北京31中初三期中数学试题答案(1)

北京三十一中2011——2012学年度第一学期 初 三 期 中 数 学 练 习 答 案
（考试时间120分钟, 满分100分）
一、选择题（本题共23分, 1-7每小题3分, 第8题2分）
二、填空题（本题共17分, 9-13每小题3分, 第14题2分）
9
. 4
10. 0 11. 6 12. m<1 13. 答案不唯一 14.324,2
- 三、解答题（本题共46分, 15-16每小题5分, 17-22每小题6分） 15．解：
26tan 3060cos45︒︒-︒ 26=⨯………………………………………3分 322=- 12=………………………………………5分
16．解：b=
3
2
…………3分 c=3102…………5分
17．证明：△ABD ∽△ACB 即得。

证明角等…………3分；相似…………6分
18．解：（1）如图, 作BH OA ⊥, 垂足为H
, …………1分 在Rt OHB △中, 5BO =Q , 3sin 5
BOA ∠=,
3BH ∴=． 4OH ∴=．
∴点B 的坐标为(43)，．
…………3分
（2）Q 10OA =, 4OH =, 6AH ∴=． 在Rt AHB △中, 3BH =Q , AB ∴=
cos 5AH BAO AB ∴∠=
=（得5
2
不扣分）…………6分 19．解：解直角三角形…………3分19m. …………6分
x
20．解：（1）2000元；…………1分
（2）列函数式…………3分 讨论最值…………5分 5元。

…………6分 21．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0), 与y 轴交点的坐标为(0,3), 顶点坐标为
(2,1)-； ………………………………………3分
（2）列表：
……………………………4分
图象如图3所示． ……………………………5分 （3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分
22．（1）证明：∵ AB =AC , ∴ ∠B =∠C ．
∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD , ∠ADE =∠C , ∴ ∠BDE =∠CAD ．
∴ △BDE ∽△CAD ． …………3分 （2）解：由（1）得
DB AC
BE CD
=
． ∵ AB =AC = 5, BC = 8, CD =2, ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 62
2.45
DB CD BE AC ⨯⨯=
==． …………6分
五、解答题（本题共14分, 第23题3分, 第24题5分, 第25题6分） 23.解：（1）90α︒+ …………1分
（2）图中两对相似三角形：①△ABB '∽△AC C ' , …………2分
②△ACE ∽△FBE ； …………3分、
24.解：（1）∵关于x
的方程为221
(1)04
x a -++=为一元二次方程, 且有实根。

故满足：
22
0,1(4(1)0.4
a a ≥⎧⎪
⎨∆=--⨯⨯+≥⎪⎩
整理得 2
0,
(1)0.a a ≥⎧⎨-≤⎩
1a = …………2分
（2）由（1）可知1a =,
故方程2(1)0mx m x a +--=可化为2(1)10mx m x +--=。

①当m =0时, 原方程为10x -=, 根为1x =, 符合题意。

…………3分 ②当m ≠0时, 2(1)10mx m x +--=为关于x 的一元二次方程,
2222(1)4(1)12421(1)0m m m m m m m m ∆=--⨯⨯-=-++=++=+≥.
此时, 方程的两根为 121
1,x x m
==-. ∵两根均为整数, ∴m =1±.
综上所述, m 的值为1-, 0 或1. …………5分
25．解：（1）由题意, 点B 的坐标为()02， ∴2OB =,
2OAB tan =∠Θ,
即2OB OA
=． ∴1OA =．点A 的坐标为()10，．…………1分
又Q 二次函数22y x mx =++的图象过点A , 2012m ∴=++． 解得3m =-,
∴所求二次函数的解析式为232y x x =-+．…………2分 （2）由题意, 可得点C 的坐标为()31，,
所求二次函数解析式为231y x x =-+．…………3分
（3）由（2）, 经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后
所
得的图象, 那么对称轴直线3
2x =不变, 且111BB DD ==
Q 点P 在平移后所得二次函数图象上, 设点P 的坐标为()231x x x -+，． 在1PBB △和1PDD △中, 112PBB PDD S S =Q △△,
∴边1BB 上的高是边1DD 上的高的2倍……4分 ① 当点P 在对称轴的右侧时,
有322x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭, 得3x =
∴点P 的坐标为()31，；…………5分
② 当点P 在对称轴的左侧, 同时在y 轴的右侧时,
有322x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
, 得1x =,
∴点P 的坐标为()11-，； 当点P 在y 轴的左侧时, 0x <,
∴322x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
, 得30x =>（舍去）
∴综合①、②、③可得, 所求点P 的坐标为()31，或()11-，
．…………6分
五．附加题：（共5分）
26．解：（1）①如图11, 作AE ⊥PB 于点E ．
∵ △APE 中, ∠APE=45°, 2PA =, ∴ 2
sin 212
AE PA APE =⋅∠=⨯
=,
cos1
2
PE PA APE
=⋅∠=．
∵4
PB=,
∴3
BE PB PE
=-=．
在Rt△ABE中, ∠AEB=90°,
∴
AB=．…………1分
②解法一：如图12, 因为四边形ABCD为正方形, 可将
△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P AB
',
可得△PAD≌△P AB
', PD P B'
=,PA P A'
=．
∴PAP'
∠=90°, APP'
∠=45°, P PB
'
∠=90°．
∴
2
PP'=．分
∴
PD P B'
====．…………2分解法二：如图13, 过点P作AB的平行线, 与DA的延长线交于F, 设DA 的延长线交PB于G．
在Rt△AEG中, 可得
cos cos
AE AE
AG
EAG ABE
==
∠∠
,
1
3
EG=,
2
3
PG PB BE EG
=--=．
在Rt△PFG中, 可得
cos
PF PG FPG PG
=⋅∠=⋅
FG．
在Rt△PDF中, 可得PD
…………2分（2）如图14所示, 将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P AB
', PD 的最大值即为P B'的最大值.
∵△P PB
'中, P B PP PB
''
<+, 2
PP'=, 4
PB=,
且P、D两点落在直线AB的两侧,
∴当P P B
'、、三点共线时, P B'取得最大值（见图15）.
此时6
P B PP PB
''
=+=, 即P B'的最大值为6. …………4分
此时∠APB=180°－APP'
∠=135°. …………5分。