数列经典例题

数列与线性规划１．已知数列{}n a 的前n项和为nS ,满足()()211122,3n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a =( ）A ．41n - B.21n + C ．3n D.2n + 【答案】A 【解析】试题分析:当1n =时，()2213234,7a a ⋅+-⋅==,故A 选项正确. 考点:数列求通项．2．已知数列{}n a 中, 45n a n =-+,等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥,且12b a =，则12n b b b +++=（ ）A. 14n- B ． 41n- C. 143n - D. 413n -【答案】B【解析】试题分析：依题意有124,3q b a =-==-,故()()134n n b -=--，所以134n n b -=⋅，这是一个等比数列，前n 项和为()3144114n n -=--.考点：等比数列的基本性质.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =( ) A.1 B.2 C.3 D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：199515539()9215()52a a S a a a S a +===+．故选Ａ. 考点:等差数列的前n 项和.４.在等比数列{}n a 中,1401a a <<=,则能使不等式12312311110n n a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是（ ）A.5 Ｂ.6 C ．7 D ．8 【答案】C 【解析】试题分析:设公比为q ,则1231231111n n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+,即()111111111n n a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--,将131a q =代入得：7n q q ≤，1,7q n >∴≤．考点：(1)数列与不等式的综合;(2)数列求和.【方法点晴】本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题,仔细解答．将不等式转化为两个等比数列之和,解不等式，对于在选择题中，该题还可以计算出721,a a a ,可得0111772211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a a ,可得不等式成立的最大整数n .５．数列{}n a 中,11++=n n a n ,9=n S ，则=n ( ）A.9７B.98C.99D.１0０【答案】C 【解析】 试题分析:由nn n n a n -+=++=111，∴)(11n S n =++++19==，所以99=n ，故选C.考点:数列求和.６.已知()()*111,n n n a a n a a n N+==-∈，则数列{}n a 的通项公式是( )A ．n B.11n n n -+⎛⎫⎪⎝⎭C.2n D ．21n -【答案】A 【解析】试题分析：由已知整理得()11+=+n n na a n ，∴n a n a n n =++11，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是常数列．且111==a n a n ，∴n a n =,故选项为Ａ． 考点：数列的递推式. 【一题多解】当2≥n 时，11-=-n n a a n n ,2121--=--n n a a n n ,…,2323=a a ，1212=a a , 两边分别相乘得n a a n=1.又∵11=a ，∴n a n =. 7.在数列{}n a 中，1112,1nn na a a a ++=-=-，则2016a =( ） A ．－２ B ．13- C ．12Ｄ.3 【答案】D 【解析】试题分析:由条件可得：21-=a ,312-=a ,213=a ，34=a ,25-=a ,316-=a ，…，所以数列{}n a 是以4为周期的数列,所以342016==a a ,故选项为Ｄ. 考点:数列的函数特性.８．已知数列{}n a 满足11a =,12(2,)n n a a n n N *-=≥∈，则数列{}n a 的前6 项和为（ )A.63 B ．127 C ．3263 D ．64127【答案】C【解析】 试题分析:11122n n n n a a a a --=∴=,所以数列是等比数列,公比为12()616163132a q S q -∴==- 考点:等比数列求和9．三个实数,,a b c 成等比数列,且3a b c ++=,则b 的取值范围是（ )A.)0,1[- B ． ]10，（C. ]3,0()0,1[⋃- D ． ]1,0()0,3[⋃- 【答案】D 【解析】试题分析:设此等比数列的公比为q ，∵3a b c ++=，∴3bb bq q++=，∴311b q q=++.当0q >时，3121b ≤=+，当且仅当1q =时取等号,此时(]01b ∈，;当0q <时,3321b ≥=--+,当且仅当1q =-时取等号,此时[)30b ∈-，．∴b 的取值范围是[)(]3001-⋃，，．故选:D.考点：等比数列的性质. 【思路点睛】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力；解答本题时,首先设此等比数列的公比为q ,由3a b c ++=，可得3b b bq q++=，变形为311b q q=++.对q 分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．10．等比数列}n a {中,已知对任意正整数n ，m a a a a nn +=++++2321 ,则2232221n a a a a ++++ 等于( )A.)4(31m n +B. )12(31-nC. )14(-nD. 2)2(m n + 【答案】A 【解析】试题分析:∵当2n =时,124a a m +=+，当1n =时,12a m =+,∴22a =，∴公比22q m =+,∴等比数列{}n a 是首项是１,公比是22m+的等比数列,∵()2221224a m a =+=，,∴等比数列2{}n a 是首项是1，公比是222m ⎛⎫⎪+⎝⎭的等比数列，∴()222221222321122(4)3212n n n m m m m a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭ ⎪++ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭++⋯+==,故选A ． 考点:等比数列的性质.１1．已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ，若{}2log n a 是公差为1-的等差数列，且638S =,则1a 等于( ） A.421 B.631 C.821Ｄ．1231【答案】Ａ【解析】试题分析：因为{}2log n a 是公差为1-的等差数列,所以21log 112211log log 1,22a n n n n a a n a a -+-+=-+==,61111131...,24328S a a ⎛⎫=++++== ⎪⎝⎭421,故选A ．考点:1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式．１２．已知等比数列}{n a 满足421=+a a ，1232=+a a ，则=5a ( ） A ．64 B.81 C ．128 Ｄ．243【答案】Ｂ 【解析】试题分析:设等比数}{n a 的公比为q ,由421=+a a ，1232=+a a ，得11211412a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩，所以4451381a a q ===，故选Ｂ.考点：等比数列的通项公式． １3．设}{n a 为等差数列,若11101a a <-,且它的前n 项和S n 有最小值，那么当Ｓn 取得最小正值时，nＡ．１8 B.19 C.２0 D ．21 【答案】C 【解析】试题分析:∵n S 有最小值，∴d ＞0，故可得1011a a <， 又11101a a <-：()()20120101110100S a a a a =+=+>, 1910190S a =<∴20S 为最小正值考点：等差数列的通项公式;等差数列的前ｎ项和 1４.数列{}n a 满足11a =且1122--=-n n n n a a a a()2≥n 则n a =( )A.21n + B ．22n + C ．2()3n D.12()3n - 【答案】Ａ 【解析】试题分析:由递推公式可得111112n n n a a a -⎧⎫-=∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为12，首项为１,所以通项公式为()111211221n n n n a a n +=+-⨯=∴=+ 考点：等差数列15．已知等比数列{}n a 中, 262,8a a ==,则345a a a =( ）A.64±B.64C.32D.16【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,而246,,a a a 同号，故44a =,所以3345464a a a a ==.考点：等比数列的性质.16.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为( ) Ａ． 4 B.16 Ｃ． 9 D.3【答案】Ｂ 【解析】试题分析：依题意()3133310b a m a b a b a b ⎛⎫≤++=++⎪⎝⎭,331016b a a b ++≥,故16m ≤．考点：不等式．１7.若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是( ) A.524 B. 528 C. ５ D. ６【答案】C【解析】试题分析：535xy x y =+≥≥，243455x y +≥≥=.由xy y x 53=+两边除以5xy 得13155y x +=,()131********3455555555x y x y y x y x ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x y y x =即11,2x y ==时等号成立. 考点：基本不等式．【思路点晴】本题考查基本不等式．基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说,利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.本题若不不小心忘记检验等号是否成立，会产生如下的错解:535xy x y =+≥≥，243455x y +≥=.连用两次基本不等式，等号不是同时成立.18.已知0,0a b >>，则33a b+的最小值是（ )A.10 Ｂ． C ．１2 D ．２0 【答案】C 【解析】试题分析:3312a b +≥≥．故选C. 考点:基本不等式．【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.１９.若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m和n ，则=-n m ( )A ．5 Ｂ.6 C.7 Ｄ.8 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示,将交点代入2z x y =+可求得最大值为3，最小值为3-，差为8.考点：线性规划．2０．点(),M x y 是不等式组0333x y x y⎧≤≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示的平面区域Ω内的一动点,且不等式20x y m -+≥恒成立，则m 的取值范围是（ )A ．323m ≥-B ．3m ≥ Ｃ.0m ≥ Ｄ．123m ≥- 【答案】Ｂ【解析】试题分析:若20x y m -+≥总成立,即2m y x ≥-总成立,设2z y x =-即求z 的最大值即可,作出不等式组的平面区域如图，由2z y x =-得2y x z =+,则图象可知当直线经过点(0,3)C 时，直线的截距最大,此时z 最大,303,3z m =-=∴≥，故选B.考点：简单的线性规划．21.变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是( )A ．{}3,0- B.{}3,1- C ．{}0,1 D ．{}3,0,1- 【答案】B 【解析】试题分析:不等式对应的平面区域如图：由z ax y =+得y ax z =-+,若0a =时,直线y ax z z =-+=,此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件，若0a ->，则直线y ax z =-+截距取最大值时,z 取最大值，此时满足直线y ax z =-+与与2y x =-平行，此时1a ->解得1a =-，若0a -<,则直线y ax z =-+截距取最大值时,z 取最大值,此时满足直线y ax z =-+与314y x =-+平行,此时3a -=-解得3a =．综上满足条件的1a =-或3a =,故选B.考点：简单线性规划.【易错点睛】作出不等式对应的平面区域，利用z ax y =+的取得最大值的最优解有无穷个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．本题主要考查了线性规划的应用,利用z 的几何意义，结合z ax y =+取得最大值的最优解有无穷个,利用数形结合是解决本题的根据．２2.已知变量y x ,满足约束条件Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤a y x y x y 12，若Ω表示的区域面积为4,则y x z -=3的最大值为( ）Ａ．5- B.3 C.5 D ．7 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示,因为区域面积为4,可求得1=a ，由此得平面区域，可知当y x z -=3过点)2,3(时有最大值，为7.故选D ．考点:简单的线性规划.２3.设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-15020010y y x y x ,则y x 32+的最大值是( )A.20 B ．35 C.45 Ｄ.55 【答案】D 【解析】试题分析：画出可行域，如上图阴影部分.令23z x y =+,当0z =时,23y x =-,将此直线向右上方平移,当经过C 点时,直线的纵截距有最大值,z 有最大值,而(5,15)C ,所以max 2531555z =⨯+⨯=，选D.考点:简单的线性规划．２４．已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ )A.9[,6]5 B ．9(,][6,)5-∞+∞ Ｃ.(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6] 【答案】Ａ 【解析】试题分析：作出可行域,如图ABC ∆内部(含边界）,yx表示点(,)x y 与原点连线的斜率，OABCDxy易得59(,)22A ，(1,6)B ，992552OAk ==,661OB k ==,所以965yx ≤≤.故选Ａ.考点:简单的线性规划的非线性应用．25.已知变量x ,y 满足约束条件01x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z 122x y =+-的最大值是A.-12 Ｂ．0 C ．12 D ．1 【答案】D 【解析】试题分析:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）．由z ＝2x+y －12得y=-2x+ｚ+ 12,平移直线y=-2x+z+ 12， 由图象可知当直线ｙ=-2x+z ＋ 12经过点B 时，直线y=-2ｘ＋ｚ+ 12的截距最大,此时ｚ最大．由1x y x y =⎧⎨+=⎩,解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即B 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入目标函数z=2x+y- 12得z=2×12＋ 12－ 12＝1. 即目标函数z=2x+y － 12的最大值为１考点:线性规划问题2６.若不等式组20,,02,x y y m x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形,则m 的取值范围是（ )A ．[2,4)B ．[2,)+∞C ．[2,4]D ．(2,4] 【答案】A 【解析】试题分析：由不等式组可得可行域（如图），当直线m y =在2=y 与4=y （不包括4=y )时，平面区域是一个三角形,可知m ∈[2,4).考点：简单线性规划.【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题,属于基础题．处理此类问题时,首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等.本题考查方向为可行域的确定,通过对不等式中参数的可能取值而确认满足条件的可行域.27．若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y +的最大值是( )A ．12B ．１0 Ｃ.9 Ｄ.4 【答案】Ｂ 【解析】试题分析：由约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，作出可行域,如图所示，因为(0,3),(0,2)A C -,所以OA OC>,联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得(3,1)B -，因为2222(3(1))10OB =+-=，所以22x y +的最大值是10，故选Ｂ.考点:简单的线性规划.28.已知x ，y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,,43,x y x x y 则y x z 2+=的最大值是( ）A ．１0 B.８ C ．6 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：如图,画出可行域，设52y x z +='，z '表示可行域内的点到直线02=+y x 的距离，那么z y x '=+52,根据图像,很显然，点()22--，A 到直线02=+y x 的距离最大，最大值为()562122222=+-⨯+-=d ,所以y x 2+的最大值就是6565=⨯,故选Ｃ.考点：线性规划29.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是 Ａ．y x z -=51 Ｂ.y x z +-=3 C.15z x y =--D ．y x z -=3【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知,目标函数15z x y =-与3z x y =-+均是在点(5,1)A --处取得最大值，目标函数15z x y =--在点(1,4)C 处取得最大值,目标函数y x z -=3在点(4,1)B 处取得最大值，故选D.考点：线性规划.30.如图所示,表示满足不等式()(22)0x y x y -+->的点()x y ，所在的区域为【答案】B 【解析】试题分析:线性规划中直线定界、特殊点定域。