2023年新高考数学一轮总复习核心考点分层训练 解三角形应用举例及综合问题带讲解

第29讲 解三角形应用举例及综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·福建福建·模拟预测）某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为3cm,4cm,6cm ，则（ ） A ．能作出二个锐角三角形 B ．能作出一个直角三角形 C ．能作出一个钝角三角形 D ．不能作出这样的三角形【答案】C【解析】因为三条高线的长度为3cm,4cm,6cm ，故三边之比为4:3:2， 设最大边所对的角为α，则49161cos 02234α+-==-<⨯⨯，而α为三角形内角，故α为钝角，故三角形为钝角三角形， 故选：C.2．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90θϕδ=︒--．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（ϕ取正值），选择春分当日（0δ=︒）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ） A ．甲组 B ．乙组 C ．丙组 D ．丁组【答案】D【解析】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90θϕδ=︒--，当0δ=︒且ϕ为正值，可得90θϕ=︒-，即90ϕθ=︒-， 设木杆的影长为m ，可得1tan mθ=，因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82,0.80,0.83,0.85， 所以当0.85m =时，θ取得最小值，此时ϕ求得最大值， 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组. 故选：D.3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ︒∠=，45DBC ︒∠=，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为(2 1.414≈，3 1.732≈)（ ）A ．18米B ．19米C ．20米D ．21米【答案】B【解析】Rt △ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt △BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，由AC -BC =AB 141)19.124CD CD -=⇒==≈，CD 约为19米. 故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点1P ，2P ，且12PP a =，已经测得两个角12PPD α∠=，21P PD β∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的是（ ） △1DPC ∠和1DCP ∠；△12PP C ∠和12PCP∠；△1PDC ∠和1DCP ∠. A ．△和△ B ．△和△ C ．△和△ D ．△和△和△【答案】D【解析】根据题意，△12PP D 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出， △中，111sin sin DP CD DPC DCP =∠∠，故111sin sin DP DPC CD DCP ∠=∠，故△可以求出CD ；△与△条件等价.△中，在△12PP C 中，1211212sin sin PP PC PCP PP C =∠∠，故12112sin sin a PP C PC PCP ∠=∠，在△1PCD 中，利用余弦定理求解CD 即可； 故选：D.5．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B 点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为11PQ ，22P Q ，…，55P Q ，且116BQ =米．为使距地面6米高的看台第一排A 点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则5BQ =（ ）A ．40.5米B ．54米C ．81米D ．121.5米【答案】C【解析】依题意121242,816Q Q Q Q ==，232342,12168Q Q Q Q ==+，343442,1816812Q Q Q Q ==++， 454542,271681218Q Q Q Q ==+++，所以516812182781BQ =++++=米. 故选：C6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E 、H 、G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为h ，EG 为测量标杆问的距离，记为d ，GC 、EH 分别记为,a b ，则该山体的高AB =（ ）A．hdh a b+- B ．hd h a b-- C ．hdda b +-D ．hdd a b-- 【答案】A【解析】连接FD ，并延长交AB 于M 点，如图，因为在Rt BMD △中tan h BDM b∠=， 所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠；又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=，所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠，所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=， 所以||hd BM a b =-，即||hdAB BM h h a b=+=+-， 故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，△ABC =120°，sin△BAC =5314且BD 为△ABC 的平分线，则BD =（ ）A ．6B ．9C ．D ．8【答案】D【解析】由正弦定理得5sin si n BC AC BC BAC ABC =⇒⇒=∠∠， 由7AC AD CD ===，可得60ADC ∠=︒，120ABC ∠=︒， 所以,,,A B C D 四点共圆，60DBC DAC ∠=∠=︒，由余弦定理222cos 82BD BC DC DBC BD BD BC+-∠=⇒=⋅．故选：D.8．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，9,12AB BC ==，点D 在边BC 上，且满足2,90BD DC BAC =∠=，则sin CAD ∠=（ ）A ．21313B ．31313C ．34343D ．64343【答案】D【解析】在ABC 中，90BAC ∠=， 9,12AB BC ==，则3cos sin 4AB B C BC ===， 因2BD DC =，则4,8BD CD ==，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅22394294434=+-⨯⨯⨯=，即AD =在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD CAD C =∠得：38sinCAD ⨯∠==in s CAD ∠=. 故选：D9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）为了测量B ，C 之间的距离，在河的南岸A ，C 处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）A ．c 与αB ．c 与bC ．b ，c 与βD ．b ，α与γ 【答案】ABC【解析】因为A ，C 在河的同一侧，所以可以测量b ，α与γ，故选：ABC10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75︒，距离为；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30︒，距离为.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60︒，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile B ．灯塔C 与D处之间的距离是 C ．灯塔C 在D 处的西偏南60︒ D ．D 在灯塔B 的北偏西30︒【答案】ABC【解析】在ABD △中，由已知得60ADB ∠=，75DAB ∠=︒，则45B ∠=，126AB =．由正弦定理得sin 24sin AB BAD ADB∠===∠，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确； 在ADC 中，由余弦定理得， 2222cos30CD AD AC AD AC =+-⋅，又AC = 解得CD =所以灯塔C 与D 处之间的距离为n mile ，故B 正确， AC CD ==30CDA CAD ∴∠=∠=︒，∴灯塔C 在D 处的西偏南60︒，故C 正确；灯塔B 在D 的南偏东60︒，D ∴在灯塔B 的北偏西60︒，故D 错误；故选：ABC ．11．（多选）（2022·河北·石家庄二中高三阶段练习）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =ABC ∆的面积ABC S ∆=的是A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列 C ．ABC ∆．ABC ∆中线CD的长为【答案】ABC【解析】由正弦定理可得：::2:a b c =设2a m =，3b m =，c =()0m >2S ∴==2m = ABC ∆∴的周长为4610a b c ++=++=+A 正确；由余弦定理得：2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯ 3C π∴= A B C π++= 23A B π∴+=，即2C A B =+ ,,A C B ∴成等差数列，B 正确；由正弦定理知外接圆直径为2sin sin 3c R C ===C 正确；由中线定理得：2222122a b c CD +=+，即2111636281922CD ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭CD ∴=D 错误. 故选：ABC12．（多选）（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60BAC ∠=，3BC =，D 是BC 上的点，2AD =，以下结论中正确的有（ ）A ．若AD BC ⊥，则ABC 的面积为3B ．当ABC 为等边三角形时，ABC 的面积最大 C ．若D 为BC 中点，则3AB AC ⋅=D ．若AD 平分BAC ∠，则ABC 【答案】AD【解析】解：设,,AB c AC b BC a ===，对于A 选项，因为3BC =，D 是BC 上的点，2AD =，AD BC ⊥，所以ABC 的面积为13332⨯⨯=，故A正确；对于B 选项，当AD BC ⊥时，ABC 的面积最大，故错误；对于C 选项，229b c bc +=+△，1cos602AB AC bc bc ︒⋅==，由于D 为BC 中点，则1()2AD AB AC =+，故222111||||||||2||2222AD AB AC AB AC AB AB AC AC =+=+=+⋅+=，所以22||2||16AB AB AC AC +⋅+=，即2216c bc b ++=△，所以2-②①得72bc =，所以1724AB AC bc ⋅==，故错误；对于D 选项，因为AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=，所以30BAD CAD ︒∠=∠=，1111111sin 30sin 3022()2222222ABC BAD CAD S S S AB AD AC AD c b b c ︒︒=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⨯+⋅⨯=+△△△由于22,9ABC S b c bc ∆=+-=△，故1()2b c +，即b c +=，所以2222()3)39b c bc b c bc bc +-=+-=-=，即2()4120bc bc --=，解得6bc =，所以6ABC S ===△D 正确. 故选：AD13．（2022·浙江·高三专题练习）公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻CD 的高度，在A 处测得仰角分别为45︒，30，前进40米后，又在B 处测得仰角分别为60︒，45︒，则题刻CD 的高度约为__________米．【答案】40【解析】因为在A 处看C 的仰角分别为45︒，在B 处看D 的仰角分别为45︒，//AC BD ∴，且,OAC OBD 均为等腰直角三角形，故40CD AB ==． 故答案为：40.14．（2022·全国·高三专题练习）汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC 即是．已知某车在低速前进时，图中A 处的轮胎行进方向与AC 垂直，B 处的轮胎前进方向与BC 垂直，轴距AB 为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC 为_______米．【答案】5.84【解析】由题意可知，只需求BC 的长度即可.由30BCA ∠=，sin ABBCA BC∠=， 即2.925.841sin 2AB BC BCA===∠米， 故答案为：5.8415．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.【答案】103【解析】由题意，知：52sin 2ACAD DC ADC ===∠，且6DCA π∠=，4ACB π∠=，△1sin 2ADCSDC AC DCA =⋅⋅∠，1sin 2ACBS AC BC ACB =⋅⋅∠， △四边形ABCD 的面积1115222ADCACBS S+=⨯⨯+⨯=. 故答案为：16．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案：△测量A ∠、AC 、BC ； △测量A ∠、B 、BC ； △测量C ∠、AC 、BC ； △测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【答案】△△【解析】对于△，由正弦定理可得sin sin AC BC B A=，则sin sin AC A B BC =，若AC BC >且A ∠为锐角，则sin sin sin AC AB A AB=>，此时B 有两解， 则C ∠也有两解，此时AB 也有两解；对于△，若已知A ∠、B ，则C ∠确定，由正弦定理sin sin BC ABA C=可知AB 唯一确定； 对于△，若已知C ∠、AC 、BC，由余弦定理可得AB 则AB 唯一确定；对于△，若已知A ∠、C ∠、B ，则AB 不确定. 故答案为：△△.17．（2022·湖南·模拟预测）如图，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知cos sin 0c A c A b +-=． (1)求cos C 的值；(2)在BC 的延长线上有一点D ，使得,104DAC AD π∠==，求,AC CD ．【解】(1)在ABC中，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0C A C A A B +-=， 又在ABC 中，sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以上式可化为sin sin cos sin 0C A A C A -=． 因为sin 0A >，所以sin cos C C -=， 又因为22sin cos 1,C C ABC +=是锐角三角形，cos 0C >．解得cos 5C =． (2)由（1）得：cos ACB ∠=，又ABC是锐角三角形，所以sin ACB ∠=所以sin sin cos )4ADC ACB ACB ACB π⎛⎫∠=∠-=∠-∠== ⎪⎝⎭⎝⎭ 在ACD △中，由正弦定理得：sin sin()sin CD AD ACDAC ACB ADCπ==∠-∠∠===，解得CD AC ==18．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30BCD ∠=︒，135BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AB ．【解】在BCD △中，1801803013515CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， △()sin sin15sin 4530CBD ∠=︒=︒-︒sin 45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒= 由正弦定理sin sin BC CDBDC CBD=∠∠得)sin 501sin CD BDC BC CBD ⋅∠==∠.在Rt ABC △中45ACB ∠=︒．△)501AB BC ==．所以塔高AB为)501米．19．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线()0y x =≥（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇. (1)求,a b 的值；(2)若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【解】(1)解：由题意，直线y x =的倾斜角为30， 若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C ， 如图所示，则AC x ∥轴，30AC =，且ABC 关于y 轴对称， 所以,120AB BC a ABC ==∠=︒，所以1515cos30a b ==︒==︒.(2)解：若巡逻船以/小时进行追击，设t 小时后两船相遇于点D ，如图所示，则120ABD ∠=︒，15cos30tBD ==︒，AD =，AB =，因为2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠可得2221))22⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭整理得23440t t --=，解得2t =或23t =-（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中//////AA PP OO BB ''''（O ，O '分别为半圆的圆心），线段PP '与半圆分别交于C ，C '，若280AA '=米，128BB '=米，105POB ∠=︒，75COB ∠=︒，120OBB ∠='︒1.732≈，则OP 的长约为（ ）A ．27米B ．28米C ．29米D ．30米【答案】B 【解析】//AA BB ''，120OBB ∠='︒，60A AB '∴∠=，又280AA '=，128BB '=，所以2801282cos60AB -=，则152AB =，则半圆半径为76， 105POB ∠=，75COB ∠=，1057530POC ∴∠=-=，又////AA PP OO '''，所以60,15DOB A AB PCO COD '∠=∠=∴∠=∠=，135OPC ∠=， ()62sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304-=-=-=在PCO △中，由正弦定理可得sin sin OP OCPCO OPC=∠∠=，解得)()38138 1.732128OP =≈⨯-≈米.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为A ．3B ．4C 1D 【答案】C【解析】设ABC α∠=，ACB β∠=在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⨯∠ 所以222121AC α=+-⨯，即24AC α=-在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC ABαβ= ，则sin sin AB AC αβ==在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⨯∠ 而由条件可知，AC CD ⊥，AC CD =所以2222cos 2BD CB AC CB AC πβ⎛⎫=+-⨯+ ⎪⎝⎭即()2342cos 2BD παβ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭结合sinβ=274BD πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以当34πα=时，2BD 取得最大值为27BD =+此时BD 取得最大值为1BD = 所以选C3．（2022·全国·高三专题练习）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C D E ----为某区的一条健康步道，其中,,,AB CD DE AE 为线段，,,B C D 三点共线，BC 是以BC 为直径的半圆，AB BD ⊥，336km,cos ,,225AB CD BAD AE DE E BAD ∠∠∠=====.则该健康步道的长度为___________.【答案】()22.52πkm +【解析】连接,AD BC ，因为362AB CD ==，所以6,4AB CD ==，在ABD △中，3,cos 5AB BD BAD ∠⊥=，所以4tan 3BAD ∠=， 由直角三角形三角函数的定义知，4tan 683BD AB BAD ∠=⋅=⨯=， 所以844BC BD CD =-=-=， 所以半圆BC 的弧长为14π2π2⨯=.在Rt ABD △中，6,8AB BD ==，所以10AD =， 在ADE 中，设(0)AE DE t t ==>，由余弦定理可得，2222cos AD AE DE AE DE E =+-⋅，即()2501cos t E =-，因为2E BAD ∠∠=，所以97cos cos2212525E BAD ∠∠==⨯-=-， 所以2750125t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：254t =，所以健康步道的长度为()252642π22.52πkm 4⨯+++=+.故答案为：()22.52πkm +4．（2022·广东惠州·一模）如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处.设连杆AB 长200mm ，曲柄CB 长70mm ，则曲柄自CB 0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）约为___________mm .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）【答案】36【解析】如图，在ABC 中，200AB =，70BC =，53.2ACB ∠=︒，4sin 5ACB ∠=， 由正弦定理，sin 7sin 25BC ACB BAC AB ∠∠==，△AB BC >，△ACB BAC ∠>∠，故BAC ∠为锐角，△24cos 25BAC ∠==，3cos 5ACB ∠=△()42437117sin sin 525525125ABC ACB BAC ∠=∠+∠=⨯+⨯=，所以sin 1175200234sin 1254AB ABC AC ACB ∠==⨯⨯=∠，故()()()00002007023436mm A A A B B C AC =+-=+-=.故曲柄0CB 按顺时针方向旋转532︒.时活塞移动的距离约为36mm. 故答案为：365．（2022·全国·高三专题练习）如图，游客从景点A 下山至C 有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．已知缆车从A 到B 要8分钟，AC 长为1260米，若12cos 13A =，63sin 65B =．为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度v （米/分钟）的取值范围是_____．【答案】12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】在△ABC 中解三角形，设,,BC a AC b AB c ===， 由题意可知，1260b =，12cos 13A =，63sin 65B =，则5sin 13A =， 由正弦定理可得：51260sin 1350063sin 65b A a B⨯===，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2221250012602126013c c =+-⨯⨯⨯， 解得：12167201040,13c c ==， 若1672013c =，则16720500126013+<，不能组成三角形，舍去， 所以1040c =.乙从B 出发时，甲已经走了()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为/min vm ， 由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤, 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，则乙步行的速度应控制在12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，范围内. 故答案为：12506254314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 6．（2022·辽宁·一模）如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当332BC =时，求CD ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围. 【解】(1)连接EB ，由五边形内角和得：120D C ∠=∠=︒， △//BE CD ，则四边形BCDE 为等腰梯形，则DEB CBE ∠=∠，又90B E ∠=∠=︒，120A ∠=︒，故30AEB ABE ∠=∠=︒，60DEB CBE ∠=∠=︒， 所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，△BE =过C 点作CM BE ⊥于M ，可得cos60BM BC =⋅︒=△2CD BE BM =-=(2)由193sin12024ABESAB AE =⋅⋅⋅︒=，又五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣，△BCDE S ∈⎣⎭，设BC x =，则()()1122BCDE S BE CD CM x x =⨯+⨯=⨯，整理得21527x ≤-<x ≤<x ≤又20DC BE BM x =-=>，即x <△BC 的取值范围是.。