【趣味数学】高中数学第9课时不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案新人教版必修1[范文]
高一数学均值不等式复习课教案新人教版
“均值不等式”复习课教学设计一、教学分析：“均值不等式”内容在高中《代数》第五章第5.3节中出现，它是证明不等式及其各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，具有变通灵活性和条件约束性特点，是高考数学备考的一个重要知识点，在这个专题复习课中，教师要结合学生在新课学习中暴露出来的知识与能力的缺陷，认真设计好复习方案，力争从正反两方面去加深理解，争取在复习中做到较好的效果。
二、目的要求：系统复习均值不等式及其等价式、特例式、使学生领会其中的三个条件，特别是“≥”或“≤”中取“=”号的充要条件，掌握相关配凑的技巧，并培养学生的探究精神。
三、重点：熟练运用均值不等式及其推论放缩不等式难点：求函数表达式与最值时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四、教学媒体：投影仪五、教学设计模式：知识联系正例同化反例顺应练习强化六、教学过程：（二课时）（一）知识联系（用投影仪显示）说明：①、a 1、a 2……a n ∈R+（公式a 12+a 22≥2 a 1 a 2中，a 1、a 2∈R ）②、在①的限制下，所有“≥”或“≤”中取“=”的充要条件是a 1=a 2=……=a n ③、在应用均值不等式求最值时，控制到项数（或因式）最多为3项的（二）、正例同化例1、如果a 、b ∈R+，且a ≠b ，求证：a 3+ b 3＞a 2b+ab 2（课本例题）说明：该例题课本上已给出了证法一、证法二（分析法、综合法）这里再用均值不等式探索另外两种证法。
证法三：∵a 、b ∈R+，且a ≠b则a 3+b 3=31 [（a 3+a 3+b 3）+（a 3+b 3+b 3）] ＞31（3333333333b b a b a a +）=a 2b+ab 2∴a 3+b 3 ＞a 2b+ab 2证法四：a 3+b 3=（a+b ）（a 2+b 2-ab ）＞（a+b ）（2ab-ab ）=a 2b+ab 2∴a 3+b 3＞a 2b+ab2例2、已知：0＜x ＜31，求函数y=x （1-3x ）的最大值分析一、原函数式可化为：y=-3x 2+x ，利用二次函数求某一区间的最值 解法一、（利用二次函数法可获得求解）（解略）分析二、挖掘隐含条件，∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x ＜31，则1-3x ＞0；可用均值不等式法 解法二、∵0＜x ＜31，∴1-3x ＞0∴y=x （1-3x ）=∙313x （1-3x ）≤31（23x -13x +）2=121 当且仅当 3x=1-3x 即x=61时 y 大=121例3、求函数y=4sinx ·cos 2x 的最值分析：利用sin 2x+cos 2x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值解：∵y 2=16sin 2x ·cos 2x ·cos 2x=8（2sin 2x · cos 2x ·cos 2x ）≤8（3x cos x cos x 2sin 222++）3=8*278=2764∴y 2≤2764，当且仅当2sin 2x=cos 2x 即tgx=±22时，取“=”号∴y 大=398 y 小=-398例4、已知：a 、b 、c 都是小于1的正数，求证：（1-a ）b 、（1-b ）c 、（1-c ）a 中至少有一个不大于41思路：用反证法，配凑整理后用均值不等式 证法一、假设（1-a ）b ＞41，（1-b ）c ＞41，（1-c ）a ＞41 ∵a 、b 、c ∈（0，1），则3=[（1-a ）+b]+[（1-b ）+c]+[（1-c ）+a] ≥()()()a c c b b a -+-+-121212＞412412412⋅+⋅+⋅=3 即3＞3，这是矛盾的，∴假设不成立，即原结论正确证法二、假设（1-a ）b ＞41，（1-b ）c ＞41，（1-c ）a ＞41则（1-a ）b （1-b ）c （1-c ）a ＞641……………………①又（1-a ）b （1-b ）c （1-c ）a ≤66a c)-(1c b)-(1b a -?1⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=621⎪⎭⎫ ⎝⎛=641这与①是矛盾的 ∴假设不成立，即原结论正确证法三、思路与法1、法2同，但变式方法不同（过程略）小结：1、利用均值不等式放缩不等式的常用辅助技巧是添项、拆项2、利用均值不等式求最值问题的常用辅助技巧是配凑和（或积）为定值（三）、反例训应 例5、求y=sinx+sinx5的最小值，[x ∈（0，π）] 错解，∵x ∈（0，π）∴sinx ＞0∴y=sinx+sinx5≥52=52 ∴y mix =52错因：y=52的充要条件是：sinx=sinx5，即sin 2x=5，这是不存在的。
人教版高中数学《不等式》全部教案
第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x 0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x )1(24++x x 22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=-∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<10 2．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a bm a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小 解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性） 证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件3．性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin与sin2的大小(0<<2) 略解：2sin sin2=2sin (1cos )当(0,)时2sin (1cos )≥0 2sin ≥sin2当(,2)时2sin (1cos )<0 2sin <sin23．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
(教案)均值不等式
均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（ ）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．（3）xx －1不是常数，故错误．答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（） A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（） A ．12 B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x．∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
高中数学_均值不等式及其应用教学课件设计
a b ab(a,b 0) 2
( a b)2 ab(a, b 0) 2
几何意义： 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
自主探究 深化认识
问题3：能否给均值不等式另一个几何意义呢？
几何解释 jihe.gsp
几何意义：
半径不小于半弦.
自主探究 深化认识
条件：“一正，二定，三相等”
• 思考与讨论：
学习目标
1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的 比较抽象出均值不等式并能证明；
2.通过自主探究，能够获得均值不等式的几何意义；
3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件，会用 均值不等式解决简单的最大值或最小值问题。
新课导入
.
假设一个矩形的长和宽分别为a 和 b
ab
（1）与这个矩形周长相等的正方形的边长为___2____；
（2）与这个矩形面积相等的正方形的边长为___a_b___；
（3）比较两个边长的大小.
问题探究
问题1：观察 a+b 与
2
你发现了什么结论？
ab 的大小关系，从中
问题2：你能给出它的证明吗？
归纳定理
均值不等式： （符号语言）a, b 0,
a b ab. 2
当且仅当 a = b 时，等号成立.
文字语言：两个正数的算数平均值大于或 误
【注意】：均值不等式中的 a, b 不仅是任意正实数，
还可以代入任意满足条件的式子。
自主探究 深化认识
矩形的长和宽分别为 a 和 b
（1）求出与这个矩形周长相等的正方形的边长； （2）求出与这个矩形面积相等的正方形的边长； （3）比较两个边长的大小.
• （1）判断下列解题过程是否正确，如果不正确请指 出错误原因；
均值不等式及其应用教学设计
均值不等式及其应用教学设计1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个看似复杂，其实挺简单的数学话题——均值不等式。
别担心，我不是要让你们头疼，只是想让大家轻松地了解这个有趣的概念。
说到均值不等式，首先要明白它是啥。
简单来说，它就像是数学界的“公平游戏”，告诉我们不同的平均数之间的关系。
你们有没有发现，生活中其实随处可见均值的影子？比如，吃饭的时候，大家点的菜，最后账单一分，大家心里都算得明明白白的，这就是个平均数的例子啊！2. 均值不等式的基础2.1 什么是均值不等式？那么，什么是均值不等式呢？很简单，均值不等式告诉我们，如果我们把一些数相加，算出平均值后，再和其中的最大值和最小值进行比较，会发现一些有趣的事情。
比如说，如果你们有三个数字，像是3、5、7，算出平均数是5。
而这时候，你会发现5比3和7都要“处于中间”，这就是均值不等式的妙处。
它好比说，你这碗汤太咸了，得加点水，才能让味道更均衡。
2.2 均值不等式的种类均值不等式也分几种，比如算术平均数和几何平均数。
算术平均数就像是我们平时算的平均分，而几何平均数就有点像魔法了，它可以用来处理一些指数关系。
举个例子，如果你有两个数，想算它们的几何平均数，你就得先把它们相乘，然后开方。
这听起来有点复杂，但实际上，它能帮我们更好地理解一些数的关系，就像在跟朋友聊天，分享生活的点点滴滴一样。
3. 均值不等式的应用3.1 生活中的应用均值不等式可不止是在数学书上见到的概念，生活中到处都能用得上。
比如在购物的时候，我们常常会考虑性价比，也就是用价格和质量的“平均”来判断哪个商品更划算。
这样一来，我们的生活也变得更简单、更方便了，买东西也不至于像头猪一样乱撞。
还有啊，在制定计划的时候，我们常常会用到均值不等式，来帮助我们分配时间和资源。
3.2 教学中的应用在教学中，如何将均值不等式生动地传达给学生呢？首先，老师可以通过生活中的实例引入，比如用大家喜欢的游戏来做比喻，告诉他们在游戏中，获取最高分和最低分的关系，以及它们如何影响整体的表现。
高中数学B版教学设计-第一册第二章第9课时-均值不等式及其应用1课件
新课讲解
【任务】：完成教材P72“尝试与发现” ，解决下列问题： 1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？ 2.它们的大小关系如何呢？
新课讲解
【结论】 两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 【均值不等式】 如果������，������都是正数，那么������+������ ≥ ������������，当且仅当������ = ������时，等号
2
均值不等式的一个几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的 面积最大. 3.【拓展】：请回答教材P73页的“想一想”.
新课讲解
【任务】 师生一起研究教材P73 — “探索与研究”中的问题，可以和你 的同桌交流，给出相应的结论.
新课讲解
【典型例题】 例1 已知������ > 0，求������ = ������ + 1的最小值，并说明������为何值时������取得最小值.
人教版高中数学B版必修第一册 第二章 2.2.4第1课时
《2.2.4 均值不等式及其应用》
新课讲解
【相关概念】 1.给定两个正数������，������，数������+������称为������，������的算术平均数；数 ������������称为
2
������，������的几何平均数. 2.①多个正数的算术平均值和几何平均值的定义.
������ ������
������ ������
������ ������
当且仅当������ = ������，即������2 = ������2时，等号成立.因为������������ > 0，所以等号成立的
������ ������
条件是������ = ������. �
均值不等式的实际应用PPT学习教案
水平视线PH的夹角分别为APH , BPH ,
其中 ,则学生看黑板的视角为
A
由tan a , tan b ,由此可得 ,
B
x
x
tan
tan tan
ab x Px
ab
a b H
1 tan tan
1
ab x2
x ab x
因为x ab 2 x ab 2 ab,当且仅当x ab时, tan 最大,
x
x
由于 为锐角,此时 最大,
即学生距墙壁 ab时看黑板的视角最大.
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例三:一批救灾物资随26辆汽车从某市以 vkm/h的速度运往灾区,已知两地的公路 长为400km,为了安全起见两辆汽车的间 距不得小于(v/20)2km/h,那么这批物质 全部云到灾区至少需要多少小时?
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均值不等式的实际应用
会计学
1
评述:此题既是不等式性质在实际中的应用，应注 意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不 等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质 的适用条件.
用均值不等式解决本章引例中此类问题时，应按 如下步骤进行： (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大 值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数 的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案
第1页/共9页
二、讲解范例：
例1.甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以 相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两 次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片 芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片， 哪家公司平均成本低？请给出证明过程。 分析：
均值不等式教学设计
均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）课题 3.2 均值不等式课型新授课课时2课时学情分析（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题. （二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力. （三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点.教学难点由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此应用均值定理求最值作为本节的教学难点.教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.教学资源与手段学案、教科书.以学案提纲代替多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率.小组讨论，培养团队合作精神.教学过程设计求函数求函数：求函数的最大值的最小值，。
最新-高中数学均值不等式及应用教案新人教A版必修5精品
xy
号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解 ： x 0, y 0, 1 9 1， x y
19 xy
xy
xy
y 9x 10 6 10 16
xy
y 9x
19
当且仅当
x
时，上式等号成立，又
y
x
y
1 ，可得 x
4, y
12 时， x
y min
16 。
变式：（ 1）若 x, y R 且 2x y 1，求 1 1 的最小值 (2) 若 a, b, x, y R 且 a b 1，求 x y 最小值
2
，求函数
y
3
x(2 3x) 的最大值 .
6 1即当 a b 1时， 3a 3b 的最小值是 6．
11
变式：若 log 4 x
log 4 y
2 ，求 x
的最小值 . 并求 x,y 的值
y
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
。
2：已知 x 0, y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值。 xy
3
时取等号。
2
故 ymax 2 2 。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a 2 b 2 c 2 ab bc ca
2 正数 a，b， c 满足 a＋ b＋ c＝ 1，求证： (1 － a)(1 － b)(1 － c) ≥ 8abc
法一： a＝ b＋ 1 ，
30－ 2b
－ 2 b 2＋ 30b
【教学设计】《 不等式的性质》(人教版)
《不等式的性质》不等式是刻画现实世界中不等关系的一种数学形式，而本节课所要学的《不等式的基本性质》，是在学生学习了有理数大小比较、等式及其性质、不等式概念以及用不等式表简单问题的基础上开始学习的，也是学生后续学习不等式及不等组的解集，用不等式及及不等式组解应用题的理论依据和基础；因此不本课的内容起到了承上启下的作用。
【知识与能力目标】。
1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2、掌握不等式的基本性质，运用不等式的基本性质将不等式变形。
【过程与方法目标】通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。
能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。
【情感态度价值观目标】通过创设情境，观察、猜想使学生得出不等式的基本性质，促使学生积极的参与到数学活动当中，并感受到成功的喜悦。
【教学重点】掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形。
【教学难点】不等式基本性质3的运用。
1、回顾思考，引入课题观察下面两个推理，说出等式的基本性质（1）b a =33±=±∴b a)22()22(y x b y x a +±=+±（2）b a =b a33=∴ 44b a -=- 提出问题：那么不等式有没有类似的性质呢？引入课题.2、创设问题情景，探索规律问题1：在天平两侧的托盘中放有不同质量的砝码.如图：右低左高说明右边的质量大于左边的质量.往两盘中加入相同质量的砝码，天平哪边高，哪边低？减去相同质量的砝码呢？问题2：在不等式的两边加上或减去相同的数，不等号的方向改变吗？如不等式7>4，-1<3 不等式的两边都加5，都减5.不等号的方向改变吗？能得出什么结论？得到：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变.提出问题：把“数”的范围扩大到整式可以吗？可以，因为整式的值就是实数.归纳总结：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（不等式的基本性质1）符号语言：如果b a <，那么c b c a +<+，c b c a -<-如果b a >，那么c b c a +>+，c b c a ->-问题3：若不等式两边同乘以或除以同一个数，不等号的方向改变吗？如不等式2<3，两边同乘以5，同除以5（即乘以51），同乘以0，同乘以-5，同除以-5.能得出什么结论？ 归纳总结：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.（不等式的基本性质2，不等式的基本性质3）符号语言：如果a >b ，c >0 ，那么ac >bc如果a <b ，c >0 ，那么ac <bc如果a >b ，c <0 ，那么ac <bc如果a <b ，c <0 ，那么ac >bc3、尝试练习，应用新知1）如果x ＋5＞4，那么两边都 可得x ＞－1 .2）在－7＜8的两边都加上9可得 .3）在5＞－2的两边都减去6可得 .4）在－3＞－4的两边都乘以7可得 .5）在－8＜0的两边都除以8 可得 .如果a >b ，那么1）a -3 b -3（不等式性质 ）2）2a 2b （不等式性质 ）3）-3a -3b （不等式性质 ）4）a -b 0（不等式性质 ）例题：例 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 x ＜a 或 x ＞a 的形式：（1） x －5 ＞－1 （2） － 2 x ＞ 3解（1）根据不等式的性质1，两边都加上5得：x－5＋5＞－1＋5即x＞4（2）根据不等式的性质3，两边都除以－2 得：3即x＜－2练习：根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：（1）3x＞5 （4）－4 x＜ 3 －x4、总结反思，获得升华让学生从知识方面、能力方面、思想方面进行总结，鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获与体会。
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【趣味数学】高中数学第9课时不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案新人教版必修1[范文]第一篇：【趣味数学】高中数学第9课时不等式性质应用趣题-均值不等式的应用教学案新人教版必修1[范文]第9课时不等式性质应用趣题―均值不等式的应用教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用教学过程：一、情境引入；日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。
前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。
下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。
在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。
平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动已知条件最优方案解决办法设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一经营成本各项费用单价及销售量成本最低函数、极值定理二车船票价设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出速度、各项费用及相应最低成本，再由此比例关系计算出最低票价（票价=最低票价+ +平均利润）例1、包装罐设计问题1、“白猫”洗衣粉桶“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？分析：容积一定=>лr h=V（定值）=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例2、“易拉罐”问题圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最省（即表面积最小）？分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.第二篇：《一元一次不等式的应用》教学案第2课时一元一次不等式的应用学习目标：1.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题.2.初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生的分析问题和解决问题的能力.预习导学：自学指导：阅读教材第124至125页，完成下列问题(先独立完成，再小组讨论)知识探究问题1：某人问一位老师，他所教的班有多少名学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”.求这个班共有多少名学生？解：设这个班有学生x名.根据题意，得：111x-x-x-x<6，解得：x＜56.247xxx∵x，,都是正整数，247∴x 取2、4、7的最小公倍数，即x＝28.问题2：为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元.经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.请你设计该企业有几种购买方案.解：设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10-x)台，依题意得：12x+10(10-x)≤105，解得：x≤2.5.因为x取非负整数，所以x取0、1、2.所以有三种购买方案：A型0台，B型10台；A型1台，B 型9台；A型2台，B型8台.变式：若企业每月生产的污水量为2 040吨，A型设备每月可处理污水240吨，B型机每月处理污水200吨，为了节约资金，应选择哪种方案？解：由题意得：240x+200(10-x)≥2 040，解得：x≥1.1 / 3所以x为1或2.当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102万元当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104万元又因为102<104 因此，为节约资金，应选购A型1台，B型9台.活动1 例题解析例12002年北京空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数之比达到55%，如果2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？分析：1.2002年北京空气质量良好的天数是多少？2.用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是多少？3.与x有关的哪个式子的值应超过70%？解：设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x天.2002年有（365×0.55）天空气质量良好，2008年有(x+365×0.55)天空气质量良好，并且x+365⨯0.55>70%，366去分母，得x+200.75>256.2，移项，合并，得x>55.45.由x应为正整数，得x≥56.答：2008年要比2002年空气质量好的天数至少增加56天.例2某次知识竞赛共有20道题.每道题答对加10分，答错或不答均扣5分：小明要想得分超过90分，他至少要答对多少道题？解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为（20-x）.根据他的得分要超过90，得210x-5(20-x)>90，解这个不等式，得x>12.3由题意，小明至少要答对13道题.活动2 课堂小结列一元一次不等式解应用题的一般步骤：/ 3(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式，求得不等式的解集；(5)答：写出答案并检验是否符合题意.3 / 3第三篇：九年级数学中考一轮复习教学案：第8课时一次不等式(组)及其应用第8课时一次不等式（组）及其应用【复习目标】1．能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质．2．能运用不等式的基本性质解一元一次不等式（组），能在数轴上表示一元一次不等式的解集，会用数轴确定一元一次不等式组的解集．3．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的实际问题．【知识梳理】1．不等式的相关概念：(1)用“>”、“<”等不等号表示_______的式子，叫做不等式．(2)使不等式成立的_______的值叫做不等式的解．(3)使不等式成立的未知数的_______叫做不等式的解集．(4)求一个不等式的_______的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式． 2．不等式的性质：3．一元一次不等式：只含有_______个未知数，且未知数的次数是_______的不等式．4．一元一次不等式组：几个_______合在一起就组成一个一元一次不等式组．一般地，几个不等式的解集_______，叫做由它们组成的不等式组的解集．5．解一元一次不等式的基本步骤：(1)去分母．(2)________．(3)_ _______．(4)________．(5)系数化为1．在(1)、(5)的变形中要注意不等式的性质2、3的正确使用．6．求一元一次不等式组的解集，应先分别求出_______，再求出它们的_______部分，就得到一元一次不等式组的解集．7．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况(a⎧x>a(1)⎨的解集是x>b，即“大大取大”．，⎩x>b-1－2考点三一次不等式（组）的解法例3解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7．提示本题是含括号的一元一次不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等不难求得不等式的解集．⎧x-3+3≥x+1① ⎪例4解不等式组⎨2并把解集在数轴上表示出来．② ⎪1-3(x-1)<8-x⎩提示先求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分就是这个不等式组的解集．考点四确定不等式（组）的特殊解⎧⎪x+3≥2-x 例5解不等式组，并写出不等式组的整数解：⎨⎪⎩3(x-1)+1<2(x+1)提示先确定不等式组的解集，然后确定整数解．考点五利用不等式（组）的解集确定字母的值或取值范围① ②⎧1+x>a 例6 若关于x的不等式组⎨有解，则a的取值范围是()2x-4≤0⎩ A．a≤3 B．a<3 C．a<2 D．a≤2 提示已知不等式组有解，于是我们就先确定不等式组中每一个不等式的解集，再利用解集的意义确定实数a的取值范围．考点六一元一次不等式（组）的应用例7 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．提示(1)假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，结合单价，得出方程求解即可；(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出最省方案．⎧2x+3>3x⎪5．解不等式组⎨x+3x-11并求出它的整数解的和．-≥⎪62⎩36．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，则需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，则需要800元．(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，则该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？第四篇：高三数学总复习 5.4 不等式的应用教学案新人教版必修1 §5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R，那么+a+b≥ab.22.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数bby=ax+,y=ax2+,y=k[(a+b)x(c-ax)(d-bx)]”xx为模型的新的形式.三经典例题导讲 [例1]求y=x2+5x+42的最小值.错解：Θ y=x2+5x+42=x2+4+1x+42≥2x2+4⋅1x+42＝2 ∴ y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=x2+4,则t≥2,于是y=t+,(t≤2) 1t由于当t≥1时，y=t+51是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.2t22[例2]m为何值时，方程x+(2m+1)x+m－3=0有两个正根.⎧2m+1<0错解：由根与系数的关系得⎨2⇒m<-3，因此当m<-3时，原方程有两个正根.⎩m-3>0错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.113⎧m≥-⎪4⎧∆=(2m+1)2-4(m2-3)≥0⎪⎪1⎪⇒⎨m<-正解：由题意：⎨2m+1<02⎪2⎪⎩m-3>0⎪m<-3或m>3⎪⎩⇒-1313≤m≤-3,因此当-≤m≤-3时，原方程有两个正根.44[例3]若正数x，y满足6x+5y=36，求xy的最大值．解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以6x+5≥6x⋅5y=30xy 2当且仅当6x=5y时，取“=”号．因6x+5y=36，则30xy≤365454，即xy≤，所以xy的最大值为.255[例4] 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以2肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2ab+2bc+2ac=S．而 22y=（abc）=（ab）（bc）（ac）当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y有最小值答：长方体的长、宽、高都等于6ss6s时体积的最大值为.636说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练321.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每1m的造价为150元，2池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.23.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．4.设函数f(x)=ax+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切x∈R都有|ax2+bx+c|>1.4|a|25．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？第五篇：2011年高一数学学案：2.2.3《对数函数及其性质的应用》(新人教A版必修1)2.2.3对数函数的性质（性质的应用）A(1)进一步熟练掌握对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。