【中小学资料】四川省成都市2018届高三数学11月月考试题 理
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-，P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程;??(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)
成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（ ）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（ ）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（ ）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x kk x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=-()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ； （2）求证： OA OB ⋅是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =-()()1122,,,OA x y OB x y ==，∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-，∴OA OB ⋅是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的,右焦点为求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 的距离为定值2. 【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d==，当AB的斜率不存在时, 11x y= ,可得,1x d==依然成立.所以点O 到直线点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x yb aa b-=>>渐近线方程为y=，O为坐标原点，点(M在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OP OQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y-=；（Ⅱ）221113OP OQ+=.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ⊥，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得221113OP OQ+=。
四川省新津县高三数学11月月考试题理(new)
四川省新津县2018届高三数学11月月考试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省新津县2018届高三数学11月月考试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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四川省新津县2018届高三数学11月月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1。
设i 为虚数单位，复数z 满足i z i -=12,则复数z 的共轭复数等于（ ) A 。
-1-i B.1—i C 。
1+i D.—1+i2.设集合{}022≥-=x x x M ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-==211x y x N ，则n m ⋂等于( ） A.(]0,1- B.[]0,1- C.[)1,0 D.[]1,03.已知)0,2(π-∈x ，34tan -=x ,则)sin(π+x 等于（ ) A 。
53 B.53- C 。
54- D.54 4.已知双曲线2222:1(00)y x c a b a b -=＞，＞的渐近线方程为x y 43±=，且其焦点为(0,5）,则双曲线C 的方程( ） A 。
116922=-y x B.191622=-y x C 。
221916x y -= D.221169x y -= 若向正5.已知随机变量)11(-，N X ,其正态分布密度曲线如图所示，方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（ ）附:若随机变量),(-2σμξN ，则6826.0)(=+≤<-σμξσμP ,9544.0)22(=+≤<-σμξσμPA 。
四川省新津县2018届高三数学11月月考试题 理
四川省新津县2018届高三数学11月月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设i 为虚数单位，复数z 满足i zi -=12，则复数z 的共轭复数等于（ ） A.-1-i B.1-i C.1+i D.-1+i 2.设集合{}022≥-=x x x M ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-==211x y x N ，则n m ⋂等于（ ） A.(]0,1- B.[]0,1- C.[)1,0 D.[]1,03.已知)0,2(π-∈x ，34tan -=x ，则)sin(π+x 等于（ ） A.53 B.53- C.54- D.54 4.已知双曲线2222:1(00)y x c a b a b -=＞，＞的渐近线方程为x y 43±=，且其焦点为(0,5),则双曲线C 的方程（ ） A.116922=-y x B.191622=-y x C.221916x y -= D.221169x y -= 5.已知随机变量)11(-，N X ,其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（ ）附：若随机变量),(-2σμξN ,则6826.0)(=+≤<-σμξσμP ,9544.0)22(=+≤<-σμξσμPA.6038B.6587C.7028D.75396. 已知如图所示的程序框图，若输入的a,b,c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为（ ）A.1.125B.1.25C.1.3125D.1.3757.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.342+π B.344+πC.44+πD.42+π8.将函数2cos 2sin 3)(x x x f -=的图像向右平移32π个单位长度得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的一个单调减区间是（ ） A.)2,4(ππ- B.),2(ππ C.)4,2(ππ-- D.)2,23(ππ 9.设e 是自然对数的底，a ＞0，且a ≠1，b ＞0且b ≠1，则“log a 2＞log b e ”是“0＜a ＜b ＜1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6.若E,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点，且BE=B 1E ，1131CC F C =，则异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为（ ） A.63 B.62 C.103 D.102 11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.)1,225(- B.)225,0(- C.)215,(-o D.)1,215(- 12.若存在两个正实数y x ,，使得等式033=-ay e x x y 成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A.),8[2+∞e B. ]27,0(3e C.),27[3+∞e D.]8,0(2e第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上)13.设变量y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-+014042022y x y x y x ，则目标函数x y z 3-=的最大值为________.14.在矩形ABCD 中，∠CAD=30°，→→→=∙AC AD AC ,则=∙→→AB AC _________. 15.6)1)(12(x x x +-在展开式中3x 的系数为_________.16.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a, b,c ，且满足A A sin 332cos22=, C B C B sin cos 4)sin(=-，则=cb _________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =3n (n ∈N *). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n =nn a ，求数列{}n b 的前n 项和S n . 18.（本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）．(1)填写下面的2x2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望。
2018届四川省成都高新区高三上学期11月月考理科数学试题及答案 精品
2018年高2018届成都高新区11月统一检测数 学(理)（考试时间: 11月5日下午2:00—4:00 总分:150分）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合2{|3100}M x R xx =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则M N =I （ ▲ ）A ．(2,2)-B ．(1,2)C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1,2}--2．在复平面内，复数iz +=21对应的点位于（ ▲ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．等差数列{a n }中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，数列{a n }前9项的和为（ ▲ ）A. 66B.99C. 144D. 297 4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ▲ ）5．已知,是两个向量，1,2a b ==r r且a b a ⊥+)(，则与的夹角为（ ▲ ）A.ο30B. ο60C. ο120D. ο1506．如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ▲ ）A ．π44-B ．3224π- C ．π24- D ．3212π-7．已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =（ ▲ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－48．阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ▲ ）A ．12,4a i ==B ．12,3a i ==C ．8,4a i ==D ．8,3a i ==9．将函数()cos2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ▲ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数10．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为（ ▲ ）A. 4 B ．3 C. 2 D. 3211．若实数a ，b ，c ，d 满足（b ＋a 2－3lna )2＋(c －d ＋2)2＝0,则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为（ ▲ ） A ．8 B ．9 C ．2 D ．1 12．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(121log 4)·f (121log 4)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ▲ ）A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>01221y x y x 下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ . 14．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ▲ . 15．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC CA ===221=AA ，则该三棱柱外接球的表面积等于 ▲ .16．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －12n ，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 100＝ ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分12分） 已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（Ⅰ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[)80,90，[)90,100的分组作出频率分布60,70，[)70,80，[)50,60，[)直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[)90,100的数据）．50,60，[)（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[)80,90的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．▲19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，2==PD PA ，121==AD BC ，3=CD ．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M －BQ －C 为30°，设PM ＝t MC ，试确定t 的值．▲20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0,3)B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.▲21．（本小题满分12分） 已知函数2()2ln f x x xax =-+（a ∈R ）.（Ⅰ）当a =0时，求f (x )的单调区间；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<，求证：12()02xx f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．22．（本小题满分10分）已知直线l的参数方程是,2(2x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．19．(本小题满分12分)20．(本小题满分12分)2018年高2018届成都高新区11月统一检测 数学(理)标准答案与评分细则 一、选择题CDBAC DABDC AB 二、填空题13. 12 14. 9 15. 12π 16.13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12100－1 三、解答题17.解：（Ⅰ）()2cos cos f x x x x ωωω=-112cos 222x x ωω=-- 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ------2分()y f x =Q 的最小正周期为T π=，212ππωω=⇒=()1sin 262f x x π⎛⎫∴=--⎪⎝⎭，-------------4分22171sin 2sin 1336262f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ------------6分（Ⅱ）()2cos cos a c B b C -=Q∴由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-=1sin 0 cos 2A B >∴=Q()0 3B B ππ∈∴=Q ，-------------9分22 033A C B A πππ⎛⎫+=-=∴∈ ⎪⎝⎭Q ，72666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤∴=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. --------------12分 18. 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8250,0.004,0.016105010n y ====⨯⨯0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=（3分）（Ⅱ）由题意可知，分数在[)80,90有5人，分数在[)90,100有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在[)80,90的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则122135252533377751204102(1),(2),(3)357357357C C C C C P P P C C C ξξξ============所以，ξ的分布列为ξ 1 2 3P 174727所以，1237777Eξ=⨯+⨯+⨯=（12分）19. 解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面P (4)分证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． (4)分（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；…………………………………5分Q（0，0，0），，，．设M （x ，y ，z ），则，，∵，∴，∴在平面MBQ 中，，，∴平面MBQ 法向量为………………………………………8分∵二面角M ﹣BQ ﹣C 为30°， ∴，∴t=3．……………………12分20. 解：（Ⅰ）由条件2,3a b == (2)分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . ………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立.设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………7分因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ， 直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………8分令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x y N ， 所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………9分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422yy x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x k x x x x -++=⋅-++ ……10分2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++34k=-所以k k '⋅为定值43-. ………12分21. 解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞ 当0a =时，2()2lnx x f x =-222(1)2(1)(1)'()2x x x f x x x x x---+-=-== (1)分由'()0f x >得01x << 由'()0f x <得1x >()f x ∴的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞ (3)分（Ⅱ）2()2ln g x x xm =-+，则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵1[e]ex ∈，，故()0g x '=时，1x =.当11ex <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<.故()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-. ········ 5分 又211()2e eg m =--，2(e)2e g m =+-，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<，则1(e)()eg g <，∴()g x 在1[e]e，上的最小值是(e)g . ········· 6分()g x 在1[e]e ，上有两个零点的条件是2(1)10,11()20,eeg m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩解得2112e m <≤+，∴实数m 的取值范围是21(12]e +，. ·········8分 （Ⅲ）∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ，，，，∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ，，则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+，2()2f x x a x'=-+，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-.下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-（*），即证明2111222()ln 0xx xx x x -+<+，12x t x =，∵120xx <<，∴01t <<，即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立.10分 ∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++，又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在(0,1)上是增函数，则()(1)0u t u <=，从而知2111222()ln 0xx xx x x -+<+，故（*）式＜0，即12()02x x f +'<成立…………. 12分22．解：（I ）θθρsin 2cos 2-=Θ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， ……… 2分02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …3分即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为 …5分（II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ，…………8分 ∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 (10)分方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线 ......... (6)分圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- (10)分。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
四川省成都外国语学院2018届高三11月月考数学(文)试卷(含答案)
成都外国语学院2018届高三11月月考数学（文）试题本试卷满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置；2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(每小题5分,共60分)1.小思法说“浮躁成绩差”,他这句话的意思是:“不浮躁”是“成绩好”的（ ）.A 充分条件 .B 必要条件 .C 充分必要条件 .D 既非充分也非必要条件2.函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （ ）3.右表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程的直线必过点( )().2,2A (). 1.5,0B ().1,2C (). 1.5,4D4.已知全集为R ,集合{}{}20.51,680x A x B x x x =≤=-+≤,R A C B =I 则 ( ).A (],0-∞ .B []2,4 .C [)()0,24,+∞U .D (][)0,24,+∞U5.为得sin 3cos3y x x =+的图像，可将3y x =的图像（ ）.A 向右平移4π个单位 .B 向左平移4π个单位 .C 向右平移12π个单位 .D 向左平移12π个单位DC BA6.已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一,且其导函数'()y f x =的图像如右图所示,则函数()y f x =的图像可能是( )7.已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下 列命题中为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧ .C p q ∧⌝ .D p q ⌝∧⌝8.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．.A 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌.B 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 .C 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人.D 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是( ).A 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ .B ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ .D ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设C 为复数集，12,z z C ∈，给岀下列四个命题：①12z z >是120z z ->的充要条件； ②12z z >是2212z z >充分不必要条件； ③2112z z z =⋅是21z z =必要不充分条件； ④12z z R +∈是1212z z z z +=+的充要条件. 其中真命题的个数是（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 411.设P 是ABC ∆所在平面内的一点,若()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,且AP CP =u u u r u u u r.则点P 是ABC ∆的( ).A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心12.设函数()x f x xe =,则关于x 的方程()()()2110f x e e f x --+⋅+=⎡⎤⎣⎦的实根个数为( )B C D A.A 1 .B 2 .C 3 .D 4第II 卷二、填空题(每小题5分,共20分)13．设复2018201711i z i i +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则z 的虚部是14.函数())lnf x x =的定义域为___________15.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，0cos cos 60,2,sin sin B C A AB AC mAO C B∠=⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r 则实数m 的值为16.若[],1x a a ∀∈+,有2x a x +≥成立,则实数a 的取值范围是三、解答题17.(10分)已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围18.(12分) 某项运动组委会为了搞好接待工作，招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，:(1)根据以上数据完成2×2列联表, 问:能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为性别与喜爱运动有关？并说明理由.(2)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考数据：19.(12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小；（2）求cos()4u A B π=-+的取值范围.20.(12分)设数列{}n x 满足: 112x =,且111122n n n x x ++=+.(1)求数列{}n x 的通项公式; (2)求数列{}n x 的前n 项和n S .21.(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，AB CD ∥，2AB CD =，090BAD ∠=，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点.（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ； （2）若直线PC 与平面PAD 所成角为045， 且2CD =求四棱锥E ABCD -的体积.22.(12分)已知函数()()ln xe f x a x x x=+-，e 为自然对数的底数. (1)当0a >时，试求()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围.PE DCA成都外国语学校2018届高三11月月考数学（文史类）答案一、选择题B A DCD ; B B D C A ; A C .二、填空题13．1-;14. 2⎡-⎢⎣⎭;; 16.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 三、解答题17. 解：令223u x ax =-+，12log y u =.（1）()f x 的值域为R 223u x ax ⇔=-+能取()0,+∞的一切值()0,u ⇔+∞⊆的值域，()24120,a a a ∴∆=-≥⇔∈-∞+∞U 。
【数学】四川省成都市新津中学2018届高三11月月考数学(理)试题含解析
新津中学高2015级高三11月月考试题数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，复数的共轭复数等于，故选A.2. 设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，则集合，的定义域为，则集合，故，故选C.3. 已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，，所以，．考点：三角函数值.4. 已知双曲线的渐近线方程为，且其焦点为,则双曲线的方程（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，由渐近线方程为，可得，设，则，由其焦点为，可得，可得，则双曲线的方程为，故选C.5. 已知随机变量,其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量,则,A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，落入阴影部分点的的概率为，则落入阴影部分点的个数的估计值为，故选B.6. 已知如图所示的程序框图，若输入的分别为，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得，，，执行循环体，不满足条件，满足条件，，不满足条件，，不满足条件，不满足条件，，满足条件，退出循环，输出的值为，故选D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，故体积．考点：三视图.【思路点睛】由该几何体的三视图可知，该几何体可以看作是个圆柱体和一个三棱锥组合而成，然后再，根据柱体和锥体的体积公式，即可求出结果.8. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数的一个单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，则在上递减．考点：三角函数的性质.9. 设是自然对数的底，，且且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，“”，推不出“”，充分性不成立，时，，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.10. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则．考点：线面角.11. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图所示，为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，向量的夹角为钝角时，，又，两边除以得，即，解集，又，故选C.12. 若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】存在两个正实数，使得等式，设，则，设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可. 解答本题的关键是将实数转化为关于的函数，然后利用导数求解.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上)13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为________. 【答案】【解析】试题分析：画出约束条件，表示的可行域如图所示，由目标函数得直线，当直线平移至点时，目标函数取得最大值为．考点：简单的线性规划.14. 在矩形中，，,则_________.【答案】【解析】在矩形中，，，再根据，，，，故答案为.15. 在展开式中的系数为_________.【答案】【解析】由于，的系数，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16. 在中，角所对的边分别为，且满足,，则_________.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，化简得.所以．又因为，所以，所以，即，整理得.又，所以，两边除以得，解得.考点：余弦定理.【思路点睛】因为，化简得.所以．又因为，所以，由正弦定理和余弦定理整理得.，化简可的，两边除以得，即可求得.解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）由当时，，两式作差即可求出数列的通项公式；（2）由（1）的结论可知数列的通项公式，再用错位相减法求和即可得结果.试题解析：（1），①当时，，②①-②，得，在①中，令，得也满足上式，.(2)，，③，④④-③，得，即.18. 在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）．(1)填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.，其中【答案】（1）有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；（2）.【解析】试题分析：（1）首先根据频率分布直方图完成表格数据，然后根据公式计算出，再与临界表比较，从而作出结论；（2）首先求得的所有可能取值，然后分别求出相应概率，由此列出分布列，求得数学期望.试题解析：（1）k＝＝≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”. …6分（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X~B(3，).P(X＝k)＝C×()k(1－)3－k（k＝0，1，2，3），…10分E(X)＝3×＝. …12分考点：1、频率分布直方图；2、独立性检验思想；3、离散型随机变量的分布列与方差.19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，．是的中点．(1)求证：平面平面.(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）欲证平面平面，只要证平面即可；（2）设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求向量与平面的法向量的夹角即可．试题解析：（1）证明：∵平面，平面，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，取，则，即为面的一个法向量．设为面的法向量，则，即取，则，，则，依题意得，取，于是，，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．考点：1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角．【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角．本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力．属于中档题．20. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率，求得，由，得，将点代入，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）设，直线的方程是与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将用表示，化简后消去即可得结果.试题解析：（1）由椭圆方程可知：，焦点在轴上，，即，由，即，将点代入，解得，椭圆方程为.(2)设，直线的方程是，，整理，设，则是方程的两个根，（定值），为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数.（1）当时，求的图像在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）∵，，∴，.由点斜式即可求出结果；（2）∵，∴，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.因在上有两个零点，所以，由此即可求出结果.试题解析：解：（1）∵，，∴，∴切线方程为，即（2）∵，∴，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.因在上有两个零点，所以，即.∵，∴，即.考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性中的应用.【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，已知曲线(为参数)，直线. （1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值；（2）过点且与直线平行的直线交于点两点，求点到两点的距离之积. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）椭圆上的点坐标可以设为参数形式，表示出点线距求最值即可；（2）考查直线参数方程的定义，联立直线参数方程和椭圆方程，得到关于参数的二次，根据韦达定理得结果。
【中小学资料】四川省新津县2018届高三数学11月月考试题 理
四川省新津县2018届高三数学11月月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设i 为虚数单位，复数z 满足i zi -=12，则复数z 的共轭复数等于（ ） A.-1-i B.1-i C.1+i D.-1+i 2.设集合{}022≥-=x x x M ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-==211x y x N ，则n m ⋂等于（ ） A.(]0,1- B.[]0,1- C.[)1,0 D.[]1,03.已知)0,2(π-∈x ，34tan -=x ，则)sin(π+x 等于（ ） A.53 B.53- C.54- D.54 4.已知双曲线2222:1(00)y x c a b a b -=＞，＞的渐近线方程为x y 43±=，且其焦点为(0,5),则双曲线C 的方程（ ） A.116922=-y x B.191622=-y x C.221916x y -= D.221169x y -= 5.已知随机变量)11(-，N X ,其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（ ）附：若随机变量),(-2σμξN ,则6826.0)(=+≤<-σμξσμP ,9544.0)22(=+≤<-σμξσμPA.6038B.6587C.7028D.75396. 已知如图所示的程序框图，若输入的a,b,c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为（ ）A.1.125B.1.25C.1.3125D.1.3757.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.342+π B.344+πC.44+πD.42+π8.将函数2cos 2sin 3)(x x x f -=的图像向右平移32π个单位长度得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的一个单调减区间是（ ） A.)2,4(ππ- B.),2(ππ C.)4,2(ππ-- D.)2,23(ππ 9.设e 是自然对数的底，a ＞0，且a ≠1，b ＞0且b ≠1，则“log a 2＞log b e ”是“0＜a ＜b ＜1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6.若E,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点，且BE=B 1E ，1131CC F C =，则异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为（ ） A.63 B.62 C.103 D.102 11.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.)1,225(- B.)225,0(- C.)215,(-o D.)1,215(- 12.若存在两个正实数y x ,，使得等式033=-ay e x x y 成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A.),8[2+∞e B. ]27,0(3e C.),27[3+∞e D.]8,0(2e第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上)13.设变量y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-+014042022y x y x y x ，则目标函数x y z 3-=的最大值为________.14.在矩形ABCD 中，∠CAD=30°，→→→=∙AC AD AC ,则=∙→→AB AC _________. 15.6)1)(12(x x x +-在展开式中3x 的系数为_________.16.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a, b,c ，且满足A A sin 332cos22=, C B C B sin cos 4)sin(=-，则=cb _________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =3n (n ∈N *). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n =nn a ，求数列{}n b 的前n 项和S n . 18.（本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）．(1)填写下面的2x2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望。
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四川省成都市2018届高三数学11月月考试题 理本试卷满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置；2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(每小题5分,共60分)1.小思法说“浮躁成绩差”,他这句话的意思是:“不浮躁”是“成绩好”的（ ）.A 充分条件 .B 必要条件 .C 充分必要条件 .D 既非充分也非必要条件2.函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 （ ）3.右表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程的直线必过点( )().2,2A (). 1.5,0B ().1,2C (). 1.5,4D4.已知全集为R ,集合{}{}20.51,680xA xB x x x =≤=-+≤,R AC B =则( ).A (],0-∞ .B []2,4 .C [)()0,24,+∞ .D (][)0,24,+∞5.为得sin3cos3y x x =+的图像，可将3y x =的图像（ ）.A 向右平移4π个单位 .B 向左平移4π个单位 .C 向右平移12π个单位 .D 向左平移12π个单位6.已知函数()y f x =的图像是下列四个图像之一,且其导函数'()y f x =的图像如右图所示,则函数()y f x =的图像可能是( )DC BA7.已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧ .C p q ∧⌝ .D p q ⌝∧⌝8.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．.A 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 .B 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 .C 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人.D 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是( ).A 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦.B ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ .C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ .D ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设C 为复数集，12,z z C ∈，给岀下列四个命题：①12z z >是120z z ->的充要条件； ②12z z >是2212z z >充分不必要条件；③2112z z z =⋅是21z z =必要不充分条件； ④12z z R +∈是1212z z z z +=+的充要条件.其中真命题的个数是（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 411.设P 是ABC ∆所在平面内的一点,若()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅且222AB AC BC AP =-⋅.则点P 是ABC ∆的( ).A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心12.设定义在R 上的函数()f x 满足:()()xf x e f x '=+,且()00f =,则关于x 的方程()()()2110f x e e f x --+⋅+=⎡⎤⎣⎦的实根个数为 ( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 4第II 卷二、填空题(每小题5分,共20分)13．设复2018201711i z i +⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则z 的虚部是14.函数())lnf x x =的定义域为___________15.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，0cos cos 60,2,sin sin B CA AB AC mAO C B∠=⋅+⋅= 则实数m 的值为16.已知()f x 是定义在R 上的偶函数, 且当0x ≥时, ()x f x e =,若[],1x a a ∀∈+, 有()2()f x a f x +≥成立,则实数a 的取值范围是 三、解答题17.(10分)已知函数)32(log )(221+-=ax x x f（1）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围18.(12分) 某项运动组委会为了搞好接待工作，招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．得到下表:(1)根据以上数据完成2×2列联表, 问:能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为性别与喜爱运动有关？并说明理由.(2)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)抽取2名,求抽出的志愿者中能胜任翻译工作的人数ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考数据：19.(12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小； （2）求cos()4u A B π=-+的取值范围.20.(12分)函数()f x 满足:1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,且对任意,R αβ∈,都有()()()f f f αβαββα⋅=+,设12n n x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n x 的通项公式; (2)求数列{}n x 的前n 项和n S .21.(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，AB CD ∥，2AB CD =，090BAD ∠=，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点.（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ； （2）若直线PC 与平面PAD 所成角为045， 求二面角A DE C --的余弦值.22.(12分)已知函数()()ln xe f x a x x x=+-，e 为自然对数的底数.(1)当0a >时，试求()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 成都外国语学校2018届高三11月月考数学（理工类）答案一、选择题B A DCD ; B B D C A ; A C .二、填空题13．1-; 14.1,2⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭;15.2; 16.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 三、解答题17. 解：令223u x ax =-+，12log y u =.（1）()f x 的值域为R 223u x ax ⇔=-+能取()0,+∞的一切值()0,u ⇔+∞⊆的值域，()24120,3,a a a ⎡∴∆=-≥⇔∈-∞+∞⎣。
PE DCA（2）()f x 在]1,(-∞内为增函数223u x ax ⇔=-+在]1,(-∞内递减且恒正，[)min111,24202a a a u a a ≥≥⎧⎧∴⇔⇔∈⎨⎨=-><⎩⎩。
18. 解:(1) 完成由已知数据可求得()223010866 1.1575,16141614K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯()2221.2 1.16 1.158K K K ≈≈≈注:若算得或或不扣分1.15752.706,<0.10∴在犯错误的概率不超过的前提下，不能判断喜爱运动与性别有关． (2)ξ可取0,1,2.()()()2011022424242226661860;1;2151515C C C C C C P P P C C C ξξξ========= ξ的分布列为ξ的期望为()186204012151515153E ξ=⨯+⨯+⨯==19.解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =0,A π<<sin 0.sin cos .cos 0,tan 1.4A C C C CC π∴>=≠∴=⇒=从而又（2）由（1）知3.4B A π=-于是 cos()cos()cos 2sin().46u A B A A A A A πππ=-+=--=+=+3110,sin()1,2.46612462A A A u πππππ⎛⎤<<∴<+<⇒<+≤∴∈ ⎥ ⎝⎦20.解：()1111111111122222222n n n n n n n x f x f f f f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴==⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111111111122 1.22222n n n n n n n n n f x x x x +++++⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭{}1112.22 1.2.22n n n n n n n x x f x n x ⎛⎫∴==∴=⇒= ⎪⎝⎭是等差数列公差为1,首为()2312322222n nnS =++++① 231112122222n n n n nS +-=++++②22111111121.2222222n n n n n n S +++-=+++-=-①②得,22.2n n n S +∴=-21. 解： ()1,.AP F EF DF 取中点,连接E 为PB 中点，12EF AB ∴∥，又12CD AB ∥，CD EF ∴∥，CDFE ∴为平行四边形，DF CE ∴∥.又PAD △为正三角形，PA DF ∴⊥，从而PA CE ⊥，又PA CD ⊥，CD CE C =，PA ∴⊥平面CDE ，又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面CDE .()2,,,,.AB CD PA CD PA AB AB AD PA AD A AB PAD ⊥⇒⊥⊥=∴⊥∥又平面045.CD PAD CPD PC PAD CPD CD AD∴⊥⇒∠∠=∴=平面为与平面所成的角,即()(()(4,8,0,0,,0,4,0,,A AD B P D E =以为原点,建系如图.设则 ()()4,1,3,0,4,0.AE AD ∴==F(),,n x y z ADE =设为平面的法向量,4040n AE x y n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩则 ()4,3,0,4.z n =-=-令得()(12AP CDE =由知,为平面的一个法向量.257cos ,19AP n AP n AP n⋅∴<>==-19A DE C ---即二面角的余弦值为22.解:(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()221111xx e ax x e x f x a x x x +--⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭， 当0a >时，()0,,0xx e ax ∀∈+∞+>，()()001,0 1.f x x f x x ''∴<⇔<<>⇔>所以()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1. (2)由条件可知()0f x '=在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0x e ax += 在()1,11,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，a e ∴≠-，0xxe e ax a x+=⇔=-,().x e g x x ∴=-令则()()21x e x g x x -'=-.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>;当()1,2x ∈时,()0g x '<. ()g x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增;在()1,2上单调递减. ()()1g x g e ∴==-最大.而()211222g g e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭)222111240,.222e e e e ⎛⎫---=-=>∴->- ⎪⎝⎭a ∴的取值范围是()e --.。