(完整)八年级三角形的边角关系练习题(含解析答案)
三角形的边角关系
练习题
回顾：
1、三角形的概念
定义：由_______直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的分类
按角分：
?????
锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形
按边分：
????????
不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形
3、三角形的重要线段
在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。 说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的____部。
（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部。
（3）_______三角形的三条高的交点在三角形的内部；______三角形的三条高的交点是直角顶点；_____三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。
4、三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和____第三边；
推论：三角形任意两边的差____第三边；
说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。
5、三角形各角的关系
定理：三角形的内角和是______度；
推论：（1）当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°；
（2）三角形的任意一个外角______和它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的任意一个外角______任意一个和它不相邻的内角。
说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。
三角形的计数
例1 如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有（）
A、4个
B、6个
C、8个
D、10个
解析：
连接AB、AD、BE、DE。
课件出示答案： C。
小结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法。
举一反三：
1、已知△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，直线EF与△ABC的两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=（）
A、150°
B、180°
C、135°
D、不能确定
解析：
因为∠A=30°，所以∠NMA+∠MNA=180°-30°=150°，
所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA=150°.故选A.
三角形的三边关系
例2 边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是。
解析：
根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出其中一边长的范围，再求其正整数解.
答案：
解：设三角形三边分别为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，则a≥7，又由b+c>a，得a<10，因此79
a
≤≤，可求出（a，b，c）为（9，9，2），（9，8，3），（9，7，4），（9，6，5），（8，8，4），（8，7，5），（8，6，6），（7，7，6），其中等腰三角形有（9，9，2），（8，8，4），（8，6，6），（7，7，6），所以填4.
小结：
利用已知的等量关系及三角形的三边关系，建立不等式与方程，进而组成不等式与方程的混合组，求其正整数解.
举一反三：
2、现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）。
A.1
B.2
C.3
D.4
三角形的内角和定理
例3 已知三角形三个内角的度数之比是x：y：z，且x+ y A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 解析： 设三角形三个内角为x,y,z.根据三角形内角和定理，得x+y+z=180°，结合x+y＜z，利用不等式的性质进行判断. 答案： 解：三角形的内角和为180°，设三角形三个内角为x，y，z，则x+y+z=180°，又x+y 小结： 利用三角形内角和为180°建立等量关系是常用的解题方法。 例4 如图（1），有一个五角星形ABCDE图案，（1）你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？（2）当A点向下移动到BE上[如图（2）]，上述结论是否仍然成立？（3）当A点移到BE的另一侧[如图（3）]，上述结论是否仍然成立？请说明理由。 解析： （1）连接CD，设BD与EC相交于F，分别在△ACD及△BEF、△CDF中运用三角形内角和定理. 课件出示答案： （1）解：设BD与CE相交于F点 在△BEF中， ∠B+∠E+∠1=180° 又∠A+∠C=∠2 有∠1=∠2+∠D=∠A+∠C+∠D 所以∠A+∠B+∠C+∠D +∠E=180° 解法二： 解：（1）以题图（1）为例，说明如下： 如图，连接CD，设BD与EC相交于F，在△BEF中， ∠B+∠E+∠3=180° 在△CDF中，∠1+∠2+∠4=180°， 所以∠B+∠E+∠3=∠1+∠2+∠4 所以∠B+∠E=∠1+∠2 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADF=180°， 即∠A+∠ACF+∠1+∠ADF+∠2=180°， 所以∠A+∠ACF+∠ADF+∠B+∠E=180° 下一步（2）（3）： 根据（1）的解答方法独立完成（2）和（3）的探索。 小结： 在解决新问题时，往往将其转化为比较熟悉的问题，再加以解决.（2）本例中出现的“对顶三角形”（如图），有如下结论：∠1+∠2＝∠3+∠4. 举一反三 4 如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（） A、61° B、60° C、37° D、39° 解析：连接AD并延长，可证明∠BDC=∠A+∠B+∠C,所以∠A=98°-38°-23°=98°-61°=37°.故选C. 三角形的外角和 例5 如图3-7，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为∠α，∠β，∠γ，若∠α：∠β：∠γ=3：4：5，则∠A：∠B：∠C =（） A、3：2：1 B、1：2：3 C、3：4：5 D、5：4：3 解析： 设∠α=3x,∠β=4x,∠γ=5x,根据三角形的外角和等于360°列方程，再求∠A、∠B、∠C. 答案： 解：设∠α=3x，∠β=4x，∠γ=5x，则 3x+4x+5x=360° 解得 x=30° 即：∠α=90°，∠β=120°，∠γ=150°， 所以∠A=180°-∠α=180°-90°=90°， ∠B=180°-∠β=180°-120°=60°， ∠C=180°-∠γ=180°-150°=30° 所以∠A：∠B：∠C=90°：60°：30°=3：2：1 小结： （1）三角形的外角和等于360°； （2）方程思想是解决几何计算的常用方法. 举一反三： 5、将一副直角三角板如图3-11放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） 学生分小组来解决这道题目，老师给予适当的指导，最后来讲解一下。 课件出示解析： ∠1＝45°+30°＝75°. 举一反三： 6、如图3-12所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。 解析： 设BE、CF、AD相互交于G、H、K. 因为在△AFK中，∠A+∠F+∠4=180°, 在△BCG中，∠B+∠C+∠5=180°, 在△EDH中，∠D+∠E+∠6=180°, 所以∠A+∠F+∠4+∠B+∠C+∠5+∠D+∠E+∠6=180°×3＝540°. 又因为∠1+∠3+∠2＝180°，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6， 所以∠A+∠F+∠B+∠C+∠D+∠E=360°. 三角形与平行线的综合运用 例6 如图，直线A C∥BD，连接AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角。） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。 解析： （1）延长BP交AC于点E，运用平行线的性质和三角形内角和定理及推论； 答案: （1）解法一：如图（1），延长BP交直线AC于点E。 ∵A C∥BD，∴∠PEA=∠PBD ∵∠APB=∠PAE+∠PEA ∴∠APB=∠PAC+∠PBD 解法二：如图（2），过点P作FP∥AC， ∴∠PAC=∠APF， ∵A C∥BD ，∴FP∥BD ∴∠FPB=∠PBD ∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD （2） 不成立 （3） 运用平行线的性质或三角形内角和定理的推论解决. （a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB 如图（3），连接PA、PB，设PB交AC于M， ∵A C∥BD，∴∠PMC=∠PBD。 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB （b）当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）。 证明：如图（4） ∵点P在射线BA上，∴∠APB=0° ∵A C∥BD ，∴∠PBD=∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD。 （c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD。 证明： 如图（5），连接PA、PB，设PB交AC于F， ∵A C∥BD ，∴∠PFC=∠PBD， ∵∠PAC=∠APF+∠PFA， ∴∠PAC=∠APB+∠PBD。 小结： 解此类探索性命题的关键是由图形提供的信息，探索、猜想、归纳出点在不同位置上有关角之间的变化规律. A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练（8） （命题及三角形边角不等关系） 一、选择题： 1、如图 8-1，已知 AB ＝10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2，四边形 ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则 BC ＋CD 等于 （ ） A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若 EF ∥BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为 （ ） 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α ＝A+B ，β ＝C+A ，γ ＝C+B ，则α 、β 、γ 中，锐角的个数 最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4，矩形 ABCD 的长 AD ＝9cm ，宽 AB ＝3cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 （ ） E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为 a ，b ，b ，其中 a>b ，若两个三角 形的最小内角相等，则 的值等于 （ ） b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ，另一组对边的长分别为 a ，b ，则 d 与 ＿＿＿＿＿＿ a + b 2 的大小关系是＿ 三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0 《三角形及其三边关系》检测题 （满分：120分，时间：90分钟） 姓名: ____ 得分：____ 一．选择题（10小题，共30分） 1、下列说法正确的是（ ） A 、三角形的角平分线是射线。 B 、三角形三条高都在三角形内。 C 、三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外。 D 、三角形三条中线相交于一点。 2、一个三角形的三个内角中（ ） A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90 ° C. 不可能有两个大于 89° D. 不可能都小于60° 3、等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．13 C ．17或22 D ．22 4、一个三角形的两边分别为3和8，第三边长是一个偶数，则第三边的长不能为（ ） A 、6 B 、8 C 、10 D 、12 5、在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）． A B C D 6、适合条件C B A ∠= ∠=∠2 1 的三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 7、三角形中至少有一个内角大于或等于（ ）． A ．45° B ．55° C ．60° D ．65° 8、在下列四个结论中，正确的是（ ） A.三角形的三个内角中最多有一个锐角 B.等腰三角形的底角一定大于顶角 C.钝角三角形最多有一个锐角 D.三角形的三条内角平分线都在三角形内 9、三角形两边为3和2，则最长边的范围是（ ） A ．大于1且小于5 B ．大于2且小于5 C ．大于3且小于5 D ．大于或等于3且小于5 10、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A 、∠1+∠2=2∠A B 、∠1+∠2=∠A 1 2 A B C D E 13.1 三角形中的边角关系 第一课时三角形中的边角关系（一） 教学目标 1、了解三角形的概念，掌握分类思想 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵 3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值 重、难点与关键 重点：了解三角形分类思想，弄清三角形三边关系 难点：对两边之差小于第三边的领悟 关键：从观察、联想入手，应用连结两点之间的线中，线段最短这一原理进行迁移 教学过程 一、情境合一，探究新知 1、投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片，运用投影仪播放，让学生对三角 形有一个感性认识.如下图： 教师活动：通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性. 学生讨论 教师归纳，由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 教师活动：给出一个三角形，如图，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法，认识三角形的基本元素：边、角、顶点等. 学生活动：学会运用大小写字母来表示三角形的边与角，如图的三角形可记作⊿ABC，三边可记作AB、AC、CA；三个角可记作∠A、∠B、∠C，或可用三个字母表示为∠BAC、∠ABC、∠ACB. 注意：表示边时要两个大写字母，或一个小写字母.注意小写字母标注的规律：通常顶点大写字母所对的变就是这个顶点的小写字母. 2、教师给出不同类型的三角形，引导学生从边和角两种角度观察、分类. （1）从边的角度来分类有： 不等边三角形 等腰三角形（包括等边三角形） 说明：对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边。两腰所夹的角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角：而等边三角形的三边都相等，它是等腰三角形的特例. （2）从角的角度来分类有： 锐角三角形（三个内角均为小于900的角） 直角三角形（有一个角是900） 钝角三角形（有一个内角大于900） 二、联系实际，合作探究 1、问题牵引1. 国庆节的晚上，小明从甲地到乙地后再往丙地走，并到达丙地，小红从甲地直接到丙地，如图所示，请你谈谈小明和小红谁走的路程长？依据是什么？ 学生活动：发现小红走的路程短，小明走的路程长。依据是：两点之间线段最短. 2、问题牵引2. 在一个三角形中，任意两边的长度之和与第三边的长度之间有着怎样的关系呢？ 教师在黑板上画出按角分类的三个三角形，请三位同学量出三边的长度，再进行比较. （1）三角形任意两边之和大于第三边. （2）三角形任意两边之差小于第三边. 三、范例学习，应用所学 1、例1（课本68页例1）等腰三角形中，周长是18cm. （1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长. （2）如果一边长为4cm，求另两边长. 2、例2 有两根长度分别为8m和5m的钢管，再用一根长度为3m的钢管能将他们焊接成 一个三角形钢架吗？为什么？长度为4m呢？长度为2m呢？ 四、随堂练习，巩固深化 1、课本69页练习第1，2，3题. 2、等腰三角形的两边长分别是7cm，8cm. （1）求这个三角形的周长. （2）如果两边长分别为3cm和6cm呢？ 五、课堂总结，提高认识 1、由学生进行归纳总结 【考点训练】三角形三边关系-2 一、选择题（共10小题） 1．（2011?青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形， 4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．（2007?安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_________．12．（2004?云南）已知三角形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为_________． 13．（2007?柳州）如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为_________cm． 14．（2006?连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟一确定．你认为BC的长可以是_________． 15．（2005?泸州）一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为_________cm． 16．（2007?贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是_________． 17．（2006?梧州）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有_________个． 18．（2004?芜湖）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________． 19．（2004?玉溪）已知一个梯形的两底长分别是4和8，一腰长为5，若另一腰长为x，则x的取值范围是_________． 20．（2004?嘉兴）小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_________，_________，_________（单位：cm）． 三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷） 21．已知三角形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数． （1）请写出一个三角形符合上述条件的第三边长． （2）若符合上述条件的三角形共有n个，求n的值． （3）试求出（2）中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例． 22．如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长． 23．一个三角形的边长分别为x，x，24﹣2x， （1）求x可能的取值范围； （2）如果x是整数，那么x可取哪些值？ 24．已知三角形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围． 25．三角形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x2﹣3x）cm、（﹣x2+6x﹣2）cm 三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________ 直角三角形的边角关系提高题 一、选择题 1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD 的值为（ ） A ． 34 B ．43 C ．54 D ．5 3 2．已知∠A ＋∠B ＝90°且cos A ＝51 ，则cos B 的值为（ ） A ．51 B ．54 C ．562 D ．5 2 3．已知tan a ＝3 2 ，则锐角a 满足（ ） A ．0°＜a ＜30° B ．30°＜a ＜45° C ．45°＜a ＜60° D ．60°＜a ＜90° 4．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ） A ．53 B ．54 C ．34 D ．4 3 5．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ） A ．100 m B ．350m C ．250m D ．50（13+）m 6．已知楼房AB 高50 m ，如图，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD ＝50 m ，塔高DC 为3 1 （350150+）m ，下列结论中，正确的是 （ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60° C ．由楼顶望塔顶仰角为30° D ．由楼顶望塔基俯角为30° 7．如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB 的坡角为45°， 斜坡CD 的坡度i ＝1∶2，则坝底AD 的长为 （ ） A ．42米 B ．（32430+）米 C ．78米 D ．（3830+）米 二、填空题 2．将cos21°、cos37°、sin41°、cos46°的值按由小到大的顺序排列是 ． 6.如图，太阳光线与地面成60 角，一棵倾斜的大树与地面成30 角，这时测得 大树在地面上的影长为10m ，则大树的长约为 m .(保留2位有数字) 2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案 一、直角三角形的边角关系 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，反比例函数() 0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tanC 的值. 【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数 ()0k y k x = ≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可. 【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上， ∴a =2，∴ A (1，2)， 把A (1，2)代入 k y x = 得2k =， ∵反比例函数()0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称， ∴()1 2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ， ∵ 90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=， ∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 2 2OD 1 tanC tan AOD =∠= ==. 2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第1章直角三角形 的边角关系》单元测试卷 一．选择题 1．sinα表示的是（） A．一个角B．一个角的度数 C．线段的长度D．一个比值 2．sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（） A．0B．1C．2D．2sin2θ 3．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则∠C的度数是（） A．75°B．60°C．45°D．105° 4．四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（） A．0.8857B．0.8856C．0.8852D．0.8851 5．如图，设∠AOC＝α，∠BOC＝β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则等于（） A．B．C．D． 6．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 7．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1：，背水坡为1：1，那么两个坡的坡角和为（） A．90°B．75°C．60°D．105° 8．若∠A为锐角，且2cos A＜，则∠A（） A．小于30°B．大于30° C．大于45°且小于60°D．大于60° 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，那么cos A的值是（）A．B．C．D． 10．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（） A．1 200 m B．1 200m C．1 200m D．2 400 m 二．填空题 11．若tanα?tan36°＝1，则α＝度． 12．各三角函数之间的关系：（1）sinα＝；（2）sin2α+cos2α＝；（3）tanα＝． 13．已知斜坡AB＝120米，AB的坡度i＝1：，则斜坡的高h＝米． 14．如图，一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上，若梯子与地面所成的角为60°，则此时梯子顶端到地面的距离为米． 15．Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，c＝，∠B＝． 16．利用计算器求值（结果精确到0.001）：sin55°≈；tan45°23′≈．17．计算：＝． 18．若α为锐角，则＝． 19．如图所示，在数学活动课上，老师带学生去测河宽，某学生在A处观测到河对岸有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30m的B处测得∠CBD＝30°，则河宽CD是m．（答案保留根号） 页 1 第1讲 解直角三角形专题复习 【知识点梳理】 （一） 三角函数的概念 1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范) 如图，在 ABC Rt ?中，（1）的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ＝ a b （2）斜边 的对边 A A ∠=sin ＝ a c （3）斜边 的邻边A A ∠= cos ＝ b c （二）特殊角的三角函数值 （三）三角函数之间的关系 1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边 页 2 B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =?B A 2、同角关系 sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan A A A = （四）斜坡的坡度 1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 （1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角． 俯角：视线在水平线下方的角叫俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α 如图所示， l h i ==αtan ，即坡度是坡角的正切值． （3）方向角： 平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角． （五）解三角形及其应用 利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤： ① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； ② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； ③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解． A D′直角三角形的边角关系测试题 一、选择题(每小题3分,共计36分): 1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( ) A 、sinA= a c B 、cosB=c b C 、cosB=a b D 、tanA=b a 2.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA= 2 2 ，则sinB 等于( ) A 、 2 1 B 、22 C 、23 D 、1 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=2 1 ，则BC ∶AC ∶AB 等于( ) A 、1∶2∶5 B 、1∶3∶5 C 、1∶3∶2 D 、1∶2∶3 4．已知90A B ∠+∠=?，则下列各式中正确的是（ ） （A ）sin sin A B = (B)cos cos A B = (C)tan cot A B = (D)tan tan A B = 5、下列命题中，真命题的个数是（ ） ①∠A 的正弦值等于它的余角的余弦值；②在⊿ABC 中，若21sin = A ，则BC =2 1 AB ；③若α是锐角且ααc os s in =，则?=45α；④若α、β都是锐角且βα<，则 βαc o s c o s <； （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6.在△ABC 中，若tanA=1，sinB= 2 2 ，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7.化简2)130(tan - ＝（ ）。 A 、331- B 、13- C 、133- D 、13- 8.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（ ）。 A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 9如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的 延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） 三角形的边角关系 练习题 回顾： 1三角形的概念 定义：由________ 线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形的分类 按角分： 锐角三角形 三角形直角三角形 钝角三角形 按边分： 不等边三角形 三角形血诂一％旳底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形々 等边三角形 3、三角形的重要线段 在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。 说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的_______ 部。 （2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的_________ 部。 （3）______ 角形的三条高的交点在三角形的内部；___________ 角形的三条高的交点是直角顶点；_____ 三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。 4、三角形三边的关系 定理：三角形任意两边的和第三边； 推论：三角形任意两边的差第三边； 说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。 5、三角形各角的关系 定理：三角形的内角和是_________ ； 推论：（1）当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°; （2）三角形的任意一个外角______ 口它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的任意一个外角______ 意一个和它不相邻的内角。 说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角 三角形的计数 例1 如图，平面上有A、B C D E五个点，其中B C、D及A、E C分别在同一条直线上, 那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有( ) A 4个 B 、6个 C、8 个D 、10 个 解析: 课件出示答案：C 小结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法。 举一反三： 1、已知△ ABC是直角三角形，且/ BAC=30，直线EF与厶ABC的两边AC AB分别交于点M N,那么/ CME乂BNF=( ) A、150° B 、180° 解析： 因为/ A=30°，所以/ NMA社MNA=180 -30 ° =150 所以/ CME社BNF=/ NMA# MNA=150 .故选A. 三角形的三边关系 例2边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是。 解析： 根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出其中一边长的范围，再求其正 整数解? 答案： 直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中，∠A=90o，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC= 2、在△ABC 中，∠B=90o，2 1 cos =C ，则∠C= 】 3、在△ABC 中，∠C=90o，∠A=60o，AC=34，则BC= 4、在△ABC 中，∠C=90o，BC=3，AB=32，则∠A= 5、在△ABC 中，∠C=90o，若tanA= 2 1 ，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90o，∠A=45o，则tanA+sinB= 7、如图1，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34， 那么AD= # 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α，那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角o?=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。（结果保留四位 有效数字） 11、在△ABC 中，∠C=90o，BC=5，AC=12，则tanA=（ ） A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中，∠C=90o，5 3 cos = A ，AC=6cm ，则BC=（ ）cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （ ） A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图，题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5 学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( ) A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 三角形单元测试 姓名：时间：90分钟满分：100分评分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．?在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．13 3．适合条件∠A=1 2 ∠B= 1 3 ∠C的△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（） A．30° B．75° C．105° D．30°或75° 5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（） A．5 B．6 C．7 D．8 6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 7．下列命题正确的是（） A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部 B．三角形中至少有一个内角不小于60° C．直角三角形仅有一条高 D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 8．能构成如图所示的基本图形是（） (A) (B) (C) (D) 9．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，│AC-BC│=2cm，则腰AC的长为（） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 10．如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（? ） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 三角形基础知识 说明：△ ABC中，角A , B, C的对边分别为a, b, c, p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a, h b, %分别为a, b, c边上的高S^ABC表示面积。 1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形,其中各条线段叫做三角形的边,每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）． 2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中,边和角叫做三角形的基本元素,其中角确定三角形的形状（定形） ,边确定三角形的大小（定量） ,三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公 共边（ASA ）或两角与其中一角的对边（AAS）,这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系． 4．三角形的“线”与“心” ： （1）高线、垂心． （2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理． （3）中垂线、外接圆、外心． （4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理． （5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理． （6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质． 5．三角形的分类： （1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6．等腰三角形的判定与性质、四线合一 7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心） 8．三角形元素之间的关系： （1）角与角的关系： ①内角和定理、 ②外角定理 ③角的性质：范围、关系. ④最大角、最小角. ⑤锐角三角形中任两角的和 （2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （“三胞胎” ）（3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等， 反之也真. ②正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的 直径. 14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征; （3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7 人教版初中数学三角形基础测试题含答案 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23 D ．12 【答案】D 【解析】 【分析】 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长． 【详解】 ∵AD 是△ABC 角平分线，CG ⊥AD 于F ， ∴△AGC 是等腰三角形， ∴AG=AC=3，GF=CF ， ∵AB=4，AC=3， ∴BG=1， ∵AE 是△ABC 中线， ∴BE=CE ， ∴EF 为△CBG 的中位线， ∴EF= 12BG=12 ， 故选：D ． 【点睛】 此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．如图，点O 是ABC ?的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=?，则MON ∠=（ ） A ．60? B ．70? C ．80? D ．100? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ???，AOB AON ???，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数. 【详解】 如图，连接OA ，OB ，OC ， ∵点O 是ABC ?的内心， ∴BCO MCO ∠=∠， ∵CM =CB ，OC =OC ， ∴()BOC MOC SAS ???， ∴CBO CMO ∠=∠， 同理可得：AOB AON ???， ∴ABO ANO ∠=∠， ∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?， ∴100CMO ANO ∠+∠=?， ∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键. 3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，两条对角线相交于点O ，若OB ＝6，则菱形面积是（ ） A ．60 B ．48 C ．24 D ．96 【答案】D 【解析】 【分析】 2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 （含答案） 1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝() A．35° B．70° C．110° D．140° 2．已知如图1中的两个三角形全等，则角α的度数是() 图1 A．72° B．60° C．58° D．50° 3．如图2，∠A，∠1，∠2的大小关系是() A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 图2 图3 4．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条() A．0根B．1根C．2根D．3根 5．下列命题中，真命题的是() A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 6．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是() A B C D 7．不一定在三角形内部的线段是() A．三角形的角平分线B．三角形的中线 C．三角形的高D．三角形的中位线 8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图3所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC的依据是() A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 图3 图4 9．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm. 10．如图5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE. 图5 11．如图6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF. 图6初中数学竞赛专题训练之例题及三角形边角不等关系
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