2020北京东城高一(上)期末试卷数学含答案
2019-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合{0}M =，{1N =-，0，1}，那么下列结论正确的是()A ．M =∅B ．M N∈C ．M N ÜD ．N MÜ2．（5分）下列函数为偶函数的是()A ．||y x =B ．y lnx=C ．x y e =D ．3y x =3．（5分）已知函数sin y x =在区间M 上单调递增，那么区间M 可以是()A ．(0,2)πB ．(0,)πC ．3(0,)2πD ．(0,2π4．（5分）命题”x A ∀∈，2x B ∈”的否定为()A ．x A ∃∈，2x B∉B ．x A ∃∉，2x B∈C ．x A ∀∈，2x B ∉D ．x A ∀∉，2x B∈5．（5分）若a b >，则下列不等式一定成立的是()A ．22a b>B ．22a b>C ．1122a b >D ．11a b<6．（5分）下列各式正确的是()A ．6sinsin 55ππ<B ．cos()cos36ππ-<C ．2tan()tan()55ππ-<-D ．22sincos 77ππ<7．（5分）“a ，b 为正实数”是“a b +>()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：/)m s 可以表示为31log 2100Ov =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2/m s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A ．8100B ．900C ．81D ．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数()1cos f x x =+，(3x π∈，2)π的图象与直线(y t t =为常数）的交点情况，下列说法正确的是()A ．当0t <或2t 时，有0个交点B ．当0t =或322t <时，有1个交点C ．当302t<时，有2个交点D ．当02t <<时，有2个交点10．（5分）已知函数||2()4x f x x a =++，下列命题正确的有()A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(,1)-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x 的解集为(-∞，1][1- ，)+∞三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数2()(1)f x ln x =-的定义域是．12．（5分）11sin6π的值为．13．（5分）函数()f x 的值域为(0,)+∞，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数()f x 可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数1,1,()2, 1.x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩则(2)f -=；若()1f t =，则实数t =．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月)之间的函数关系式是1(0t y a a -=>且1)a ≠，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则2132t t t >+．其中正确命题的序号有．（注:请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合2{|320}A x x x =++<，全集U R =．（1）求U A ð；（2）设{|1}B x m x m =-，若U B A ⊆ð，求m 的取值范围．18．（13分）已知函数1()2sin(),(0,)22f x x πϕϕ=+∈，(0)f =．（1）求()f x 的解析式和最小正周期；（2）求()f x 在区间[0，2]π上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α，(0)2πβαβπ<<<<的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为45,513．（1）求tan β的值；（2）求sin()cos()sin()cos()22αππβππαβ++--++的值．20．（16分）已知函数33()2x xf x --=．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）判断()f x 的单调性并说明理由；（3）若(1)(2)0f ax f x -+->对任意(a ∈-∞，2]恒成立，求x 的取值范围．21．（15分）对于集合A ，定义函数1,,()1,.A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩对于两个集合A ，B ，定义运算*{|()()1}A B A B x f x f x ==- ．（1）若{1A =，2，3}，{2B =，3，4，5}，写出A f （1）与B f （1）的值，并求出*A B ；（2）证明：*()()()A B A B f x f x f x = ；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即**A B B A =，(*)**(*)A B C A B C =．2019-2020学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合{0}M =，{1N =-，0，1}，那么下列结论正确的是()A ．M =∅B ．M N∈C ．M NÜD ．N MÜ【解答】解： 集合{0}M =，{1N =-，0，1}，M N ∴Ü．故选：C ．2．（5分）下列函数为偶函数的是()A ．||y x =B ．y lnx=C ．x y e =D ．3y x =【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，||y x =，是偶函数，符合题意；对于B ，y lnx =，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C ，x y e =，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D ，3y x =，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A ．3．（5分）已知函数sin y x =在区间M 上单调递增，那么区间M 可以是()A ．(0,2)πB ．(0,)πC ．3(0,)2πD ．(0,2π【解答】解：根据函数sin y x =的单调递增区间：[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，当0k =时，单调增区间为[,]22ππ-，由于(0,2π为[,]22ππ-的子区间，故选：D ．4．（5分）命题”x A ∀∈，2x B ∈”的否定为()A ．x A ∃∈，2x B∉B ．x A ∃∉，2x B∈C ．x A ∀∈，2x B ∉D ．x A ∀∉，2x B∈【解答】解：命题为全称命题，则命题”x A ∀∈，2x B ∈”的否定为x A ∃∈，2x B ∉，故选：A ．5．（5分）若a b >，则下列不等式一定成立的是()A ．22a b>B ．22a b>C ．1122a b>D ．11a b<【解答】解：由于a b >，且a 和b 的正负号不确定，所以选项ACD 都不正确．对于选项：B 由于函数2x y =为单调递增函数，且a b >，故正确故选：B ．6．（5分）下列各式正确的是()A ．6sinsin 55ππ<B ．cos()cos36ππ-<C ．2tan()tan()55ππ-<-D ．22sincos 77ππ<【解答】解：在A 中，6sin0sin sin 555πππ>>=-，故A 错误；在B 中，cos()cos cos 336πππ-=<，故B 正确；在C 中，22tan(tan tan()tan 5555ππππ-=->-=-，故C 错误；在D 中，223sin cos sin7714πππ>=，故D 错误．故选：B ．7．（5分）“a ，b 为正实数”是“a b +>()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ，b 为正实数，取1a =，1b =，则a b +=a ，b 为正实数”是“a b +>不充分条件；若a b +>，取1a =，0b =，则b 不是正实数，则“a b +>”是“a ，b 为正实数”的不必要条件；则“a ，b 为正实数”是“a b +>故选：D ．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：/)m s 可以表示为31log 2100Ov =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2/m s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A ．8100B ．900C ．81D ．9【解答】解：鲑鱼游速为2/m s 时的耗氧量为：令3122100o v log ==，即34100olog =，即4381100o==，即8100o =，鲑鱼静止时耗氧量为：令3102100o v log '==，即1100o '=，即100o '=，故鲑鱼游速为2/m s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为810081100=，故选：C ．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数()1cos f x x =+，(3x π∈，2)π的图象与直线(y t t =为常数）的交点情况，下列说法正确的是()A ．当0t <或2t 时，有0个交点B ．当0t =或322t <时，有1个交点C ．当302t<时，有2个交点D ．当02t <<时，有2个交点【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t 时，有0个交点，故正确．②对于选项B ：当0t =或322t <时，有1个交点，故正确．③对于选项C ：当32t =时，根据三角函数的图象与直线32y =只有一个交点，故错误．④对于选项D ：当322t <，根据函数的图象与直线3(2)2y t t =<只有一个交点，故错误．故选：AB ．10．（5分）已知函数||2()4x f x x a =++，下列命题正确的有()A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(,1)-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x 的解集为(-∞，1][1- ，)+∞【解答】解：函数||2()4x f x x a =++，①对于选项A ：由于x R ∈，且()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数．故选项A 正确．②对于选项B ：由于20x ，所以41x，故||241x x +所以当0x =时2a =-时，()0f x <，故选项B 错误．③对于选项C ：由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故()f x 在(,1)-∞-上单调递减，故选项C 正确．④对于选项D ：由于函数的图象关于y 轴对称，且在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故存在实数0a =时，当(x ∈-∞，1][1- ，)+∞时，不等式成立，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数2()(1)f x ln x =-的定义域是(1,1)-．【解答】解：令210x ->，解得11x -<<，即函数的定义域为(1,1)-．故答案为：(1,1)-．12．（5分）11sin6π的值为12-．【解答】解：111sin sin(2sin 6662ππππ=-=-=-．故答案为：12-13．（5分）函数()f x 的值域为(0,)+∞，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数()f x 可以为1()(2xf x =．（写出符合条件的一个函数即可）【解答】解： 函数1()()2x f x =的值域为(0,)+∞，且在定义域R 内单调递减，∴函数1()()2x f x =即是符合要求的一个函数，故答案为：1()()2x f x =．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．【解答】解：①设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B ．故答案为：A B ．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A C ．故答案为：A C ．15．（5分）已知函数1,1,()2, 1.x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩则(2)f -=14；若()1f t =，则实数t =．【解答】解：1,1,()2, 1.x x f x xx ⎧⎪=⎨⎪<⎩则21(2)24f --==，()1f t = ，①当1t 时，可得11t=，即1t =，②当1t <时，可得21t =，即0t =，综上可得0t =或1t =．故答案为：14；0或116．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月)之间的函数关系式是1(0t y a a -=>且1)a ≠，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则2132t t t >+．其中正确命题的序号有①②④．（注:请写出所有正确结论的序号）【解答】解：浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月)之间的函数关系式是1(0t y a a -=>且1)a ≠，函数的图象经过(2,2)所以212a -=，解得2a =．①当0x =时12y =，故选项A 正确．②当第8个月时，8172212860y -===>，故②正确．③当1t =时，1y =，增加0.5，当2t =时，2y =，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式11210t -=，解得12log 101t =+，同理22log 201t =+，32log 301t =+，所以22212222log 202log 4002log 3002t t t =+=+>+=+，所以则2132t t t >+．故④正确．故答案为：①②④．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合2{|320}A x x x =++<，全集U R =．（1）求U A ð；（2）设{|1}B x m x m =-，若U B A ⊆ð，求m 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，因为2{|320}{|21}A x x x x x =++<=-<<-．因为全集U R =，所以{|2U A x x =-ð或1}x -，（2）根据题意，{|2U A x x =-ð或1}x -，若U B A ⊆ð，当11m --或2m -，即0m 或2m -，所以m 的取值范围为(-∞，2][0- ，)+∞．18．（13分）已知函数1()2sin(),(0,)22f x x πϕϕ=+∈，(0)f =．（1）求()f x 的解析式和最小正周期；（2）求()f x 在区间[0，2]π上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为(0)f =，所以sin ϕ=．又因为(0,)2πϕ∈，所以3πϕ=．所以1()2sin()23f x x π=+．所以()f x 最的小正周期2412T ππ==．（2）因为[0x ∈，2]π，所以14[,]2333x πππ+∈．当1232x ππ+=，即3x π=时，()f x 有最大值2，当14233x ππ+=，即2x π=时，()f x有最小值19．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α，(0)2πβαβπ<<<<的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为45,513．（1）求tan β的值；（2）求sin()cos()sin()cos()22αππβππαβ++--++的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B ，B 点的纵坐标为513，所以5sin 13β=．因为2πβπ<<，所以12cos 13β=-．所以sin 5tan cos 12βββ==-．（2）因为α的终边与单位圆交于点A ，A 点的纵坐标为45，所以4sin 5α=．因为02πα<<，所以3cos 5α=，故412sin()cos()sin cos 451335cos sin 7sin()cos()22513αππβαβππαβαβ-+++---===--++-．20．（16分）已知函数33()2x x f x --=．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）判断()f x 的单调性并说明理由；（3）若(1)(2)0f ax f x -+->对任意(a ∈-∞，2]恒成立，求x 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 为奇函数．因为()f x 定义域为R ，33()2x xf x ---=，所以()()f x f x -=-．所以()f x 为奇函数；（2）33()2x xf x --=在(,)-∞+∞是增函数．因为3x y =在(,)-∞+∞是增函数，且3x y -=在(,)-∞+∞是减函数，所以33()2x xf x --=在(,)-∞+∞是增函数，（3）由（1）（2）知()f x 为奇函数且()(f x -∞，)+∞是增函数．又因为(1)(2)0f ax f x -+->，所以(1)(2)(2)f ax f x f x ->--=-．所以12ax x ->-对任意(a ∈-∞，2]恒成立．令g （a ）(1)xa x =+-，(a ∈-∞，2]．则只需0,(2)2(1)0.x g x x ⎧⎨=+->⎩，解得0,1.x x ⎧⎨>-⎩所以10x -<．所以x 的取值范围为(1-，0]．21．（15分）对于集合A ，定义函数1,,()1,.A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩对于两个集合A ，B ，定义运算*{|()()1}A B A B x f x f x ==- ．（1）若{1A =，2，3}，{2B =，3，4，5}，写出A f （1）与B f （1）的值，并求出*A B ；（2）证明：*()()()A B A B f x f x f x = ；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即**A B B A =，(*)**(*)A B C A B C =．【解答】解：（1）{1A = ，2，3}，{2B =，3，4，5}，A f ∴（1）1=-，B f （1）1=，*{1A B ∴=，4，5}；（2）①当x A ∈且x B ∈时，()()1A B f x f x ==-，所以*x A B ∉．所以*()1A B f x =，所以*()()()A B A B f x f x f x = ，②当x A ∈且x B ∉时，()1A f x =-，()1B f x =，所以*x A B ∈．所以*()1A B f x =-，所以*()()()A B A B f x f x f x = ，③当x A ∉且x B ∈时，()1A f x =，()1B f x =-．所以*x A B ∈．所以*()1A B f x =-．所以*()()()A B A B f x f x f x = ．④当x A ∉且x B ∉时，()()1A B f x f x ==．所以*x A B ∉．所以*()1A B f x =．所以*()()()A B A B f x f x f x = ．综上，*()()()A B A B f x f x f x = ；（3）因为*{|()()1}A B A B x f x f x ==- ，*{|()()1}{|()()1}B A A B B A x f x f x x f x f x ==-==- ，所以**A B B A =．因为*(*)*{|()()1}{|()()()1}A B C A B C A B C x f x f x x f x f x f x ==-==- ，**(*){|()()1}{|()()()1}A B C A B C A B C x f x f x x f x f x f x ==-==- ，所以(*)**(*)A B C A B C =．纯公益资料，欢迎用于学术研讨，禁止用于任何的商业模式。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设P={x|x<4}，Q={x|－2<x<2}，则A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆R QD. Q ⊆RP2. 下列函数在区间[0，π]上是减函数的是A. y=sin xB. y=cos xC. y=tan xD. y=23. 已知a=log3+log 3，b=21log9，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系是 A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a4. 已知α为第二象限角，sin α=53，则cos α= A. －43 B. －54 C. 54 D. 435. 要得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移21个单位D. 向右平移21个单位 6. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x －x ，则f （1）=A. －3B. －1C. 1D. 37. 函数f （x ）=xcosx 在区间[0，2π]上的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 函数y=a －a （a>0，a ≠1）的图象可能是9. 如图所示，单位圆中弧的长为x ，f （x ）表示孤与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x ）的图象是10. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）－f （－x ）=0，且对任意x ，x ∈[0，+∞）（x ≠x ），都有0)()(1212<--x x x f x f ，则A. f （3）<f （－2）<f （1）B. f （1）<f （－2）<f （3）C. f （－2）<f （1）<f （3）D. f （3）<f （1）<f （－2）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2020-2021学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷 答案和解析
【最新】北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}3,2{},2,1,0{==B A ，则集合B A ＝（ ） A ． }3,2,1{ B ． }3,2,1,0{ C ． }2{ D ． }3,1,0{ 2．若角α的终边经过点)2,1(-P ，则αtan 的值为（ ）A ．55 B ． 552- C ． 2- D ． 21- 3．正弦函数x x f sin )(=图象的一条对称轴是（ ） A ． 0=x B ． 4π=x C ． 2x π=D ． π=x4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ． x x f sin )(= B ． 1)(2+=x x f C ． x x f ln )(= D ． x x f cos )(= 5．函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．2003年至【最新】北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A ． c bx ax x f ++=2)( B ． b ae x f x+=)(C ． bax ex f +=)( D ． b x a x f +=ln )(7．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ ）A ． )(Z k k ∈+=+ππβαB ． )(2Z k k ∈+=+ππβαC ． )(2Z k k ∈+=+ππβα D ． )(22Z k k ∈+=+ππβα8．已知函数44)().,0[),1ln(),0,(,2)(22--=⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+=x x x g x x x x x x f ，若存在实数a ，使得0)()(=+x g a f ，则x 的取值范围为（ ）A ． ]5,1[-B ． ),5[]1,(+∞--∞C ． ),1[+∞-D ． ]5,(-∞二、填空题 9．函数的定义域是____________．10．sin80°cos20°－cos80°sin20°的值为___________． 11．已知函数，则的最大值为_________．12．若，则＝____________．13．已知函数的定义域和值域都是，则＝__________．14．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①；①；①；①．其中，“保序同构”的集合对的序号是_______（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．15．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.三、解答题16．已知集合}0|{},1,0{2=-==ax x x B A ，且A B A = ，求实数a 的值。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．5，则（）7．已知，，c=log3A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ） A ．55% B ．65% C ．75% D ．80%10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数y=f （x ）的定义域为{x|﹣2≤x ≤3，且x ≠2}，值域为{y|﹣1≤y ≤2，且y ≠0}，则y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．关于x 的方程（a ＞0，且a ≠1）解的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为 ．14．已知角α为第四象限角，且，则sin α= ；tan （π﹣α）= ．15．已知9a =3，lnx=a ，则x= ．16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．17．已知，且满足，则sin αcos α= ；sin α﹣cos α= ．18．已知函数若存在x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使f （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∈R|x2+2x=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}【考点】交集及其运算．【分析】由题意求出集合M，由交集的运算求出M∩N．【解答】解：由题意知，M={x∈R|x2+2x=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【考点】弧长公式．【分析】由已知利用弧长公式即可计算得解．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】要向量组可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底，这两个向量必不共线（平行），画出图形，利用图象分析向量之间是否共线后，可得答案．【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．已知函数f（x）=|x﹣1|，则与y=f（x）相等的函数是（）A．g（x）=x﹣1 B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【解答】解：对于A，函数g（x）=x﹣1（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（x）==|x﹣1|（x≠1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（x）==x﹣1（x≥1），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（x）==|x﹣1|（x∈R），与函数f（x）=|x﹣1|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解： =，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．已知函数，若g（x）=f（x）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由函数的奇偶性易得g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，解m的方程可得．【解答】解：∵函数，g（x）=f（x）﹣m为奇函数，∴g（﹣x）+g（x）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】由已知中的折扣办法，将2700代入计算实际付款额可得实际折扣率．【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数=cosx的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=cos（x+）的图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，则g（x）图象的一条对称轴的方程为x=，故选：D．11．若函数y=f（x）的定义域为{x|﹣2≤x≤3，且x≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．当x=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0，令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．函数的定义域为（﹣∞，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：函数，∴3﹣x≥0，解得x≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．已知角α为第四象限角，且，则sinα= ﹣；tan（π﹣α）= 2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sinα和tan（π﹣α）的值．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．已知9a=3，lnx=a，则x= ．【考点】对数的运算性质．【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴lnx==ln，∴x=故答案为：16．已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出两个向量的数量积，然后求出|﹣|的平方，再开方求值．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，直接由条件求得sinαcosα的值，可得α∈（π，），再根据sinα﹣cosα=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【考点】分段函数的应用．【分析】当x≥0时，2x﹣1≥0，故若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则当x＜0时，存在不小于0的函数值，进而得到答案．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知全集U=R，集合A={x∈R|2x﹣3≥0}，B={x|1＜x＜2}，C={x∈N|1≤x＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）根据交集的定义计算即可，（Ⅱ）根据集合的元素特征，即可求出，（Ⅲ）根据交集的定义即可求出【解答】解：（Ⅰ）集合A={x∈R|2x﹣3≥0}=[，+∞），B={x|1＜x＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={x∈N|1≤x＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={x∈N|1≤x＜a}=[1，a），A∩C=∅，∴1≤a≤220．已知函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）的图象，若h （x）的最小正周期为π，求ω的值和h（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据f（）=g（），求得φ的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到h（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得h（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（x）=cos（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到h（x）=sin（ωx）﹣的图象，若h（x）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（x）=sin（2x）﹣．令2kπ﹣≤2x≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得h（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．21．已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=kx2+2x为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，即可求实数k的值；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，分类讨论，求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx2+2x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0；（Ⅱ）g（x）=a2x﹣1，0＜a＜1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递减，x=2时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（x）在[﹣1，2]上单调递增，x=﹣1时g（x）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）由新定义，讨论2x﹣1＞x，2x﹣1=x，2x﹣1＜x，解不等式即可得到所求函数F （2x﹣1）；（Ⅱ）讨论x＞1，x=1，x＜1，由F（2x﹣1），求得F（|x﹣a|），运用恒成立思想，即可得到a的值；（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化简h（x），分别求得值域，即可得到所求h（x）在时的值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；可得F（2x﹣1）=；（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，即有x=；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，则h（x）的零点个数为2；当x+sinx＞x，即≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1，]；当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；当x+sinx＜x，即π＜x≤时，h（x）=﹣cosx∈[，1）．综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．。
北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)
北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市东城区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市东城区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}0M ＝，1,{}0,1N ＝﹣，那么下列结论正确的是（ ） A ．M =∅ B ．M N ∈ C ． M N D ．N ⫋M【答案】C【解析】利用集合与集合的关系直接求解． 【详解】∵集合{}0M ＝,1,{}0,1N ＝﹣, ∴M N ． 故选：C 【点睛】本题考查集合的关系的判断,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题． 2．下列函数为偶函数的是（ ） A ．y x = B ．y lnx = C ．x y e = D ．3y x =【答案】A【解析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案． 【详解】解：根据题意,依次分析选项： 对于A ,y x =,是偶函数,符合题意；对于B ,y lnx =,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；对于C ,xy e =,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；对于D ,3y x =,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题． 3．已知函数y sinx =在区间M 上单调递增，那么区间M 可以是（ ） A ．()0,2pB ．()0,πC ．30,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】结合正弦函数的单调性即可得出区间M . 【详解】解：由正弦函数的性质得 函数y sinx =的单调增区间为：|2222x k x k ppp p 禳镲-+＃+睚镲铪, 所以区间M 可以是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭. 故选： D 【点睛】本题考查正弦函数的单调性,是基础题. 4．命题“x A ∀∈,2x B ∈”的否定为（ ）A ．x A ∃∈,2xB ∉ B ．x A ∃∉,2x B ∈C ．x A ∀∈,2x B ∉D ．x A ∀∉,2x B ∈【答案】A【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】解：命题为全称命题,则命题“x A ∀∈,2x B ∈”的否定为： “x A ∃∈,2x B ∉”, 故选：A 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础． 5．若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．22a b >C ．1122a b >D ．11a b< 【答案】B【解析】直接利用不等式性质的应用和函数的单调性的应用求出结果． 【详解】解：由于a b >,且a 和b 的正负号不确定,所以选项ACD 都不正确．对于选项B ，由于函数2xy =为单调递增函数,且a b >,故正确故选：B函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．6．下列各式正确的是（ ）A ． 6sin sin 55ππ<B ．cos cos 36ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭C ．2tan tan 55ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22sincos77ππ< 【答案】B【解析】利用诱导公式、三角函数单调性求解. 【详解】 解：选项A ：6sin sin55ππ<, 因为6sinsin 55=-ππ,又因为sin 05π>, 所以6sin sin sin555>-=πππ,故A 错误； 选项B ：cos cos 36ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭, 因为cos cos 33⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,cos y x =在()0,π单调递减, 又因为36ππ>,cos cos 36⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ, 所以cos cos 36ππ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立,故B 正确； 选项C.：2tan tan 55ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,所以2tan tan 55⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ, 故2tan tan 55⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,故C 错误； 选项D ：22sincos 77ππ<, 因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,且sincos44=ππ,2sinsin 74ππ>,2cos cos 74<ππ, 故22sincos 77>ππ,故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查诱导公式在三角函数化简中的应用,考查利用三角函数单调性比较三角函数值的大小，属于中档题.7．“a ，b 为正实数”是“a b +>的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】可以取特殊值讨论充分与必要性都不成立． 【详解】解：a ,b 为正实数,取1a =,1b =,则a b +=则“a ,b 为正实数” 不是“a b +>的充分条件；若a b +>取1a =,0b =,则b 不是正实数,则“a b +>不是 “a ,b 为正实数''的必要条件；则“a ,b 为正实数”是“a b +>的既不充分也不必要条件, 故选：D ． 【点睛】本题考查命题充分条件与必要条件的定义,以及不等式的性质,属于基础题．8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为v ＝31log 2100O，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ） A ．8100 B ．900C ．81D ．9【答案】C【解析】利用鲑鱼游速为2m /s 时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可. 【详解】解：当鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量：1312log 2100O =,解得18100O =；当鲑鱼游静止时的耗氧量：2310log 2100O =,解得2100O =；所以12810081100O O ==. 故选：C 【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.二、多选题9．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ） A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点 B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB【解析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果． 【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确． ②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误． 故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．10．已知函数()||24x f x x a ++=，下列命题正确的有（ ）A ．对于任意实数a ，()f x 为偶函数B ．对于任意实数a ，()0f x >C ．存在实数a ，()f x 在(),1-∞-上单调递减D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞【答案】ACD【解析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果． 【详解】解：函数()||24x f x x a ++=,①对于选项A ：由于x ∈R ,且()()f x f x -＝,故函数()f x 为偶函数．故选项A 正确． ②对于选项B ：当0x =时2a =-时,()0f x <,故选项B 错误．③对于选项C ：由于函数()f x 的图象关于y 轴对称,在0x >时,函数为单调递增函数,在0x <时,函数为单调递减函数,故()f x 在(),1-∞-上单调递减,故选项C 正确．④对于选项D ：由于函数的图象关于y 轴对称,且在0x >时,函数为单调递增函数,在0x <时,函数为单调递减函数,故存在实数0a =时, 使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞,故选项D 正确． 故选：ACD. 【点睛】函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于综合题型．三、填空题11．函数()()21f x ln x -=的定义域是_____． 【答案】()11﹣, 【解析】根据对数的真数大于0,解不等式210x ->即可． 【详解】解：令210x ->,解得11x -<<,即函数的定义域为()11﹣,． 故答案为：()11﹣, 【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题． 12．sin611π等于_____. 【答案】12-【解析】直接运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦值求接求出即可. 【详解】 1sinsin(2)sin 6662π11πππ=-=-=-. 故答案为：12- 【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了特殊角的正弦值，属于基础题. 13．函数()f x 的值域为()0,+?，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数()f x 可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）【答案】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】由函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+?,且在定义域R 内单调递减,即是符合要求的一个函数． 【详解】解：∵函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+?,且在定义域R 内单调递减,∴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即是符合要求的一个函数, 故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．14．在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校}，{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校}，{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____． 【答案】AB AC U【解析】①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解． 【详解】解：①设{|A x x =是参与国庆中心区合唱的学校},{|B x x =是参与27方阵群众游行的学校},{|C x x =是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A B ．故答案为：AB ．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A C U ． 故答案为：A C U ． 【点睛】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．15．已知函数()1,12,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则()2f -=_____；若()1f t =，则实数t =_____．【答案】140或1 【解析】结合已知函数解析式,把2x =-代入即可求解()2f -,结合已知函数解析式及()1f t =,对t 进行分类讨论分别求解．【详解】()1,12,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则()22112224f --===； ()1f t =,①当1t ≥ 时,可得11t=,即1t =, ②当1t <时,可得21t =,即0t =, 综上可得0t =或1t =． 故答案为：14；0或1 【点睛】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题． 16．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月）之间的函数关系式是1(0t y a a =>﹣且1)a ≠，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为123t t t ，，，则2132t t t >+．其中正确命题的序号有_____．（注：请写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【解析】直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：浮草蔓延后的面积y （平方米）与时间t （月）之间的函数关系式是1(0t y a a =>﹣且1)a ≠,函数的图象经过()2,2所以212a =﹣,解得2a =． ①当0x =时12y =,故选项A 正确． ②当第8个月时,8172212860y ===>﹣,故②正确． ③当1t =时,1y =,增加0.5,当2t =时,2y =,增加1,故每月的增加不相等,故③错误． ④根据函数的解析式11210t -=,解得12101t log +=, 同理22201t log +=,32301t log +=,所以2221222220240023002t log log t t log =+=+=+>+, 所以则2132t t t >+．故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．四、解答题17．已知集合2{|320}A x x x +=+<，全集U =R ． （1）求U A ð ；（2）设{|}1B x m x m =-＃，若U B A ⊆ð，求m 的取值范围． 【答案】（1）{|2x x ≤-或}1x ?；（2）(][)20,ト+?-，-．【解析】（1）根据题意,求出集合A ,进而由补集的性质分析可得答案； （2）根据题意,结合集合间的关系分析可得答案． 【详解】解：（1）根据题意,因为232021{|}{|}A x x x x x +=-=+＜＜＜-． 因为全集U =R ,所以{|2U A x x =-≤ð或}1x ?, （2）根据题意,{|2U A x x =-≤ð或}1x ?, 若U B A ⊆ð,当11m -?或2m ≤-,即0m ≥或2m ≤-, 所以m 的取值范围为(][)20,ト+?-，-．【点睛】本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题． 18．已知函数，()12sin ,0,22f x x πφφ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0f ． （1）求()f x 的解析式和最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值．【答案】（1）()12sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，4T π=；（2）最大值2，最小值【解析】（1）先将()0f 代入()12sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭φ,结合0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πφ求出函数解析式,再用2T πω=公式求出最小正周期.（2）根据[]0,2x π∈,求出123x π+的范围,再求出12sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的范围,即可得出()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值.【详解】解：（1）因为()12sin ,0,22f x x πφφ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0f =所以()102sin 02f ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭φ,所以sin φ=又因为0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πφ,所以3πφ=,故()f x 的解析式为()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期为2412T ππ==. （2）因为[]0,2x π∈,所以143233x p p p ??,所以1sin 1223x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π,则12sin 223x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭π,故()f x 在区间[]0,2π上的最大值2,最小值.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,三角函数的性质,注重对基础知识的考查. 19．在平面直角坐标系xOy 中，角α，β02παβπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 的非负半轴，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的纵坐标分别为45,513（1）求tan β的值；（2）求()()sin cos sin cos 22αβπβππαβ++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． 【答案】（1）512-；（2）2714 【解析】（1）利用三角函数的定义求出sin β和cos β,即可求出tan β的值.（2）分别求出sin α、cos α、sin β、cos β,再根据三角函数诱导公式、和差公式,即可求()()sin cos sin cos 22αβπβππαβ++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【详解】解：（1）因为在平面直角坐标系xOy 中,角α,β02παβπ⎛⎫<<<<⎪⎝⎭的顶点与坐标原点O 重合,终边分别与单位圆交于,A B 两点,,A B 两点的纵坐标分别为45,513. 所以4sin 5α=,3cos 5α=,5sin 13β=,12cos 13b =-,所以5sin 51312cos 1213tan βββ===--. （2）由题知4sin 5α=,3cos 5α=,5sin 13β=,12cos 13b =-, 所以()sin sin cos cos sin a b a b a b +=+ 41235481533513513656565骣琪=?+?-+=-琪桫,所以()()sin cos sin cos 22αβπβππαβ++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos sin αββαβ+-=-33123360272765136565653539251414513656565-+-+====--【点睛】本题考查三角函数的定义,诱导公式与和差公式,属于基础题.20．已知函数()332x x f x --=（1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）判断()f x 的单调性并说明理由；（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立,求x 的取值范围． 【答案】（1）奇函数,证明见解析；（2）增函数,理由见解析；（3）(]1,0- 【解析】（1）求出()f x 的定义域,再计算()f x -与()f x 比较,即可判断奇偶性； （2）对函数求导，判断导函数大于0，即可的()f x 的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性和将()()120f ax f x -+->转化为1ax x >-，再分情况讨论即可得出x 的取值范围． 【详解】解（1）判断：()f x 是奇函数.证明：因为()332x xf x --=,定义域为R , ()()333322x x x xf x f x ----=-=--=所以()f x 是奇函数；（2）判断：()f x 在R 上是增函数.证明：因为()()332x xx R f x -=-∈所以()()()'''23323322xx x x f x ---⨯--=⨯113ln 32334xx ln ⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13ln 332304xx ln ⎡⎤⎛⎫+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>=所以()f x 在R 上是增函数.（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立,求x 的取值范围． 因为()()120f ax f x -+->所以()()12f ax f x ->--, 由（1）知()f x 是奇函数,则()()12f ax f x ->- 又由（2）知()f x 在R 上是增函数,则12ax x ->-1ax x >-,对任意(],2a ∈-∞恒成立,①当0x = 时,01>-,符合题意； ②当0x > 时,111x a x x->=-, 因为(],2a ∈-∞，无最小值,所以不合题意； ③当0x < 时,111x a x x-<=-, 则112x->,解得1x -<,所以10x -<<，符合题意； 综上所述：(]1,0x ∈-.故若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，x 的取值范围为(]1,0-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明,以及利用函数的奇偶性、单调性解不等式,是基础题.21．对于集合A ，定义函数()1,1,A x Af x x A∉⎧⎨-∈⎩=对于两个集合A ，B ，定义运算()(){|}1A B A B x f x f x *=?-．（1）若{1,2,3}A =，2345{}B =，，，，写出()1A f 与()1B f 的值，并求出*A B ； （2）证明：()()()*A B A B f x f x f x ×=；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即**A B B A =，()()****A B C A B C =． 【答案】（1）()11A f =-，()11B f =，*15{}4A B =，，；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）由新定义的元素即可求出()1A f 与()1B f 的值,再分情况求出*A B ； （2）对x 是否属于集合A ,B 分情况讨论,即可证明出()()()*A B A B f x f x f x ×=； （3）利用（2）的结论即可证明出运算具有交换律和结合律． 【详解】 解：（1）3}2{1A =，，,2345{}B =，，，,()11A f \=-,()11B f =,*145{}A B \=，，；（2）①当x A ∈且x B ∈时,()()1A B f x f x ==-, 所以*x A B Ï ．所以()*1A B f x =, 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝,②当x A ∈且x B ∉时,()1A f x =-,()1B f x =, 所以*x A B Î．所以()*1A B f x =-, 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝,③当x A ∉且x B ∈时,()1A f x =,()1B f x =-． 所以*x A B Î．所以()*1A B f x =-． 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝． 综上,()()()*A B A B f x f x f x ×＝；④当x A ∉且x B ∉时,()()1A B f x f x == ． 所以*x A B Ï．所以()*1A B f x =． 所以()()()*A B A B f x f x f x ×＝． （3）因为()(){*|}1A B A B x f x f x =?-,()()()()*1{|}{|}1B A A B B A x f x f x x f x f x ×==?-=- ,所以**A B B A =．因为()()()()()()***11{|}{|}A B C A B C A B C x f x f x x f x f x f x ==?-鬃=-,()()()()()()***11{|}{|}A B C A B C A B C x f x f x x f x f x f x ==?-鬃=- ,所以()()****A B C A B C =． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题．。
2020年北京市东城区实验中学高一数学上学期期末试题
数学试卷一、选择题1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B I =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2.函数()lg 11x y x +=-的定义域是（ ） A ．()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．()()1,11,-+∞UD ．[)()1,11,-+∞U 3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0+∞，上是增函数的是( ) A ．1y x = B ．2y x = C ．2y x = D. 2x y =4.已知20.30.320.3,log 2a b c ===,则,,a b c 之间的大小关系是( )A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.b a c << 5.函数()f x x α=的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A. 13 B ．3 C ．9 D.816.函数()221log f x x x =-+的零点所在的一个区间是（ ） A. 11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ()1,27.若直线经过(1,0)A B 、两点,则直线AB 的倾斜角是（ ）A.135︒B.120︒C.60︒D.45︒8.过点()2,3-且斜率为2的直线方程为（ ）A. 270x y -+=B. 270x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=9.以(1,2)- ）A ．22240x y x y +-+=B ．22240x y x y +++=C ．22240x y x y ++-=D ．22240x y x y +--= 10.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是( )A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 30x y +-=D. 30x y -+= 11.圆2260x y x +-=和圆228120x y y +++=的位置关系是（ ）A.相离B.外切C.相交D.内切12.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于（ ）A.1或-3B.-1或-3C.1或3D.-1或3 13.设全集{|U x x =是小于9的正整数},{}1,2,3A =,则U C A 等于( )A. {}4,5,6,7,8B. {}0,4,5,6,7,8C. {}4,5,6,7,8,9D. {}3,5,6,7,8,914.函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是( ) A. πB. 2πC.2π D. 4π 15.已知函数()f x 是奇函数,它的定义域为{}|121x x a -<<-,则a 的值为( )A. 1-B. 0C.12D. 1 16.在同一平面直角坐标系内, 2xy =与()2log y x =-的图象可能是( ) A.B.C.D.17.函数()32f x x x =+的零点的个数是A.0B.1C.2D.318.如图所示,角α的终边与单位圆交于点P ,已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,则tan 2α= ( ) A.2425B. 2425- C. 247D. 247- 19.函数[]cos ,,2y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭是( ) A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数20.把sin sin 44x x x ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为( ) A.2xB.2xC. 2x -D. 2x -21.函数113sin ,0,66y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是( ) A. 11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 22.若()()23sin 3sin 3cos ,,x x x ϕϕππ+=-∈-,则ϕ等于( )A. 3π-B. 3πC.56π D. 56π- 23.已知220.2log 0.3,log 3,log 0.3a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( )A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D. c b a >>24.已知()()2,f x f x x R =-∈,当()1,x ∈+∞时, ()f x 为增函数,设()()()1,2,1a f b f c f ===-,则,,a b c 的大小关系是( )A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D. c b a >>25.渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼会很快地失去新鲜度(以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度。
2019-2020年北京市东城区高一上册期末数学试卷(有答案)
北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）A．g（）=﹣1 B．C． D．7．（3分）已知，，c=log 35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=；tan（π﹣α）=．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则=．16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=．18．（4分）已知函数若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．22．（10分）已知函数f（），定义（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（）=cos•F（+sin）的零点个数和值域．北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．∅D．{﹣2，0，2}【解答】解：由题意知，M={∈R|2+2=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+=0，解得=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）A．g（）=﹣1 B．C． D．【解答】解：对于A，函数g（）=﹣1（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（）==|﹣1|（≠1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（）==﹣1（≥1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（）==|﹣1|（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．（3分）已知，，c=log 35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：=，1＜=log 34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵函数，g（）=f（）﹣m为奇函数，∴g（﹣）+g（）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=cos的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）=cos（+）的图象，令+=π，求得=π﹣，∈，则g（）图象的一条对称轴的方程为=，故选：D．11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A．当=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a=﹣2+2+a，﹣2+2+a＞0．令f（）=a，g（）=﹣2+2+a，（1）当a＞1时，f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（）＜g（），∵g（）在＜0及＞1时分别有一个零点，而f（）恒大于零，∴f（）与g（）的图象在＜0及＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（）与g（）有一个交点，又g（）在＞1时有一个零点，而f（）恒大于零，∴f（）与g（）的图象在＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为（﹣∞，3] ．【解答】解：函数，∴3﹣≥0，解得≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=﹣；tan（π﹣α=2．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则=．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴ln==ln，∴=故答案为：16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|=．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=﹣．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且si nα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．（4分）已知函数若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当≥0时，2﹣1≥0，当＜0时，若a=0，则f（）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A={∈R|2﹣3≥0}=[，+∞），B={|1＜＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={∈N|1≤＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={∈N|1≤＜a}=[1，a），A∩C=∅，当C=∅时，即a＜1时满足，当C≠∅，可得1≤a≤2，综上所述a的范围为（﹣∞，2]20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）=sin （ω）﹣的图象，若h（）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（）=sin（2）﹣．令2π﹣≤2≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得h（）的增区间为[π﹣，π+]，∈．21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）=2+2为奇函数，∴f（﹣）=﹣f（），即2﹣2=﹣2﹣2，∴=0；（Ⅱ）g（）=a2﹣1，0＜a＜1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递减，=2时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递增，=﹣1时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．（10分）已知函数f（），定义（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（）=cos•F（+sin）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2﹣1＞，可得＞1，则F（2﹣1）=1；当2﹣1=，可得=1，则F（2﹣1）=0；当2﹣1＜，可得＜1，则F（2﹣1）=﹣1；可得F（2﹣1）=；（Ⅱ）当＞1时，F（2﹣1）=1，F（|﹣a|）=﹣1，即有|﹣a|＜恒成立，即为a2≤2a在＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当=1时，F（2﹣1）=0，F（|﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当＜1时，F（2﹣1）=﹣1，F（|﹣a|）=1，即有|﹣a|＞恒成立，即为a2≥2a在＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（）=cos•F（+sin）=0，可得cos=0或F（+sin）=0，即有=；+sin=，即sin=0，解得=π，则h（）的零点个数为2；当+sin＞，即≤＜π时，h（）=cos∈（﹣1，]；当+sin=，即=π时，h（）=0；当+sin＜，即π＜≤时，h（）=﹣cos∈[，1）．综上可得，h（）的值域为（﹣1，1）．。
北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末教学统一检测 数学试题Word版解析
北京市东城区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试题第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中.1.符号“U A ð”可表示为 A ．}{x x U x A∈∈且B ．}{x x U x A∈∉且C ．}{x x U∈ D ．}{x x A ∉2.sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于 A ．12B ．3 C．2 D．23.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 4.已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是A.15B.13C.35D. 15.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是A ．b c a << B.c b a << C.b a c << D.a c b << 6.函数2ln y x =的图象可能是7.函数()e 2xf x x =+-的零点所在的区间是A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将x y 2sin =的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度9.汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10.设函数31(),0,()2,0.xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 若)(a f >1，则a 的取值范围是A ．(－1,1)B ．),1(+∞-C ． (,2)(0,)-∞-+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中横线上.11.已知集合{1,1,2,4},{1,0,2}A B =-=-,则A B =___________．12.若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ． 13.求值：12311(2)log 427--= ．14.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，则(1)=f - ．15.设当x q =时，函数()sin f x x x =-取得最大值，则cos θ= .16．给定k +∈N ，设函数:f ++→N N 满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-． （1）设1k =，则(2014)=f ；（2）设3k =，且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知：函数()lg(39)xf x =-的定义域为A ，集合}{20,B x x a a R =-<∈.（Ⅰ）求集合A ； （Ⅱ）求A B I .18．（本题满分10分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递增区间．19．（本题满分10分） 已知函数()1xf x x =-. （Ⅰ）求(1)(1)f x f x ++-的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1,)+∞上是减函数.已知函数()2sin(2+)+13f x x π=.（I ）当43x π=时，求()f x 值； （II ）若存在区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)，使得()y f x =在[,]a b 上至少含有6个零 点，在满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.21.（本题满分8分）已知函数()f x 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保 值区间.（I ）求函数()2f x x =形如[)(),n n R +∞∈的保值区间；（II ）函数()()110g x x x=->是否存在形如[](),a b a b <的保值区间？若存在，求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由.北京市东城区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试题参考答案第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中.1.符号“U A ð”可表示为 A ．}{x x U x A∈∈且B ．}{x x U x A∈∉且C ．}{x x U∈ D ．}{x x A ∉2.sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于A ．12B ． 3C ．2D ．23.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x =4.已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是A.15B.13C.35D. 15.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是A ．b c a << B.c b a << C.b a c << D.a c b <<6.函数2ln y x =的图象可能是7.函数()e 2xf x x =+-的零点所在的区间是A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将x y 2sin =的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度【解析】9.汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10.设函数31(),0,()2,0.xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 若)(a f >1，则a 的取值范围是A ．(－1,1)B ．),1(+∞-C ． (,2)(0,)-∞-+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中横线上.11.已知集合{1,1,2,4},{1,0,2}A B =-=-,则AB =___________．12.若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ．13.求值：12311(2)log 427--= ．14.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，则(1)=f - ．15.设当x q =时，函数()sin f x x x =-取得最大值，则cos θ= .16．给定k +∈N ，设函数:f ++→N N 满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-． （1）设1k =，则(2014)=f ；（2）设3k =，且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分9分）已知：函数()lg(39)x f x =-的定义域为A ，集合}{20,B x x a a R=-<∈.（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）求A B I .18．（本题满分10分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递增区间．19．（本题满分10分） 已知函数()1x f x x =-. （Ⅰ）求(1)(1)f x f x ++-的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1,)+∞上是减函数.20．（本题满分9分） 已知函数()2sin(2+)+13f x x π=. （I ）当43x π=时，求()f x 值； （II ）若存在区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)，使得()y f x =在[,]a b 上至少含有6个零 点，在满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.21.（本题满分8分）已知函数()f x 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保 值区间.（I ）求函数()2f x x =形如[)(),n n R +∞∈的保值区间； （II ）函数()()110g x x x=->是否存在形如[](),a b a b <的保值区间？若存在，求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由.。
北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学试题 (含答案解析)
北京市东城区2020届第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A. {}|12x x -<< B. {}|11x x -≤< C. {}|12x x ≤< D. {}|11x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)-- ，在第三象限. 故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）A. 1y x=B. ln ||y x =C. 2xy = D. 1||y x =-【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数， 当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意； 对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αB. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C. 若//n α，m n ⊥，则m α⊥D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确； 对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A. 7 B. 9C. 10D. 13【答案】C 【解析】 【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B. 若2παβ+<，则cos cos αβ+<C. 若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D. 若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】 【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos 2αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，561162sin sin 212ππ-+=+<， 所以sin sin 1αβ+>不正确； 对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，13cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =32； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②③ C. ①② D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的； 由124O O =，可得12O O =，又由球的半径为3，即3R =， 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】 (1). 12 (2). 454【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去）， 又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <+所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4 【解析】 【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________． 【答案】2或10 【解析】 【分析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()2x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号） ①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空） 【答案】 (1). ② (2). > 【解析】 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-， 又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-， 当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=. （1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π∠=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A BC ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C = 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得2sin 1sin 2b C B c ===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，P D，即可得到结论.得到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2， 记事件A“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN u u u u r 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=u u u u r r，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥， 又1111A B B C B =I ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =-u u u r ，()10,2,2A B =--u u u r. 所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . 故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =r，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---u u u u r因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=u u u u r r，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【解析】 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-， 又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++u u u u r u u u u r()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-u u u u r u u u u r . 依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>u u u u r u u u u r ，即211271081k F M F N k -⋅=>-u u u u r u u u u r . 解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „.（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b L L ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++L L ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ， 由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈. 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++L L L 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有： (21)(21)(21)h k k k =++++++L()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++L L ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。