2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第二章综合素质评价
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第三章综合素质评价
第三章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是()A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．一个盒子内装有大小、形状都相同的4个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是()A．12B．14C．16D．1123．小鸡孵化场孵化出1 000只小鸡，在其中60只上做记号，将这60只小鸡放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出50只小鸡，其中有记号的大约有()A．40只B．25只C．15只D．3只4．小明、小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为()A．16B．13C．12D．235．小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域(四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上)的概率是()A．12B．23C．49D．596．两个正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，若同时投掷这两个骰子，则两个骰子着地的面上所标数字之和等于5的概率为()A．14B．316C．34D．387．为了估计暗箱里白球的数量(暗箱内只有白球)，将6个红球放进去，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为()A．15个B．10个C．9个D．4个8．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．三次传球后，球恰好在A手中的概率是()A．14B．18C．13D．169．学校失物招领处收到学生捡到的4张校园卡，其中来自七年级的有1张，八年级的有2张，九年级的有1张，随机抽取2张校园卡，全部来自八年级的概率为()A．112B．16C．14D．1210．如图是两个可以自由转动的转盘，转盘一被等分成三个扇形，转盘二被分成不等的两个扇形，并分别标上1，2，3和6，7这5个数字．如果同时转动两个转盘各一次，转盘停止后(指针指在分界线时重转)，指针指向的数字之和为偶数的概率是()A．12B．29C．49D．1311．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字－1，1，2．随机摸出一个小球(不放回)，将其数字记为p ，再随机摸出另一个小球，将其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数根的概率是( )A ．12B ．13C ．23D ．5612．如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为( )A ．14B ．25C ．23D ．59二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．有三辆车按1，2，3编号，小明和小华两人都可任意乘坐一辆车．则两人都乘坐3号车的概率为________．14．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路，为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时的情况，统计如下：据此估计，早高峰期间乘坐B 线路上的公交车，用时不超过35分钟到达学校的概率为________；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐________(填“A ”或“B ”)线路上的公交车．15．有三张正面分别标有数－1，1，2的不透明卡片，它们除正面上的数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数记为a ；再从余下的两张卡片中任意抽取一张，将该卡片正面上的数记为b ，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －22<x ＋32，ax >b有且只有2个非负整数解的概率为________．16．有四张不透明的卡片，正面分别标有1，2，－1，－3四个数，这四张卡片除标有的数不同外其余均相同．将这四张卡片背面朝上，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片上标有的数作为一次函数y＝kx＋b中的k 的值；第二次从余下的三张卡片中随机抽取一张，将这张卡片上标有的数作为b的值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为________．17．如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，不能点亮灯泡的概率为________．18．如图，4×2的正方形网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个，能够组成等腰三角形的概率为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种的盒装粽子．(1)利用画树状图或列表的方法表示出所有的选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档盒装粽子被选中的概率是多少？20．某数学活动小组进行投针试验：在同一个平面上画一组平行线(5条直线)，相邻两条平行线间的距离均为4 cm，将一根长度为3 cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据小组成员记录的数据得下表，补全表格(保留两位小数)，并估计针与直线相交的概率(保留一位小数)．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分三类：厨余、可回收和其他，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1 000 t生活垃圾，数据统计如下(单位：t)：A B Ca400 100 100b30 240 30c20 20 60试估计“厨余垃圾”投放正确的概率．22．某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，将学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如图所示的不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)参加知识竞赛的学生共有________人，并把条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，m＝________，n＝________，C等级对应的圆心角为________度；(3)小明是4名成绩为A等级的学生中的一名，学校将从成绩为A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求小明被选中参加区举办的知识竞赛的概率．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．甲、乙两人玩游戏，他们准备了一个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子(如图)，转盘被分成面积相等的3个扇形，3个扇形内分别标上数－1，－2，－3；袋子中装有除数不同，其他均相同的3个乒乓球，3个乒乓球上分别标有数1，2，3．游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指扇形内的数与随机从袋子中摸出的1个乒乓球上标有的数之和为0时，甲获胜，其他情况乙获胜．(转动转盘时，如果指针恰好指向分界线，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止)(1)用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率；(2)这个游戏规则对甲、乙两人公平吗？请说明理由．24．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在正方形网格中，对每一个小正方形涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小正方形，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．(1)用画树状图的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1，2表示两个不同位置的小正方形，下同)．(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为________．(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共有492人，则n的最小值为________．答案一、1．D2．C3．D4．B5．C6．A7．C8．A9．B10．C 11．A12．B点拨：如图，连接点A，B，C，D，E，F中的任意两点可得15条线段，其中AC，AE，BD，BF，CE，DF这6条线段的长度为3，∴所求概率为615＝25．二、13．1914．15；A15．1616．1317．1318．12三、19．解：(1)画树状图如下：共有6种选购方案：(高档，精装)，(高档，简装)，(中档，精装)，(中档，简装)，(低档，精装)，(低档，简装)．(2)由(1)中树状图可知甲厂家的高档盒装粽子被选中的有(高档，精装)，(高档，简装)，共2种，∴甲厂家的高档盒装粽子被选中的概率是26＝13．20．解：0.32；0.32；0.47；0.48；0.45；0.40；0.40；0.39；0.37；0.38估计针与直线相交的概率为0.4．四、21．解：(1)画树状图如图所示．由树状图可知，垃圾投放正确的概率为39＝13．(2)估计“厨余垃圾”投放正确的概率为400400＋100＋100＝2 3．22．解：(1)4040×20%＝8，补全条形统计图如图所示：(2)10；40；144(3)将除小明外的三个人记作E，F，G，列表如下：小明E F G小明E，小明F，小明G，小明E小明，E F，E G，EF小明，F E，F G，FG小明，G E，G F，G共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中参加区举办的知识竞赛的情况有6种，所以小明被选中参加区举办的知识竞赛的概率为6 12＝1 2．五、23．解：(1)列表如下：晨鸟教育Earlybird共有9种等可能的情况，其中指针所指扇形内的数与随机从袋子中摸出的1个乒乓球上标有的数之和为0的有3种，∴P (甲获胜)＝39＝13． (2)不公平．理由如下：由(1)中表格可知P (乙获胜)＝69＝23．∵P (甲获胜)＝13，∴P (甲获胜)≠P (乙获胜)，∴这个游戏规则对甲、乙两人不公平．24．解：(1)画树状图如图所示．共4种等可能的结果．∴题图③可表示不同信息的总个数为4．(2)16 (3)3。
北师大版初中九年级数学上册第二章一元二次方程素养综合检测课件
15.(易错题)(2022四川内江中考)已知x1、x2是关于x的方程x2-
2x+k-1=0的两个实数根,且 x2 +x1
x1 x2
=x12 +2x2-1,则k的值为
2
.
易错警示 本题容易忽略根与系数的关系应用的前提是方 程有解,所以做题时容易忽略k的取值范围.
解析 ∵x1、x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两个实数根,∴x1 +x2=2,x1x2=k-1, x12-2x1+k-1=0,
(2)∵方程的两个根为α,β,∴αβ= c =3-k,
a
∴k2=3-k+3k,解得k1=3,k2=-1.
由(1)知k>2,∴k=3,即k的值为3.
20.(7分)如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,BC=3 cm,点E从点B 处开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动,同时点F从点C处 开始沿CD边以1 cm/s的速度向点D移动,当E,F两点中有一点 到达终点时,另一点也停止运动.当△AEF是以AF为底边的等 腰三角形时,求点E运动的时间.
3
故选B.
2
10.如图,用大小相同的小正方形按一定规律拼成下列图形, 第n个图形中有小正方形2 024个,则n的值为 ( B )
…
A.43
B.44
C.45
D.46
解析 由题图可知,第1个图形中小正方形的个数为3=22-1; 第2个图形中小正方形的个数为8=32-1;第3个图形中小正方 形的个数为15=42-1;……,依次类推,第n个图形中小正方形的 个数为(n+1)2-1,∴(n+1)2-1=2 024,∴n1=44,n2=-46(不合题意, 舍去).故选B.
第2章一元二次方程 单元综合能力达标测评 2021—2022学年北师大版九年级数学上册
2021年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合能力达标测评（附答案）一．选择题（共7小题，每小题4分，共28分）1．方程x2﹣9＝0的根是（）A．x＝﹣3B．x1＝3，x2＝﹣3C．x1＝x2＝3D．x＝32．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．43．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，则2022+2a﹣b的值是（）A．2018B．2020C．2022D．20244．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0时，此方程可变形为（）A．（x+1）2＝1B．（x﹣1）2＝1C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2 5．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定6．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，则满足条件的正整数a个数是（）A．6B．7C．8D．97．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0C．k＜D．k≥且k≠0二．填空题（共11小题，每小题4分，共44分）8．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．9．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为．10．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．11．已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，且a≠﹣b，则的值为．12．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为．13．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4＝0有一个根为零，则m的值为．14．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，配方后的方程可以是．15．若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝．16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是．17．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根，则a2+2a+b的值是．18．近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为．三．解答题（共5小题，19题8分，20、21、22、23每小题10分，共48分）19．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．21．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？22．某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米的篱笆围成．如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米（1）若苗圃园的面积为108m2，求x的值，（2）苗圃园的面积能达到120m2吗？若能，求出x；若不能，说明理由．23．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？参考答案一．选择题（共7小题，每小题4分，共28分）1．解：移项得：x2＝9，两边直接开平方得：x＝±3，即x1＝3，x2＝﹣3．故选：B．2．解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，解得b＝±2，∵b﹣1≥0，∴b≥1，∴b＝2．故选：A．3．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的解是x＝2，∴4a﹣2b+4＝0，则2a﹣b＝﹣2，∴2022+2a﹣b＝2022+（2a﹣b）＝2022+（﹣2）＝2020．故选：B．4．解：x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，（x+1）2＝2，故选：C．5．解：方程变形得：（x﹣3）（x﹣6）＝0，解得：当x＝3或x＝6，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6+6+3＝15，故选：B．6．解：∵方程（a﹣6）x2﹣8x+6＝0有实数根，∴△＝64﹣24（a﹣6）≥0，a﹣6≠0，解得：a≤，且a≠6，则满足条件的正整数a为1，2，3，4，5，7，8，共，7个．故选：B．7．解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，△＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k＞且k≠0．故选：B．二．填空题（共11小题，每小题4分，共44分）8．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．解：∵（x+1）*3＝0，∴（x+1）2﹣32＝0，∴（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故答案为x1＝2，x2＝﹣4．10．解：有题意，得m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，解得m＝2，故答案为：2．11．解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10＝0的一个解，∴a﹣b﹣10＝0，∴a﹣b＝10．∵a≠﹣b，∴a+b≠0，∴＝＝＝＝5，故答案是：5．12．解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，依题意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；②a为斜边时，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝＝，故答案为．13．解：依题意，当x＝0时，原方程为m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，∵二次项系数m﹣1≠0，即x≠1，∴m＝﹣4．故本题答案为：﹣4．14．解：x2﹣4x﹣3＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝0故答案为：（x﹣2）2＝7；15．解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2，∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝3．故答案为3．16．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，解得a≤2，故答案为：a≤2．17．解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根，∴a2+a﹣2020＝0，a+b＝﹣1，∴a2+a＝2020，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．故答案为：2019．18．解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得10000×（1﹣x）2＝8100，解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），则降价百分率为10%．故答案为：10%．三．解答题（共4小题，19题8分，20、21、22、23每小题10分，共48分）19．解：（1）（x﹣1）2＝4，开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2，方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1．20．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，解得k≤3，即k的取值范围是k≤3；（2）设方程的另一个根为m，则4+m＝﹣2，解得m＝﹣6，∴2k﹣5＝4×（﹣6），解得k＝﹣∴k的值为﹣，另一个根为﹣6，（3）∵k为正整数，且k≤3，∴k＝1或k＝2或k＝3，当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，当k＝2时，原方程为x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，∴k的值为1或3．21．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．22．解：（1）由题意可知：（30﹣2x）x＝108，解得：x＝6或x＝9，由于0＜30﹣2x≤20，解得：5≤x＜15，∴x＝6或x＝9，答：若苗圃园的面积为108m2，x的值为6m或9m．（2）由题意可知：（30﹣2x）x＝120，∴x2﹣15x+60＝0，∴△＝152﹣4×60＝﹣15＜0，此时方程无解，答：苗圃园的面积不能达到120m223．解：①根据题意得：若降价6元，则多售出12件，平均每天销售数量为：12+20＝32（件），答：平均每天销售数量为32件；②设每件商品降价x元，根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20，40﹣10＝30＞25，（符合题意），40﹣20＝20＜25，（舍去），答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程自我综合评价(二)习题课件 (新版)北师大版
两种优惠方案以供选择：
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小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
2020/1/1
精品课件
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自我综合评价(二)
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x. 由题意,得 5(1－x)2＝3. 2. 解这个方程,得 x1＝0. 2,x2＝1. 8. 因为降价的百分率不可能大于 1,所以 x2＝1. 8 不符合题意,符合题目要求的是 x1 ＝0. 2＝20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. (2)小华选择方案一更优惠. 理由：方案一所需费用为 3. 2×0. 9×5000＝14400(元), 方案二所需费用为 3. 2×5000－200×5＝15000(元). 因为 14400<15000, 所以小华选择方案一更优惠.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于 1,求 k 的取值范围.
解：(1)证明：∵在方程 x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0 中,Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k
＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0, ∴方程总有两个实数根. (2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0, ∴x1＝2,x2＝k＋1. ∵方程有一个根小于 1, ∴k＋1＜1,解得 k＜0, ∴k 的取值范围为 k＜0.
3
自我综合评价(二)
5. 若(x＋y)(1－x－y)＋6＝0,则 x＋y 的值是( C )
A. 2
B. 3
C. －2 或 3
D. 2 或－3
[解析] 根据方程的特点可考虑用换元法求值. 设 x＋y＝a,则原方程可化为 a(1－a) ＋6＝0,解得 a1＝3,a2＝－2.
6. 已知 2 是关于 x 的方程 x2－2mx＋3m＝0 的一个根,并且这个方程的 两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长,则△ABC 的周长为( B )
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第一章综合素质评价
第一章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线的长为()A．4 B．2 3 C．2 D．1 3．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形ABCD分成阴影部分和空白部分，当菱形ABCD的边长为10，一条对角线的长为12时，阴影部分的面积为()A．48 B．36 C．24 D．604．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD ＝8，则DC的长为()A．4 3 B．4 C．3 D．5 5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则BE的长为()A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD ＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD上的点B′处，则BE的长度为()A．1 B． 2 C． 3 D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为() A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.48．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°9．如图，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合后得到四边形ABCD(不完全重合)，则四边形ABCD面积的最大值是()A．15 B．16 C．19 D．2010．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE ＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为()A．13 B．15 C．4.5 D．4.3 11．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是()A．3 3 B．3＋3 3 C．6＋ 3 D．6 312．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，连接EF．则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠ABE 的度数是________．14．如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE 的左侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为________．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠ADC＝120°，点E，F分别从点A，C出发，沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1 cm/s，点F 的速度为2 cm/s，点E，F同时出发，当其中一点到达终点B时，另一点也随之停止移动，设移动时间为t s，当△DEF为等边三角形时，t的值为________．16．如图，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为________________．17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在BC，CD上运动，点E不与点B，C重合，点F不与点C，D重合，则△CEF面积的最大值是________．18．将正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx ＋b和x轴上，已知B1(1，1)，B2(3，2)，则B4的坐标为________，B n的坐标为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．(1)用尺规作图，作出△ABC的角平分线CD(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的基础上，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，判断四边形CEDF的形状，并说明理由．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB相交于点F．(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；(2)若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图，四边形ABCD是菱形，以点A为圆心，以AB为半径画弧分别交BC，CD于点E，F，连接AE，AF，EF．(1)求证：CE＝CF；(2)若△AEF为等边三角形，求∠BAD的度数．22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．(1)求证：PB＝PE；(2)在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，请说明理由，并求出PF的长度；若发生变化，请说明理由．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．如图，已知正方形ABCD，过点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，DE交直线AP于点F．(1)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(2)若45°＜∠P AB＜90°，请写出线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．24．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(－6，8)．沿BD折叠矩形ABCO，使点A落在OB上的点E处，延长BD 交x轴于点F．(1)求点D的坐标；(2)若点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使以点M，N，E，O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．C 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D7．D 点拨：连接AP ．∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝62＋82＝10．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°．∴四边形AFPE 是矩形，∴EF 与AP 互相平分．∵M 是EF 的中点，∴M 在AP 上，且M 为AP 的中点，∴PM ＝12AP ．易知当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，则PM 有最小值，此时S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AP ，∴AP ＝AB ·AC BC ＝4.8，∴PM ＝12AP ＝2.4．故选D ．8．D 9．A 10．A11．D 点拨：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，AD ＝AB ＝6，∴△ADB 是等边三角形，∴∠MAE ＝30°，∴AM ＝2ME ，易知MD ＝MB ，∴MA ＋MB ＋MD ＝2ME ＋2MD ．当D ，M ，E 三点共线时，2ME ＋2MD 最小，即MA ＋MB ＋MD 最小，此时2ME ＋2MD ＝2DE ．在Rt △ADE 中，易知AE ＝12AD ＝3．∴DE ＝AD 2－AE 2＝62－32＝3 3，∴2DE ＝6 3．∴MA ＋MB ＋MD 的最小值是6 3．故选D ．12．C二、13．15°14．3015．4316．(3，4)或(2，4)或(8，4)17．318．(15，8)；(2n－1，2n－1)三、19．解：(1)如图，CD即为所求．(2)如图，四边形CEDF是正方形，理由：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°．∴四边形CEDF是矩形．∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．20．解：(1)四边形AEBO是矩形．理由：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AEBO是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC＝8，BD＝2OB．由(1)知四边形AEBO是矩形，∴∠OAE＝90°，OB＝AE．∴AE＝OE2－OA2＝102－82＝6，∴OB ＝6，∴BD ＝12．易知S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ，∴S 菱形ABCD ＝12×16×12＝96．四、21．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠D ．∴AE ＝AF ＝AB ＝AD ．∴∠B ＝∠AEB ，∠D ＝∠AFD ，∴∠AEB ＝∠AFD ．∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ．∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ．(2)解：由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF ．设 ∠BAE ＝∠DAF ＝x °，∠B ＝∠AEB ＝y °，则x ＋2y ＝180．①∵△AEF 为等边三角形，∴∠EAF ＝60°．∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAF ＋∠DAF ＝60°＋2x °．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠B ＝180°－y °，∴60＋2x ＝180－y ．②联立①②得⎩⎨⎧x ＋2y ＝180，60＋2x ＝180－y .解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝80.∴∠BAD ＝180°－80°＝100°．22．(1)证明：过点P 作PG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥DC 于点H ，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，又∵PG ⊥BC ，PH ⊥DC ，∴PG ＝PH ，∠PGC ＝∠PGB ＝∠PHE ＝90°．∴∠GPH ＝90°．∵PE ⊥PB ，∴∠BPE ＝90°，易得∠BPG ＝∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，⎩⎨⎧∠PGB ＝∠PHE ，PG ＝PH ，∠BPG ＝∠EPH ，∴△PGB ≌△PHE ，∴PB ＝PE ．(2)解：PF 的长度不发生变化．理由如下： 连接BD 交AC 于点O ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP ＝90°，OB ＝OA ．∴∠PBO ＝90°－∠BPO ，2OB 2＝AB 2＝4．∴OB ＝2．∵∠BPE ＝90°，∴∠EPF ＝90°－∠BPO ＝∠PBO ，∵EF ⊥PC ，∴∠PFE ＝90°＝∠BOP ．在△BOP 和△PFE 中，⎩⎨⎧∠PBO ＝∠EPF ，∠BOP ＝∠PFE ，PB ＝PE ，∴△BOP ≌△PFE ，∴PF ＝OB ＝2．∴在点P 运动的过程中，PF 的长度不发生变化，为2． 五、23．解：(1)如图1，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠PAE ＝∠PAB ＝20°，AE ＝AB ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°．∴∠AED ＝∠ADF ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠PAB ＋∠PAE ＝130°．∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°． (2)EF 2＋FD 2＝2AB 2．证明：如图2，连接AE ，BF ，BD ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴AE ＝AB ，EF ＝BF ．∴∠AEB ＝∠ABE ，∠FEB ＝∠FBE ．∴∠AEF ＝∠ABF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°． ∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠FBD ＝90°．∴∠BFD ＝90°．在Rt △BFD 中，BF 2＋FD 2＝BD 2，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴BF 2＋FD 2＝2AB 2．∴EF 2＋FD 2＝2AB 2．24．解：(1)∵四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标是(－6，8)，∴∠BAD ＝90°，AB ＝6，OA ＝8，∴BO ＝AB 2＋OA 2＝10．由折叠的性质得BE ＝AB ＝6，∠BED ＝∠BAD ＝90°，DE ＝AD ， ∴OE ＝BO －BE ＝10－6＝4，∠OED ＝90°．设点D 的坐标为(0，a )，则OD ＝a ，∴DE ＝AD ＝OA －OD ＝8－a ．在Rt △EOD 中，由勾股定理得DE 2＋OE 2＝OD 2，即(8－a )2＋42＝a 2，解得a ＝5，∴点D 的坐标为(0，5)．(2)存在，点M 的坐标为(4，0)或(－4，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，0．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m＜1B．m≠0C．m＞1D．m≠12．方程x2＝x的根是（）A．x＝0B．x＝±1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1 3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则m的值为（）A．5B．4C．3D．24．若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（）A．﹣4B．2C．﹣4或2D．4或﹣25．把一元二次方程x2+12x+27＝0，化为（x+p）2+q＝0的形式，正确的是（）A．（x﹣6）2﹣9＝0B．（x+6）2﹣9＝0C．（x+12）2+27＝0D．（x+6）2+27＝06．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a＞﹣1且a≠0C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣17．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（）A．2或6B．2或8C．2D．68．2021年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为x，则x 满足方程（）A．20x2＝9B．20（1﹣2x）＝9C．20（1﹣x）2＝9D．20（1﹣2x）2＝9二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝．10．关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．11．若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为．12．一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0和3x2﹣x+1＝0的所有实数根的和等于．13．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是．14．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝．15．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+2k2﹣1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝9，则k＝．16．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为最合适．三．解答题（共5小题，满分40分）17．用适当的方法解方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）3x2+5（2x+1）＝0；（3）2x（x﹣3）+x＝3．18．关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．19．已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0，（1）求证：方程恒有两不等实根；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．20．随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？21．先阅读，再解答．例：x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．解：∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0，∴（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0．即（x﹣1）2+（y+2）2＝0．∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴（x﹣1）2＝0，（y+2）2＝0．∴x＝1，y＝﹣2．∴x+y＝﹣1．（1）已知x2+4y2﹣6x+4y+10＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，∴m﹣1≠0，∴m≠1，故选：D．2．解：∵x2＝x，∴x2﹣x＝0，则x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1，故选：C．3．解：根据题意，得22﹣2m+2＝0，即6﹣2m＝0，解得，m＝3．故选：C．4．解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，解得：y1＝﹣4，y2＝2，当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，∴x2+2x的值为2，故选：B．5．解：∵x2+12x+27＝0，∴x2+12x+62﹣62+27＝0，∴（x+6）2﹣9＝0．故选：B．6．解：由题意可得：，∴a＞﹣1且a≠0，故选：B．7．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，解得：m＝2或m＝6．故选：A．8．解：依题意得：20（1﹣x）2＝9．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：把x＝1代入方程得：1﹣（m+2）+3＝0，去括号得：1﹣m﹣2+3＝0，解得：m＝2，故答案为：210．解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．11．解：设另一个实数根为t，根据题意得﹣2+t＝﹣3，解得t＝﹣1．故答案为﹣1．12．解：在方程3x2﹣x﹣1＝0中a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝13＞0，∴方程3x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根．设一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，则m+n＝﹣＝．在方程3x2﹣x+1＝0中a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣11＜0，∴方程3x2﹣x+1＝0没有实数根．∴一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0和3x2﹣x+1＝0的所有实数根的和等于．故答案为：．13．解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝或x＝4，当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去，则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．14．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°，∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO•2BO＝8m，∴AO+BO＝m+1，AO•BO＝2m，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，∴（m+1）2﹣4m＝25，解得：m1＝6，m2＝﹣4，∴当m＝﹣4时，AO•BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，即m＝6，则AO•BO＝12，AC•BD＝2AO•2BO＝4AO•BO＝48，∵DH是AB边上的高，∴S菱形ABCD＝AB•DH＝AC•BD，∴5DH＝，∴DH＝．故答案为：．15．解：由根与系数的关系知：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝2k2﹣1，∵x12+x22＝9，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝9，∴[﹣（2k+1）]2﹣2（2k2﹣1）＝9，4k+3＝9，解得k＝，当k＝时，Δ＝（2k+1）2﹣4（2k2﹣1）＝﹣4k2+4k+5＝﹣4×+4×+5＝2＞0，∴k＝符合题意．故答案为：．16．解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，整理得：x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16．又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，∴x＝16．∴每件商品的售价定为16元最为合适．故答案为：16．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；（2）3x2+5（2x+1）＝0，3x2+10x+5＝0，∵b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（3）2x（x﹣3）+x＝3，2x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（2x+1）＝0，x﹣3＝0或2x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣．18．（1）证明：∵Δ＝（k+3）2﹣12k＝（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，∴方程有两个实数根；（3）解：取k＝2时，则k+3＝5，3k＝6，故方程为x2+5x+6＝0，（x+3）（x+2）＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣3．19．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3a）2﹣4×（﹣3a﹣6）＝9a2+12a+24＝（3a+2）2+20＞0，∴方程恒有二不等实根；（2）解：由根与系数的关系得x1+x2＝3a，x1x2＝﹣3a﹣6，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝1，∴﹣3a﹣6﹣3a+1＝1，解得a＝﹣1．故a的值是﹣1．20．解：（1）设每天增长的百分率是x，依题意得：300（1+x）2＝432，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率是20%．（2）设应该建y条生产线，则每条生产线的最大产能为[900﹣30（y﹣1）]万个/天，依题意得：y[900﹣30（y﹣1）]＝3900，整理得：y2﹣31y+130＝0，解得：y1＝5，y2＝26，答：应该建5条或26条生产线．21．解：（1）∵x2+4y2﹣6x+4y+10＝0，∴（x2﹣6x+9）+（4y2+4y+1）＝0，即（x﹣3）2+（2y+1）2＝0，∵（x﹣3）2≥0，（2y+1）2≥0，∴（x﹣3）2＝0，（2y+1）2＝0，∴x＝3，y＝﹣，∴xy＝﹣；（2）△ABC是等边三角形，理由为：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0．∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，∴a＝b，b＝c，即a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．。
2022秋北师九年级数学上册 点训 全册 检查卷
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为() A．1 B. 3 C．2 D．2 3(第1题)(第3题)(第4题)(第6题)2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为()A．6 B．6 2 C．9 D．9 2 3．【教材P3例1变式】如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm 4．【2021·柳州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD 的面积为()A．9 B．10 C．11 D．125．下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A.15 B.14 C.13 D.3107．【教材P4习题T2改编】【2021·陕西】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则ACBD的值为()A.12 B.22 C.32 D.33(第7题)(第9题)(第10题)8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．【2021·兰州】如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．若四边形ABCD 的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b则(a＋b)2＝()A．25 B．24 C．13 D．12 10．【教材P28复习题T15拓展】如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是()A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的周长是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB ＝BC＝16 cm，则∠1＝________．(第13题)(第14题)(第15题)(第16题) 14．【2021·北京】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________(写出一个即可)．15．【教材P9习题T3变式】如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．(第17题)(第18题)(第19题)(第20题)18．【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D 是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD 于点E，则DE＝________.20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.给出下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF .＝2S△ABE其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．【教材P9习题T1改编】【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.22．【2021·云南】如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点，若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F 重合．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若ED＝2AE，AB·AD＝33，求EF·BD的值．23．【2021·贵阳】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.(1)求证：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．【教材P19习题T3变式】【2020·贺州】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD 是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG.(1)求证：AD∥CF；(2)求证：四边形ADCF是矩形．26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B7．D8.C9.A10.C 点思路：先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE＝CD及勾股定理可求得OD长，进而得出D点坐标．二、11.8 cm12.20 cm13.120°14．AE＝AF(答案不唯一)15.501316.(4，4)17．22°18.12519.2－120.①②③⑤三、21.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.22．(1)证明：∵△BED沿直线BD折叠，点E与点F重合，∴BE＝BF，DE＝DF，∠EDB＝∠FDB.∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，∴DE∥BF.∴∠EDB＝∠FBD.∴∠FDB＝∠FBD.∴BF＝DF.∴BE＝BF＝DF＝DE.∴四边形BEDF是菱形．(2)解：∵ED＝2AE，E是线段AD上的点，∴ED＝23AD.∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，∴S菱形BEDF ＝12EF·BD＝ED·AB＝23AD·AB.∵AB·AD＝3 3.∴12EF·BD＝23×33，∴EF·BD＝4 3.23．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°.∴△ABN≌△MAD(AAS)．(2)解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD. ∵AD＝2，∴BN＝2.又∵AN＝4，∴在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB＝2 5.∴S矩形ABCD＝2×25＝4 5.又∵S△ABN ＝S△MAD＝12×2×4＝4.∴S四边形BCMN ＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝45－8.24．解：(1)如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，则此时P′B＋P′E的值最小，即当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．(2)∵四边形ABCD是正方形，∴B，D关于AC对称．∴P′B＝P′D.∴P′B＋P′E＝DE.∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6.∴AD＝AB＝AE＋BE＝8.∴DE＝62＋82＝10.∴PB＋PE的最小值是10.∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12.25．证明：(1)∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线．∴EG∥AD.∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF.∴AD∥CF.(2)由(1)得AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF.∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴平行四边形ADCF是矩形．26. 点方法：本题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判定和性质，如何构造全等的三角形是解答本题的关键．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，BC＝EM，∠EMC＝90°.易知∠ABD＝45°，∴∠EBF＝45°.又∵∠BEF＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形．∴BE＝EF，∠F＝45°.∴EF＝CM.∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝12FD＝FG.∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD. ∵EF＝CM，∴FM＝DM.又∵FG＝DG，∴∠CMG＝12∠EMC＝45°.∴∠F＝∠CMG.∴△GFE≌△GMC(SAS)．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC.∵MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD. ∴∠FGE＋∠EGM＝90°.∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列式子是一元二次方程的是()A．3x2－6x＋2 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D.1x2＋x＝22．若方程2x2＋mx＝4x＋2不含x的一次项，则m＝()A．1 B．2 C．3 D．43．【教材P47例题(1)变式】一元二次方程x2－2x＝0的根是() A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝24．用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是()A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1 5．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为()A．4 B．2 C．1 D．－46．关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为()A.74 B.75 C.76D．07．扬帆中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为()A．(30－x)(20－x)＝34×20×30B．(30－2x)(20－x)＝14×20×30C．30x＋2×20x＝14×20×30D．(30－2x)(20－x)＝34×20×308．【教材P51习题T4改编】已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为()A．7 B．10 C．11 D．10或11 9．一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为()A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 10．若关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m 的图象不经过．．．()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题(每题3分，共30分)11．若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．12．【教材P32随堂练习T2变式】一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为__________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．13．已知－3是关于x的一元二次方程ax2－2x＋3＝0的一个解，则此方程的另一个解为______．14．若关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围是_________________________________________________________________ _______．15．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．16．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值为________．17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．18．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程x＋2x－1＝4的解相同，则k＝________．19．【易错题】【2021·菏泽改编】关于x的方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．20．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______(填序号)．①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程：则4m2＋5mn＋n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程以ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.三、解答题(21题16分，26题12分，其余每题8分，共60分)21．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2－9＝0；(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0；(3)x2－3x－94＝0; (4)y2－2y＝5.22．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？23．【教材P56复习题T7变式】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．24．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．25．【教材P57复习题T12变式】先阅读下面的材料，再解答问题．解方程：x4－5x2＋4＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)解方程(x2＋2x)2－4(x2＋2x)－5＝0.则x2＋2x＝________；(2)若(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝20，求a2＋b2＝________；(3)若实数x满足x2＋1x2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x－1＝0，求x＋1x.26．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90 000元，该小区共有多少套80平方米的住宅？(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少310a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少14a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少5 18a%，求a的值．答案一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A 7．D 8.D9.B 点方法：利用因式分解法解方程得到x 1＝5，x 2＝3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利有勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积． 10．A二、11.－3 12.6x 2＋10x －5＝0；6；10 13．1 14.k ＞54 15.4或－1 16．3 17.2418．－1 点拨：解x ＋2x －1＝4，得x ＝2.经检验，x ＝2是分式方程的解． ∴x ＝2是x 2＋kx －2＝0的一个解． ∴4＋2k －2＝0，解得k ＝－1. 19．k ≥14 20.②③④三、21.解：(1)原方程变形为(x －1)2＝94，开平方，得x －1＝±32.∴x 1＝52，x 2＝－12.(2)原方程变形为(x ＋2)2－[2(x －3)]2＝0，因式分解得[(x ＋2)＋2(x －3)]·[(x ＋2)－2(x －3)]＝0，即(3x －4)(－x ＋8)＝0， ∴3x －4＝0或－x ＋8＝0. ∴x 1＝43，x 2＝8.(3)方程中a ＝1，b ＝－3，c ＝－94. ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝12. ∴x ＝3±122，即x 1＝3＋232＝32 3，x 2＝3－232＝－12 3. (4)配方，得y 2－2y ＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.∴y－1＝±6.∴y1＝1＋6，y2＝1－ 6.22. 点方法：如果说一元二次方程有实数根，那么应包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0.∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．23．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361，解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：4月份该公司的生产成本约为342.95万元．24．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)>0，解得a<3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2.∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，解得a1＝－1，a2＝6.∵a <3， ∴a ＝－1.25．解：(1)5或－1 (2)5(3)x 2＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －3＝0， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0， x ＋1x ＋3＝0或x ＋1x －1＝0，解得x ＋1x ＝－3或x ＋1x ＝1，∵x ＋1x ＝1，∴x 2－x ＋1＝0， Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， 此时x 不存在，∴x ＋1x ＝－3.26．解：(1)设该小区共有x 套80平方米的住宅，则50平方米的住宅有2x 套．由题意得2(50×2x ＋80x )＝90 000，解得x ＝250. 答：该小区共有250套80平方米的住宅． (2)参加活动一：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100元，有250×2×40%＝200(户)参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160元，有250×20%＝50(户)参加． 参加活动二：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310a %元，有200(1＋2a %)户参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a %元，有50(1＋6a %)户参加．由题意得100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310a %·200(1＋2a %)＋160⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a %·50(1＋6a %)＝[200(1＋2a %)×100＋50(1＋6a %)×160](1－518a %)． 令t ＝a %，化简得t (2t －1)＝0， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝12.∴a ＝50.第三章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【2021·齐齐哈尔】五张不透明的卡片，正面分别写有实数－1，2，115，9，5.060 060 006 000 06…(相邻两个6之间0的个数依次加1)，这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是( ) A.15B.25C.35D.452．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( )A ．0B.13C.23D ．13．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( ) A.12B.13C.14D.164．【2021·临沂】现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是( ) A.12B.23C.34D.565．【教材P 70随堂练习T 2改编】在一个不透明的盒中有20个除颜色外均相同的球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒中红球的个数为( ) A ．4个 B ．6个 C ．8个D ．12个6．【教材P73复习题T6改编】【2020·长沙】一个不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误．．的是()A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是1 3D．两次摸出的球都是红球的概率是1 97．【2021·兰州】如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为()A.2027 B.827C.29 D.4278．用1，2，3三个数字随机生成点的坐标，如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，这个点在函数y＝x＋1的图象上的概率是()A.19 B.12 C.13 D.299．【教材P72复习题T2改编】【2021·常州】以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是13，则对应的转盘是()10．【2022·云南大学附属中学月考】甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张分别标有数14，12，1的卡片，乙中有三张分别标有数1，2，3的卡片，卡片除所标数外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数记为a，从乙中任取一张卡片，将其数记为b.若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜，则乙获胜的概率为()A.23 B.59 C.49 D.13二、填空题(每题3分，共30分)11．【2021·天津】不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．12．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800 1 000 2 000 5 000发芽种子粒数853******** 1 604 4 005发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为________(精确到0.01)．13．【2020·苏州】一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________．(第13题)(第15题)14．【教材P64习题T4变式】现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对________更有利一些．15．在如图所示的电路图中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是________．16．在x2□2xy□y2的□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是________．17．【2021·贵阳】贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组，有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是______．18．如图，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)，那么蚂蚁从A 出发到达E处的概率是________．19．【教材P70随堂练习T2变式】袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程．摸了100次后，发现有30次摸到红球，估计这个袋中红球约有________个．20．一个盒子里有完全相同的三个小球，小球上分别标有数－2，1，4，随机摸出一个小球(不放回)，将该小球上的数记为p，再随机摸出另一个小球，将该小球上的数记为q，则所得p，q满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是________．三、解答题(21题10分，25题14分，其余每题12分，共60分)21．【教材P73复习题T6变式】【2021·南京】不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．(1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率；(2)从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，再次摸出的球都是白球的概率是________．22．某射击运动员在相同条件下射击160次，其成绩记录如下：射击次数20406080100120140160 “射中9环以上”的次数1533637997111130 “射中9环以上”的频率0.750.830.800.790.790.790.81 (1)根据上表中的信息将两个空格的数据补全(“射中9环以上”的次数为整数，频率精确到0.01)；(2)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率(精确到0.1)，并简述理由．23．【教材P73复习题T8改编】如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数－1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形).(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法(或画树状图法)求两人“英雄所见略同”的概率．24．有四张正面分别标有数2，1，－3，－4的不透明卡片，它们除所标数外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数记为m，再随机地摸取一张，将该卡片上的数记为n.(1)请画出树状图，并写出(m，n)所有可能的结果；(2)求所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率．25．【2021·河北】某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；(2)补全图②的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．答案一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A7.B点规律：直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．8．D9.D10.C二、11.3712.0.8013.3814.小刚15.1316.1217.1318.1219.320.23三、21.解：(1)根据题意，列表如下.从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种．∴P(两次都摸到红球)＝4 9.(2)1 922. 点技巧：大量重复试验得出的频率来估计概率，随着试验次数的增加，表示频率的数据集中趋势指向的那个数值就是概率．解：(1)48；0.81(2)“射中9环以上”的概率约是0.8.理由：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率约是0.8.23．解：(1)P(得到负数)＝1 3.(2)列表如下：1 (1，－1) (1，1) (1，2)2 (2，－1) (2，1) (2，2)由表可知共有9种等可能的结果，两人得到的数相同的结果有3种，故P(两人“英雄所见略同”)＝39＝13.24. 点方法：此题为函数与概率的综合，画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．解：(1)画树状图如图所示．则(m，n)所有可能的结果为(2，1)，(2，－3)，(2，－4)，(1，2)，(1，－3)，(1，－4)，(－3，2)，(－3，1)，(－3，－4)，(－4，2)，(－4，1)，(－4，－3)．(2)∵所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的有(－3，－4)，(－4，－3)，∴所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率为212＝16.25．解：(1)∵当嘉淇走到十字道口A时，有直行、向左转、向右转3种等可能结果，只有向右转是向北走，∴P(嘉淇向北走)＝1 3.(2)如图，树状图：所有等可能结果共有9种，其中朝向：向东2种，向西3种，向南2种，向北2种．∴P(向西)＝39＝13＞P(向东)＝P(向南)＝P(向北)＝29.∴嘉淇向西参观的概率较大．第四章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P79随堂练习T3改编】下列各组中的四条线段成比例的是() A．a＝2，b＝3，c＝2，d＝ 3B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝2，b＝5，c＝23，d＝15D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝12．【2020·营口】如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD＝32，则CECA的值为()A.35 B.23 C.45 D.32 (第2题)(第4题)(第5题)(第6题)3．下列说法正确的是()A．边都对应成比例的多边形相似B．角都对应相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似4．【教材P112习题T7改编】【2021·罗湖区模拟】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD AB＝23，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则S1S2的值是()A.45 B.59 C.23 D.495．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为12，∠OCD＝90°，CO＝CD.若点B的坐标为(1，0)，则点C的坐标为() A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1) 6．如图，方格纸中△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC和△EPD相似，则点P所在格点为()A．P1B．P2C．P3D．P47．【2021·临沂】如图，点A，B都在格点上，若BC＝2133，则AC的长为()A.13B.4133C．213 D．313(第7题)(第8题)(第9题)(第10题) 8．【2020·益阳】如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立．．．的是()A．∠DAE＝30°B．∠BAC＝45° C.EFFB＝12 D.ADAB＝329．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4 m，梯子上点D距墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯子的长为()A．3.5 m B．3.85 m C．4 m D．4.2 m 10．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论：①DEBC＝12；②S△DOES△COB＝12；③ADAB＝OEOB；④S△DOES△ADE＝13.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每题3分，共30分)11．【教材P80随堂练习变式】【2020·娄底】若ba＝dc＝12(a≠c)，则b－da－c＝________．12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么与其相邻的一条边的长等于__________．13．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边的长度由原来的1 cm变成了2 cm，那么它的面积会由原来的6 cm2变为________．14．如图，点G是△ABC的重心，AD GD＝31，GH⊥BC，垂足为H，若GH＝3，则点A到BC的距离为________．(第14题)(第15题)(第16题)(第17题)(第18题) 15．【教材P93习题T3改编】如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB上(点D 与A，B不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD∽△ABC，则这个条件是____________(写出一个条件即可)．16．【2021·烟台】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1 m，AC＝1.6 m，AE＝0.4 m，那么CD为______ m.17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________．18．【教材P117随堂练习改编】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是________．19．【2021·内江】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E.交BC于点F，则线段EF的长为________．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于点E，将△ADE沿DE折叠．设点A落在线段BD 上的对应点为A1，DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD＝________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．【教材P81习题T1改编】【2021·奉贤区校级期中】已知a∶b∶c＝3∶4∶5.(1)求代数式3a－b＋c2a＋3b－c的值；(2)如果3a－b＋c＝10，求a、b、c的值．22．【2021·南京】如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F.(1)求证：△AOB≌△DOC；(2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为21，并直接写出点A2的坐标．24．【教材P102习题T4改编】【2020·枣庄一模】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？说明理由．25．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场上的旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上．已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m ，求旗杆的高度．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过点D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD.(1)求证：△DOB∽△ACB；(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元综合检测含答案
第二章一元二次方程综合检测一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是()+x=2A.ax2+bx+c=0B.1x2C.x2+2x=x2+1D.2+x2=02.方程x(2x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是()A.2x2-9x+10=0B.2x2-x+10=0C.2x2+14x-10=0D.2x2+3x-10=03.一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=54.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况是()A.无法确定B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根5.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-3m+2=0有一个实数根为0,则另一根为()A.0B.1C.2D.56.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送出1892张照片.如图果全班有x名同学,根据题意,列出方程为()A.x(x+1)=1892B.x(x-1)=1892×2C.x(x-1)=1892D.2x(x+1)=18927.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x的值为()A.20%B.30%C.40%D.50%8.在等腰三角形ABC中,BC=8,AB,AC的长分别是关于x的方程x2-10x+m=0的两根,则m的值是()A.16或25B.16C.25D.5或89.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如图果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当每间房每天的定价为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设每间房每天的定价为x 元,则有()A.(180+x-20)50 -x10=10890B.(x-20)50 -x-18010=10890C.x50 -x-18010-50×20=10890D.(x+180)50 -x10-50×20=1089010.设m,n是一元二次方程x2+5x-8=0的两个根,则m2+7m+2n等于()A.-5B.-2C.2D.5二、填空题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)11.方程2(x+3)2-5(x+3)=0的解为.12.若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为.13.如图果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,那么这个直角三角形的斜边长为.14.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个根,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为.15.已知方程x2+3x-1=0的两个根分别是x1,x2,则x13x2+x1x23=.16.若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根,-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根,则a的值是.17.如图图,学校将一块面积为240 m2的矩形空地一边增加4 m,另一边增加5 m后,建成了一个正方形训练场,则此训练场的面积为m2.三、解答题(本大题共6小题,共49分)18.(9分)(1)用配方法解方程:3x2-4x-2=0;(2)用因式分解法解方程:4(2x+1)2-9(2x-1)2=0;(3)用公式法解方程:2x2-8x=-5.19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0.(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;(2)若该方程的两实数根x1,x2满足x1+2x2=9,求m的值.20.(8分)如图图,在△ABC中,∠C=90°,AC=16 cm,BC=8 cm,一动点P从点C出发沿着CB方向以2 cm/s的速度运动,另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,两点同时停止运动.设运动时间为t s.(1)若△PCQ的面积是△ABC的面积的1,求t的值.4(2)△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等?若能,求出t的值;若不能,说明理由.21.(8分)百货商店销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当每台售价为2900元时,平均每天能售出8台;每台售价每降低10元,平均每天能多售出1台.设每台冰箱降价x元. (1)每台冰箱的销售利润为元,平均每天可销售冰箱台(用含x的代数式表示);(2)商店想要使这种冰箱平均每天的销售利润达到5600元,且尽可能地减少冰箱库存,每台冰箱的售价应为多少元?22.(8分)对于代数式ax2+bx+c,若存在实数n,当x=n时,代数式的值也等于n,则称n为这个代数式的不变值.例如图:对于代数式x2,当x=0时,代数式等于0;当x=1时,代数式等于1,我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时,该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A.特别地,当代数式只有一个不变值时,A=0.(1)代数式x2-2x的不变值是,A=.(2)说明代数式2x2+3没有不变值.(3)已知代数式x2-bx+b,①若A=0,求b的值;②若1≤A≤2,b为整数,求所有整数b的和.23.(8分)某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米,计划建造车棚的面积为80平方米,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米. (1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米?(2)在(1)的条件下,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建3条等宽的小路,如图图,使得停放自行车的面积为54平方米,那么小路的宽应是多少米?答案1.D2.A[解析] ∵x(2x-5)=4x-10,∴2x2-5x=4x-10,∴2x2-9x+10=0.故选A.3.D[解析] x2-4x-1=0,x2-4x=1,x2-4x+4=1+4,(x-2)2=5.故选D.4.D[解析] ∵Δ=(-2)2-4×(-1)=8>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选D.5.D[解析] 根据题意,将x=0代入方程可得m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.又∵m-2≠0,即m≠2,∴m=1.将m=1代入方程,得-x2+5x=0,解得x1=0,x2=5.故选D.6.C[解析] ∵全班有x名同学,∴每名同学要送出(x-1)张照片.又∵同学们是互送照片,∴总共送的张数应该是x(x-1).∴x(x-1)=1892.故选C.7.C[解析] 由全市5G用户数年平均增长率为x,得2020年底全市新增5G用户为2(1+x)万户,2021年底全市新增5G用户为2(1+x)2万户,依题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=8.72,整理,得x2+3x-1.36=0,解得x1=0.4=40%,x2=-3.4(不合题意,舍去).故选C.8.A[解析] 设x1,x2是方程x2-10x+m=0的两个根.在方程x2-10x+m=0中,x1+x2=10.当AB,AC是等腰三角形的腰时,有x1=x2=5,∴x1x2=25=m;当AB,AC有一边的长为8时,设x1=8,则8+x2=10,∴x2=2,m=x1x2=8×2=16,∴m=25或m=16.故选A.9.B10.B[解析] ∵m,n是一元二次方程x2+5x-8=0的两个根,∴m+n=-5,m2+5m-8=0.∵m2+7m+2n=m2+5m+2(m+n)=8-10=-2.故选B.11.x1=-3,x2=-1212.1[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=22-4c=0,解得c=1.故答案为1.13.4或5[解析] x2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0,解得x1=3,x2=4,当4是直角边的长时,则斜边长为√32+42=5;当4是斜边的长时,则斜边长为4.故答案为4或5.14.-4[解析] ∵m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个根,∴m+n=3,mn=a.∵(m-1)(n-1)=-6,∴mn-(m+n)+1=-6,即a-3+1=-6,解得a=-4.15.-11[解析] ∵方程x2+3x-1=0的两个根分别是x1,x2,∴x 1+x 2=-3,x 1x 2=-1,∴x 13x 2+x 1x 23=x 1x 2(x 12+x 22)=x 1x 2(x 1+x 2)2-2(x 1x 2)2=-1×(-3)2-2×(-1)2=-11.故答案为-11.16.517.400 [解析] 设训练场的边长为x m,则原空地的长为(x -4)m,宽为(x -5)m . 依题意,得(x -4)(x -5)=240, 解得x=20或x=-11(舍去), 20×20=400(m 2),所以此训练场的面积为400 m 2. 18.解:(1)移项,得3x 2-4x=2. 二次项系数化为1,得x 2-43x=23.方程两边都加上一次项系数一半的平方,得x 2-43x+(-23)2=23+(-23)2,即(x -23)2=109. 直接开平方,得x -23=±√103, ∴x=2±√103. ∴原方程的解为x 1=2+√103,x 2=2-√103.(2)原方程可化为[2(2x+1)]2-[3(2x -1)]2=0,即(4x+2)2-(6x -3)2=0. (4x+2+6x -3)(4x+2-6x+3)=0, 即(10x -1)(-2x+5)=0,∴10x -1=0或-2x+5=0,∴x 1=110,x 2=52.(3)将方程化为一般形式为2x 2-8x+5=0. ∵a=2,b=-8,c=5,∴b 2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0,∴x=-b±√b 2-4ac 2a=8±√242×2=8±2√64=4±√62, ∴原方程的解为x 1=4+√62,x 2=4-√62.19.解:(1)证明:∵在方程x 2-4x -m 2=0中, Δ=(-4)2-4×1×(-m 2)=16+4m 2>0, ∴该方程有两个不相等的实数根. (2)∵该方程的两个实数根分别为x 1,x 2, ∴x 1+x 2=4①,x 1·x 2=-m 2. ∵x 1+2x 2=9②,∴联立①②解得x 1=-1,x 2=5, ∴x 1·x 2=-5=-m 2,解得m=±√5.20.解:(1)根据题意,得S △PCQ =12×2t (16-4t ),S △ABC =12×8×16=64. ∵△PCQ 的面积是△ABC 的面积的14,∴12×2t (16-4t )=64×14,整理,得t 2-4t+4=0,解得t 1=t 2=2. ∴t 的值为2.(2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.理由如图下:若△PCQ 的面积与四边形ABPQ 的面积相等,则S △PCQ =12S △ABC ,即12×2t (16-4t )=64×12,整理,得t 2-4t+8=0.∵Δ=(-4)2-4×1×8=-16<0,∴此方程没有实数根,∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等. 21.解:(1)(400-x ) 8+x 10 (2)依题意,可列方程:(400-x )8+x 10=5600,解方程得x 1=120,x 2=200.因为要尽可能地减少冰箱库存,所以x=200.2900-200=2700(元).答:每台冰箱的售价应为2700元.22.解:(1)令x 2-2x=x ,则x 2-3x=0.解得x=0或x=3,则代数式x 2-2x 的不变值为0和3,A=3-0=3.故答案为0和3,3.(2)假设代数式2x 2+3有不变值,则方程2x 2+3=x 有实数根.原方程可变形为2x 2-x+3=0.∵Δ=(-1)2-4×2×3=-23<0,∴原方程没有实数根,这与假设矛盾,∴假设不成立,即代数式2x 2+3没有不变值.(3)①∵A=0,∴方程x2-bx+b=x有两个相等的实数根.∵原方程可变形为x2-(b+1)x+b=0,∴Δ=[-(b+1)]2-4×1×b=(b-1)2=0,∴b=1.②∵1≤A≤2,∴方程x2-(b+1)x+b=0有两个不相等的实数根.原方程可整理为(x-1)(x-b)=0,解得x1=1,x2=b,∴b≠1,A=|b-1|.又∵1≤A≤2,即1≤|b-1|≤2,且b为整数,∴b=-1或0或2或3.∵-1+0+2+3=4,∴所有整数b的和为4.23.解:(1)设与墙垂直的一面长x米,则与墙平行的一面长(26-2x+2)米.根据题意,得x(28-2x)=80.整理,得x2-14x+40=0,解得x1=4,x2=10.当x=4时,28-2x=20>12(不合题意,舍去);当x=10时,28-2x=8<12,符合题意.答:这个车棚的长为10米,宽为8米.(2)设小路的宽为a米.根据题意,得(8-2a)(10-a)=54.整理,得a2-14a+13=0,解得a1=13>10(不合题意,舍去),a2=1.答:小路的宽应为1米.。
北师大版九年级数学上典中点第二章阶段强化专训二
专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在详细的解题过程中，联合方程的特色选择适合的方法，常常会达到事半功倍的成效．限制方法解一元二次方程方法 1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()25A．x＝5B． x＝252C． x＝±D． x＝±252．用直接开平方法解以下一元二次方程，此中无解的方程为()A．x2－ 5＝ 5B．－ 3x2＝0C． x2＋ 4＝ 0 D ． (x＋1) 2＝ 0方法 2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋ 3＝ 4x，配方后的方程变成()A．(x－ 2)2＝7B． (x ＋2)2＝ 1C． (x－ 2)2＝ 1D． (x＋ 2)2＝ 24．解方程：x2＋4x－2＝0.22x5．已知x－10x＋y－16y＋89＝0，求的值．方法 3能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x － 2)＝ 2－ x 的根是 ()A．x＝－ 1B． x＝ 0C． x1＝ 1， x2＝ 2D ．x1＝－ 1， x2＝27．解以下一元二次方程：(1)x2－ 2x＝ 0；(2)16x 2－ 9＝ 0；(3)4x 2＝ 4x－ 1.方法 4假如一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－14＝ 2x，方程的解应是()A．x＝－2± 5B． x＝2± 5 22C． x＝1± 5D ． x＝1± 3 229．用公式法解以下方程．(1)3(x 2＋ 1)－ 7x＝ 0；(2)4x 2－3x－ 5＝x－ 2.选择适合的方法解一元二次方程10．方程 4x 2－ 49＝0 的解为()27A ．x ＝ 7B ． x ＝ 2C ． x 1＝ 7， x 2＝－ 7D ． x 1＝ 2， x2＝－ 22 2 7711．一元二次方程 x 2－ 9＝ 3－ x 的根是 ()A ．x ＝ 3B ． x ＝－ 4C ． x 1＝ 3， x 2＝－ 4D ． x 1＝ 3， x 2＝4 12．方程 (x ＋ 1)(x － 3)＝ 5 的解是 ()A ．x 1＝ 1， x 2＝－ 3B ． x 1＝4， x 2＝－ 2C ． x 1＝－ 1， x 2＝ 3D ． x 1＝－ 4，x 2＝ 2 13．解以下方程．(1)3y 2－ 3y －6＝ 0； (2)2x 2－ 3x ＋1＝ 0.用特别方法解一元二次方程方法 1结构法14．解方程： 6x 2＋19x ＋ 10＝0.15．若 m ， n ， p 知足 m － n ＝ 8， mn ＋ p 2＋ 16＝ 0，求 m ＋ n ＋ p 的值．方法 2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是() A．－2或3B．2 或－ 3C．－1或6D．1或－ 617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2－3x＝2. x x－ 2方法 3特别值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2016.专训二1．C 2.C 3.C4．解：x2＋ 4x－2＝ 0，x2＋ 4x＝2，(x＋ 2)2＝6，x＋2＝± 6，x1＝－ 2＋6， x2＝－ 2－ 6.5．解：x2－10x ＋ y2－ 16y＋ 89＝ 0，(x2－ 10x＋ 25)＋ (y2－ 16y ＋ 64)＝0，(x－ 5)2＋ (y－ 8)2＝0，x 5∴ x ＝5， y ＝8，∴ y ＝ 8.6． D7．解： (1)x 2－2x ＝ 0， x(x －2) ＝0，x 1＝ 0，x 2＝2.20，x 1 ＝－3 3(2)16x － 9＝ 0， (4x ＋ 3)(4x － 3)＝ 4， x 2＝ .4(3)4x2＝ 4x － 1， 4x 2－ 4x ＋ 1＝ 0， 2＝ 0， x 1＝ x 2 1(2x － 1) ＝ .28． B9．解： (1)3(x 2＋ 1)－ 7x ＝ 0， 3x 2－7x ＋ 3＝ 0，∴ b 2－ 4ac ＝ (－7)2－ 4×3×3＝13.∴ x ＝7± 13＝7± 13.2×3 6 ∴ x 1＝7＋ 13， x 2＝ 7－ 13 .6 6 (2)4x 2－ 3x － 5＝ x － 2，4x 2－ 4x － 3＝ 0，224± 64∴ b － 4ac ＝ (－4) － 4×4×(－ 3)＝ 64.∴ x ＝ 2×4.3 1∴ x 1＝ ， x 2＝－ .2 2 10． C 11.C 12.B13．解： (1)3y2221 9 12 91 3 － 3y － 6＝0， y － y － 2＝ 0， y－ y ＋－ ＝ 0， y －2＝， y － ＝ ± ，44422∴ y 1＝ 2， y 2＝－ 1.2223±1(2)2x － 3x ＋ 1＝ 0，∴ b － 4ac ＝ (－ 3) － 4×2×1＝1.∴ x ＝.1∴ x 1＝ 1， x 2＝ 2.14．解：将原方程两边同乘 6，得 (6x) 2＋ 19×(6x) ＋ 60＝0.解得 6x ＝－ 15 或 6x ＝－ 4.∴ x 1＝－ 5， x 2＝－ 2.2 315．解：由于 m － n ＝ 8，因此 m ＝ n ＋ 8.将 m ＝ n ＋ 8 代入 mn ＋ p 2＋ 16＝ 0 中，得 n(n ＋ 8)＋ p 2＋ 16＝ 0，因此 n 2 ＋8n ＋ 16＋p 2＝ 0，即 (n ＋ 4)2＋ p 2＝ 0.又由于 (n ＋ 4)2 ≥0， p 2≥0，因此n ＋ 4＝0，p ＝ 0，解得n ＝－ 4， p ＝ 0.因此 m ＝n ＋ 8＝ 4，因此 m ＋n ＋ p ＝ 4＋( －4)＋ 0＝ 0.16． B17．解：原方程即 [(x －1)(x －4)][(x － 2)(x － 3)] ＝ 48，即 (x 2－ 5x ＋4)(x 2－ 5x ＋ 6)＝ 48.设 y ＝ x 2－ 5x ＋ 5，则原方程变成 (y － 1)(y ＋ 1)＝ 48.解得 y 1＝ 7， y 2＝－ 7.当 x 2－ 5x ＋ 5＝ 7 时，解得 x 1＝5＋ 33， x 2＝ 5－ 33；22当 x 2－ 5x ＋ 5＝－ 7 时， ＝ (－ 5)2－ 4×1×12＝－ 23<0，无实数根． ∴原方程的根为 x 1＝5＋33， x 2＝5－ 33 .2 218．解：经考证， x ＝ 0 不是方程的根， 原方程两边同除以x 2，得 6x 2－ 35x ＋ 62－35＋ 62x x＝ 0，211即 6 x＋x 2－ 35 x ＋x ＋ 62＝0.设 y ＝ x ＋ 1，则 x 2＋ 12＝ y 2－ 2，x x 原方程可变成6(y 2－ 2)－ 35y ＋ 62＝ 0.5 10解得 y 1＝ 2， y 2＝3 .当 x ＋1x ＝ 52时，解得 x ＝2 或 x ＝12；当 x ＋1＝ 10时，解得x ＝3 或 x ＝1.x 33经查验，均切合题意．∴原方程的解为 x 1＝ 2， x 2＝ 1， x 3＝ 3， x 4＝1.23 19．解：设 x － 2＝ y ，则原方程化为 y － 3＝ 2，整理，得 y 2－ 2y －3＝ 0，∴ y 1 ＝3， y 2＝x y－ 1.当 y ＝ 3 时，x － 2＝3，∴ x ＝－ 1.当 y ＝－ 1 时，x － 2＝－ 1，∴ x ＝ 1.经查验， x ＝ ±1 都是xx原方程的根，∴原方程的根为x1＝ 1， x2＝－ 1.x－ 2 013＝ 2 016，20．解：方程组的解必定是原方程的解，解得x＝4 029.x－ 2 014＝ 2 015x－ 2 013＝－ 2 015，方程组的解也必定是原方程的解，解得x＝－ 2.x－ 2 014＝－ 2 016∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝ 4 029， x2＝－ 2.点拨：解此题也可采纳换元法．设x－ 2 014＝ t，则 x－ 2 013＝ t＋ 1，原方程可化为t(t ＋ 1)＝ 2 015 ×2 016，先求出t，从而求出x.。
2022秋北师版九年级数学 典中点 第二章达标检测卷
第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的常数项是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．【2020·邵阳】设方程x 2－3x ＋2＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A ．3B ．－32C ．32D ．－23．【2021·赤峰】一元二次方程x 2－8x －2＝0，配方后可变形为( )A ．(x －4)2＝18B ．(x －4)2＝14C ．(x －8)2＝64D ．(x －4)2＝14．一元二次方程x 2＋x ＋1＝0根的情况为( )A ．没有实数根B ．有两个不等实数根C ．有两个相等实数根D ．无法判断5．解方程(x －3)2＝4，最合适的方法是( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法6．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx －8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m 的值分别为( )A ．4，－2B ．－4，－2C ．4，2D ．－4，27．【2021·云南】若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ≤1且a ≠0D ．a ＜1且a ≠08．【2021·潍坊】若菱形两条对角线的长度是方程x 2－6x ＋8＝0的两根，则该菱形的边长为( )A ． 5B ．4C ．2 5D ．59．【教材P 57复习题T 8改编】将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300 cm 3，则原铁皮的边长为( )A ．10 cmB ．13 cmC ．14 cmD ．16 cm10．【2020·铜仁】已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于()A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6二、填空题(每题3分，共24分)11．一元二次方程x(x－7)＝0的解是____________．12．若关于x的方程(m－3)x m²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．13．【2021·黄冈】若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是________(写出一个即可)．14．【2021·广安】一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x ＋8＝0的根，则这个三角形的周长为________．15．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________队．16．【2021·随州】已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)的两实数根为x1，x2，若2x1＋2x2＝3，则k＝________．17．【2021·十堰】对于任意实数a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2＋b2－ab，若x⊗(x－1)＝3，则x的值为__________．18．【2021·遂宁】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第________个图形共有210个小球．三、解答题(19题16分，其余每题10分，共66分)19．用适当的方法解下列方程：(1)x2－x－1＝0; (2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－22x＋1＝0; (4)(x＋8)(x＋1)＝－12．20．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．21．【2020·随州】已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．22．【教材P55习题T4变式】去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．23．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？24．某市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？答案一、1．B2．A3．A4．A5．A6．D7．D8．A9．D10．B点拨：分情况讨论：当m＝4或n＝4时，x＝4，代入方程求得k＝6；当m＝n时，方程有两个相等实根，利用Δ＝0求得k＝7．二、11．x1＝0，x2＝712．－313．0(答案不唯一)14．1215．516．4517．－1或218．20点拨：第1个图形中小球的个数为1，第2个图形中小球的个数为3＝1＋2，第3个图形中小球的个数为6＝1＋2＋3，第4个图形中小球的个数为10＝1＋2＋3＋4，…，第n个图形中小球的个数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2．令n（n＋1）2＝210，解方程即可．三、19．解：(1)(公式法)a＝1，b＝－1，c＝－1，∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5．∴x＝－b±b2－4ac2a＝1±52，即原方程的根为x1＝1＋52，x2＝1－52．(2)(因式分解法)移项，得3x(x－2)－(x－2)＝0，即(3x－1)(x－2)＝0，∴x1＝13，x2＝2．(3)(配方法)配方，得(x－2)2＝1，∴x－2＝±1．∴x1＝2＋1，x2＝2－1．(4)(因式分解法)原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即(x＋4)(x＋5)＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．20．解：(1)∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，∴m－2≠0且Δ＝(2m)2－4(m－2)(m＋3)＝－4(m－6)＞0，解得m＜6且m≠2．∴m的取值范围是m＜6且m≠2．(2)在m＜6且m≠2的范围内，最大整数为5．此时，方程化为3x2＋10x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝－4 3．21．(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9>0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2．由x1＋x2＋3x1x2＝1得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1，解得m＝8．22．解：(1)∵第七天的营业额是前六天总营业额的12%，∴该商店这七天的总营业额为450＋450×12%＝504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)∵“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，∴9月份的营业额为504万元．设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x．根据题意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%．23．解：(1)设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌．根据题意，得60(1＋x)2＝24 000，解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．(2)60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)．答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．24．解：(1)设一次函数关系式为y＝kx＋b．将x＝2，y＝120和x＝4，y＝140分别代入，晨鸟教育 得⎩⎨⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得⎩⎨⎧k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100．(2)由题意得(60－40－x )(10x ＋100)＝2 090． 整理，得x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9． ∵要让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9． 答：这种干果每千克应降价9元．。
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第二章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2－2x＝x2－12．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是() A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x＋4)2＝153．根据下面表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的取值范围是()A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.264．某水果种植基地的“1号葡萄”2019年的产量为800吨，2021年的产量为968吨．设这种葡萄产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A．800(1－x)2＝968 B．800(1＋x)2＝968C．968(1－x)2＝800 D．968(1＋x)2＝8005．某个三角形的两边的长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋12＝0的根，则这个三角形的周长是()A．6 B．13 C．17 D．13或17 6．若一元二次方程x2－8x＋3＝0的两个实数根分别是a，b，则关于x的一次函数y＝abx－a－b的图象一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现该超市要保证销售这种水果每天可盈利6 000元，每千克应涨价()A．15元或20元B．10元或15元C．10元D．5元或10元8．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是()A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝29．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x >2（x －2），3x －x ＋12≤12a 有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a 的和为( )A ．3B ．5C ．9D ．1010．如果关于x 的方程x 2＋k 2－16＝0和x 2－3k ＋12＝0有相同的实数根，那么k 的值是( )A ．－7B ．－7或4C ．7D ．411．如果方程(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋k 4＝0的三个根可以作为一个三角形的三边的长，那么实数k 的取值范围是( )A ．k ≤4B ．3<k <4C ．3≤k <4D ．3<k ≤412．我国古代数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x 2＋2x －35＝0，即x (x ＋2)＝35为例说明，记载的方法如下：构造如图1所示的图形，大正方形的面积是(x ＋x ＋2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x ＝5．下列方程中，图2是其几何解法的是( )A ．x 2＋3x －10＝0B ．x 2＋2x －8＝0C ．x 2－4x －5＝0D ．x 2＋5x －6＝0二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 13．已知 3x 2－2x ＝5，则9－6x 2＋4x ＝________．14．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是实数，且a ≠0)，若a －b ＋c ＝0，则方程必有一根是________________．15．如图，点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧，且点A 对应的数是2x－1，点B 对应的数是x 2＋x ，已知AB ＝5，则x 的值为________．16．若数a 使关于x 的一元二次方程x 2－2x －6＋a ＝0有两个不相等的实数解，且使关于y 的分式方程a y －1＋31－y＝2的解为非负整数，则满足条件的a 的值为________．17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0和x 2＋cx ＋d ＝0有一个公共解是x ＝2，且a ≠c ，b ≠d ，b ≠0，d ≠0．下列结论：①c －a b －d 有唯一对应的值12；②a 2＋c 24≤b ＋d ；③x ＝12是一元二次方程(b ＋d )x 2＋(a ＋c )x ＋2＝0的一个解．其中正确结论的序号是________．18．设一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，记S 1＝11＋a＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分． 19．解方程：(1)x 2－7x ＝8(x －7)； (2)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．20．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．21．某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，每千克特产每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．若该特产专卖店销售这种特产想要平均每天获利2 240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解法1：设每千克特产降价x元，由题意可列方程为______________________；解法2：设每千克特产定价为x元，由题意可列方程为____________________．(2)请你选择(1)中的一种解法，写出完整的解答过程．22．已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1－x2|＝1，则此方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：(1)通过计算，判断方程x2－4x－5＝0是否是“差根方程”；(2)已知关于x的方程x2＋2ax＝0是“差根方程”，求a的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．23．已知点P(14，1)，一次函数y＝－x＋a的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．若△ABP的面积为18，求a的值．24．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ．动点P 从点A 出发，以3 cm/s 的速度向点B 运动，到点B 时停止运动．(1)若动点Q 同时从点C 出发，以2 cm/s 的速度向点D 运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动，连接PQ ，当运动时间为多少秒时，PQ ＝10 cm ? (2)连接PC ，PD ．①以PC ，PD 为边作平行四边形PDEC ，对角线PE ，CD 的长度能否相等？若能相等，说明点P 的位置；若不能相等，说明理由；②设PC ＝a ，PD ＝b ，当a ，b 满足16a ＝a 2＋60，12b 2＝8b －30时，求PCPD ＋PDPC 的值．答案一、1．A 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A二、13．－1 14．x ＝－1 15．1－172 16．1或517．①③18．10 点拨：∵一元二次方程x 2－2 023x ＋1＝0的两个根分别为a ，b ，∴ab ＝1，∴S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋1＝1，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋a 2b 2＝2＋a 2＋b 21＋a 2＋b 2＋1＝1，S 3＝11＋a 3＋11＋b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋a 3b 3＝2＋a 3＋b 31＋a 3＋b 3＋1＝1，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋a 10b 10＝2＋a 10＋b 101＋a 10＋b 10＋1＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10．三、19．解：(1)原方程可变形为x 2－7x ＝8x －56．x 2－15x ＋56＝0．(x －7)(x －8)＝0． x －7＝0或x －8＝0，∴x 1＝7，x 2＝8． (2)原方程可化为x 2＋9x ＋20＝0， 即(x ＋4)(x ＋5)＝0． x ＋4＝0或x ＋5＝0． ∴x 1＝－4，x 2＝－5．20．解：(1)依题意得y ＝x (32÷2－x )＝－x 2＋16x ．(2)由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，即(x －6)(x －10)＝0． 解得 x 1＝6，x 2＝10，即当x 为6或10时，围成的养鸡场的面积为60平方米． (3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由(1)知，y ＝－x 2＋16x ．当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，即x 2－16x ＋70＝0． 因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0， 所以该方程无解．即不能围成面积为70平方米的养鸡场．四、21．解：(1)(60－40－x )(100＋10x )＝2 240；(x －40)[100＋10(60－x )]＝2 240(2)选解法1：设每千克特产降价x 元，由题意可列方程为(60－40－x )(100＋10x )＝2 240，解得x 1＝4，x 2＝6．因为要让销售量尽可能大，所以x ＝6，60－6＝54(元)，即每千克特产应定价为54元．(答案不唯一)22．解：(1)设x 3，x 4是一元二次方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，∴x 3＋x 4＝4，x 3x 4＝－5．∴|x 3－x 4|＝（x 3 ＋x 4）2－4x 3 x 4 ＝42－4×（－5）＝6． ∴方程x 2－4x －5＝0不是“差根方程”． (2) x 2＋2ax ＝0，因式分解得，x (x ＋2a )＝0， 解得x ＝0或x ＝－2a ．∵关于x 的方程x 2＋2ax ＝0是“差根方程”， 即|0－(－2a )|＝|2a |＝1， ∴2a ＝±1，即a ＝±12．(3)设x 5，x 6是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)的两个实数根，∴x 5＋x 6＝－b a ，x 5x 6＝1a ．∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0( a ，b 是常数，a >0)是“差根方程”， ∴|x 5－x 6|＝1，∴|x 5－x 6|＝（x 5 ＋x 6）2－4x 5 x 6 ＝1，即(－b a )2－4·1a ＝1，∴b 2＝a 2＋4a ．五、23．解：当a ＝0时，△ABP 不存在，所以a ≠0；当点P (14，1)恰好在一次函数y ＝－x ＋a 的图象上，即a ＝15时，△ABP 不存在，所以a ≠15．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M (14，0)．①当点A 在线段OM 上(不含点O )，即0<a ≤14时，S △PAB ＝S 梯形PMOB －S △PMA －S △BOA ，即12×14(1＋a )－12(14－a )×1－12a 2＝18， 解得a 1＝3，a 2＝12．②当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 上方，即14<a <15时，S △PAB ＝S 梯形PMOB ＋S △PMA －S △AOB ，即12×14(1＋a )＋12(a －14)×1－12a 2＝18，解得a 1＝3(舍去)，a 2＝12(舍去)．③当点A 在点M 右侧，且点P 在直线y ＝－x ＋a 下方，即a >15时，S △PAB ＝S △BOA －S 梯形PMOB －S △PMA ， 即12a 2－12×14(1＋a )－12(a －14)×1＝18， 解得a 1＝15＋3412，a 2＝15－3412(舍去)．④当点A 在点O 左侧，即a <0时，连接BM ，S △PAB ＝S △PMA ＋S △BMA －S △PMB ，即12(14－a )×1＋12(14－a )×(0－a )－12×1×14＝18，解得a 1＝15－3412， a 2＝15＋3412 (舍去)．综上所述，满足题意的a 的值是3或12或15－3412或15＋3412．24．解：(1)过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，易证四边形BCQF 为矩形，∴CQ ＝BF ，QF ＝BC ＝6 cm ．晨鸟教育Earlybird 设运动时间为t s ，由题意得AP ＝3t cm ，BF ＝CQ ＝2t cm ，∴PF ＝AB －AP －BF ＝(16－5t ) cm ．在Rt △PQF 中，PF 2＋QF 2＝PQ 2，即(16－5t )2＋62＝102，解得t 1＝85，t 2＝245．易知0≤t ≤163，∴当运动时间为85s 或245s 时，PQ ＝10 cm ．(2)①能相等．∵四边形PDEC 是平行四边形，PE ＝CD ，∴四边形PDEC 是矩形，∴∠DPC ＝90°．∴DP 2＋PC 2＝CD 2．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝6 cm ，CD ＝AB ＝16 cm ．∴DP 2＝AD 2＋AP 2，PC 2＝BP 2＋BC 2．设AP ＝x cm ，则BP ＝(16－x ) cm ，则62＋x 2＋(16－x )2＋62＝162，解得x 1＝8＋2 ，x 2＝8－2 ．∴对角线PE ，CD 的长度相等时，点P 距点A (8＋2)cm 或(8－2)cm ．②由16a ＝a 2＋60得a 2－16a ＋60＝0，由12b 2＝8b －30得b 2－16b ＋60＝0．当a ＝b ，即PC ＝PD 时，PC PD ＋PD PC ＝2；当a ≠b ，即PC ≠PD 时，可将a ，b 看成方程x 2－16x ＋60＝0的两个根，∴a ＋b ＝16，ab ＝60，∴PC PD ＋PD PC ＝a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝162－2×6060＝3415． 综上所述，PC PD ＋PD PC 的值为2或3415．。