华工应用随机过程试卷及参考答案

华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间 120 分钟）院/系年级 __专业姓名学号1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且EX 存在，C 是F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ；（2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、_____增量，且∀t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )− N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )− N (t ) =1})＝_____________；3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则∀t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。

二、证明分析题（共 12 分，选做一题）1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有指数分布，即：P({X ≤ a}) =1−e−λa ，a >0，其中λ是正常数。

设λ是另一个正常数，定义：Z = λλe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，∀A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函数：P({X ≤ a})，a>0；2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1−X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足：F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ⋅∏kn=1 1 X−k X −1 k ，n ≥1，试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！三、计算证明题（共60 分）1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记E(XI A )忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)；P(A)2、（10 分，选做一题）（1）设X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且X,Y 相互独立；∀c >0，设fX X )为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度，试求之并由此求+Y (x cE(X X +Y = c)；⎧1)及（2）设(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;，试求fY X (y x⎪⎩0,其它；P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X 2 +Y 2 ≤1})；3、（4 分，选做一题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分布，试基（2）设于微元法由条件密度求E(XX <Y)；(X,Y)～U (D)，D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ⎡⎣(Y −X )2X ⎤⎦；[0,1]分布，Y = min{X1, X2, , 4、（10 分）设X1, X2, , X n 独立同U求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))；X n}，试由条件数学期望的一般定义5、（14 分）设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的Poisson 过程，S0 = 0，S n 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）P(N (s) =kN (t) = n)（s <t,k = 0,1, ,n）；（2）E(S k N (t) = n)，k ≤ n；6、（10 分）设{W (t),t ≥ 0}为标准Brown 运动，试由Ito-Doeblin 公式求解随机微分方程 d ⎡⎣S(t)⎤⎦= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，并求E ⎡⎣W4 (t)⎤⎦，E ⎡⎣W6 (t)⎤⎦。

四、应用分析题（共12 分）设股价遵循几何布朗运动dS(t)= μS(t)dt +σS(t)dW (t)，利率为常数r 。

定义风险的市场价格为：Θ = μ−r 以及状态价格密度过程σ为：ζ(t) = exp⎧⎨⎩−ΘW (t)−⎛⎜⎝r + 1 2 Θ2 ⎠⎞⎟t⎭⎫⎬；a）证明：dζ(t)=−Θζ(t)dW (t)−rζ(t)dt ；b）设X 表示投资者采用组合过程Δ(t) 时其资产组合的价值（自融资组合），即有：dX (t)= rX (t)dt +Δ(t)(μ−r)S(t)dt +Δ(t)σS(t)dW (t)，证明：ζ(t) X (t)是鞅；c）试从对冲欧式看涨期权空头的角度（或用组合资产复制期权）导出股价遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的B—S 方程，并推导风险中性测度下的定价公式。

【以上三小题选做a）、b）或c）】华南理工大学2011—2012 学年第一学期《应用随机过程》A 卷参考答案一、填空题1、（1）E(XC)为C-可测的；（2）∀A∈C ，∫A XdP =∫A E(XC)dP⎡⎣∫A E(XC)dP C ⎤⎦； 2、独立、平稳，1−λh+o(h)，λh+o(h)；123、 N (0,t )，{W (t ),t ≥ 0}，{W 2 (t )−t ,t ≥ 0}，⎧⎨e σW (t )−2σ t ,t ≥ 0⎬⎫；⎩ ⎭4、 ⎪⎨⎧dX (t ) = −g ⎡⎣X (t ),Y (t )⎦⎤dt +Y (t )dW (t ),t ∈[0,T ];，随机微分方程处⎪⎩X (T ) =ξ; 理问题的实质在于：尽管现在时刻投资者无法预知将来某时刻的收益（随机变量），但投资者仍可确切地计算出今天如何去做，才能达到将来时刻的不确定收益！二、证明分析题（选做一题）1、（1）P (Ω) = ∫Ω ZdP = ∫Ωλλe −(λ−λ)X dP = ∫R λλe −(λ−λ)x dP X ⎣⎡P X (⋅)− X 的概率分布⎦⎤X ～f (x )∫R λλe −(λ−λ)x f (x )dx = ∫0+∞λe −λx dx =1；（2）∀a >0，P ({X ≤ a }) = ∫{X ≤a } ZdP = ∫X−1)dP =∫(−∞,a ]λ λe −(λ−λ)x dP X = ∫(−∞,a ]λλe −(λ−λ)x f (x ) dx = ∫0 a λe −λx dx =1；2、由于 X n +1～U (1− X n ,1)，1− X n +1～U (0, X n )，1− X n +1 ～U(0,1)，X nE (Y n ) ≤ 2n < +∞，∀n ≥1；且∀n ≥0，E (Y n +1F n ) = E ⎛⎜Y n ⋅2⋅1− X n +1 F n ⎞⎟ =Y n 为F n −可测的2Y n ⋅E ⎛⎜1− X n +1 F n ⎞⎟1− X n +1 独立于F n⎝ X n ⎠ ⎝ X n ⎠ X n⎛1− X n +1 ⎞ Y n ,a .s .，即有：{Y n ,n ≥ 0}关于域流{F n ,n ≥ 0}是鞅（过(( ] ( ) , X a e λ λ λ λ − − −∞2Y n ⋅E⎜⎟= ⎝X n ⎠程）！三、计算证明题无记忆性，X −cX >c dX ，1、（1）由几何分布的E(X −cX >c)= EX = 1 ，E(XX >c)= E(X −c X >c)+ E(c X >c)= 1+c ；λλ（2）E(XX >c)= PE(⎣⎡{XIX{>X >c c}}⎦⎤) = ∫−+∞∞ xI{x>e c−}λf cX (x)dx =∫c+∞λexe−λc−λx dx =λ1 +c；2、（1）易见，(X,Y)～f (x, y) = ⎪⎨⎧λμe−(λx+μy) ,x, y >0;，令⎧⎨U = X +Y ，从⎪⎩0,其他; ⎩V = X而由⎧⎨u = x + y ，∂(u,v) = −1，∂(x, y) = −1，从而⎩v = x ∂(x, y) ∂(u,v)(X +Y, X ) = (U,V )～g(u,v) = ∂(x, y) ⋅f (v,u −v) = ⎧⎨⎪λμe−(λ−μ)v−μu ,u >v >0 ; ，则∂(u,v) ⎪⎩0,其他;⎧u有U = X +Y～f U (u) = ∫−+∞∞ g(u,v)dv = ⎨⎪∫0 λμe−(λ−μ)v−μu dv,u >0 ; =⎪⎩ 0,其他;⎪⎨ ⎧ λμ ⎡e −μu − e −λu ⎤⎦,u >0; ；从而，λ−μ ⎣⎪⎩ 0,u ≤ 0 ;⎧ e −(λ−μ)vV U =u ～f V U (v u ) = ⎪⎨(λ−μ)1−e −(λ−μ)u ,0 <v <u ;，E (VU = u )=∫−+∞∞vf VU (vu )dv⎪⎩ 0,其他;=∫0u v ( )1−e −e (λ−−λμ−)μv dv 1 1−⎡⎣1+(λ−−μλ)−μu ⎦⎤e −(λ−μ)u ，也即有λ−μ ( )u =λ−μ⋅ 1−e ( )u11−⎡⎣1+(λ−−μλ)−μc ⎤⎦e −(λ−μ) c 。

E (XX +Y = c )=⋅ 1 e ()c λ−μ−（2）令 X ～f X (x )，即有： f X (x ) = ∫−+∞∞ f (x , y )dy = ∫0x1x dy ,0 ≤ x ≤1，即：X ～U [0,1]；令Y X =x ～f Y X (y x )，即有：0 <x <1时，f (x , y )1=f Y X (y x ) = = ,0 ≤ y ≤ x ，即：Y Xx～U [0,x ],0 <x <1；从而，f X (x ) x∀x ∈(0,1)，P (X 2 +Y 2 ≤1 X = x ) = P (− 1− x 2 ≤ Y ≤ 1− x 2 X = x) =P (0 ≤Y ≤ 1− x 2 X = x )=∫0 1−x 2 f Y X (y x )dy =∫0x ∧ 1−x 2 1x dy =1∧ 1−x x 2 ；P({X 2+Y 2≤1})=∫−+∞∞P (X 2 +Y 2 ≤1 X = x ) f X (x )dx =∫01 P (X 2 +Y 2 ≤1 X =x )dx2 +1 。