2012级硕士研究生《数值分析》试卷(A)
2012数值分析试题及答案
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ；
(2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛.
解：迭代法的矩阵形式为：
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
）.
线 …
8．对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9．设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式，则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值，并估
0
… 计误差。
… …
解：
I
S2
1 [cos0 6
cos2
2012研究生试题数值分析数值分析
七、（本题满分 10 分）试推导下列求积公式
∫b f (x)dx ≈ (b − a) f ( a + b)
a
2
的截断误差的表达式，并判断其代数精度。
第 6页 共 6 页
2 3 3、设 A = 1 1 ，则 Cond∞ ( A) = ______. 4、已知 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 2,-5,6，则矩阵 A 的谱半径是___________. 5、已知 f (x) = x − sin x −1 ，则牛顿法的迭代公式是_______________
第 2页 共 6 页
四 、（ 本 题 满 分 10 分 ） 求 函 数 f (x) = sin π x 在 区 间 [0 ， 1] 上 的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 ϕ(x) = a + bx2 。
第 3）试用数值积分法建立常微分方程初值问题：
dy dx
x3 +
=1 x3 =
3
取初始向量 x(0) = [0,0,0]T 迭代求解，求到 x(2) 。
第 1页 共 6 页
三、（本题满分 10 分）已知数据表:
x -1 0 1 2 3 y2 1 3 4 5
通过构造点集 {−1, 0,1, 2,3} 上的正交多项式求一个二次多项式以最小二乘法拟
合上述数据。
10、将向量 s = (−2,1, 0)T 变为与 e1 = (1, 0, 0)T 同向的变换 u = Hs 中的 Householder 矩阵
H = ______。
二、（本题满分 10 分）用 Gauss-Seidel 迭代法求解方程组
x1
+
2x2
−
2x3
数值分析2012考试卷沈阳工业大学
研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。
2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。
3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。
4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。
5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x。
二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。
说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。
2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。
三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。
五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。
2012级硕士研究生数值分析期末考试试卷及答案
设区间分成 n 等分，则 h=1/n., 故对复合梯形公式，要求
RT ( f ) =| −
即n2 ≥
b − a 2 '' 1 1 1 h f (η ) |≤ ( ) 2 e ≤ × 10 −5 ，η ∈ (0,1) 12 12 n 2
e × 10 5 ， n ≥ 212 .85 ，因此 n=213，即将区间[0,1]分成 213 等分时，用复合梯形计 6 1 算，截断误差不超过 × 10 − 5 。 2
为 2 ．设 。 位有效数字，
x * 的相对误差限
f ( x ) = 3 x 7 + x 4 + 3x + 1 ，则 f [2 0 ,2 1 ,L ,2 7 ] =
，
f [2 0 ,21 , L,2 8 ] =
。 ， 并计
3. 过点 ( −1,0), ( 2,0) 和 (1,3) 的二次拉格朗日插值函数为 算 L2 ( 0) 4 ．设
S1 ( x) = 3.7143 + 1.2429 x
2-范数的误差
4
2.45
|| δ || 2 =
∑ (S (x ) − y )
1
2
i
i
= 0.675 = 0.8216
i= 0
5. 用改进的欧拉公式（预估-校正方法） 解初值问题
dy = x 2 + 100 y 2 , y( 0) = 0 ， h 为步长， （1） 取步长 h = 0.1, 计算到 x = 0 .2（保 dx
p ( 2) = 1, 并写出其余项表达式（要求有推导过程） 。
2. 若用复合梯形公式dx ，问区间 [0, 1] 应分成多少等分才能使截断误差不超过
1 × 10 − 5 ? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1] 应该分成多少等份? 由下表数 2
长安大学2011-2012学年第一学期研究生《数值分析原理》试题(A)卷及答案
解得： x1 x2
3 h ，——4 分 5
1 A1 A2 h3 。——4 分 3
2
五． （本题满分 12 分）给定方程组
x1 2 x2 2 x3 5 x1 x2 x3 1 2x 2x x 3 2 3 1
1） （本小题满分 6 分）用三角分解法解此方程组； 2） （本小题满分 6 分）写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始 向量 x0 (0,0,0) ，当 xk 1 xk 10 时，求其解。
长安大学 2011-2012 学年第一学期研究生 《数值分析原理》试题（A）卷
说明：1．试题共 9 道大题、共 2 页。 2．考试时间两个小时，可带计算器。 3．所有答案都写在答题纸（试卷）上，否则无效。
一． （本题满分 8 分）给定方程 x x 2 0 ， x [0,2] ，采用迭代公式
(0 , 0 ) 1/ 2 ， (0 , 1 ) 1/ 3 ， (0 , 2 ) 1/ 4 ， (1 , 1 ) 1/ 4 ， (1 , 2 ) 1/ 5 ， (2 , 2 ) 1/ 6 ， 1 1 1 (0 , f ) ln 2 ， (1 , f ) 1 ， (2 , f ) ln 2 ； 2 4 2 2
二． （本题满分 8 分）对于定积分 I
1 0
f ( x)dx ，当 M 2 1/8 及 M 4 1/ 32 ，用 11 点的
复化辛普森（Simpson）求积公式求 I 的截断误差为 RS [ f ] ，用 n 个节点的复化梯形 求 积 公 式 求 I 的 截 断 误 差 为 RT [ f ] ， 要 使 RT [ f ] RS [ f ] ， n 至 少 是 多 少 ？ （ M 2 max f ( x) ， M 4 max f 解： n1 10 ， h1
2012级研究生数值分析试卷A
一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。
二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A ∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。
三． 已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。
四．（1）求012,,A A A ，使得数值求积公式20122()(2)(0)(2)f x dx A f A f A f -≈-++⎰具有尽可能高的代数精度，并求出其代数精度； （2）试用复合Simpson 公式2S 计算120sin x dx ⎰。
五．（1）叙述Newton 插值法与Lagrange 插值法的异同。
（2）对下述列表函数：写出差商表；并写出逼近上述列表函数的三次Newton 插值多项式。
六．用LU 分解法解下述方程组，并写出矩阵L 与U 。
12312312334241255x x x x x x x x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩七．(1) 取步长0.1h =，完成利用改进的Euler 方法解下述初值问题的Matlab 程序, 使得输出结果yy (n +1)为下述微分方程初值问题的解函数在0.3x =处函数值(0.3)y 的近似值。
'23(0)2y x y =+⎧⎨=⎩function ex( )a=0; b=0.3; y0= ; n= ; [x,yy]=improved_euler_method(@fxy,a,b,y0,n) returnfunction z=fxy(x,y)z= ; returnfunction [x,y]=improved_euler_method(f,a,b,y0,n) h=(b-a)/n; y=zeros(1,n+1); x=a:h:b; y(1)=y0; for j=1:ntemp= ;y(j+1)=y(j)+h*temp; y(j+1)=y(j)+h*(temp+f(x(j+1),y(j+1)))/2; end return(2) 叙述求解一阶微分方程初值问题的梯形方法和改进的Euler 方法的方法思想。
2012数值分析试题及答案
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
所以，迭代矩阵为 M D 1 (D A) .
当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，由于
n
| aij |
(M ) M max | j1 | 1，所以，迭代格式收敛.
1in
2aii
三、（12 分）说明方程 x cosx 0 有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使
42 ，则 A 的 Doolittle 分解式是( A 13
10 10
2 －2
)，Crout
… …
○
分解式是（
A 13
－02
1 0
12
）.
… … …
3.解线性方程组
xx11
4x2 9x2
2 1
的
Jacobi
迭代矩阵的谱半径
（B)
(
2/3
).
… 封
4.迭代格式 xk1 xk3 3xk2 3xk , k 0,1,2,... 求根 1是( 3 )阶收敛的.
… …
5.设 f (x) sin x ，用以 xi i, i 0,1,2 为节点的二次插值多项式近似 sin1.5 的值，
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
2012数值分析试卷答案
2012数值分析试卷答案科目：数值分析考试时间: 出题教师：集体昆明理工大学2012级硕士研究生试卷考生姓名：专业：学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、填空题(每空2分，共40分)* * *1 •设x 0.231是真值x 0.228的近似值，则x有_______________ 位有效数字，x的相对误差限为 _____________________ 。
2•设f(x) 3x7x43x 1，则f[20,21, ,27] _____________ , f[20,21, ,28] _______ 。
3.过点(1,0), (2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2(x)= ___________________ ,并计算L2(0) ___________________ 。
3 24•设f (x) 3x 2x 4x 5在1,1上的最佳二次逼近多项式为________________________ , 最佳二次平方逼近多项式为 _________________ 。
1f—5 •高斯求积公式° x f (x)dx A f(X。
)A f (xj的系数A__________________________________ ,A1 __________ ，节点x0------------------ ，x, ---------------------------6 •方程组Ax b，A D L U,建立迭代公式x(k 1}Bx(k)f，写岀雅可比迭代法和7. A 00 ，其条件数Cond(A )2 1 J2J318.设A，计算矩阵A 的范数，|| A||1 =2,I|A||2 =9 •求方程Xf(x)根的牛顿迭代格式是10.对矩阵A 2作LU 分解，其L= 5,U=二、计算题(每题 10分，共50分)1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满2.若用复合梯形公式计算积分2据,0.4 0.43.线性方程组Ax b ，其中A0.4 0.4 0.80.8，b ［1,2,3］T ，(1)建立雅可比迭代法和 1高斯-赛德尔迭代法的分量形式。
硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)
硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有4位有效数字。
( ) 2. 设(0,1,2,3)i x i =是互异的点，()(0,1,2,3)i l x i =是Lagrange 插值基函数，则3224()4i ii x l x x==∑. ( )3. 设73()32f x x x =-+，则差商1234567[2,2,2,2,2,2,2]1f =。
( ) 4. 设A 是n 阶非奇异方阵，则解方程组A =x b 的迭代法收敛的充要条件是A 的谱半径()1A ρ<。
( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的整体截断误差是4()O h ，其中h 是步长。
( )二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设T(2,1,3,4)=-x ，2543A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 则 1||||x = , Cond()A ∞= .2. 设20()d I f x x =⎰，若用梯形求积公式计算I ，结果是4；用Simpson 求积公式计算I ，结果是2. 则(1)f = .3. 设S 是函数f 在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：()()22,01,()111,13,2x x S x x a x b x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+≤≤⎪⎩ 则a = ，b = ，(3)f '= .4. 设函数(0.8) 1.2,(0.9) 1.4,(1) 1.0,(1.1)0.2,(1.2)0.5f f f f f =-=-=-==, 步长0.2h =，则用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .5. 设函数()f x 是最高次项系数为1-的3次多项式，2()p x 是()f x 在节点1,0,1-上的Lagrange 插值多项式, 则余项2()()f x p x -= .三(本题满分8分)的近似值*x 的相对误差限是0.01%，求*x 至少应具有几位有效数字？四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式，并说明理由。
数值计算(数值分析)试题及答案
++中的待定系数，使其A f(1)(0)武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 3.14159265358979的近似值，它们各有几位有效数字，绝对误差和相对误差分别是多少？3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦.(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。
由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。
由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。
(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。
解 ()()101101322I A λλλλλλλ--=-=--- 矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********c o n d A A A -∞∞∞=⨯=⨯=(3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
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合肥工业大学2012级硕士研究生《数值分析》试卷(A)
一、填空题 (每空2分，共20分)
1. 设2345A -=-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则A ∞= ，Cond()A ∞= . 2. 设*
3x =是方程3
2
7159x x x -+=的2重实根，则求*
x 的改进的Newton 迭代公式为
. 3. 若73()357f x x x =-++，则,[01,2,,7]f = ，,[01,2,,8]f = .
4. 三次样条01(),
01,()(),
12
S x x S x S x x ≤<⎧=⎨
≤≤⎩ 在结点1x =处的连续性条件是
.
5. 设函数(0.9) 1.2,(1) 1.0,(1.1)0.5f f f =-=-=, 用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .
6. 已知求积节点(,()),0,1,
,i i x x f i n =，设()()d b
a
I x f x x ρ=⎰，0
()n
n i i i I A f x ==∑，
若(1)()()d (1)!
n b
n n a f I I x x n ξω+-=+⎰，其中ξ介于01,,,n x x x 之间，0
()()n
n i i x x x ω==-∏；
则求积公式0
()n
n i
i
i I A f x ==
∑至少具有 次代数精度。
7. 四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是 ，其整体截断误差是 .
二(本题满分10分) 已知线性方程组
1231231
23422,250,326 1.
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=-⎩ (1) 分别写出求解上述方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss –Seidel 迭代格式的迭代矩阵
J B 和G B .(4分)
(2) 计算范数1
J
B 和1G B ，判断求解上述方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss –Seidel
迭代格式是否收敛？(4分)
(3) 若都收敛，哪个迭代格式收敛速度得更快？(2分)
三(本题满分10分) 用下列表中的数据求插值多项式()p x ，使之满足()()i i p x f x =，
0,1,2i =，和00()()p x f x ''=.（要求写出差商表）
四(本题满分12分) (1) 设30
()d I f x x =
⎰
. 已知(0)(3)f f α==(α未知), 2)1(=f ,
(2) 2.5,f = 用3
n =（即将积分区间[0,3]分成3段）的复化梯形求积公式计算I ，得5.5；用Simpson 求积公式计算I ，得5，求α和(1.5).f (7分) (2) 用上述2点古典Gauss 公式计算1
sin d I x x x =⎰
的近似值。
(5分)
五(本题满分10分). 已知方程3
2370x x +-=.
(1) 取初值00.8x =，用Newton 迭代法求2x . (5分) (2) 取初值010.8,0.9x x ==，用弦截法求3x .(5分)
六(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式1()p x ，取权1i ρ=，
0,1,2,3i =，并计算总误差Q .
七(本题满分10分) 用改进的Euler 方法求下列初值问题（取步长5.0=h ）
d (1),01,
d (0) 1.y
y t y t t
y ⎧=-+<≤⎪⎨⎪=⎩
八(本题满分12分) 设函数()x ϕ在[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足； (1) 当[,]x a b ∈时，()a x b ϕ≤≤；
(2) 存在常数01L <<, 对[,]x a b ∀∈，都有()x L ϕ'≤; 证明
(1) 函数()x ϕ在区间[,]a b 上存在唯一不动点*
x ；(4分)
(2) 对任何初值0[,]x a b ∈，由迭代格式1()k k x x ϕ-=生成的序列{}k x 都收敛于*
x ;(4分)
(3) *
1||||1k k k L
x x x x L
--≤--.(4分)
九(本题满分6分) 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以0,0.05,0.1为节点的二次Lagrange 插值多项式，求2(0.03)p 至少有几位有效数字？（sin 0.060.059964=；要
求用Lagrange 插值余项公式求。
）。