3-2n维向量空间
合集下载
n维向量空间
计算 2
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。
n维向量空间
x11 x22 xnn
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
称有序数组 ( x1, x2 , , xn ) 或 ( x1, x2 , , xn )T 为
在基 1,2 , ,n 下的坐标.
基变换与坐标变换
1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为： 1, 2 , …, n , 1 , 2 , …, n ,
注意： (1)只含零向量的向量组无极大无关组。
(2)如果一个向量组1,2 , ,m线性无关，则它
自身就是自己的极大无关组。
• 定义3 向量组 1,2 , ,m 的极大无关组
所含向量个数r称为向量组的秩。记为
r(1 ,2 , ,m ) r
规定只含零向量的向量组的秩为零。
性质
则 t s
推论2 若线性无关的向量组 1, 2 ,, t 与线
性无关的向量组 1, 2 ,, s 等价,则 t s
2.极大无关组和秩
• 定义2 在向量组(I) 1,2 , ,m 中，
如果存在r个向量 i1 ,i2 , ,ir ，满足：
(1) i1 ,i2 , ,ir 线性无关； （无关性）
1 = k111 + k212 + … + kn1n
且
2 = k121 + k222 + … + kn2n
… …… ……… …… …
n = k1n1 + k2n2 + … + knnn
利用矩阵形式可表为：
k11 k12
(1,
2,
…,
n)
=
(1,
2,
…,
n)
k21
k22
kn1
kn2
k1n
3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
线性代数n维向量空间小结
A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
35
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)
零解,则对任意向量 ,都有
23
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
由k1 , k 2 ,, k r 不全为零得知:
1 t1 , 2 t 2 ,, r t r
线性相关.
24
例3 已知向量组 1 , 2 ,, s的秩是r,证明: 1 , 2 ,, s中任意r个线性无关的向量均构成它的
k11 k22 knrnr 0,
k1 k 2 k nr 0,
于是 ,1, 2, , nr线性无关.
34
(2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0, 则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以
维向量空间讲解
§3-2 n 维向量空间定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组 ),,,(21n a a a 其中i a 称为向量(1)的分量.用小写希腊字母 ,,,γβα来代表向量.定义 3 如果n 维向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα的对应分量都相等，即),,2,1(n i b a i i ==.就称这两个向量是相等的，记作βα=.n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.定义4 向量),,,(2211n n b a b a b a +++= γ称为向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα的和，记为βαγ+= 由定义立即推出：交换律： αββα+=+. (2) 结合律： γβαγβα++=++)()(. (3) 定义 5 分量全为零的向量)0,,0,0( 称为零向量，记为0;向量),,,(21n a a a --- 称为向量),,,(21n a a a =α的负向量，记为α-.显然对于所有的α，都有αα=+0.(4) 0)(=-+αα. (5)(2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.定义6 )(βαβα-+=-定义7 设k 为数域P 中的数，向量),,,(21n ka ka ka称为向量),,,(21n a a a =α与数k 的数量乘积，记为αk由定义立即推出：βαβαk k k +=+)(, αααl k l k +=+)(, αα)()(kl l k =, αα=1.以上四式是关于数量乘法的四条基本运算规则.由此及定义不难推出：00=α, αα-=-)1(, 00=k . 如果0,0≠≠αk ，那么 0≠αk . 定义8 以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n 维向量空间.在3=n 时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域P 上全体n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P 上n 维向量空间.向量通常是写成一行： ),,,(21n a a a =α.有时也可以写成一列： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α.为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。
高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间
a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i
3.2 n维向量空间
习题1 证明: 三维行向量空间R3中的向量集合 V={(x,y,z)|x+y+z=0}是向量空间，并求出它的维数 和一个基。 证明 任取向量x=(a1,b1,c1) ∈V, y=(a2,b2,c2) ∈V, λ ∈R. 因为 所以 x=(a1,b1,c1) ∈V, ⇒a1+b1+c1=0 y=(a2,b2,c2) ∈V, ⇒a2+b2+c2=0 (a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0
⇒ x+y=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)=0 ∈V λ a1+λ b1 +λ c1=0 ⇒ λ x=(λ a1, λ b1, λ c1) ∈V
这说明V满足向量加法和数乘运算的封闭性，因 此V是向量空间。
由x+y+z=0 ⇒z=-x-y
这说明第三个分坐标可以由前两个表示，因此， V的维数为2。 显然，x=(1,0,-1),y=(0,1,-1)线性无关，且都属于 V,因此，它们就是V的一组基。
线性表示.
解 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX . x12 x 22 , x 32
r1 r3
r3
~ r
2
2 4 1 0 0 3 3 初等行变换 2 ( A B) ~ 0 1 0 1 3 2 0 0 1 1 3 3 因有A ~ E，故a1 , a2 , a3为R 的一个基，且
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
第三章 N维向量空间
在实际问题中我们讨论的向量空间v通常是无穷向量集合能否用v中的有限个向量来代表向量空间的基与维数定义310基的作用由定义知向量空间v的基实际上是v作为向量集合中的极大线性无关组dimvrv例如71向量空间的基不惟一定理38若向量空间的v维数dimvr则v中任意r个线性无关的向量都是v是二维向量空间
第三章 n维向量空间
b Ax 为 A 的列向量的线性组合 .
17
b Ax x11 xnn;
x1
[ 1 an ]
x2
xn
18
3.3.2 向量组线性相关性
1、向量组线性相关性性的引入
三维向量组1， 2共线的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , 使得 : k11 k2 2 0 三维向量组1， 2， 3共面的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , k3使得 : k11 k22 k33 0 对于n维向量组1，2，m共线、共面的几何意义没有 但是k11 k22 kmm 0是有意义的,
对应成比例。
21
3、如何讨论α1，α2，…，αm 线性相关？ 一般先假定：
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，
若存在（找到）不全为0的m个常数k1，k2，…， km使得
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0
则称α1，α2，…，αm 线性相关。
22
例7 讨论下列向量组的线性相关性。
9
设α＝（a1, a2, …, a n）T，β＝（b1, b2, …, b n）T
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
T
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为向量
第三章 n维向量空间
b Ax 为 A 的列向量的线性组合 .
17
b Ax x11 xnn;
x1
[ 1 an ]
x2
xn
18
3.3.2 向量组线性相关性
1、向量组线性相关性性的引入
三维向量组1， 2共线的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , 使得 : k11 k2 2 0 三维向量组1， 2， 3共面的充要条件是存在不全为零 的实数k1, k2 , k3使得 : k11 k22 k33 0 对于n维向量组1，2，m共线、共面的几何意义没有 但是k11 k22 kmm 0是有意义的,
对应成比例。
21
3、如何讨论α1，α2，…，αm 线性相关？ 一般先假定：
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，
若存在（找到）不全为0的m个常数k1，k2，…， km使得
k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0
则称α1，α2，…，αm 线性相关。
22
例7 讨论下列向量组的线性相关性。
9
设α＝（a1, a2, …, a n）T，β＝（b1, b2, …, b n）T
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
T
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为向量
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 n维向量空间
•
• • • •
一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、向量的内积 五、向量空间的标准正交基
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明:
1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
R ，也是一个向量空
n
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V 1 x 0 , x 2 , , x n
T
x 2 , , x n R
解 V 1 是向量空间
因为对于
.
V 1的任意两个元素
T T
0 , a 2 , , a n , 0 , b2 , , bn V 1 ,
即 x 11 ( b 1 , b 2 ) ( a 1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31
记作 B AX .
x 12 x 22 , x 32
对矩阵 ( A B ) 施行初等行变换，若 则 a 1 , a 2 , a 3 为 R 的一个基，且当 X A
有
0 , a 2 b 2 , , a n b n V 1
T
0 , a 2 , , a n V 1 .
T
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V 2 x 1 , x 2 , , x n
T
x 2 , , x n R
证 当 y 0 时，显然成立。当 （ x ty , x ty ) 0 , 即 ( y , y )t 2( x , y )t ( x , x ) 0,
2 2
y 0 时，由
因此， 4 ( x , y ) 4 ( x , x )( y , y ) 0 . 即 故 ( x , y ) ( x , x )( y , y ) || x || || y || .
1 i ( 1 , i )
0, i 1
T
证明
设有 1 , 2 , , r 使
1 1 2 2
以 a 左乘上式两端
T
r
0
T 1
,得
2
1 1 1 0
0 , 从而有 1 0 .
y1 y2 , yn
令
( x , y ) x1 y1 x 2 y 2 x n y n
称 ( x , y ) 为向量 x 与 y 的 内积。
说明:
1 n n 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算 向量 , 内积可用矩阵记号表示 (x, y) x
验证 a 1 , a 2 , a 3 , 是 R 的一个基，并把 线性表示 .
b 1 , b 2 用这个基
解
要证 a 1 , a 2 , a 3 是 R 的一个基，只要证 A ~ E.
3
a1 , a 2 , a 3
线性无关，即只要证
设
b 1 x 11 a 1 x 21 a 2 x 31 a 3 , b 2 x 12 a 1 x 22 a 2 x 32 a 3，
也称为模
1. 非负性 当 x 0 时 , x 0 ; 当 x 0 时 , x 0 ; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式
x y x y .
定理1
设 x, y R
n
,则
| ( x , y ) | || x |||| y || .
称之为柯西-施瓦兹不等式
x x
1 a 1 2 a 2 m a m 1 , 2 , , m R 1 b1 2 b 2 s b s 1 , 2 , s R
试证： V 1 V 2 .
证
设 x V 1，则 x 可由 a 1 , , a m 线性表示
一般地， 由向量组a1 , a 2 , , a m 所生成的向量空 间为
V x 1a1 2 a 2 m a m 1 , 2 ,, m R
例5 记 V1 V2 设向量组 a 1 , , a m 与向量组 b 1 , , b s 等价，
解 V 是一个向量空间
.因为若 x 1 1 a 1 b
x 2 2 a 2 b ， 则有 x 1 x 2 ( 1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx 1 ( k 1 ) a ( k 1 ) b V .
这个向量空间称为由向 间. 量 a , b 所生成的向量空
二、子空间
定义2 设有向量空间 V 1及 V 2 ，若向量空间V 1 就说 V 1 是 V 2 的子空间． 如例2中的
V 1 x 0 , x 2 , , x n
就是 R 的子空间 .
n
V 2，
T
x 2 , , x n R
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , , r V，且满足
若 V , V , 则 V ; 若 V , R , 则 V .
例1
3 维向量的全体
R , 是一个向量空间
3
.
因为任意两个
3 维向量之和仍然是 3 维向量，它们都属于
3 维向量 , 数 R .
3
乘 3 维向量仍然是
类似地， 间.
n 维向量的全体
解 V 2 不是向量空间
因为若 1 , a 2 , , a n 则 2 2 , 2 a 2 , , 2 a n
.
T
V2,
T
V2.
例4 设 a , b 为两个已知的
V
n 维向量，集合
R
x a b , 试判断集合是否为向量空间.
~
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
r2 ( 3 )
r3 3
~
1 0 0
1 1 1
1 0 1
1 2 3 5 3
3 1 5 3
r2 ( 3 )
r3 3
~
1 0 0
( a 1 , a 2 , a 3 ) 2 3 2 3 1 4 3 1 . 2 3
b1 , b 2
四、向量的内积
定义5
设有 n 维向量 x1 x2 x , xn
y
定义 4
设 1， 2， ， n 是 n 维向量空间 R ，总有且仅有一组数
n
R
n
的一个基，则对
x 1， x 2， ， x n，使得
x 1 1 x 2 2 x n n，
称有序数组 x 1， x 2， ， x n 为 在基 1， 2， ， n
( 1 ) 1 , 2 , , r 线性无关 ( 2) V 中任一向量都可由
那么，向量组
;
1 , 2 , , r 线性表示
V的
.
1， 2， ， r 就称为向量空间
一个基， r 称为 V 的维数，并将
V 称为 r 维向量空间。
说明: （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
下的坐标，并记为
（ x 1， x 2， ， x n）。
例6
设矩阵
2 A (a1 , a 2 , a 3 ) 2 1 1 B ( b1 , b 2 ) 0 4
3
2 1 2
1 2 , 2
4 3 , 2
（2）若把向量空间 V 看作向量组，那末 V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 1 , 2 , , r是向量空间 V 的一 个基，则 V 可表示为
V
x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
~
1 3
( r1 r 2 r 3 )
~
1 2 1
1 1 2
1 2 2
1 0 4
3 3 2
r 2 2 r1 r 3 r1
~
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
r 2 2 r1 r 3 r1
x 0.
( 4 )( x , x ) 0 , 且 ( x , x ) 0当且仅当
定义6
设 x ( x1 , x 2 , , x n ) , 令
T
|| x ||
称 x 为 n 维向量
(x, x)
x1 x 2 x n ,
2
2
2
x的
长度 或 范数 .
向量的长度具有下述性质：
为向量 x 与 y 的夹角。
例7 求向量 1 , 2 , 2 , 3 与 3 ,1 , 5 ,1 的夹角 .
解
cos
3
18 26
2 2
4
.
五、向量空间的标准正交基
１ 正交的概念
当 ( x , y ) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .
T
, 如果 x , y 都是列
•
• • • •
一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、向量的内积 五、向量空间的标准正交基
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明:
1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
R ，也是一个向量空
n
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V 1 x 0 , x 2 , , x n
T
x 2 , , x n R
解 V 1 是向量空间
因为对于
.
V 1的任意两个元素
T T
0 , a 2 , , a n , 0 , b2 , , bn V 1 ,
即 x 11 ( b 1 , b 2 ) ( a 1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31
记作 B AX .
x 12 x 22 , x 32
对矩阵 ( A B ) 施行初等行变换，若 则 a 1 , a 2 , a 3 为 R 的一个基，且当 X A
有
0 , a 2 b 2 , , a n b n V 1
T
0 , a 2 , , a n V 1 .
T
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V 2 x 1 , x 2 , , x n
T
x 2 , , x n R
证 当 y 0 时，显然成立。当 （ x ty , x ty ) 0 , 即 ( y , y )t 2( x , y )t ( x , x ) 0,
2 2
y 0 时，由
因此， 4 ( x , y ) 4 ( x , x )( y , y ) 0 . 即 故 ( x , y ) ( x , x )( y , y ) || x || || y || .
1 i ( 1 , i )
0, i 1
T
证明
设有 1 , 2 , , r 使
1 1 2 2
以 a 左乘上式两端
T
r
0
T 1
,得
2
1 1 1 0
0 , 从而有 1 0 .
y1 y2 , yn
令
( x , y ) x1 y1 x 2 y 2 x n y n
称 ( x , y ) 为向量 x 与 y 的 内积。
说明:
1 n n 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算 向量 , 内积可用矩阵记号表示 (x, y) x
验证 a 1 , a 2 , a 3 , 是 R 的一个基，并把 线性表示 .
b 1 , b 2 用这个基
解
要证 a 1 , a 2 , a 3 是 R 的一个基，只要证 A ~ E.
3
a1 , a 2 , a 3
线性无关，即只要证
设
b 1 x 11 a 1 x 21 a 2 x 31 a 3 , b 2 x 12 a 1 x 22 a 2 x 32 a 3，
也称为模
1. 非负性 当 x 0 时 , x 0 ; 当 x 0 时 , x 0 ; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式
x y x y .
定理1
设 x, y R
n
,则
| ( x , y ) | || x |||| y || .
称之为柯西-施瓦兹不等式
x x
1 a 1 2 a 2 m a m 1 , 2 , , m R 1 b1 2 b 2 s b s 1 , 2 , s R
试证： V 1 V 2 .
证
设 x V 1，则 x 可由 a 1 , , a m 线性表示
一般地， 由向量组a1 , a 2 , , a m 所生成的向量空 间为
V x 1a1 2 a 2 m a m 1 , 2 ,, m R
例5 记 V1 V2 设向量组 a 1 , , a m 与向量组 b 1 , , b s 等价，
解 V 是一个向量空间
.因为若 x 1 1 a 1 b
x 2 2 a 2 b ， 则有 x 1 x 2 ( 1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx 1 ( k 1 ) a ( k 1 ) b V .
这个向量空间称为由向 间. 量 a , b 所生成的向量空
二、子空间
定义2 设有向量空间 V 1及 V 2 ，若向量空间V 1 就说 V 1 是 V 2 的子空间． 如例2中的
V 1 x 0 , x 2 , , x n
就是 R 的子空间 .
n
V 2，
T
x 2 , , x n R
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , , r V，且满足
若 V , V , 则 V ; 若 V , R , 则 V .
例1
3 维向量的全体
R , 是一个向量空间
3
.
因为任意两个
3 维向量之和仍然是 3 维向量，它们都属于
3 维向量 , 数 R .
3
乘 3 维向量仍然是
类似地， 间.
n 维向量的全体
解 V 2 不是向量空间
因为若 1 , a 2 , , a n 则 2 2 , 2 a 2 , , 2 a n
.
T
V2,
T
V2.
例4 设 a , b 为两个已知的
V
n 维向量，集合
R
x a b , 试判断集合是否为向量空间.
~
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
r2 ( 3 )
r3 3
~
1 0 0
1 1 1
1 0 1
1 2 3 5 3
3 1 5 3
r2 ( 3 )
r3 3
~
1 0 0
( a 1 , a 2 , a 3 ) 2 3 2 3 1 4 3 1 . 2 3
b1 , b 2
四、向量的内积
定义5
设有 n 维向量 x1 x2 x , xn
y
定义 4
设 1， 2， ， n 是 n 维向量空间 R ，总有且仅有一组数
n
R
n
的一个基，则对
x 1， x 2， ， x n，使得
x 1 1 x 2 2 x n n，
称有序数组 x 1， x 2， ， x n 为 在基 1， 2， ， n
( 1 ) 1 , 2 , , r 线性无关 ( 2) V 中任一向量都可由
那么，向量组
;
1 , 2 , , r 线性表示
V的
.
1， 2， ， r 就称为向量空间
一个基， r 称为 V 的维数，并将
V 称为 r 维向量空间。
说明: （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
下的坐标，并记为
（ x 1， x 2， ， x n）。
例6
设矩阵
2 A (a1 , a 2 , a 3 ) 2 1 1 B ( b1 , b 2 ) 0 4
3
2 1 2
1 2 , 2
4 3 , 2
（2）若把向量空间 V 看作向量组，那末 V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 1 , 2 , , r是向量空间 V 的一 个基，则 V 可表示为
V
x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
~
1 3
( r1 r 2 r 3 )
~
1 2 1
1 1 2
1 2 2
1 0 4
3 3 2
r 2 2 r1 r 3 r1
~
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
r 2 2 r1 r 3 r1
x 0.
( 4 )( x , x ) 0 , 且 ( x , x ) 0当且仅当
定义6
设 x ( x1 , x 2 , , x n ) , 令
T
|| x ||
称 x 为 n 维向量
(x, x)
x1 x 2 x n ,
2
2
2
x的
长度 或 范数 .
向量的长度具有下述性质：
为向量 x 与 y 的夹角。
例7 求向量 1 , 2 , 2 , 3 与 3 ,1 , 5 ,1 的夹角 .
解
cos
3
18 26
2 2
4
.
五、向量空间的标准正交基
１ 正交的概念
当 ( x , y ) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .
T
, 如果 x , y 都是列