导数
关于函数的某种形式的极限 函数在某点上的变化率 某点上切线的斜率
例如: d x 2 2 x dx
（实质） （数学结构） （几何意义）
微分算子 d 增量 改变量
又如： u( x dx, t ) u( x , t ) u( x , t ) u( x , t d t ) u( x , t ) u( x , t )
a ux x ut t
2
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著
y 0 变成了 x 0
但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。 我们记扬弃了的（或消失了的）
x d x
那末，导数就是
y d y
dy f ( x ) , 或 是 dy f ( x )dx dx
导数
——从运动的观点看导数的定义
―只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅 表明状态，并且也表明过程：运动。”
tg
u x
x dx
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1)
(2)
T sin T sin ds g ds ut t
于是（1）式变为： ①对于小振动：
0 ; 0
cos 1 ; cos 1
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T、T — —微元dS 两端所受张力
— —细弦的线密度（单位 长度内的质量）
u
g — —重力加速度
T’
ds
M
M'
'

T
o N x
ds. g
N’ x+dx
隔离物体法
X
1、建立坐标系
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T cos T cos 0
u( x dx, t ) u( x , t ) T dx ut t x x
上式右边方括号内，实 际上 表示函数的增量，于是 有
u( x dx, t ) u( x, t ) u x x
本课程将集中解决两个 问题
一、如何建立偏微分方 程
二、如何求解偏微分方 程
数学物理方程与特殊函数
数学物理方法
思路 第一章
一些典型方程和定解条件的推导
Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions
提要：
一. 均匀弦的横振动方程的建立 二. 传输线方程(电报方程)的建立
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
u
T’
ds
M
M'
'

T
o N x
ds. g
N’ x+dx X
导数 — —如果差商
y 的极限 x
lim
1
导数
y f ( x1 ) f ( x ) lim x 0 x x x x1 x
j 2 j 2 j RGj ( LG RC ) LC 2 0 t t x2
同理,消去
j
,得到 v 的方程
v 2v 2v RGv ( LG RC ) LC 2 2 0 t t x
参阅：丘关源主编《电路》P426-430，第十八章，均匀传输线。
dy 存在，这个极限就称为 函数 f ( x ) 在 x 点的导数，记作 ，或 y x . dx
马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃” 是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy 和分母Δx 都 被扬弃了，就是说，它们都消失为 0 ，从而有限大小的 Δx 和 Δy 都被克服，差商
（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；
（4）化简整理，得到偏微分方程。
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外， 不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系
又如： u( x dx, t ) u( x , t ) u( x , t )
u( x , t d t ) u( x , t ) u( x , t )
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) 再如： x x
4、整理化简
x dx
di u L dt
L
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
j
v
j dj
v dv
d v R dx j L dx
d j G dx v
x
(Cdx v ) t
j t
i ( i di ) Cdx v Gdx v t
P 5 (1.5)
”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+ - v ( x, t )
Ldx
i( x, t )
P
＋ ● －
i +di
C L
Cdx
●
Gdx C
– v dv
L
duC iC C dt
x
图 1 2
tg
ut t g ， 将 g 略去，上式变为 ②一般说来，
T u x
x dx
T
u x
x
ds ut t
T(
u x
x dx
u x ) d x ut t x
T T
T( u x
x dx
u x ) d x ut t x
T
u dx dx ut t x x
T u u 2 2 x t
2 2
上式右边方括号内的分 子，它表示 自变量 x 产生了dx 的变化，而引起 对应的函数值从 u( x , t ) 到 u( x dx, t )
令
T

a
2
，于是有：
的改变量，不妨用微分u 代替。
u T( x
x dx
u x ) dx ut t x
左边方括号内的表述形 式， 依据微分性质，可以写 成
u( x dx, t ) u( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) x x x
上式实际上可以明确表示为：
sin tg 1 tg 2
tg 1 tg 2
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(ut t g)
u x
u x
x
tg
T
x dx
u x
x dx
T
u x
x
ds( ut t g )
sin
设某时刻 t ，对应关系如下： 左端：
x v x, t i x, t
；
右端:
x dx v
v i dx i dx x x
输入端
i x, t
+ -
R dx
L dx
＋
P
+i
C L
v x, t
v v dx x C dx t
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) 再如： x x
3、忽略与近似
T cos T cos 0
(1) (2)
T sin T sin ds g ds ut t
① 对于小振动：
0 ; 0
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
ds dx，即长度 ds 在振动过程中不随时间 而变，所以张力不随时 间而变。
总之，张力既与x 无关，又与t 无关，它在振动过程中 是一个常数。
微分算子 d 增量 改变量
例如: d x 2 2 x dx
dL uL dt L Li uL L i di dt
1 udt L
换路定理:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
与同学们商榷的几个问题：（P4-5）
（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流
i
作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？ “另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即