36[1].平面解析几何综合分析(一)
高中数学 平面解析几何ppt课件
(2)设直线 l：y－1＝k(x－2)(k＜0)， 得 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)． 由|PA|·|PB|＝ 4＋4k21＋k12 ＝ 8＋4k2＋k12≥4. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值． 又 k＜0，∴k＝－1，这时直线 l 的方程是 x＋y－3＝0.
解得 k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)， 即 3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
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考点 3 直线方程的综合应用 例3 如图，过点 P(2,1)作直线 l，分别交 x、y 轴正半轴于 A、
B 两点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线 l 的方程．
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【规律总结】 用待定系数法求直线方程的步骤： (1)设所求直线方程的某种形式； (2)由条件建立所求参数的方程(组)； (3)解这个方程(组)求参数； (4)把所求的参数值代入所设直线方程．
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跟踪训练 2．求适合下列条件的直线方程：
(1)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－14；
基础梳理 1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 d(A， B)＝____x_1－__x_2_2_＋__y_1_－_y_2_2__. (2)中点公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x， y)是线段 AB 的中点，则 x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2.
1.基本公式、直线的斜率、 方程以及两直线的位置关系 是高考的重点． 2.常和圆锥曲线综合命题， 重点考查函数与方程、数形 结合思想． 3.多以选择题和填空题的形 式出现，属于中低档题目.
平面解析几何
平面解析几何----仅供学习者参考。
平面解析几何是运用代数方法，在笛卡尔直角坐标系中（坐标系还有斜坐标系，极坐标系）研究几何图形的性质，它的主要研究对象是直线，二次曲线。
一、直线。
1、有向线段。
定义：规定了方向的直线叫有向直线，规定了起点和终点的线段叫做有向线段。
例如A 、B 分别是线段AB 的起点和终点，则AB 为正，BA 为负。
一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正、负号，叫做这条有向线段的数量，例如AB 的数量是+5，则BA 的数量是-5。
记作AB=+5，BA=-5。
∴ＡＢ＝－ＢＡ。
2、两点间的距离。
点()111y x P ，和()222y x P ，是平面上任意两点。
则21P P ，两点的距离是：()()21221221y y x x p p -+-=3、线段定比分点的坐标。
定义：设Ｐ点把有向线段21p p 分成p p 1和2pp 两部分，那么有向线段p p 1和2pp 的数量比。
就是Ｐ点分21p p 所成的比。
通常用“λ”表示，即λ＝21pp pp ，分点Ｐ的坐标为 λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y ，（1-≠λ）4、直线的倾斜角。
定义：一条直线向上方向和x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。
上图中角βα，都是倾斜角，（当直线与x 轴平行时，倾斜角为0，当直线与y 轴平行时，倾斜角为90º。
这是斜率不存在。
）倾斜角的范围是0≤α＜π。
5、直线的斜率。
定义：一条直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
即αtan =k （α=2π时k 不存在）。
已知直线上两点()111y x P ，和()222y x P ，，斜率)(211212x x x x y y k ≠--=。
6、两条直线平行的充要条件。
设不重合的两条直线1l 和2l 的斜率分别是1k 和2k ，直线平行1l 和2l 的充要条件是：21k k =。
即1l ∥2l ⇔21k k =。
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳平面解析几何是研究平面上点、直线、圆及其相关性质和相互关系的数学分支。
在平面解析几何中，我们通过坐标系的建立和运用向量的概念，可以方便地描述和研究平面上的各种几何图形和问题。
本文将对平面解析几何中的一些重要知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
1. 坐标系的建立平面解析几何中，坐标系是最基本的工具之一。
一般来说，我们可以建立直角坐标系、极坐标系或其他特定的坐标系来描述平面上的点。
以直角坐标系为例，我们用x轴和y轴分别表示水平和垂直方向，将一个点P的位置用有序数对(x, y)表示，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标。
2. 点的坐标计算对于已知坐标系的平面上的点P(x, y)，我们可以通过给定的信息计算出点的坐标。
例如，已知点A和点B的坐标，我们可以通过运用向量的加法和数乘运算，求得点P的坐标。
设向量OA的坐标为A(x1,y1)，向量OB的坐标为B(x2, y2)，则向量OP的坐标为P(x, y)，其中P 的坐标满足向量OP = 向量OA + 向量OB。
3. 向量的定义和运算在平面解析几何中，向量是重要的概念之一。
向量可以表示有大小和方向的量，并且可以与点一一对应。
向量的表示方法有很多种，常见的有坐标表示和位置向量表示。
在坐标表示中，向量通常用有序数对(x, y)表示。
在位置向量表示中，我们用一个固定点O与向量表示的点P的坐标差，来表示向量OP。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
设向量u = (x1, y1)，向量v = (x2, y2)，实数k，向量u与v的加法定义为：u + v = (x1 + x2, y1 + y2)；向量u与v的减法定义为：u - v = (x1 - x2, y1 - y2)；向量u的数乘定义为：k * u = (kx1, ky1)。
4. 直线的方程直线是平面几何中的基本要素之一。
在平面解析几何中，我们可以通过直线上的点和直线的斜率来确定直线的方程。
平面解析几何 PPT课件
基 础 知 识 要 打 牢
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 A．1 B．4 ( )
高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效
C．1或3
高 频 考 点 要 通 关
D．1或4
4－m 解析：由1＝ ，得m＋2＝4－m，m＝1. m＋2
答案：A
新课标(理科)
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定它的倾斜角为 0° .
(2)倾斜角的范围为 [0，π) ．
新课标(理科)
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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基 础 知 识 要 打 牢
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直 线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α ，倾
斜角是90°的直线没有斜率．
高 分 障 碍 要 破 除 解 题 训 练 要 高 效
高 频 考 点 要 通 关
3π B(2，－3)的直线的倾斜角为 ，则y＝ 4 A．－1 B．－3
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基 础 知 识 要 打 牢
4．(2012· 长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线， 则a的值为________．
5－3 a－3 解析：kAC＝ ＝1，kAB＝ ＝a－3. 6－4 5－4 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
基 础 知 识 要 打 牢
名
称
几何条件
方
程
局限性 不包括_________ 垂直于坐
ห้องสมุดไป่ตู้
截 在x轴、y轴上 距 的截距分别为a， 式 b(a，b≠0)
x y ＋ ＝1 a b __________
标轴 和_______ 过原点 的直线
平面几何问题解析与应用
平面几何问题解析与应用一、介绍平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及其间的关系和性质。
本文将对平面几何问题进行解析与应用。
二、点、线、面的基本概念1. 点：在平面几何中，点是最基本的图形元素，它没有长度、面积和方向。
2. 线：线由无数个点组成，它有长度、但没有宽度和高度。
线可以是直线、曲线或曲线的一部分。
3. 面：面是由三条或更多线段相互围成的区域。
面可以是多边形、圆形等。
三、平面几何问题的解析方法1. 图形相似性：当两个图形的形状和大小都相似时，它们之间的对应线段长度成比例。
2. 平行线性质：平行线有如下性质：(1) 平行线不相交，且它们之间的距离保持恒定。
(2) 平行线与同一条直线的交角相等。
3. 垂直线性质：垂直线有如下性质：(1) 垂直线与同一条直线的交角为90度。
(2) 两条互相垂直的直线乘积为-1。
4. 三角形性质：三角形有如下性质：(1) 三角形的内角和为180度。
(2) 等腰三角形的底边夹角相等。
(3) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5. 直线与圆的关系：直线与圆有如下关系：(1) 切线与半径垂直。
(2) 半径在圆上的延长线是两条相交弦的垂直平分线。
四、平面几何问题的应用1. 地图测绘：平面几何在地图测绘中起着重要的作用。
通过测量地图上的各种图形，可以得到地图上各点的位置信息。
2. 建筑设计：平面几何被广泛应用于建筑的设计过程中。
通过对建筑物的平面结构进行分析和计算，可以确定各种建筑元素的位置和尺寸。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，平面几何被用于实现图像的生成、处理和显示。
通过对图像中点、线、面的处理，可以实现各种特效和图形变换。
4. 纺织与服装设计：平面几何在纺织和服装设计中扮演着重要角色。
通过对布料的形状和尺寸的测量与分析，可以制作出符合需求的服装和纺织品。
五、结论平面几何问题的解析与应用在各个领域都有重要的作用。
通过掌握点、线、面的基本概念、解析方法以及应用技巧，我们可以更好地理解和应用平面几何知识，为解决实际问题提供帮助。
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角的范围000180（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1//l2k1k2。
特别地，当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则l1l2k1k21注：两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式不包括垂直于x轴的直线为直线上一定点，k为斜率斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式不包括垂直于x轴和y轴的是直线上两定点直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直不包括垂直于x轴和y轴或线在y轴上的非零截距过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式3.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
4.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x,y),B(x,y),C(x,y),若x1x2x3或k AB k AC，则有A、B、C三点共112233线。
高中数学的解析平面几何的应用解析
高中数学的解析平面几何的应用解析解析平面几何是高中数学中的一门重要内容，它应用于实际问题的解决，有助于学生提高数学的应用能力和解决实际问题的能力。
本文将重点探讨高中数学中解析平面几何的应用解析。
一、直线与圆的解析几何应用在解析几何中，直线和圆是最基本的几何元素之一，广泛应用于各个领域。
直线方程的解析表示为y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
通过直线的解析表示，可以求解直线与坐标轴的交点、两直线的交点等问题。
圆的解析表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
通过圆的解析表达式，可以计算圆与坐标轴的交点、圆与直线的交点等问题。
二、解析平面几何在三角函数中的应用三角函数是解析平面几何中的重要概念，也是高中数学的核心内容。
三角函数的解析表示为y=Asin(wx+φ)+b和y=Acos(wx+φ)+b，其中A为振幅，w为频率，φ为初相位，b为平移量。
通过三角函数的解析表示，可以求解函数的周期、振幅、初相位等性质，并应用于波动、周期性问题的分析与计算。
三、解析平面几何在三角形中的应用解析平面几何在研究三角形中的一些特征和性质时，也起到了重要的作用。
例如，通过解析表示三角形的三个顶点坐标，可以计算出三角形的边长、内角、外角等性质，进而研究三角形的周长、面积、内切圆、外接圆等问题。
此外，解析平面几何还能帮助解决三角形相似、共线、正多边形等问题。
四、解析平面几何在向量中的应用向量是高中数学中的另一个重要概念，解析平面几何可以为向量的研究提供有力的工具。
通过向量的解析表示，可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进而解决向量共线、向量垂直、向量平行等问题。
同时，解析平面几何还可以应用于向量的投影、向量的夹角、向量的模长等计算。
总结起来，解析平面几何在高中数学中的应用解析十分广泛，涵盖了直线与圆的问题、三角函数的计算、三角形的特征与性质、向量的运算等多个方面。
平面解析几何试题 解析
平面解析几何1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =.故选A 。
2．（2020届河南省濮阳市高三模拟）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B ．8C．D ．4【答案】C【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==，故选C 。
3．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=8=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=，故选B 。
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平面解析几何综合分析（一）【例题精选】：例1：已知四点()()A a b M N E ，、，、，、，03152292⎛⎝⎫⎭⎪⎛⎝⎫⎭⎪，若点A 关于点M 的对称点是B ，点B 关于点N 的对称点是点C ，点C 关于点E 的对称点是A ，求A 点的坐标。
解：设()()B x yC x y 1122，，，由中点坐标公式：a x b y +=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪112023解得x a y b 116=-=-⎧⎨⎩()∴--B a b ，6-+=-+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=-⎧⎨⎩a x b y x a y b 222221625221解得()∴+-C a b 21，()a ab b a b A ++=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴==⎧⎨⎩∴22212921515， 例2：求点()P a b ，关于直线x y -+=10的对称点的坐标。
分析：这是求点关于直线对称点问题，由前面提供的方法求出。
解：设P 点关于直线l ：x y -+=10的对称点为()'P x y ，则P 、'P 的中点为M x a y b ++⎛⎝⎫⎭⎪22，直线P 、'P 的斜率为k y bx aPP '=--，直线l 的斜率为k =1。
x a y by b x ax b y a +-++=--=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=-=+⎧⎨⎩2210111解得∴P 点关于直线l 的对称点为()'-+P b a 11，例3：求点P （4，0）关于直线54210x y ++=的对称点的坐标。
解：设P 点关于直线l ：54210x y ++=的对称点为()'P x y ，则有542422104541···x y y x +++=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解得：x y =-=-⎧⎨⎩68()∴P 40，关于直线l ：54210x y ++=的对称点为()'--P 68，例4：平面上有两点()()A a bB b a ++--2246，，，，且这两点关于直线l ：4311x y +=对称，求a ，b 。
解：根据已知条件可知：AB l ⊥，且线段AB 的中点a b a b +-+-⎛⎝⎫⎭⎪2242，在直线l上。
()()()()∴--+--+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+-++--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a b b b a a b a b 24243114223421102·（）··（）（1）式整理为：a b --=20 （2）式整理为：a b +-=60解得a b ==⎧⎨⎩42∴==a b 42，例5：求直线l ：210x y -+=关于点()P 11，-对称的直线方程。
分析：由对称的性质知直线l 与直线'l 关于点对称，则l//'l ，又l 上任一点关于P 点的对称一定在直线'l 上，这样由待定系数法便可求出直线'l 的方程。
另一种考虑方法是：∵'l //l 又有P 点到两直线的距离相等，所以可以由点到直线的距离公式求出直线'l 的方程。
解法一：设直线l ：210x y -+=关于点P （1，－1）对称的直线为'l ∵l ：210x y -+= 又'l //l∴设直线'l 方程为20x y m -+=在l 1上取一点()M --11，，M 点关于中点的对称点为()'M x y ， 必定在直线'l 上，()P 11，-，则()'-M 31， 即有：()2310⨯--+=m ，∴=-m 7∴直线'l 的方程为：270x y --=解法二：设直线'l 的方程为：20x y m -+=∵()P 11，-到直线l 与直线'l 的距离相等。
由点到直线的距离公式得：()()211521115⨯--+=⨯--+m解得m m ==-17或m =1为直线l ，故而m =-7为解。
∴直线'l 的方程为：270x y --=例6：已知直线l ：x y ++=210，直线l x y 120：--=，求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2的方程。
分析：如图，此题解法较多： ①从轴对称的定义可以得知直线l 1上的任意一点关于直线l 的对称点必在直线l 2上。
②利用两直线的到角公式可以得到：直线l 1到直线l 的角等于直线l 到l 2的角的关系式，解出直线l 2的斜率，由点斜式得到直线l 2的方程。
解法一：设()l l M x y 1 =，则x y x y x y ++=--=⎧⎨⎩==-⎧⎨⎩2102011∴直线l 1与直线l 交于()M 11,-点在直线l 1上取一点()P 02,-，P 点关于直线l 的对称点为()'P x y ，由前面所讲二点关于直线的对称点的方法，求出'P 的坐标如下：y x x y +-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪2121222210··解得x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪6525∴'⎛⎝ ⎫⎭⎪P 6525，过M 点、'P 点的直线就是直线l 2：l 2：y x ++=--12511651即780x y --=为所求的直线方程。
解法二：设()P x y ，点是直线l 2上任一点，则P 点关于直线l 的对称点()P x y 111，必在直线l 1上，利用求点关于直线对称点的方法得到方程组：x x y y y yx x ++++=---⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪111122210121·解得：x x y y x y 1134254345=--=---⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又∵P 1点在直线l 1上∴()()153421543420x y x y -------= 化简为：780x y --=这即是直线l 2的方程。
解法三：设直线l l l 12、、的斜率分别为k k k 12、、，k k 1112==-、由直线的到角公式得知：k k k k k kkk -+=-+221111·即：---=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪1211211211222k k 解得：k 27=又()l l M 111=-，由点斜式得直线l 2的方程是：780x y --=小结：此题给出三种解法，其中解法二实际上是解法一的简化。
例7：（1）在直线l ：250x y --=上求一点P ，使它到()()A B --7155,,，两点的距离之和为最小。
（2）在直线l ：320x y -+=上求一点P ，使它到()()A B 8640,,，-两点的距离之差的绝对值最大。
解：（1）设B 点关于直线l ：250x y --=的对称点为()'B x y ,则y x x y -+=--⎛⎝ ⎫⎭⎪-+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪55212525250··解得x y ==-⎧⎨⎩113 ()∴'-B 113,直线AB '方程为y x ---=++1317117即2950x y ++=2950250x y x y ++=--=⎧⎨⎩解得x y ==-⎧⎨⎩21∴Ｐ( 2, 1 )设Ｑ为直线ｌ上另一点AQ BQ AQ B Q AB +=+'>'=+'=+AP B P AP BP()∴-P 21，点为所求。
解（2）设B 点关于直线l 的对称点为()'B x y ，，则yx x y +=---+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪431342220··解得x y ==-⎧⎨⎩22 ()∴'-B 22，直线AB '的方程为：y x ---=--626828即43140x y --=43140320x y x y --=-+=⎧⎨⎩ 解得：x y =---⎧⎨⎩410()∴--P 410， 设Q 为直线l 上另一点则QA QB QA QB -=-'<'-'=-AB PA PB PA PB∴P 点为所求例８：光线从A （0，1）点射到直线l x y ：--=320上一点（－1，－1）后被l 反射。
求反射光线所在直线的方程。
分析：由光的反射定律知∠=∠12，如图∠=∠=∠321∴A 点关于直线l 的对称点'A 在反射线上。
解：设()P --11，设A 点关于直线l 的对称点为()'A x y ，则y x x y -=--+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1131231220··解得x y ==-⎧⎨⎩12()∴'-A 12，反射线PA '的方程为：y x +-+=++121111即：x y ++=230小结：由几何方法得知，入射点线上的点关于反射面这里为直线的对称点必在光的反射线上，同理，光的反射线上的点关于反射面（直线）的对称点必在入射线上，因此只要通过求出点关于直线的对称点便可灵活的得到入射线方程或反射线方程或入射点等。
例９：光线从点A （3，－2）射到直线3230x y -+=上，其反射线经过点()B 04，-，求： （1）反射线方程；（2）入射点N 的坐标； （3）入射线方程。
解：（1）设A 点关于直线l ：3230x y -+=的对称点为()'A x y ，则y x x y +-=-+--+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪232333222230··解得x y =-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪57133813∴'-⎛⎝ ⎫⎭⎪A 57133813，过'A B 、的直线为：y x++=-4381345713即3019760x y ++=为反射线方程（2）30197603230x y x y ++=-+=⎧⎨⎩解得x y =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪2091174639∴入射点N --⎛⎝ ⎫⎭⎪2091174639，（3）入射线就是过A 、N 两点的直线y x +-+=---24638232091173 即 635520x y ++=∴入射线方程为635520x y ++=例１０：光线从()A -34，点射出，经过x 轴上的B点，在x 轴上反射交y 轴于C 点，再经C 点从y 轴上反射经过()D -16，点。
求AB 、BC 、CD 所在直线的方程。
并求x 轴、y 轴上两反射点的坐标。
分析：由前面例子已经知道：从A 点发出的光线经x 轴反射，其A 点关于x 轴的对称点'A 点在反射线所在的直线上，其反射线与y 轴的交点就是C 点。
即直线BC 成为y 轴的入射线，依题，其反射线经D 点。
则D 点关于y 轴的对称点'D 点必在入射线所在的直线上，就是直线BC 上，故而只需求出A 点关于x 轴的对称点'A 点及D 点关于y 轴的对称点'D 点，再由两点式求出直线''A D 的方程便可。