2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集，，0，，则A. B. 1， C. D. 1，2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则a，b，c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．11.若的展开式中的系数为，则实数______．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为______．13.函数的图象在处的切线被圆C：截得弦长为2，则实数a的值为______．14.若，，且，则此时______，的最小值为______．15.已知函数，则______；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若，求：边长c；的值．17.如图所示，平面平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：平面CDE；Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．18.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别是、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切．求椭圆C的标准方程；设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记，，令，求S的最大值．19.数列是等比数列，公比大于0，前n项和，是等差数列，已知，，，．Ⅰ求数列，的通项公式，；Ⅱ设的前n项和为：求；若，记，求的取值范围．20.已知函数，a，，且若函数在处取得极值，试求函数的解析式及单调区间；设，为的导函数，若存在，使成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，，，0，，，1，．故选：B．可以求出集合I，然后进行补集、并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：“”，即，“”是“”的充要条件．故选：C．，化简即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：函数是在时，函数是连续的增函数，，，函数的零点所在的区间为，．故选：C．由函数的解析式可得，，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．5.答案：B解析：解：由题意得：，解得，由题意得内的人数为人，内的人数为人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，则的数学期望．故选：B．由频率分布直方图求出，内的人数为9人，内的人数为3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：解：函数，函数的周期为：，所以A不正确；，解得：，所以函数在区间上是减函数，所以B正确．时，可得：，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位得到函数，所以D不正确；故选：B．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调减区间，对称轴以及函数图象的变换，判断选项的正误即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的图象的对称性，单调性，三角函数的特征的变换，是基本知识的考查．7.答案：A解析：解：构造函数，则函数单调递减，，，，故选：A．构造函数，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．8.答案：D解析：解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；综上，共有种不同的提问方式．故选：D．先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．【解答】解：由题意可得，是圆O的任意一条直径，，，．要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方可得，当时，，取得最小值1，故的最小值为，故选C．10.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．又．则．故答案为：．复数为纯虚数，可得，，解得又利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，则实数，故答案为：．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据的系数为，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：解析：解：由正方体的体积为8，可知正方体的棱长为2，作其截面图如图，可得半球体的半径，则其体积故答案为：．由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：或2解析：解：由题意得，所以，．所以切线为：，即．圆C：的圆心为，半径，又因为弦长．所以圆心到直线的距离为．所以到切线的距离为：，解得或2．故答案为：或2．先利用导数表示出函数在处的切线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值．本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系．涉及直线与圆相交的弦长问题，注意利用垂径定理列方程求解．属于中档题．14.答案：2解析：解：因为，所以，，且x，．．故答案为：2，．先根据已知的等式，找到x，y之间的关系式，然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值．本题考查利用基本不等式求最值的问题，关键是适用条件要把握准，取等号的条件成立．属于中档题．15.答案：81解析：解：函数，；；；若，则，，．若，则，，．，，．设和，则方程在区间内有3个不等实根，、等价为函数和在区间内有3个不同的零点．作出函数和的图象，如图：当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点时，两个图象有4个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程在区间内有3个不等实根，则或．故实数的取值范围为：故答案为：81，根据分段函数的解析式得到；即可求出第一问；作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．注意第二问是问a的倒数的取值范围．16.答案：解：Ⅰ由已知及正弦定理得分，，，分分Ⅱ因为，，由余弦定理得，分由，分因为B为锐角，所以分，分分解析：利用正弦定理、和差公式化简即可得出．因为，，利用余弦定理即可得出．由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：Ⅰ证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：0，，0，，0，，0，，4，，2，，则，0，．，，为平面CDE的一个法向量．又平面CDE．平面CDE．Ⅱ设平面ADE的一个法向量为，则0，，4，，得1，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1，，，设直线EF与平面ADE所成角为，则因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．解析：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．Ⅰ为平面CDE的一个法向量，证明平面CDE，只需证明；Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1，，，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18.答案：解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切，即，又椭圆的离心率，解得：，椭圆C的方程为：；由可知：椭圆的右焦点，设，，，丨丨丨丨，设直线MN：，，整理得：，，，，，由，，当且仅当时，即时，取等号，S的最大值．解析：椭圆C：焦点在x轴上，，又椭圆的离心率，解得：，即可求得椭圆C的方程为；由，，丨丨丨丨，设直线MN：，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：，由基本不等式的性质，即可求得S的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查椭圆与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设数列的公比为，，因为，，可得，整理得，解得舍或，所以数列通项公式为．设数列的公差为d，因为，，即解得，，所以数列的通项公式为；Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得，所以；由可得，所以的前n项和．又在上是递增的，．所以的取值范围为解析：Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差，然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程，求出结果代入通项公式即可解决问题；Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出，再利用分组求和的办法算出；先由前面的结果求出，再利用裂项相消法求出，最后利用数列的单调性求出其取值范围．本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法，还有利用数列的单调性求取值范围，属于有一定难度的题．20.答案：解；由题意，，由函数在处取得极值，得，即，解得，则函数的解析式为，定义域为，，又对恒成立，令则有，解得，且，即或；同理令可解得或；综上，函数的单调增区间为和，单调减区间为和由题意，则，，由条件存在，使成立得，对成立，又对成立，化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，求导得，令，为二次函数，图象开口向上，，则，又，则，在区间上单调递增，值域为，所以的取值范围是．解析：先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数a，b，然后利用令和求解函数的单调区间；将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷1（含答案解析）
2020年天津市和平区高考数学一模试卷1一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.己知集合A={x\x一2N0},B={0,2,4},贝W n B=()A.{0}B.{2}C. (2,4)D.〔0,2,4}x—y<32.设变量乙y满足约束条件{x+y>1，贝ijz=2x-y的取值范围为()x+3y<3A.[-1,3]B.[-1,6]C.[-1,5]D.[5,6]3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()I开冬IA.64B.32C.16D.54.己知中，z^=120%a=VH>三角形/4BC的面积为有，且bvc,则c-b=()A.V17B.3C.-3D.-<175.使不等式0VxV2成立的充分不必要条件是()A.0<x<1B.-|<x<1C.-1<x<2D.0<x<26.若a>b,则下列不等式一定成立的是()A.Ina>lnbB.O.3a>0.3dC.潟>潢D.\ja>vT7.己知双曲线亡+=1的离心率为3,有一个焦点与抛物线y=的钱点相同，那么双曲线的m n m渐近线方程为()A.2\f2x+y=0B.x+2\[2y=0C・x±2y=0 D. 2x±y=Q8.已知函数/Xx)= {x—2\nx t x> 1若关于X的方程/(x)=k恰有3个不相等的实根，则实-x2+2x f x V1'数k的取值范困为()A.(2—2/2,1)B.(一8,2—2山2)C. (2—2bi2,+8)D.(1,+co)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.若复数雷(b e R)为纯虚数，则b=10.已知直线ax-y+6=0与圆心为C的圆(x+I)2+(y-a)2 =16相交于A、8两点，旦乙ABC是直角三角形，则实数〃等于.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm).则该几何体的体积(单位：m?)等于___:表面枳(单位：cm?)等于.12. 若函数f(x)=x 3+x 2-l.则f(l) + [/(l)]F =・13. 在菱形 ABCD 中.AB = 2.Z.BAD = 60°. £ 是 AD 的中点，若 2? = AAC 一 而,旦旅•茹=一2,则实数X 的值为.14. 已知正数x 、y 满足j + ：=l,则x + 2y 的最小值是.三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15. 在△ABC 中，内角A, B, C 对边的长分别是“，b, c,已知csinA = \/3acosC .(1) 求内角C ：(2) 若边c = 2.且sinC +sin(B->4) = 2sinM,求△ABC 的面积.16.某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性.公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：己知在全体样本中随机抽取1个.抽到B 组药品有效的概率是0.35.(1) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？分组A 组8组C 组药品有效670a b 药品无效805()C(2) 己知b>425. c>68.求该药品通过测试的概率(说明：若药品有效的概率不小于90%，则 认为测试通过).17.如图，在正四棱柱ABCD-AiBiGD,中，E为DD、的中点，求证:(1)求证：BDi〃平面£AC；(2)平而B DDi1平而4B1C.18.己知｛。
2020届天津市一模数学试题(解析版)
2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=32， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r=（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APnAP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、33⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122n n n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122n n b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集{|33I x x =-<<，}x Z ∈，{1A =，2}，{2B =-，0，2}，则()(I A B =⋃ð) A ．{1} B ．{1-，1，2}C ．{2}D ．{0，1，2}2．（5分）“()3k k Z παπ=+∈”是“3tan()6πα-=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()4f x lnx x =+-的零点，则0()(g x = )A ．4B ．5C ．2D ．34．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线2:2(0)y px p Γ=>的准线分别交于A ，B 两点．若双曲线C 的离心率为2，ABO ∆的面积为3，O 为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为( ) A ．(2,0)B ．(1,0)C ．2(,0) D ．1(,0)25．（5分）某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的数学期望为( )A ．13B ．12C ．23D ．346．（5分）已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是()A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C ．函数()f x 的图象关于16x π=对称D ．函数()f x的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 7．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数1x ，212()x x x <都有1212()()f x f x x x >，记251325(0.2),(1),log 3(log 5)a f b f c f ===-⨯，则a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．（5分）国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( ) A ．378B ．306C ．268D ．1989．（5分）已知圆O 的半径为2，P ，Q 是圆O 上任意两点，且60POQ ∠=︒，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)()OC OP OQ R λλλ=-+∈u u u r u u u r u u u r ，则CA CB u u u r u u u r g 的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.10．（5分）已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020||1a i i+=+ ． 11．（5分）若8(x 的展开式中4x 的系数为448-，则实数a = ．12．（5分）已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为 ．13．（5分）函数()f x xlnx a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为 ．14．（5分）若0x >，0y >，且224log 3log 9log 81x y +=，则此时2x y += ，233x y x y++的最小值为 ．15．（5分）已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则(3)log 2563f = ；若方程()f x x a =+在区间[2-，4]有三个不等实根，则实数1a的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos )0C a B b A c ++=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若2a =，2b =．求： （ⅰ）边长c ；（ⅱ）sin(2)B C -的值．17．（14分）如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==． （Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线:20l x y -+=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OP 的平行线交椭圆与M 、N 两个不同的点，记21PF M S S =V ，22OF N S S =V ，令12S S S =+，求S 的最大值．。
2020届天津市和平区2017级高三高考一模考试数学试卷及解析
2020届天津市和平区2017级高三高考一模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}33,I x x x Z =-<<∈,{}1,2A =,{}2,0,2B =-,则()I AC B =( ) A. {}1B. {}1,1,2-C. {}2D. {}0,1,2 【答案】B【解析】先利用补集运算求出I C B ,即可根据并集运算求出()I A C B ． 【详解】因为{}{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--,所以{}1,1I C B =-, 故()I A C B ={}1,1,2-．故选：B ．2.“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据特殊角的正切函数值,可知()tan ,6366k k Z πππααπ⎛⎫-=⇔-=+∈ ⎪⎝⎭,根据充分必要条件的判断,即可求出结果.【详解】由题意可知,()()tan ,63663k k Z k k Z ππππααπαπ⎛⎫-=⇔-=+∈⇔=+∈ ⎪⎝⎭,,所以“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件.故选：C.3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,()[]g x x =为取整函数,0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点,则()0g x =（ ）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】C【解析】根据零点存在定理,可判断出零点所在的相邻整数区间,即可由定义求得()0g x 的值.【详解】函数()ln 4f x x x =+-(0,)+∞递增, 且(2)ln 220f =-<,(3)ln 310f =->,所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈,故()02g x =,故选：C.4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线2:2(0)y px p Γ=>的准线分别交于A ,B 两点．若双曲线C 的离心率为2,ABO ,O 为坐标原点,则抛物线Γ的焦点坐标为 ( )A. 0)B. (1,0)C. ,0)2D. 1(,0)2【答案】B【解析】 求出双曲线双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线方程与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线方程,进而求出A ,B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,△AOB 列出方程,由此方程求出p 的值． 【详解】∵双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,。
2023年天津市和平区高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年天津市和平区高考数学一模试卷1. 已知全集，，则B中元素个数为( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2. 已知a是实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的图象是( )A. B.C. D.4. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法错误的是( )A. 第三组的频数为15人B. 估计样本的众数为75分C. 估计样本的中位数75分D. 估计样本的平均数为75分5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.6. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C.在上单调递增D.的图象关于点对称7. 抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线的渐近线相交于A 、B两点，若的周长为，则( )A. 2B.C. 8D. 48. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是( )A.B. C.D.9. 已知函数设方程，的四个不等实根从小到大依次为，，，，下列判断中一定成立的是( )A. B.C.D.10. 若i 为虚数单位，则复数______ .11. 的展开式中常数项为______.12.直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，若为等边三角形，则a 的值为______ .13. 先后掷两次骰子骰子的六个面上的点数分别是1、2、3、4、5、，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，记事件A 为“为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数且“，则概率______，______.14. 若实数x ，y 满足，则的最大值是______.15. 已知四边形，且，点E 为线段BD 上一点，且，则______ ，过E 作交AB 于点F ，则______ .16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A的大小；若求的面积；求17. 在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点.求证：；求直线EM与平面CDE所成角的正弦值；求平面CME与平面CDE的夹角的余弦值.18. 已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前n项和为，且，，成等比数列.求数列，的通项公式；求；数列满足，记和分别为和的前n项和，证明：19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，点A是椭圆与x轴负半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且直线AB与圆相切.求椭圆C的方程；已知斜率大于0的直线l与椭圆C有唯一的公共点M，过点A作直线l的平行线交椭圆C 于点P，若的面积为，求直线l的方程.20. 已知函数，，其中e为自然对数的底数，当时，函数有极小值，求a；证明：恒成立；证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集，又，因为，所以，则，所以，则集合B元素的个数为4个．故选：利用集合全集、补集以及交集的定义分析求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合全集、补集以及交集的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：利用特殊值及基本不等式，结合充分条件及必要条件的定义即可求解．本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了基本不等式的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．解：，是偶函数，可排除B、D，由排除C，故选：4.【答案】D【解析】解：分数在内的频率为，所以第三组的频数为人，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为，，所以中位数位于设中位数为x，则，解得，即中位数的估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为：分，故D错误．故选：利用频率分布直方图的性质可判断A，根据众数、中位数和平均数的定义可判断本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查运算求解等能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：，，，因为在上单调递减，故，又，，即故选：利用对数函数的单调性直接求解．本题考查对数的运算，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基6.【答案】C【解析】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象；再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故的最小正周期为，的最小正周期为，故A错误；令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故B错误；当，，函数单调递增，故C正确；令，求得，是最大值，故的图象关于直线对称，故D错误，故选：由题意，根据函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：双曲线渐近线方程为，抛物线的准线方程为，由题意得：，，，又的周长为，解得：故选：由双曲线方程求出渐近线方程，再求出抛物线的准线方程，联立求得A，B的坐标，可得，再由勾股定理求得，，利用的周长为列式求得p值．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，是基础的计算题．8.【答案】B【解析】解：分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示：正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有，俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的OA 相等，设半球半径为R，已知小球半径，，，，，半球面形状的容器的容积是，故选：根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．9.【答案】D【解析】解：方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作函数的图象，由图象可得，，故；易知，即，即，即，即，，，故选：方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作函数的图象分析即可．本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了基本不等式的应用．10.【答案】【解析】解：故答案为：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，同时考查了运算能力，属于基础题．11.【答案】60【解析】解：的展开式通项为：，令得，故的展开式中常数项为：故答案为：求出的展开式的通项，令x的次数为0即可．本题考查二项展开式的通项，属于基础题．12.【答案】【解析】解：由题知圆心为，半径为，圆心到直线l：的距离为，为等边三角形，，，，解得故答案为：由题知圆心为，为等边三角形，可得圆心到直线的距离为，求解即可．本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生的运算求解能力，属基础题．13.【答案】【解析】解：若为偶数，则x、y全为奇数或全为偶数，所以，，事件AB为“为偶数且x、y中有偶数，”，则x、y为两个不等的偶数，所以，，因此故答案为：；由古典概率公式求出、，利用条件概率公式可得结果．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式．是中档题．利用基本不等式，根据把题设等式整理成关于的不等式，求得其范围，则的最大值可得．【解答】解：，，，，整理求得，的最大值是，故答案为：15.【答案】 10【解析】解：如图所示：因为，所以，即有，又因为，所以，即，，解得，所以，所以，又因为，即，所以；又因为，又因为，所以，解得；如图所示：取AB中点M，连接DM，由题意可知且，所以四边形DCBM为平行四边形，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以，由可得，所以，，所以故答案为：由，可得，进而可得，由题意可得，求解即可得第一空答案；取AB中点M，连接DM，根据向量的数乘及加减运算可得，再根据向量的数量积运算即可得第二空答案．本题考查了对于向量的线性运算，关键是将所求向量表示成同一组基底的数量积，然后再进行求参、数量积等运算．16.【答案】解：，由正弦定理得，，，，，；若，，由余弦定理得，即，，，的面积为；由正弦定理，得，，，，，【解析】由正弦定理进行化简可求，进而可求A；利用余弦定理先求c，然后利用三角形的面积公式求解；利用正弦定理求出，再利用二倍角公式求出，，求解即可．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】证明：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建系如图，则，，，，，，，；，，，，，，，设平面CDE的法向量，则，取，直线EM与平面CDE所成角的正弦值为：；由知平面CDE的法向量，设平面EMC的法向量为，，，，取，平面CME与平面CDE的夹角的余弦值为：【解析】以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能证明求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出CM与平面CDE所成的角的正弦值．求出平面CDE的法向量和平面EMC的法向量，利用向量法，向量夹角公式，即可求解．本题考查向量法证明线线垂直问题，向量法求解线面角问题，向量法求解面面角问题，属中档题．18.【答案】解：数列为首项的等比数列，设公比为q，由，，成等差数列，可得，即为，即，解得，则；数列为首项的单调递增的等差数列，设公差为，由，，成等比数列，可得，即为，解得，则；因为，所以；证明：，则，，，，上面两式相减可得，化简可得，则，所以【解析】由等差数列和等比数列的通项公式与求和公式、中项性质，解方程可得公差、公比，进而得到所求；求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；分别由等比数列的求和公式、数列的错位相减法求和，结合不等式的性质，可得证明．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和与错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：由题意可得，则，由椭圆的方程可得，，所以直线AB的方程为，即，则点O到直线AB的距离，由题意可得，而，则，解得，，所以椭圆C的方程为：；设直线l的方程为，，设，联立，整理可得：，，可得，且，所以，，即，所以直线OM的方程为，即，由椭圆的方程可得，由题意可得直线AP的方程为，联立，整理可得，可得，可得，，即，P到直线OM的距离，，所以，由题意可得，解得，因为，所以，且，解得，所以直线l的方程为或【解析】由离心率的值可得a，c的关系，由题意可知A，B的坐标，进而求出直线AB的方程，求出圆O到直线AB的距离，由直线与圆O相切，可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系，可得a，b的中，进而求出椭圆的方程；设切线l的方程，与椭圆的方程联立，由判别式等于0，可得参数的关系，进而求出M的坐标，求出直线OM的方程，由题意设直线AP的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之积，可得P的坐标，求出P到直线OM的距离d，代入三角形的面积公式，由三角形的面积，可得参数的值，进而求出切线l的方程．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．20.【答案】解：，令得，所以当时，，当时，，所以有极小值，所以，即证明：不等式恒成立，即恒成立，设，则，所以在定义域上的增函数，又，，则在上有一个根，此时在上的单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，因为，所以，因为，所以，所以恒成立，结论成立．证明：由知，，令，则，所以，由此可知，当时，，当时，，当时，，当时，，累加得，又，所以【解析】求导得，分析的符号，进而可得的单调性，极值，即可得出答案．根据题意可得恒成立，设，求导分析的单调性和最值，只需，即可得出答案．由知，，则，当时，，当时，，当时，，当时，，累加，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集，，0，，则A. B. 1， C. D. 1，2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则a，b，c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．11.若的展开式中的系数为，则实数______．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为______．13.函数的图象在处的切线被圆C：截得弦长为2，则实数a的值为______．14.若，，且，则此时______，的最小值为______．15.已知函数，则______；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若，求：边长c；的值．17.如图所示，平面平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：平面CDE；Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．18.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别是、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切．求椭圆C的标准方程；设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记，，令，求S的最大值．19.数列是等比数列，公比大于0，前n项和，是等差数列，已知，，，．Ⅰ求数列，的通项公式，；Ⅱ设的前n项和为：求；若，记，求的取值范围．20.已知函数，a，，且若函数在处取得极值，试求函数的解析式及单调区间；设，为的导函数，若存在，使成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，，，0，，，1，．故选：B．可以求出集合I，然后进行补集、并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：“”，即，“”是“”的充要条件．故选：C．，化简即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：函数是在时，函数是连续的增函数，，，函数的零点所在的区间为，．故选：C．由函数的解析式可得，，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．5.答案：B解析：解：由题意得：，解得，由题意得内的人数为人，内的人数为人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，则的数学期望．故选：B．由频率分布直方图求出，内的人数为9人，内的人数为3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：解：函数，函数的周期为：，所以A不正确；，解得：，所以函数在区间上是减函数，所以B正确．时，可得：，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位得到函数，所以D不正确；故选：B．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调减区间，对称轴以及函数图象的变换，判断选项的正误即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的图象的对称性，单调性，三角函数的特征的变换，是基本知识的考查．7.答案：A解析：解：构造函数，则函数单调递减，，，，故选：A．构造函数，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．8.答案：D解析：解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；综上，共有种不同的提问方式．故选：D．先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．【解答】解：由题意可得，是圆O的任意一条直径，，，．要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方可得，当时，，取得最小值1，故的最小值为，故选C．10.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．又．则．故答案为：．复数为纯虚数，可得，，解得又利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，则实数，故答案为：．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据的系数为，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：解析：解：由正方体的体积为8，可知正方体的棱长为2，作其截面图如图，可得半球体的半径，则其体积故答案为：．由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：或2解析：解：由题意得，所以，．所以切线为：，即．圆C：的圆心为，半径，又因为弦长．所以圆心到直线的距离为．所以到切线的距离为：，解得或2．故答案为：或2．先利用导数表示出函数在处的切线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值．本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系．涉及直线与圆相交的弦长问题，注意利用垂径定理列方程求解．属于中档题．14.答案：2解析：解：因为，所以，，且x，．．故答案为：2，．先根据已知的等式，找到x，y之间的关系式，然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值．本题考查利用基本不等式求最值的问题，关键是适用条件要把握准，取等号的条件成立．属于中档题．15.答案：81解析：解：函数，；；；若，则，，．若，则，，．，，．设和，则方程在区间内有3个不等实根，、等价为函数和在区间内有3个不同的零点．作出函数和的图象，如图：当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点时，两个图象有4个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程在区间内有3个不等实根，则或．故实数的取值范围为：故答案为：81，根据分段函数的解析式得到；即可求出第一问；作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．注意第二问是问a的倒数的取值范围．16.答案：解：Ⅰ由已知及正弦定理得分，，，分分Ⅱ因为，，由余弦定理得，分由，分因为B为锐角，所以分，分分解析：利用正弦定理、和差公式化简即可得出．因为，，利用余弦定理即可得出．由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：Ⅰ证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：0，，0，，0，，0，，4，，2，，则，0，．，，为平面CDE的一个法向量．又平面CDE．平面CDE．Ⅱ设平面ADE的一个法向量为，则0，，4，，得1，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1，，，设直线EF与平面ADE所成角为，则因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．解析：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．Ⅰ为平面CDE的一个法向量，证明平面CDE，只需证明；Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1，，，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18.答案：解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切，即，又椭圆的离心率，解得：，椭圆C的方程为：；由可知：椭圆的右焦点，设，，，丨丨丨丨，设直线MN：，，整理得：，，，，，由，，当且仅当时，即时，取等号，S的最大值．解析：椭圆C：焦点在x轴上，，又椭圆的离心率，解得：，即可求得椭圆C的方程为；由，，丨丨丨丨，设直线MN：，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：，由基本不等式的性质，即可求得S的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查椭圆与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设数列的公比为，，因为，，可得，整理得，解得舍或，所以数列通项公式为．设数列的公差为d，因为，，即解得，，所以数列的通项公式为；Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得，所以；由可得，所以的前n项和．又在上是递增的，．所以的取值范围为解析：Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差，然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程，求出结果代入通项公式即可解决问题；Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出，再利用分组求和的办法算出；先由前面的结果求出，再利用裂项相消法求出，最后利用数列的单调性求出其取值范围．本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法，还有利用数列的单调性求取值范围，属于有一定难度的题．20.答案：解；由题意，，由函数在处取得极值，得，即，解得，则函数的解析式为，定义域为，，又对恒成立，令则有，解得，且，即或；同理令可解得或；综上，函数的单调增区间为和，单调减区间为和由题意，则，，由条件存在，使成立得，对成立，又对成立，化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，求导得，令，为二次函数，图象开口向上，，则，又，则，在区间上单调递增，值域为，所以的取值范围是．解析：先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数a，b，然后利用令和求解函数的单调区间；将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．。
2020年天津市部分区高考数学一模试卷(一)(有答案解析)
11. 圆柱的体积为 ，底面半径为 ，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，
则该球的体积为____________. 12. 已知圆心在直线 x-y-1=0 上的圆与 y 轴的两个交点坐标分别为（0，4），（0，-2），
则该圆的方程为______．
13. 已知 a＞0，b＞0，c＞0，若点 P（a，b）在直线 x+y+c=2 上，则 + 的最小值
可得 = ，
PF1⊥PF2，可得 · =-1， 解得 c=5，即 a2+b2=25， 解得 a=3，b=4， 则双曲线的方程为 - =1． 故选 C.
7.答案：D
解析：解：∵函数 f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（ ， 0）（如图所示）， ∴sin（ +φ）=0，结合图象求得 φ= ，故 f（x）=sin（2x+ ）．
是______．
14. 在△ABC 中，D 为 AB 的中点，点 O 满足 =2 ，OA⊥OB，若 AB=10，则
=______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）
15. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 b=3 ，cosA= ，B=A+ ．
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求 cos2C 的值．
4.答案：C
解析：解：由（ ）m-n＞1 得 m-n＜0，得 m＜n，
则“m＜n”是“（ ）m-n＞1”充要条件， 故选：C．
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根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
5.答案：B
解析：【分析】 根据题意，由指数函数的性质分析可得 f（x）在 R 上为减函数，又由 20.3＜21＜2＜log25， 分析可得答案． 本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及指数函数的单调性，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，函数 f（x）=（ ）x，则 f（x）在 R 上为减函数， 又由 20.3＜21＜2＜log25， 则 a＞b＞c； 故选：B．
2020年天津市和平区高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则A∩B=（）A. {1，2，3，4}B. {-3，-2，-1，0，1，2，3，4}C. {1，2，3}D. {1，2}2.设变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A. 1B. 6C. 5D. 43.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 1B. -1C. 0D. -24.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A. B. 1 C. D. 25.不等式成立的充分不必要条件是（）A. x＞1B. x＞-1C. x＜-1或0＜x＜1D. x＜0或x＞16.已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. log2（a-b）＞0C. 2a-b＜1D.7.设双曲线mx2+ny2=1的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A. 2B.C.D.8.已知函数f（x）=|ln x|，若关于x的方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A. [0，ln2]B. （-2-ln2，0）C. （-2-ln2，0]D. [0，2+ln2）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a∈R，且复数是纯虚数，则a=______．10.直线l：x+y+m=0与圆C：x2+y2-4x+2y+1=0相交于A、B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=______．11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______cm3．12.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（1）=0，f'（1）=0，但x=1不是函数的极值点，则abc的值为______．13.如图，在直角梯形ABCD中，，AB=AD=2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为______．14.已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．16.为预防H1N1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？（Ⅲ）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．17.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．（Ⅰ）求证：B1C∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求证：AC⊥B1D；（Ⅲ）若AD=2AA1，判断直线B1D与平面ACD1是否垂直？并说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆（a＞b＞0）经过点，左、右焦点分别F1、F2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值．20.已知函数f（x）=x lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．【解答】解：B={0，1，2，3}；∴A∩B={1，2，3}．故选：C．2.【答案】C【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内A（2，1）的时候z最大，最大值为5，故选：C．先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点A时，z最大值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．3.【答案】B【解析】解：第一次，i=1，i＞5不成立，S=1-=，i=2，第二次，i=2，i＞5不成立，S=1-=1-2=-1，i=3，第三次，i=3，i＞5不成立，S=1-（-1）=2，i=4，第四次，i=4，i＞5不成立，S=1-=，i=5，第五次，i=5，i＞5不成立，S=1-=1-2=-1，i=6，第六次，i=6，i＞5成立，重新终止，输出S=-1，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件进行模拟运算是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入求出cos A的值，确定出A的度数，再由bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：∵△ABC中，a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cos A==，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC=bc sin A=，故选：C．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于基础题.求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为对应集合关系进行求解即可．【解答】解：由得，即x(x-1)>0，解得x＜0或x＞1，则不等式成立的充分不必要条件应该是{x|x＜0或x＞1}的真子集，即x＞1满足条件．故选A．6.【答案】D【解析】解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0，所以0＜，2a-b＞20=1，故A、C不正确；当a-b＞1时，log2（a-b）＞0，当0＜a-b≤1时，log2（a-b）≤0，故B不正确；∵，∴选项D正确；故选：D．由题意可得a＞b＞0，依次比较即可．本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线x2=8y的焦点为（0，2）∴mx2+ny2=1的一个焦点为（0，2）∴焦点在y轴上∴a2=，b2=-，c=2根据双曲线三个参数的关系得到4=a2+b2=-又离心率为2即=4解得n=1，m=-∴此双曲线的方程为．b=，渐近线方程：x+=0抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离：=．故选：B．利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，求出双曲线的渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离．解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b2．8.【答案】C【解析】解：设h（x）=f（x）+m，作出函数f（x）和g（x）的图象如图则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，由图象知B点的纵坐标为h（1）=f（1）+m=ln1+m=m，A点的纵坐标为g（2）=-2，当x=2时，h（2）=ln2+m，g（1）=0，要使方程f（x）+m=g（x）恰有三个不相等的实数解，则等价为h（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，则满足，即得，即-2-ln2＜m≤0，即实数m的取值范围是（-2-ln2，0]，故选：C．设h（x）=f（x）+m，则h（x）是f（x）的图象沿着x=1上下平移得到，作出函数h（x）与g（x）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.【答案】-2【解析】解：∵=是纯虚数，∴，即a=-2．故答案为：-2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.【答案】1或-3【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，是基础题．确定圆心坐标与半径，利用△ABC为等腰直角三角形，可得=2×，即可求出m．【解答】解：圆C：x2+y2-4x+2y+1=0即，圆心坐标为：（2，-1），半径为2，因为△ABC为等腰直角三角形，所以=2×，所以m=1或-3．故答案为：1或-3．11.【答案】【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力，是基础题．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图是一个棱柱挖去一个圆锥的几何体，如图，几何体的体积为：=36-．故答案为：36-．12.【答案】9【解析】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（1）=3+2a+b=0①，又f（1）=1+a+b+c=0②，由x=1不是f（x）的极值点，得f′（x）=0有一个根，∴△=4a2-12b=0③，由①②③解得：a=-3，b=3，c=-1，∴abc=9，故答案为：9．先求出函数的导数，再由题意得方程组，解出即可．本题考查了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，是一道基础题．13.【答案】【解析】解：由图可知：=+=+（1-λ），==，又，所以[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0， 又0＜λ＜1，所以，故答案为：．由平面向量的线性运算得：=+=+（1-λ），==，由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，得解．本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题． 14.【答案】3【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．用x 表示y ，得到2x +y 关于x 的函数，利用基本不等式得出最小值． 【答案】解：∵x 2+2xy -3=0，∴y =，∴2x +y =2x +==≥2=3．当且仅当即x =1时取等号．故答案为：3．15.【答案】（Ⅰ） 解：由A =2B ，知sin A =sin2B =2sin B cosB ，…………（1分）由正、余弦定理得．………………（3分）因为b =3，c =1，所以a 2=12，则．………………（5分）（Ⅱ） 解：由余弦定理得．……（6分） 由于0＜A ＜π，所以………（8分）故…………（11分）………（13分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式进行求解本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．16.【答案】解：（I）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．∴，∴x=660，（II）C组样本个数是y+z=2000-（673+77+660+90）=500用分层抽样方法在全体中抽取360个测试结果，应在C组抽取的个数为360×．（III）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设测试不能通过事件为M，C组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个根据等可能事件的概率知P=．【解析】（I）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，得到要求的数字与样本容量之间的比值等于0.33，做出结果．（II）做出每个个体被抽到的概率，利用这一组的总体个数，乘以每个个体被抽到的概率，得到要求的结果数．（III）本题是一个等可能事件的概率，C组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35）（466，34）（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）共有6种结果，满足条件的事件是（465，35）（466，34）共有2个，得到概率．本题考查分层抽样方法，考查在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目．17.【答案】（本题满分为14分）证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，∴BC∥平面ADD1A1，…（2分）∵CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又∵BC∩CC1=C，∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1，…（3分）又∵B1C⊂平面BCC1B1，∴B1C∥平面ADD1A1．…（4分）（Ⅱ）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴BB1⊥AC，…（5分）又∵AC⊥BD，BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BB1D，…（7分）又∵B1D⊂底面BB1D，∴AC⊥B1D；…（9分）（Ⅲ）结论：直线B1D与平面ACD1不垂直，…（10分）证明：假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，…（11分）由棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，可得：A1B1⊥AA1，A1B1⊥A1D1，又∵AA1∩A1D1=A1，∴A1B1⊥平面AA1D1D，∴A1B1⊥AD1，…（12分）又∵A1B1∩B1D=B1，∴AD1⊥平面A1B1D，∴AD1⊥A1D，…（13分）这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，故直线B1D与平面ACD1不垂直．…（14分）【解析】（Ⅰ）先证明BC∥平面ADD1A1，CC1∥平面ADD1A1，又BC∩CC1=C，即可证明平面BCC1B1∥平面ADD1A1，从而可证B1C∥平面ADD1A1．（Ⅱ）先证明BB1⊥AC，又AC⊥BD，BB1∩BD=B，即可证明AC⊥平面BB1D，从而可证AC⊥B1D；（Ⅲ）用反证法，假设B1D⊥平面ACD1，由AD1⊂平面ACD1，可得B1D⊥AD1，再证明A1B1⊥AD1，即可证明AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥A1D，这与四边形AA1D1D为矩形，且AD=2AA1矛盾，故得证．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了反证法的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n-1=b n-1+b n，∴a n-a n-1=b n+1-b n-1．∵数列{b n}为等差数列，设公差为d，∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n-1）=3n+1.（Ⅱ）c n========6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①-②可得-T n=6[2•2+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1]=12+6×-6（n+1）•2n+1=（-6n）•2n+1=-3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．19.【答案】（本题14分）（Ⅰ）解：由题知……………………………（2 分）解得……………………………（3 分）则椭圆C的标准方程为．……………………………（4 分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，…………………………（5 分）设直线OQ：x=my，则直线………………………（6 分）联立得，所以………………………（8 分）由得．………（9 分）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．…（10 分）所以………（11 分）==．……………………（13 分）所以……………………（14分）【解析】（Ⅰ）由题知求出a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线OQ：x=my，则直线与椭圆联立，求出OQ，MN，然后求解比值即可．本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=ln x+1，x＞0，由f'（x）=0得，所以f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0ln x0，切线的斜率为ln x0+1，所以，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为x-y-1=0．（Ⅲ）g（x）=x lnx-a（x-1），则g'（x）=ln x+1-a，解g'（x）=0，得x=e a-1，所以在区间（0，e a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．当e a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．当1＜e a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a-1）=a-e a-1．当e a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-e a-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．【解析】本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=ln x+1-a解g'（x）=0，得x=e a-1，得出在区间（0，e a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a-1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a-1≤1，当1＜e a-1＜e，当e a-1≥e，从而得出g（x）的最小值．。
2020年天津和平区高三一模数学试卷
2020年天津和平区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.设全集，，，则（ ）．A. B. C. D.2.“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（ ）．A. B. C. D.4.已知双曲线：的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A.B.C.D.5.某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．从样本成绩不低于分的学生中随机选取人，记这人成绩在分以上（含分）的人数为，则的数学期望为（ ）．成绩分频率组距A.B.C.D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）．A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是减函数C.函数的图象关于对称D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数，，，都有，记，，，则，，大小关系为（ ）．A.B.C.D.8.国际高峰论坛，组委会要从个国内媒体团和个国外媒体团中选出个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）．A.B.C.D.9.已知圆的半径为，，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10.已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则．11.若的展开式中的系数为，则实数．12.已知一个体积为的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体的体积为 ．13.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为 ．14.若，，且，则此时，的最小值为 ．15.已知函数，则；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共75分）（1）（2）16.在中，内角、、`的对边分别为，，，．求角的大小．若，求：12边长．的值．（1）（2）（3）17.如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．求证： 平面．求平面与平面所成锐二面角的大小．求直线与平面所成角的余弦值．（1）（2）18.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．求椭圆的标准方程．设为椭圆上不在轴上的一个动点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为，的面积为，令，求的最大值．（1）12（2）19.数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，已知，，，．求数列，的通项公式，．设的前项和为．求．若，记，求的取值范围．（1）20.已知函数，，，且．若函数在处取得极值，求函数的解析式.【答案】解析:∵，∴，∴，即．故选．解析:由三角函数性质得：，∴，，∴，，∴“”是“”的充分必要条件．故选．解析:∵，∴，又∵，∴在上恒成立，∴在上单调递增，又：，，（2）（3）在的条件下，求函数的单调区间．设，为的导函数．若存在，使成立，求的取值范围．A1.C2.D3.∴，即．故选：．解析:双曲线的两条渐近线分别为，设点在轴上方，则，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的焦点坐标为．故选．解析:由图知，则频率为，人数为人，频率为，人数为人，共人，则抽取人分数在分以上人数的分布列为：，，，，B 4.B 5.．解析:．、最小正周期是，故错误；、，时，，故正确；、，，非对称轴，故错误；、向左平移时成立，，故错误．故选．解析:构造函数，则函数单减，，，∵为奇函数，∴，，∵B 6.C 7.∴．故选．解析:两上国媒一个外媒，有种，两个外媒，一个国媒种．共种．故选．解析:由题意可得，∵是圆的任意一条直径，∴，，∴，要求的最小值问题就是求的最小值，由于点满足，两边平方可得，当时，，取得最小值，故的最小值为．D 8.C 9.故选．10.解析:∵为纯虚数，∴，∴，∴．故答案为：．11.解析:二项式，展开式通项为，令，可得，由题意的展开式中的系数为，得．12.解析:由题意，底面正方形的中心，即为半球的球心，连接，，如图：则半球的半径为，∵正方体的体积为，∴该正方体的棱长为，正方形的对角线长为，∴，又，∴，该半球体的体积为．故答案为：．解析:∵函数，，，，∴函数在处切线为，∵圆，，由题意，圆心到直线的距离为，∴，即，解得或．解析:，，，，，，、，，，，，，当且仅当时取等号，故，即的最小值为．或13. ;14. ;15.（1）12（2）（1）解析:由已知及正弦定理得，∴，∴，∵，∴．因为，，，由余弦定理得，∴．由，因为为锐角，所以，，，，，．解析:∵四边形为直角梯形，四边形为矩形，∴ ，，又∵平面平面，且平面平面，（1）．12（2）．．16.（1）证明见解析．（2） ．（3） ．17.（2）（3）∴ 平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则： ， ， ， ， ， ，则 ， ，∵ ， ，∴ 为平面的一个法向量，又∵ ，平面，∴ 平面．设平面的一个法向量为 ，则 ，∵ ， ，∴ ，取 ，得 ，∵ 平面，∴平面一个法向量为 ，设平面与平面所成锐二面角的大小为 ，则 ，因此，平面与平面所成锐二面角的大小为 ．根据()知平面一个法向量为，∵ ，设直线与平面所成角为 ，（1）（2）则 ，∴，因此，直线与平面所成角的余弦值为 ．解析:由题意知：，∴又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以．所以，故椭圆的标准方程为．设，，直线：．则直线：，由，得，∴，，∴，∵，∴，∴，因为点到直线：的距离，即为上的高，∴，令，则，，（1）．（2）．18.（1）12（2）．∵，当且仅当时等号成立，即．此时，．解析:设数列的公比为，因为，，可得，整理得，解得（舍）或，所以数列通项公式为，设数列的公差为，因为，，可得，即，解得，所以数列的通项公式为．由等比数列的前项和公式，可得，所以．由①，可得：，所以的前项和：．易知，（1），．12（2）．．19.（1）（2）（3）又∵是关于的单调递增函数，∴．从而．解析:函数的定义域为．，由题知，即，解得，，所以函数．，令得或，令得或．所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，．∵，,∴，由，得，整理得．存在，使成立，等价于存在使成立．设．则，当时，，此时在上单调递增，（1）．（2）单调递增区间是，，单调递减区间是，．（3）．20.因此．因为存在，使成立，所以只要即可，此时．当时，令，解得，（舍去），（舍去），得，又，于是在上必有零点，即存在，使成立，此时．综上有的取值范围为．。
2020届天津市和平区高三高考一模数学试题(解析版)
2020届天津市和平区高三高考一模数学试题一、单选题1．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】{}{}()1246[15]124A B C ⋃⋂=⋂-=，，，，，， ,选B. 【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．设a ∈R ，则“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别解不等式，利用集合间的包含关系来判断. 【详解】|a ﹣1|≤1，解得：0≤a ≤2，﹣a 2+3a ≥0，解得：0≤a ≤3， ∴“|a ﹣1|≤1”是“﹣a 2+3a ≥0”的充分非必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，通常在判断充分条件、必要条件有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.利用集合间的包含关系判断.3．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-==12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆybx a =+上,ˆ9b =,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D. 【考点】回归直线恒过样本点的中心(),x y .5．设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小. 【详解】1sin62a π==Q , 21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题.6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f （x ）2x x e e x--=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用()f x 的奇偶性可排除A ，由x ＞0时，f （x ）函数值的正负可排除D ，当x →+∞时，f （x ）函数值变化趋势可排除C. 【详解】根据题意，函数f （x ）2x xe e x--=，其定义域为{x |x ≠0}， 有f （﹣x ）2x xe e x --==-（2x x e e x--）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A ， 又由x ＞0时，有e x ＞e ﹣x ，即有e x ﹣e ﹣x ＞0，则有f （x ）＞0，排除D ，当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除C ； 故选：B ． 【点睛】本题考查由解析式确定函数图象的问题，一般做这类题，要牢牢抓住函数的性质，如奇偶性，单调性以及特殊点的函数值等，本题是一道基础题.7．已知双曲线22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2px =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；则c =故选A ．8．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 在[,0]π-上是增函数【答案】D【解析】根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假． 【详解】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x …，()cos |sin |cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法． 9．已知函数()21,70ln ,x x f x x e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，()22g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()()20f m g a -=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(][),13,-∞-+∞U C ．[]1,3-D ．(],3-∞【答案】C【解析】()22g x x x =-Q ，设a 为实数，()2224,g a a a a R ∴=-∈，224,,y a a a R Q =-∈由函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩，可得()()276,2,f f e--==-画出函数()21,70,x x f x lnx e x e-⎧+-≤≤=⎨≤≤⎩的图象，由函数()f x 的图象可知，()f x 值域为[]2,6,-Q 存在实数m ，使()()20f m g a -=，22246a a ∴-≤-≤，即13a -≤≤，实数a 的取值范围为[]1,3-，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题10．若复数()13z i i +=-，则z =______.【解析】先通过运算化简3121iz i i-==-+，再利用求模公式求解. 【详解】 因为3121iz i i-==-+，所以z =.【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的模的求法，属于基础题.11．二项式82x ⎛⎝的展开式中，常数项为_____________.（用数字作答） 【答案】112【解析】利用二项式定理的通项公式即可求解． 【详解】 通项公式T r+1()()()r48r 8r8r r r r 388C 2x C 21x ---⎛==- ⎝,令84r3-=0，解得r ＝6 ∴常数项6282==ð112．故答案为112 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，熟记通项公式，准确计算是关键，属于基础题．12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4【解析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可. 【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MB AA B S S ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=V 4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.三、双空题13．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________； 若X 表示摸出黑球的个数，则EX =________． 【答案】35 45【解析】从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是11232563P 105C C C ===n ； X 可取：0,1,2,.()23253P 010C X C ===,()1123256 P 110C C X C ===n ,()22251P 210C X C === 36140121010105EX =⨯+⨯+⨯=, 14．已知a ＞0，b ＞0，当（a +4b ）21ab+取得最小值为_____时，a +b ＝_____． 【答案】854【解析】由a +4b 4ab ≥可得（a +4b ）21116ab ab ab+≥+，再利用一次基本不等式即可，要注意验证等号成立的条件. 【详解】因为a ＞0，b ＞0，所以a +4b 4ab ≥，当且仅当a ＝4b 时取等号， 所以（a +4b ）2≥16ab ， 则（a +4b ）211116216ab ab ab ab ab+≥+≥⋅=8， 当且仅当4116a bab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩即a ＝1，b 14=时取等号，此时取得最小值8，a +b 54=． 故答案为：（1）8；（2）54【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值的问题，一般在利用基本不等式求最值时，应尽量避免多次运用，以免等号不能同时成立，本题是一道中档题.15．如图，在等腰ABC V 中，3AB AC ==，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且1DN ME ⋅=-u u u r u u u r，则tan A =__________，AB BC ⋅=u u u r u u u r __________.【答案】43 185- 【解析】,DN ME u u u r u u u r 用基底,AB AC u u u r u u u r表示，根据已知求出cos A ，进而求出tan A ，再将BC uuu r用基底,AB AC u u u r u u u r 表示，即可求出AB BC ⋅u u u r u u u r .【详解】2133DN AN AD AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2133ME AE AM AB AC =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，21213333DN ME AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r225225cos 41999AB AC AB AC A =⋅--=-=-u u ur u u u r u u u r u u u r34cos ,0,sin 525A A A π∴=∴<<==，sin 4tan cos 3A A A ==，2()AB BC AB AC AB AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 231833355=⨯⨯-=-.故答案为：43；185-.【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，也考查了计算求解能力，属于基础题.四、解答题 16．已知函数21()2cos 2f x x x =--． （1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合． （2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值． 【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解． （2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值． 【详解】解：（1）23131cos21()sin 2cos sin 2sin(2)12226x f x x x x x π+=--=--=--Q ， ∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f Q （C ）0=， sin(2)106C π∴--=，又0C π<<Q ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=， sin 2sin B A =Q ，由正弦定理可得：2b a =①，又3c =，∴由余弦定理可得：222(3)2cos3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2BC BB ==，12BCC π∠=，AB ⊥侧面11BB C C .（Ⅰ）求直线1C B 与底面ABC 所成角正切值； （Ⅱ）在棱1CC （不包含端点）上确定一点E 的位置， 使得1EA EB ⊥（要求说明理由）； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2AB =，求二面角11A EB A --的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，理由见详解；（Ⅲ）二面角11A EB A --的大小为45°. 【解析】方法一：(Ⅰ) 可得1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，由已知可得1tan C BC ∠的值；（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥，可得190BEB ︒∠=，即1B E BE ⊥.可得1AB EB ⊥，1EB ∴⊥平面ABE ，1EA EB ⊥；（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =，连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，可得OGF ∠为二面角11A EB A --的平面角，可得二面角11A EB A --的大小.方法二：(Ⅰ)以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C ，可得1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r，可得sin θ的值，可得tan θ的值；（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，可得y 的值，可得E 的位置；（Ⅲ）可求得面1AEB 的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,可得二面角11A EB A --的大小.【详解】解：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -，1C C ⊥平面ABC,∴1C B 在平面ABC 上的射影为CB. ∴1C BC ∠为直线1C B 与底面ABC 所成角，1112,1,tan 2CC BB BC C BC ===∴∠=Q ，即直线1C B 与底面ABC 所成角的正切值为2. （Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥.1111,1CE EC BC B C ====Q ,1145BEC B EC ︒∴∠=∠=， 190BEB ︒∴∠=，即1B E BE ⊥.又AB ⊥Q 平面11BB C C ，1EB Q 平面11BB C C 1AB EB ∴⊥.BE AB B ⋂=Q ，1EB ∴⊥平面ABE,EA ⊂ 平面ABE ，1EA EB ⊥.（Ⅲ）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则11//FG A B ，且1112FG A B =， 1111A B EB FG EB ⊥∴⊥Q ,连结11,A B AB ，设11A B AB O ⋂=，连结,,OF OG FG ，则//OG AE ，且1112OG AE AE EB OG EB =⊥∴⊥Q ， OGF ∴∠为二面角11A EB A --的平面角.111111,22222OG AE FG A B OF BE ======Q ，45OGF ︒∴∠=， ∴二面角11A EB A --的大小为45°.另解：以B 为原点，1,,BC BB BA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0)B C B C .（Ⅰ）1(1,2,0)C B =--，面ABC 的一个法向量1(0,2,0)BB =u u u r.设1C B 与面ABC 所成角为θ，则1111sin BB C B BB C B θ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r tan 2θ∴=.（Ⅱ）设(1,,0),(0,0,)E y A z ，则(1,,)EA y z =--u u u r，1(1,2,0)EB y =--u u u r ,由11(2)0EA EB y y ⋅=+-=u u u r u u u r，得1y =，所以E 为1CC 的中点.（Ⅲ）由AB =1(0,0,2),A A ，又(1,1,0)E ,可求得面1AEB的一个法向量1(1,1n =u r，平面11EB A 的一个法向量2(1,1,0)n =u u r,设二面角11A EB A --的大小为θ，则1212|cos |2n n n n θ⋅==u r u u r u r u u r . ∴二面角11A EB A --的大小为45°. 【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖.18．已知点A （12的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值（3）△ABD 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【答案】（1）22124x y +=．（2）见解析（3． 【解析】（1）由已知解方程组222222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可；（2）设出直线BD 的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决； （3）将△ABD 面积表示成12ABD S BD d ==V ，再利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）∵点A （1）是离心率为2的椭圆C ：22221x y b a +=（a ＞b ＞0）上的一点，∴22222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a＝2，b =c = ∴椭圆C 的方程为22124x y +=．（2）证明：设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线BD 的方程为y t =+，直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD+kAB 121212121111y y t t x x x x -+-+=+=+---- ()12121221x x t x x x x ⎡⎤+-=+⎢⎥-++⎣⎦，（）联立222244024y t x t x y ⎧=+⎪++-=⎨+=⎪⎩，得，∴△＝﹣8t 2+64＞0，解得﹣22＜t ＜22，1222x x t +=-，﹣﹣﹣﹣①，21244t x x -=-----②，将①、②式代入式整理得()1212122221x x t x x x x ⎡⎤+-+=⎢⎥-++⎣⎦0，∴k AD +k AB ＝0，∴直线AB ，AD 的斜率之和为定值．（3）|BD |21(2)=+|x 1﹣x 2|226486382t t -=⨯=-，设d 为点A 到直线BD ：2y x t =+的距离，∴3t d =，∴()22128224ABD S BD d t t==-≤V ，当且仅当t ＝±2时取等号， ∵±2()2222∈-，，∴当t ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为2．【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，涉及到椭圆中的定值问题、存在性问题，考查学生的计算能力，是一道有难度的题.19．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若0λ>，且对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2nn a =,21n b n =+；（2）()12122n n +-⋅+；（3）(),2-∞.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据条件2432a a a =-可求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n a ，再由对数的运算可求出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和为n S ； （3）利用数列单调性的定义求出数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最大项的值为32，由题意得出关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，然后利用参变量分离法得出122k λλ<+，并利用基本不等式求出122λλ+在0λ>时的最小值，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由2432a a a =-可得22222a a q a q =-，20a ≠Q ，22q q ∴=-，即220q q --=，0q >Q ，解得2q =，112n n n a a q -∴==. 2212log 12log 221n n n b a n =+=+=+；（2）由（1）可得()212nn n n c a b n =⋅=+⋅，()123325272212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅L ，可得()()23123252212212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ，上式-下式，得()123132222222212n n n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L ()()()()1111181262126228212221212n n n n n n n n -++++-=+-+⋅=+⋅--+⋅=---⋅-，因此，()12122n n S n +=-⋅+；（3）212n n n b n a +=Q，()()1111123422321122222n n n n n n n n n n b b n n na a ++++++-+++-∴-=-==， n N *∈Q ，120n ∴-<，即1111202n n n n n b b n a a +++--=<，则有11n n n nb ba a ++<.所以，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1132b a =.由题意可知，关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，122k λλ∴<+.由基本不等式可得1222λλ+≥=，当且仅当12λ=时，等号成立，则122λλ+在0λ>时的最小值为2，2k ∴<， 因此，实数k 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，考查错位相减求和法以及数列不等式恒成立问题，涉及数列最大项的问题，一般利用数列单调性的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．已知函数()()()211ln 2ax a f x x x a R =-++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）92ln 2(1,]10+. 【解析】（1）求()f x '，当0a =时，求出0f x f x '()>0,'()<的解，进而得到单调区间，求出极小值，最小值；（2）求出()0f x '=的根，对a 分类讨论，求出0f x f x '()>0,'()<的解，即可得出结论；（3）求出(),()g x g x '，得到()g x 在1[,)2+∞单调区间，求出()g x 在[,]m n 的最值，转化为()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的根,m n ，分离参数得到()22g x k x +=+，求出y k =与函数()21()22g x y x x +=≥+图象至少有两交点时，k 的取值范围.【详解】（1）1()1f x ax a x'=-++-， 当0a =时，11()1x f x x x-'=-=， ()0,01,()0,1f x x f x x '<<<'>>，()f x ∴单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，1x ∴=时，()f x 取得极小值，也是最小值， ()f x ∴的最小值为(1)1f =；（2）当0a >时，1(1)(1)()1x ax f x ax a x x--'=-++-=-， 令()0,1f x x '==或1x a=， 若1a =时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 单调递减区间是(0,)+∞，若1a >时，11a <，当10x a<<或1x >时，()0f x '<， 当11x a<<时，()0f x '>， 即函数()f x 递减区间是1(0,),(1,)a+∞，递增区间是1(,1)a ，若01a <<时，11a >，当01x <<或1x a>时，()0f x '<， 当11x a<<时，()0f x '>， 即函数()f x 递减区间是1(0,1),(,)a +∞，递增区间是1(1,)a， 综上，若1a =时，函数()f x 的递减区间是(0,)+∞，无递增区间 若1a >时，函数()f x 的递减区间是1(0,),(1,)a +∞，递增区间是1(,1)a， 若01a <<时，函数()f x 的递减区间是1(0,1),(,)a +∞，递增区间是1(1,)a；（3）当0a =时，设函数2()()ln g x xf x x x x ==-，则()2ln 1g x x x '=--，设1()(),()2(0)h x g x h x x x=''=->， 当12x ≥时，()0,()h x g x '≥'为增函数，1()()ln 20,()2g x g g x ∴'≥'=>∴在1[,)2+∞为增函数，()g x ∴在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭上递增，Q 函数()g x 在[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，()(2)2,()(2)2g m k m g n k n ∴=+-=+-，()(2)2g x k x =+-在1[,)2+∞上至少有两个不同的根1,,()2m n m n >≥， 即()22g x k x +=+，令2ln 21()()22x x x F x x x -+=≥+，2232ln 4()(2)x x x F x x +--'=+，令21()32ln 4()2G x x x x x =+--≥， 则2(21)(2)1()230,()2x x G x x x x x -+'=+-=≥≥恒成立， ()G x ∴在1[,)2+∞递增，1()0,(1)02G G <=，当1)[1,2x ∈时，()0,()0G x F x <∴'<，当(1,)x ∈+∞时，()0,()0G x F x >'>，所以()F x 在1[,1)2单调递减，在(1,)+∞单调递增，当,()x F x →+∞→+∞，192ln 2(1)(),1210F k F k +∴<≤<≤，即实数k 的取值范围是92ln 2(1,]10+【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值最值，零点，构造函数是解题的关键，考查了分类讨思想及逻辑推理、运算求解能力，属于较难题.。