信号与系统第二次讨论课
《信号与系统 》课件第2章
ε(at)=ε(t)
(2.1-21)
由单位阶跃函数的定义即可理解式(2.1-21)是成立的。因
a＞0，当t＞0时ε(at)＝1，当t＜0 时ε(at)＝0，当t＝0时
ε(at)＝1/2，这样所画出的ε(at)之图形正是ε(t)。
可以证明：若a为不等于零的实常数，则有
(2.1-22) 单位冲激函数定义的特殊性，决定了冲激函数相乘运算无 定义，即是说δ(t)×δ(t)无定义。
(2.1-13) 这样的猜想尽管欠严密，但可以理解。下面就此性质作如下 推导：考虑积分
式中，f(t)在t=0处连续。将上式中的－t换为τ，t换为－τ，dt 换为－dτ，使积分的上、下限亦随之作相应的变化，这样就 有
(2.1-14)
比较式(2.1-11)与式(2.1-14)，得 从而有
3. 单位冲激函数的导数 单位冲激函数的一阶导dδ(t)/dt常用δ′(t)表示，称它为单 位冲激偶，简称冲激偶，其定义为
式(2.1-10)表明，一个连续有界函数f(t)与位于t=0处单位冲激 函数δ(t)相乘，其乘积结果函数为位于t=0、强度为f(0)的冲激 函数。可这样理解式(2.1-10)：由于δ(t)在除t=0之外处处 为零，而f(t)处处有界，所以乘积为0；当t=0时f(t)的函数值为 f(0)，所以f(t)与δ(t)相乘得到式(2.1-10)所表述的结果。上述分 析过程可用图2.1-7作直观简明表示。
(2.1-17)
证明：先设a＞0。对式(2.1-17)左端积分，有
再设a＜0。对式(2.1-17)左端积分，有
(2.1-18)
(2.1-19)
对式(2.1-17)右端积分，有 (2.1-20)
比较式(2.1-18)、式(2.1-19)、式(2.1-20)，可知式(2.1-17)成立。
信号与系统讨论课讲稿广义傅里叶级数课件
定义：
一个满足一定条件的函数 f(t),可以展开成完备的正
交函数系
的级数:
f(t)=
如同傅里叶级数一样,我们称这种展开为广义傅里叶 级数。
注意：这里的
可以是任意正交函数系。
在最小均方误差下，f(t)为最佳代表！
证明：假定另有有限项级数 f(t)的均方误差Q为：
则其与
显然,当b(n)=a(n)时，上式右端第三项为0 ，Q最小！ 所以结论正确！
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广义傅里叶级数
无01 周海川姜博 魏翔宇裴楠
无03 秦仕明
问题的提出
• 傅里叶级数展开为什么要展开成正弦函数 • 傅里叶变换为什么要变换为角频率的函数 • 是否正弦信号是一切信号的组成元素 • 时域变为频域是否是唯一变换途径 • 我们联想到大一学过的微积分与线性代数里
• 傅里叶级数的一些拓展，便做了一些研究。
正交函数系是否完备的充要条件：
是完备
上式称为完备定理,或Parseval定理。
北理信号与系统第2讲_第一章
§1.5 基本连续时间信号一.复指数信号连续时间复指数信号的形式为()at x t Ce式中C 和a 一般为复数１、实指数信号x(t)ta>0a<0a=0C 0１）a <0因为a 在指数上，它小于０，说明x (t )随t 指数衰减２）a >0x (t )随时间t 而指数增加３）a =0此时x (t )==C 为一直流信号0Ce ２、虚指数信号tj e t x 0)(ω=这时01,C a j ω==这种信号具有如下特点0T １）它是周期为的周期信号002ωπ=T这是因为tj T j t j T t j e e e e 000000)(ωωωω=⋅=+2）它是复信号tj t e t x t j 00sin cos )(0ωωω+==有实部，也有虚部3）它的实部和虚部都是实数信号，而且具有相同基波周期{}t e t j 0cos Re 0ωω={}te t j 0sin Im 0ωω=3、复指数信号()atx t Ce =这时，C 和a 都是复数j C C e θ=0ωj r a +=00()cos()sin()rt rt x t C e t j C e t ωθωθ=+++r 代表振荡的包络r >0幅度增加r <0幅度减小0ω代表振荡的角频率{}0()0cos()Re j t A t A e ωθωθ++={}0()0sin()Im j t A t A e ωθωθ++=这是我们经常用到的正弦信号二、单位阶跃和单位冲激信号1、单位阶跃信号（单位阶跃函数）（1）定义式u (t )=0 t <01 t >010t u (t )t 0t 10此函数在t =0处不连续，它从0跳变到1，此点未定义，或定义为212)0()0()0(=+=+-u u u =-)(0t t u 延时阶跃函数：延时的单位阶跃函数定义为0t 1 t >0 t <0t tAu (t )表示信号A 在t =0处接入系统A 表示信号A 在时刻接入系统)(0t t u -0t t =例：tu (t -2)tu (t -2)2t（2）u (t )函数的作用1）通常把u (t )表示为信号作用的起始时间，how ？2）常用延迟阶跃函数u (t-t 0)的加权和来表示一些阶梯信号20468246x (t )t x (t )=4u (t -2)+2u (t -6)-6u (t -8)升做加（升几加几）Other examples: 矩形脉冲(p.14图1-21)等。
信号与系统第二次实验报告
信号与系统第二次实验报告一、实验目的1、理解掌握LTI系统线性性和时不变性；2、熟悉掌握常用的用于系统时域仿真分析的MATLAB函数；3、牢固掌握系统的单位冲激响应的概念，掌握LTI系统的卷积表达式及其物理意义，掌握卷积的计算方法、卷积的性质；4、掌握利用MATLAB计算卷积编程方法，并利用所编写的MATLAB程序卷积的基本性质。
二、实验仪器信号与系统实验箱一台、双踪示波器一台、计算机一台三、预习要求（一）思考出要验证线性时不变系统基本特征所需要的方法步骤：（二）仿真前先把两信号卷积结果计算一下，画出波形。
四、实验原理及内容（一）线性时不变系统线性性：齐次性和叠加性同时满足1、验证线性性系统在输入信号x1（t）、x2（t）作用时的响应信号分别为y1（t）、y2（t），给定两个常数a，b，当输入型号为x（t）时系统响应信号是y（t），且满足：叠加性：x（t）=x1（t）+x2（t）y（t）=y1（t）+y2（t）齐次性：x（t）=ax1（t）y（t）=ay1（t）如上基本电路，分析过程为：2、验证时不变性输入型号为x（t）时系统响应信号是y（t），对一给定长数t0，当输入信号时x （t-t0）时，系统响应信号为y（t-t0）仍为上图，分析过程为：二、卷积的计算定义在不同时间段的两个矩形脉冲信号并完成卷积运算，分别绘制这两个信号及其卷积的结果图形，图形按照2x2分割成四个字图。
注意观察两个矩形脉冲信号持续时间变化。
（一）矩形信号卷积1、当两个信号脉冲持续时间相同时：①x=u(t+1/2)-u(t-1/2);h=u(t-1)-u(t-2)时的程序图如下：clear allclose allt0=-4; t1=4; dt=0.01;t=t0:dt:t1;x=u(t+1/2)-u(t-1/2);h=u(t-1)-u(t-2);y=dt*conv(x,h);subplot(221)plot(t,x),grid on,title('Signal x(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(222)plot(t,h),grid on,title('Signal h(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(212)t=2*t0:dt:2*t1;plot(t,y),grid on,title('The convolution of x(t) andh(x)'),axis([2*t0,2*t1,-0.1,1.2])xlabel('Time t sec')Signal x(x)Signal h(x)The convolution of x(t) and h(x)Time t sec②x=u(t+1/2)-u(t-1/2);h=u(t-2)-u(t-3)时的程序如下：clear all close allt0=-4; t1=4; dt=0.01; t=t0:dt:t1;x=u(t+1/2)-u(t-1/2); h=u(t-2)-u(t-3); y=dt*conv(x,h); subplot(221)plot(t,x),grid on ,title('Signal x(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(222)plot(t,h),grid on ,title('Signal h(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(212) t=2*t0:dt:2*t1;plot(t,y),grid on ,title('The convolution of x(t) and h(x)'),axis([2*t0,2*t1,-0.1,1.2]) xlabel('Time t sec')-4-224Signal x(x)-4-224Signal h(x)-8-6-4-202468The convolution of x(t) and h(x)Time t sec2、当两信号脉冲持续时间不相同时：①x=u(t+1/2)-u(t-1/2); h=u(t-1)-u(t-3)时，程序如下：clear all close allt0=-4; t1=4; dt=0.01; t=t0:dt:t1;x=u(t+1/2)-u(t-1/2); h=u(t-1)-u(t-3); y=dt*conv(x,h); subplot(221)plot(t,x),grid on ,title('Signal x(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(222)plot(t,h),grid on ,title('Signal h(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(212) t=2*t0:dt:2*t1;plot(t,y),grid on ,title('The convolution of x(t) and h(x)'),axis([2*t0,2*t1,-0.1,1.2]) xlabel('Time t sec')Signal x(x)Signal h(x)-8-6-4-22468The convolution of x(t) and h(x)Time t sec②x=u(t+1/2)-u(t-1/2);h=u(t+1)-u(t-1)时的程序如下：clear all close allt0=-4; t1=4; dt=0.01; t=t0:dt:t1;x=u(t+1/2)-u(t-1/2); h=u(t+1)-u(t-1); y=dt*conv(x,h); subplot(221)plot(t,x),grid on ,title('Signal x(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2])subplot(222)plot(t,h),grid on ,title('Signal h(x)'),axis([t0,t1,-0.2,1.2]) subplot(212) t=2*t0:dt:2*t1;plot(t,y),grid on ,title('The convolution of x(t) and h(x)'),axis([2*t0,2*t1,-0.1,1.2]) xlabel('Time t sec')Signal x(x)Signal h(x)The convolution of x(t) and h(x)Time t sec据观察：当两距形脉冲持续时间相同时，卷积得到信号是三角波，脉冲持续时间是矩形波的两倍；当两距形脉冲持续时间不相同时，卷积得到信号是梯形波，脉冲持续时间是两矩形波持续时间的和； 波的幅值不变。
信号与系统第二次讨论课
研讨课题目给定一个连续LTI 系统，其微分方程为：)()(25)()('''t x t y t y t y =++输入信号：()123sin2sin2sin2x t f t f t f tπππ=++(其中f1=0.05Hz ，f2=0.5Hz ，f2=3Hz)理论分析1)计算系统的幅度响应，判断该系统是哪一类频率选择性滤波器？（低通、高通、带通、带阻）因为25)(1)(2++=ωωωj j j Hωωωωωωωωωωωωωωωωωω225322422242242222222222251225511)2551(2549])25[()25()25()25()(+-++-=+-+-=--+-=----=j j H可以判断出该系统是低通滤波器 2)求系统的输出信号。
)26.36sin(003.0)73.11sin(07.0)73.01.0sin(04.0))(sin()())(sin()())(sin()()(313222111︒-+︒-+︒-=+++++=t t t t j H t j H t j H t y πππωφωωωφωωωφωω仿真分析MATLAB仿真程序ts=0;te=100;fs=10;t=ts:1/fs:te;N=1000;x=sin(2*pi*0.05*t)+sin(2*pi*0.5*t)+sin( 2*pi*3*t);sbplot(231);plot(t,x);X=fft(x,N)/N;fx=(-(N-1)/2:(N-1)/2)/N*fs;subplot(234);plot(fx,abs(fftshift(X)));num=[1];den=[1 1 25];sys=tf(num,den);w=0:0.1:100;freqs(num,den,w);w=logspace(-1,2,100); [mag,pha]=bode(num,den,w); magdB=20*log10(mag); subplot(232);semilogx(w,magdB);grid on; subplot(235);semilogx(w,pha);grid on;y=lsim(sys,x,t);Y=fft(y)/fs;subplot(233);plot(t,y);Y=fft(y,N)/N;subplot(236);plot(fx,abs(fftshift(Y)));绘制系统的频率响应Bode图绘制输入、输出信号的时域波形和频谱，分析和解释滤波过程;i）输入信号的时域波形输入信号的频谱理论计算：()()())6()6()()()1.0()1.0()(πωδπωδππωδπωδππωδπωδπω+--++--++--=jjjj X其中ππππππππ=⨯===-==-=25.0)6()6()()()1.0()1.0(jXjXjXjXjXjX仿真结果和理论计算相同。
数字信号处理第二次讨论课
即幅度特征旳特点
线性FIR滤波器旳时域约束条件
假如要求单位脉冲响应h(n)、长度为N旳FIR数字滤波器具有第二类线性相位特征，则h(n)应该有关n=(N-1)/2点奇对称。
h(n)=-h(N-1-n) n从0到N-1
线性FIR滤波器旳时域约束条件
假如要求单位脉冲响应h(n)、长度为N旳FIR数字滤波器具有第一类线性相位特征，则h(n)应该有关n=(N-1)/2点偶对称。
subplot(3,2,3), plot(f, 20 * log10(abs(W3)), 'b'), axis([0, 1, -200, 0]), holdxlabel ('Normalized Frequency'); ylabel ('Magnitude (dB)')title('（3）Hanning Window'); text(0.6, -40, 'N = 41', 'FontWeight', 'Bold'); grid; % ----------------------------subplot(3,2,4), plot(f, 20 * log10(abs(W4)), 'b'), grid, axis([0, 1, -100, 0]), holdxlabel ('Normalized Frequency'); ylabel ('Magnitude (dB)')title('（4）Hamming Window'); text(0.6, -25, 'N = 41', 'FontWeight', 'Bold');% ----------------------------subplot(3,2,5), plot(f, 20 * log10(abs(W5)), 'b'), grid, axis([0, 1, -200, 0]), holdxlabel ('Normalized Frequency'); ylabel ('Magnitude (dB)')title('（5）Blackman Window'); text(0.6, -40, 'N = 41', 'FontWeight', 'Bold'); set(Ha, 'Box', 'on', 'LineWidth', 2); % ----------------------------subplot(3,2,6), plot(f, 20 * log10(abs(W6)), 'b'), grid, axis([0, 1, -100, 0]), holdxlabel ('Normalized Frequency'); ylabel ('Magnitude (dB)')title('（6）Chebyshev Window'); text(0.6, -25, 'N = 41, R = 50', 'FontWeight', 'Bold');set(Ha, 'Box', 'on', 'LineWidth', 2);
信号与系统 (2)
Re[s]>aσ0 σ
15
e s s s 如图信号f(t)的拉氏变换 的拉氏变换F(s) = 2 (1 e s e ) 例：如图信号 的拉氏变换 s
求图中信号y(t)的拉氏变换 的拉氏变换Y(s)。 求图中信号 的拉氏变换 。
f(t)
解：
y(t)= 4f(0.5t)
0 1 y(t) 2
1 t 4
令t = t + nT
=
∑e
n =0
∞
nsT∫TFra bibliotek01 f T (t ) e d t = 1 e sT
st
∫
T
0
f T (t ) e st d t
特例： 特例：δT(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
12
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) = ∫ f (t ) e st d t
解: 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当β α 仅当β>α时，其收敛域为 α<Re[s]<β的一个带状区域， β的一个带状区域， 如图所示。 如图所示。
α 0 β σ
8
求下列信号的双边拉氏变换 信号的双边拉氏变换。 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t U(t) + e-2t U(t) f2(t)= – e -3t U(–t) – e-2t U(–t) f3(t)= e -3t U(t) – e-2t U(– t) 解
5
因果信号f 求其拉普拉斯变换。 例1 因果信号 1(t)= eαt U(t) ，求其拉普拉斯变换。 解
F1b ( s) = ∫ e e
0 ∞
αt
信号与系统PPT课件
-2 o
2 t t → 0.5t 扩展
f (2 t ) 1
-1 o 1
t
f (0.5 t )
1
-4
o
4t
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺 度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
平移与反转相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f (2 – t)。 解答 法一：①先平移f (t) → f (t +2)
结论
由上面几例可看出： ①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是 周期序列。 ②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序 列之和一定是周期序列。
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E （2）信号的功率P
def
E
f(t )2 d t
P
def
lim
T
1
T
T
2
T
f(t )2 d t
2
若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限信号， 简称能量信号。此时 P = 0
若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限信号， 简称功率信号。此时 E = ∞
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期 分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
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研讨课题目
给定一个连续LTI 系统，其微分方程为：
)()(25)()('
''t x t y t y t y =++
输入信号：
()123sin2sin2sin2x t f t f t f t
πππ=++
(其中f1=0.05Hz ，f2=0.5Hz ，f2=3Hz)
理论分析
1)计算系统的幅度响应，判断该系统是哪一类频率选择性滤波器？（低通、高通、带通、带阻）
因为25)(1
)(2
++=ωωωj j j H
ω
ωωωωωωωωωωωωω
ωω
ωω2253
2
242
2242
242
2222222
222512
25511)2551(2549])25[()25()25()25()(+-++-=
+-+-=--+-=----=j j H
可以判断出该系统是低通滤波器 2)求系统的输出信号。
)
26.36sin(003.0)73.11sin(07.0)73.01.0sin(04.0))
(sin()())
(sin()())(sin()()(313222111︒-+︒-+︒-=+++++=t t t t j H t j H t j H t y πππωφωωωφωωωφωω
仿真分析
MATLAB 仿真程序 ts=0; te=100; fs=10;
t=ts:1/fs:te; N=1000;
x=sin(2*pi*0.05*t)+sin(2*pi*0.5*t)+si n(2*pi*3*t);
sbplot(231);
plot(t,x);
X=fft(x,N)/N;
fx=(-(N-1)/2:(N-1)/2)/N*fs; subplot(234);
plot(fx,abs(fftshift(X))); num=[1];
den=[1 1 25];
sys=tf(num,den);
w=0:0.1:100;
freqs(num,den,w);
w=logspace(-1,2,100); [mag,pha]=bode(num,den,w); magdB=20*log10(mag); subplot(232);
semilogx(w,magdB);grid on; subplot(235);
semilogx(w,pha);grid on;
y=lsim(sys,x,t);
Y=fft(y)/fs;
subplot(233);plot(t,y);
Y=fft(y,N)/N;
subplot(236);plot(fx,abs(fftshift(Y)) );
绘制系统的频率响应Bode图
绘制输入、输出信号的时域波形和频谱，分析和解释滤波过程;
i）输入信号的时域波形
输入信号的频谱
理论计算：
()()
()
)6()6()()()1.0()1.0()(πωδπωδπ
πωδπωδπ
πωδπωδπ
ω+--+
+--++--=
j
j
j
j X
其中
ππππππππ=⨯===-==-=25.0)6()6()()()1.0()1.0(j X j X j X j X j X j X
仿真结果和理论计算相同。
输出信号的时域波形
输出信号的频谱
和理论计算的输出信号相同
)26.36sin(003.0)
73.11sin(07.0)73.01.0sin(04.0)(︒-+︒-+︒-=t t t t y πππ
分析和解释滤波过程
根据计算和bode 可以看出递减。
是当基本不变；时当最大；
时，当)(14.7)(14.7)(51ωωωωωωj H j H j H ><=
输入信号是三个频率信号的叠加
14.73几乎为，衰减最为严重，幅值其中了不同程度的衰减，当信号输入系统后都做>ω
可以看做是一个非理想低通滤波器。
3)对输入信号的采样时长改变时，频谱怎样变化？为什么？
采样时间为50时的频谱
可以看出采样点变少，采样间隔变大，分散度变大，频谱幅值不变。
采样时间为200时的频谱比100点时的频谱更加集中。
原因是采样时间的长短影响采样点的多少，从而影响到频谱的分散程度。