第七章 频响函数及相干分析
传递函数频响函数
传递函数频响函数频响函数（Frequency Response Function，简称FRF）是指系统对输入信号频率变化的响应情况，通常描述为系统的输出幅度和相位随输入频率变化的函数。
频响函数可用于研究系统的稳定性、动态响应和频率特性等。
频响函数一般表示为H(ω)，其中ω表示角频率。
频响函数可以分解为幅度响应H(ω)和相位响应φ(ω)两部分，即H(ω)=，H(ω)，e^(jφ(ω))。
其中，H(ω)，表示幅度响应，是输入信号经过系统后的输出信号的幅度相对于输入信号的幅度的比值，单位为分贝（dB）。
相位响应φ(ω)表示输出信号与输入信号之间的相位差。
频响函数的重要性在于可以帮助我们了解系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过分析频响函数，我们可以判断系统是否能够适应所需的频率范围，以及在不同频率下的增益和相位变化。
在工程实际中，我们经常使用频响函数进行系统设计和分析。
下面就来介绍一些常用的传递函数和它们的频响函数表达式：1. 一阶惯性环节的传递函数为H(ω) = K/(jωT+1)，其中K为增益，T为时间常数。
对应的频响函数为，H(ω)，= K/√(1+(ωT)^2)和φ(ω) = -arctan(ωT)。
该传递函数常用于描述具有惯性的系统，如机械系统的动态响应。
2. 二阶系统的传递函数可以分为三类：欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
欠阻尼二阶系统的传递函数为H(ω) = K/((jω)^2+2ξωn(jω)+ωn^2)，其中K为增益，ξ为阻尼比，ωn为自然频率。
对应的频响函数为，H(ω)，= K/√((1-(ω/ωn)^2)^2+(2ξω/ωn)^2)和φ(ω) = -arctan((2ξω/ωn)/(1-(ω/ωn)^2))。
欠阻尼系统常用于描述振动系统，如机械臂的振动响应。
3. 在控制系统中，常用的传递函数包括比例控制器、积分控制器和微分控制器等。
比例控制器的传递函数为H(ω) = Kp，其中Kp为比例增益。
第七章频响函数及相干分析
第七章频响函数及相干分析在信号处理领域中，频响函数及相干分析是非常重要的概念和工具。
频响函数是描述信号在频域上响应特性的函数，而相干分析则是用来研究信号之间的相关性和相关性随频率的变化规律。
1.频响函数频响函数是描述信号在频域上的响应特性的函数。
它可以是一个复数函数，表示信号在不同频率上的幅度和相位变化，也可以是一个实数函数，只表示信号的幅度变化。
常见的频响函数包括：-幅度响应函数：表示信号在不同频率上的幅度变化。
常用的表达方式有dB值和增益值。
在实际应用中，我们通常更关注信号的幅度响应，因为它反映了信号在传输过程中是否发生了衰减或放大。
-相位响应函数：表示信号在不同频率上的相位变化。
相位响应通常用角度表示，取值范围为-180°到180°，其表示不同频率上信号的相对延迟。
频响函数是非常重要的，因为它能帮助我们了解信号在不同频率上的响应特性，对信号的传输、放大以及滤波等处理过程有着重要的指导作用。
2.相干分析相干分析是用来研究信号之间的相关性和相关性随频率的变化规律的方法。
在信号处理中，我们经常需要了解不同信号之间的相互关系，相干分析就是用来帮助我们进行相关性的分析和判断。
相干分析可以帮助我们了解信号之间的相干性质，即它们在时间上的相关性以及在频率上的相关性。
通过相干分析，我们可以定量地描述不同信号之间的相关程度，并判断它们之间是否存在一定的关联关系。
相干分析常用的工具包括：-自相关函数：用于衡量信号在不同时间点上的自相关性。
自相关函数的值表示信号在不同时间点上与自身的相关程度。
-互相关函数：用于衡量两个信号之间的相关性。
互相关函数的值表示不同信号之间的相关程度。
-相干函数：用于衡量两个信号之间的相干性。
相干函数是互相关函数的归一化形式，其取值范围为0到1通过相干分析，我们可以深入了解信号之间的相关性，并对信号之间的相关关系进行量化和度量。
这对于信号处理领域的许多应用如通信、信号传输以及信号分析等都有着非常重要的意义。
计算频响函数和相干函数
计算频响函数和相干函数频响函数是指一些系统对于输入信号的不同频率成分的增益或衰减情况。
相干函数则是描述两个信号在时间上的相关性。
1.频响函数频响函数是描述系统对信号不同频率成分的响应情况的重要指标。
通过对信号的频谱进行分析，我们可以得到系统对不同频率的增益或衰减情况。
频响函数可以表示为H(f)，其中f表示频率。
频响函数通常用复数表示，具有幅度和相位两个部分。
幅度是指信号在通过系统时的增益或衰减情况。
通常以分贝（dB）为单位进行表示。
若系统的频响函数为H(f)，则幅度响应可以表示为，H(f)。
相位是指信号在通过系统时的相位变化情况。
相位响应可以表示为∠H(f)。
频响函数描述了系统对不同频率成分的影响，对于系统的建模和分析具有重要作用。
利用频响函数，我们可以预测系统对不同频率输入信号的输出情况，从而更好地设计和调节系统。
2.相干函数相干函数是描述两个信号在时间上的相关性的度量指标。
如果两个信号在一些时刻上有相同的变化趋势，我们可以认为它们是相关的；如果两个信号在一些时刻上有相反的变化趋势，我们可以认为它们是不相关的。
相干函数可以表示为C(t)，其中t表示时间延迟。
相干函数通常用复数表示，具有幅度和相位两个部分。
幅度是指两个信号之间的相关程度，通常以0到1之间的值进行表示。
如果两个信号完全相关，幅度为1；如果两个信号完全不相关，幅度为0。
相位是指两个信号之间的相对时间延迟。
如果两个信号在一些时刻上同时达到峰值，则相位为0；如果两个信号在一些时刻上一个达到峰值，另一个达到谷值，则相位为180度。
相干函数可以帮助我们了解两个信号之间的相关性。
在信号处理和通信系统中，相干函数是重要的性能评估指标，对于信号的传输和处理具有指导意义。
总结：频响函数描述了系统对不同频率信号的增益或衰减情况，是系统建模和分析的重要工具。
相干函数描述了两个信号在时间上的相关性，是信号处理和通信系统中的重要性能指标。
通过频响函数和相干函数的分析，我们可以更好地理解和优化系统的性能，提高信号的传输质量和处理效果。
频响频响分析方法总结
[频响]频响分析方法总结(总1页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--频响分析，或者叫稳态动力学分析在abaqus中包括以下三种方法：直接稳态动力学分析（direct solution steady state dynamic analysis）模态稳态动力学分析（mode based steady state dynamic analysis）子空间稳态动力学分析（subspace projection steady state dynamic analysis）1）直接稳态动力学优点：在直接稳态动力学分析中，系统的稳态谐波响应是通过对模型的原始方程直接积分计算出来的。
如果分析的对象存在非对称刚度、包含模态阻尼以外的其他阻尼或者必须考虑粘弹性材料特性（频变特性），则不能提取特征模态的情况下，可以应用直接法进行稳态响应的计算和分析。
缺点：进行直接稳态动力学分析不需要提取系统的特征模态，而是在每个频率点对整个模型进行复杂的积分运算。
因此，对于具有大阻尼和频变特性的模型，应用直接法比模态分析方法精确，但是耗时较多。
2）模态稳态动力学分析模态稳态动力学分析方法是基于模态叠加法求解系统的稳态响应。
因此，在求解稳态响应之前必须先提取无阻尼系统的特征模态，也就是在说必须在step steady state dynamics,modal前加一步step frequency。
另外，必须确定需要保留的特征模态，以确保能够精确描述系统的动力学特性，也就是说如果是进行0-1000hz的分析，step frequency的number of eigenvalues requested选定的阶数的模态频率必须大于1000hz，简单的作法是这里选all……，下面的maximum……填入1000。
模态稳态动力学分析的特点：相较于直接法和子空间法分析速度快，耗时最少，计算精度低于直接法和子空间法，不适合于分析具有大阻尼特性的模型，不适合于分析具有粘弹性材料（频变特性）的模型。
频响特性曲线_模态测试之频响函数
频响特性曲线_模态测试之频响函数在进⾏模态测试时，核⼼就是测试结构输⼊点到相应点的频响函数，最终通过各种算法从频响函数中提取我们所关注的信息(频率、阻尼、振型...)。
本⽂我们就详细探讨⼀下有关频响函数的问题。
1、什么是频响函数(FRF)频响函数定义为结构的输出响应和输⼊激励⼒之⽐。
将测试的时域数据转换到频率的数据后，数据会显⽰为复数形式(实部和虚部、幅值和相位)，测量的多条频响函数为了⽅便统计，通常以矩阵形式表⽰。
下标可以⽅便地确定某个FRF输⼊-输出的位置，频响函数中第⼀个下标表⽰输出响应位置，第⼆个下标表⽰输⼊激励位置，下标k表⽰阶数。
所以H ij表⽰由‘j’点输⼊引起‘i’点响应的频响函数。
FRF元素的分⼦中包含留数信息，与模态振型直接相关；分母包含极点信息，与频率和阻尼相关。
因此，从频响函数矩阵可以得到系统全部的模态信息。
将分⼦留数信息展开可得式中右侧⽅程，可以得出以下结论：l 通过⽅程中分⼦信息我们可以发现：留数的值与输⼊位置的模态振型值相关，不同输⼊-输出位置的留数值是不同的，即振型值不同，也就是说留数值(振型)具有局部性，在做⼤型模态试验时需要多布置响应点来拾取局部振型，从⽽把振型更好的表达出来。
l 通过⽅程中分母信息我们可以发现：分母中包含极点信息是保持不变，即极点信息(频率阻尼)不依赖于输⼊输出的位置。
理论上讲，在避开节点的情况下⼀个测量位置即可测量出所有的模态频率。
2、什么是频响函数具有哪些性质l 频响函数是系统的固有特性，与系统本⾝有关，与激励、响应等外界因素没有关系。
l 频响函数具有互易性，即Hij=Hji，也就是说，‘j’点单位激励⼒在‘i’点引起的响应等于‘i’点单位激励⼒在‘j’点引起的响应，说明频响函数矩阵是对称的。
l 频响函数是复值函数，因⽽可以⽤幅值与相位或者实部与虚部表⽰，因此频响函数具有幅频、相频和实频、虚频等多种表现形式。
当幅频曲线和相频曲线同时显⽰时，称为伯德图。
频响分析理论讲解
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10
频响函数的时域含义
m
x1 H11
x2 x3
=
H
21
H 31
Inverse FRF: F(orce)/R
Dynamic Stiffness动刚度 Mechanical Impedance机械阻抗
Apparent Mass
(Source: “Modal Testing: Theory, Practice and Application,” by D. J. Ewins)
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3
时域到频域的转换
⚫ 载荷用谐波表示
Mx(t) + Cx(t) + Kx(t) = f (t)
取某一特定激励频率
20
模态阻尼OptiStruct数值计算案例
99.875298 14.83414 102.96423 21.093685 106.05316 15.001724
输入阻尼 g=0.06
536.28412 552.87024 569.45636
4.6593304 6.6819339 4.8037124
模态法 Modal approach
18
频率激励/输出设置
⚫ FREQ定义离散频率点
‒ 以下例子定义20,100,200,500,1000Hz共5个输出频率
土木工程试验与检测名词解释
名词解释1量纲和谐：一个完整的物理方程中，各项的量纲必须相同，因此方程才能用加减，并用等号联系起来，该性质即量纲和谐。
P92.2频响函数：系统的频率响应函数（简称频响函数）是系统的响应与激励的复振幅之比，它是激励频率w（或f）的复函数P1813自功率谱：单位频带的功率随频率变化的情况，称之为X（t）的自功率谱密度函数，简称自功率谱或自谱。
P1724相干函数：常相干函数用gxy2(f)表示，其定义是如果相干函数为零,表示输出信号与输入信号不相干，那么，当相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干。
若相干函数在0~1之间，则表明有如下三种可能：(1）测试中有外界噪声干扰；(2）输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；(3）联系x(t)和y(t)的线性系统是非线性的。
5桩身截面波阻抗：Z=ρ.A.C是桩身材料密度、截面积、和桩身一维弹性纵波速的乘积，称为桩身截面阻抗。
P2776相似准数：相似准数π把相似系统中的各物理量联系起来，说明他们之间的关系，故又称“模型律”。
P907传递函数：系统的传递函数可以定义为输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
如果把振动系统的激振力f（t）看作输入量，把振动的位移响应x（t）看作输出量，则振动系统的传递函数定义为H（s）=X（s）/F（s）P2198频率混淆：波形采样定理一般通过模数转换电路（A/D）来完成，采样率高，采样时间间隔小，如果缩短记录的时间长度，则可能产生较大的分析误差，采样率过低，即采样间隔过大，则离散的时间序列可能不足以反映原来信号的波形特征，频率分析会出现混淆现象P209 9正弦扫描激励：在扫描过程中，振动台的激励频率随着时间不断地变化，从而结构响应中的频率成份也随着时间而不断地变化，即结构响应信号是非平稳的。
这样，各种适用于非平稳信号分析的时频分析方法更加适合于正弦扫描振动试验结构响应分析。
P231 10:传感器的频率响应：在理想情况下，当所测振动的频率变化时，传感器的灵敏度应该不改变，但无论是传感器的机械系统还是机电转换系统都有一个频率响应问题，即灵敏度K随所测频率不同而有所变化，这个变化的规律就是传感器的频率响应。
第七章 频响函数的估计(课件)-2010
) )
⎟⎟⎠⎞
式中，
H a (ω) 2
=
Sv Su
(ω (ω
) )
可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第
三估计式得到的频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有
偏估计，也是过估计。
因此，只有输出响应受到噪声污染时，频响函数的三种估计
ASDL of JLU
7-11
试验数据谱分析
式有如下关系：
据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的欠估计。
B、 第二估计式 根据第二估计式的定义，有
Hˆ
2
(ω )
=
S y (ω) S yx (ω )
=
Sv (ω) Svu (ω )
=
H
2
(ω )
ASDL of JLU
7-13
试验数据谱分析
吉林大学汽车动态模拟国家重点实验室
可见，只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第
7.1.1. 随机激励下的频响函数
考虑一个 SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为 H (ω)。
ASDL of JLU
7-1
试验数据谱分析
吉林大学汽车动态模拟国家重点实验室
设随机输入和响应信号分别为 x(t) 和 y(t) ，其傅立叶变换分别为
X (ω) 和Y (ω) ，则有
Y (ω) = H (ω)X (ω)
H
2
(ω
)
=
S y (ω) S yx (ω)
将系统输入/出频谱式两端取共轭，得
Y * (ω) = H * (ω)X * (ω)
乘以原输入/出频谱式，并取时间平均和集合平均，得
ASDL of JLU
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记 H3 ( f )
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二．频响函数的估计精度
a(t)
H ( ) H 0 ( f )
b(t)
n(t)
x(t)
m(t)
y(t)
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当系统输入输出存在干扰时
x(t ) a(t ) n(t ) X ( f ) A( f ) N ( f )
2
2
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如果 rxy 2 ( f ) 很小，即低于0.5时，认为： （1）系统受到的输入不只一个，还有分解的输入； （2）系统本身具有非线性性质； （3）系统的输入（有用信号）太小，为噪声所淹没。
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离散形式
R y (l ) Ey(k l ) g (k )
r
h(r ) h(n) R (l r n)
x x
Rxy
r
h(n) R (l n)
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或极坐标形式
H ( f ) H r ( f ) e j ( f )
因而一般描述 H ( f ) 有以下几种方式： 1)实频、虚频图。
2)幅频、相频图。（或波德图）
3)乃奎斯特图（或实虚图）
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x(t ) H ()e jt
m( )e
2
jt
4cje jt 9ke jt H () e jt
1 9k m 2 4 jc
f(t) A x(t) c a a B k
H ( )
a
工程信号分析及处理
汽车学院 靳晓雄
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第七章 频响函数及相干分析
本章讨论系统本身的动态特性，指示系统的结
构、参数与动态性能之间的关系。
7-1 线性系统的描述 7-2 线性系统输入输出的相关函数及功率谱密度 7-3 系统的频率响应与相干函数 7-4频响函数估计 7-5频响函数的测量与处理 7-6系统的相干分析 7-7系统的偏相干分析
15
2.频响函数的计算方法
（1）由系统微分方程进行拉氏变换法。
H ( s) Y ( s) X ( s) X ( s ) Lx(t ) Y ( s ) Ly (t )
以
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j代替H (s)中s,即为H ( j)
16
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例：
m x c x kx kxs c xs
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12
二．功率谱密度
S y ( ) H ( ) S x ( ) S xy ( ) H ( ) S x ( )
2
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7-3 系统的频率响应与相干函数
一．系统的频率响应函数
1.
H ( f ) 2 G y ( f ) Gx ( f ) H ( f ) Gxy ( f ) Gx ( f ) H ( f )是个复数函数，可表示 为 H ( f ) H R ( f ) jH l ( f )
7
四.输入输出的频域关系
x x x 导纳： , , f f f f f f 阻抗： , , x x x
广义来说：
动柔度 动刚度 传递率
f f
x 振——声灵敏度 p
x x
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Y ( j) H ( j) X ( j)
1.幅值法
Gxx Gaa Gnn Gyy Gbb Gmm
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33
Ha
2
Gbb Gmm Gbb 1 Gmm Gbb Gxx Gaa Gnn Gaa 1 Gnn Gaa G yy 1 2 1 1
ms2 X (s) csX (s) kX (s) kX (s) csX (s)
(ms2 cs k ) X (s) (k cs) X s
X ( s) k cs 2 X s ( s) m s cs k
以j代s k jc H ( ) (k 2 ) jc
2
2
3.倒置法估计
Gbb ( f ) H ( f )Gba ( f ) H ( f ) Gbb ( f ) Gba ( f )
Gba ( f ) Gab ( f )
记
*
H2 ( f )
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4.平均法估计
H1 ( f ) H 2 ( f ) H( f ) 2
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2.含义 1).线性时不变系统，没有噪声干扰时 rxy ( f ) 1 2).若输入x(t )与输出y(t )不相干，Gxy ( f ) 0 rxy ( f ) 0
2 2
3).一般情况下
0 rxy ( f ) 1,当rxy ( f ) 0.8一般认为系统的干扰小 。
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5
二.线性时不变系统有三条重要特性：
迭加性
频率保持性：即输入具有什么频率成分，输出将予保持， 不减少也不增加。 统计保持性：即输入具有什么统计分布规律，输出将予保 持，不会改变。
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设：
y(t ) b(t ) m(t ) Y ( f ) B( f ) M ( f )
m(t )与n(t )无关系，m(t ), n(t )与a(t ),b(t )不相关，则：
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Gma ( f ) Gmb ( f ) 0 Gna ( f ) Gnb ( f ) 0 Gmn ( f ) 0
6
三.输入输出的时域关系
y(t ) h(t ) x(t )d
h(t t ) x( )d
h(t ) ——系统的脉冲响应函数，是当输入为
x(t ) (t )时的响应y(t ) h(t )
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记 H1 ( f )
H ( f ) H ( f ) e j ( f ) H R ( f ) jH ( f ) H ( f ) H R ( f ) H ( f ) H ( f ) ( f ) tg HR ( f )
1
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m X k c
xs
17
(2)单位简谐激励法
以f (t ) e jt为输入
x(t ) H ()e jt 为响应，带入微分方程 即可得到。
例：微分方程
m x 4c x 9kx f (t ) 令：f (t ) e jt
H0
2
Gxa Gaa
Gyn Gbn Gmn 0
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Gyb Gbb
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H1
Gxy Gxx
Gab G 1 1 ab H0 Gaa Gnn Gaa 1 Gnn Gaa 1 0
H 0 G aa (1 2 ) H 0 G aa
*
H 0 (1 2 )
2 0
输出为：
1 , 2 为常数
y(t ) 1 y1 (t ) 2 y2 (t ) 时 系统为线性系统。
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2.时不变性 对任意时间 ，输入为
x(t ) ，系统输出为
y(t )
时，系统为时不变系统。
对时不变系统，无论时间原点取在何处，输入输出关系不变。
22
3.应用 （1）用来识别噪声声源 齿轮箱振动信号与噪声信号的 rx1 y ( f ) 油泵振动的信号与噪声信号的 rx 2 y ( f ) 说明低频段噪声由齿轮箱引起，高频段由油泵引起。
2 2
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（2）飞机垂直加速度与风速关系分析
由图中说明0.4~2Hz飞机垂直加速度与风速关系较密切
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二．相干函数（凝聚函数）
S xy ( f )
2
1.定义：
rxy ( f )
2
Sx ( f ) S y ( f )
Gxy ( f )
2
Gx ( f ) G y ( f )