11-4 能量-时间不确定度关系
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结构化学课件(周公度版)第一章
有带电或不带电物体的运动，因而也不是电磁波.
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆 逊用薄膜透射法证实了物质波的存在, 用德布罗意关系式计 算的波长与布拉格方程计算结果一致. 1929年, de Broglie获 诺贝尔物理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获
得诺贝尔奖.
请在后面输入加速电压: de Broglie波长等于
100 V 122.5 pm
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动量 量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了，但 “定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
1 1 R( 2 2 ), n2 n1 n1 n2 n1 1, Lyman 系 n1 2, Balmer 系 n1 3, Paschen 系 n1 4, Brackett系 n1 5, Pfund 系
原子光谱是原子结构的信使. 那么, 在此之前, 人们对 原子结构认识如何呢?
1.1.2
光电效应与光量子化
经典物理无法解释的另一个现象来自 H.R.赫芝1887
年的著名实验. 这一实验极为有趣和重要, 因为它既证实 了Maxwell的电磁波理论——该理论认为光也是电磁波, 又发现了光电效应(photoelectric effect), 后来导致了光的 粒子学说.
1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图
的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的思想方法，
不确定性原理
不确定性原理概述：不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在量子力学中，无法同时准确确定粒子的位置和动量，或者说粒子的位置和动量具有一定的不确定性。
不确定性原理改变了人们对物理世界的认识，揭示了微观世界的本质。
1. 不确定性原理的基本概念不确定性原理包括位置-动量不确定性原理和能量-时间不确定性原理两个方面。
位置-动量不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被准确测量，其测量结果存在一定的不确定性。
能量-时间不确定性原理则表明，粒子的能量和存在时间也存在一定的不确定性。
2. 位置-动量不确定性原理位置-动量不确定性原理可以用数学表达式来描述，即Δx·Δp ≥ h/2π，其中Δx为位置的不确定度，Δp为动量的不确定度，h为普朗克常数。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的位置时，其动量的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的动量时，其位置的不确定度会增大。
3. 能量-时间不确定性原理能量-时间不确定性原理可以用数学表达式来描述，即ΔE·Δt ≥ h/2π，其中ΔE为能量的不确定度，Δt为时间的不确定度。
这意味着，当我们试图准确测量粒子的能量时，其存在时间的不确定度会增大；反之，当我们试图准确测量粒子的存在时间时，其能量的不确定度会增大。
4. 不确定性原理的实验验证不确定性原理的实验验证是通过一系列精密的实验来观察和测量微观粒子的行为得出的。
例如，双缝干涉实验就是一种经典的实验，通过在射出粒子的路径上设置两个狭缝，观察粒子在屏幕上形成的干涉条纹，从而验证了不确定性原理。
5. 不确定性原理的意义和应用不确定性原理的提出对物理学产生了深远的影响。
它揭示了微观世界的本质，推翻了经典物理学中对粒子位置和动量的确定性认识。
不确定性原理也被广泛应用于量子力学的研究和技术应用中，如量子计算、量子通信等领域。
6. 不确定性原理的局限性不确定性原理并不意味着我们无法获得任何关于粒子位置和动量的信息，而是指在某一时刻上我们无法同时准确获得它们的值。
能量时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
11.4 能量-时间不确定度关系
在1.1节中已经指出，由于微观粒子具有 波动性，人们对于粒子的力学量的经典概念 有所修改.把经典粒子力学量的概念全盘搬到 量子力学中来,显然是不恰当的.使用经典粒子 力学量的概念来描述微观粒子必定会受到一 定的限制.这个限制集中表现在Heisenberg 的 不确定度关系中.下面我们来讨论与此有关,但 含义不尽相同的能量-时间不确定度关系.先讨 论几个特例.
下面对能量-时间不确定度关系给一个较普遍的描述.
前面（3.3.1）讲过，两个力学量 A 和 B 不确定 度之间的关系是
ΔA ΔB 1 [A, B] 2
(6)
其中
___________
A (A A)2
那么对于以下常见的能量-时间不确定度关系
如何理解？ E t
(7)
2
11.4 能量-时间不确定度关系
(8)
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
所以，定义对应于力学量 A 的时间不确定度
A
d
A A/dt
就有
E A
h 2
这里 A 是 A 改变 A所需的时间间隔,表征 A 变化 快慢的周期.在给定状态下, 每个力学量A都有相的
A ,在所有的 A 中,最小的一个记为τ.这就是能量时间 不确定关系的含义.
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
例1 设粒子初始状态为 (r,0) 1(r) 2 (r), Ψ1和Ψ 2 是粒子的两个能量本征态，本征值为 E1和E2,则
Ψ (r,t) Ψ1(r) eiE1t h Ψ 2 (r) eiE2t h
（1）
11.4 能量-时间不确定度关系
在1.1节中已经指出，由于微观粒子具有 波动性，人们对于粒子的力学量的经典概念 有所修改.把经典粒子力学量的概念全盘搬到 量子力学中来,显然是不恰当的.使用经典粒子 力学量的概念来描述微观粒子必定会受到一 定的限制.这个限制集中表现在Heisenberg 的 不确定度关系中.下面我们来讨论与此有关,但 含义不尽相同的能量-时间不确定度关系.先讨 论几个特例.
下面对能量-时间不确定度关系给一个较普遍的描述.
前面（3.3.1）讲过，两个力学量 A 和 B 不确定 度之间的关系是
ΔA ΔB 1 [A, B] 2
(6)
其中
___________
A (A A)2
那么对于以下常见的能量-时间不确定度关系
如何理解？ E t
(7)
2
11.4 能量-时间不确定度关系
(8)
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
所以，定义对应于力学量 A 的时间不确定度
A
d
A A/dt
就有
E A
h 2
这里 A 是 A 改变 A所需的时间间隔,表征 A 变化 快慢的周期.在给定状态下, 每个力学量A都有相的
A ,在所有的 A 中,最小的一个记为τ.这就是能量时间 不确定关系的含义.
11.4 能量-时间不确定度关系
量量子子力力学学教教程程(第二版)
例1 设粒子初始状态为 (r,0) 1(r) 2 (r), Ψ1和Ψ 2 是粒子的两个能量本征态，本征值为 E1和E2,则
Ψ (r,t) Ψ1(r) eiE1t h Ψ 2 (r) eiE2t h
（1）
7海森伯不确定关系
a sin ϕ = k λ
暗纹
§7.海森伯不确定关系 / 一、电子单缝衍射 海森伯不确定关系
k = 1 时 a sin ϕ = λ
x
λ sin ϕ = = a ∆x a = ∆x
λ
ϕ
a ∆x
o
P
y
为位置不确定范围， 为位置不确定范围， 或不确定度。 或不确定度。 动量不确定度 ∆Px = P sin ϕ
§7.海森伯不确定关系 / 二、海森伯不确定关系 海森伯不确定关系
x
的子弹， 例：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹， 方向运动， 都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率 测量相对误差在 0.01% 内。求在测量二 者速率的同时测量位置所能达到的最小不 确定度 ∆x 。 ：（1） 解：（ ）电子位置的不确定度 电子动量不确定度 ∆Px = P × 0 .01％ = m ev × 0 . 01 %
= 9 . 11 × 10 × 200 × 0 . 01 % −32 −1 = 1 . 8 × 10 kg ⋅ m ⋅ s
§7.海森伯不确定关系 / 二、海森伯不确定关系 海森伯不确定关系
−31
∆x ∆Px ≥ h
h −2 ∆x ≥ = 3 .7 × 10 m ∆Px
（2）子弹位置的不确定度 ） 子弹动量不确定度
sin ϕ =
∆Px
P
，
λ ∆Px = ∆x P
§7.海森伯不确定关系 / 一、电子单缝衍射 海森伯不确定关系
λ ∆Px = ∆x P h ∆x ∆Px = λP = λ = h λ a ∆x ∆Px ~ h ∆x 位置的不确定度 ∆x 动量的不确定度 ∆Px
二、海森伯不确定关系
x
暗纹
§7.海森伯不确定关系 / 一、电子单缝衍射 海森伯不确定关系
k = 1 时 a sin ϕ = λ
x
λ sin ϕ = = a ∆x a = ∆x
λ
ϕ
a ∆x
o
P
y
为位置不确定范围， 为位置不确定范围， 或不确定度。 或不确定度。 动量不确定度 ∆Px = P sin ϕ
§7.海森伯不确定关系 / 二、海森伯不确定关系 海森伯不确定关系
x
的子弹， 例：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹， 方向运动， 都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率 测量相对误差在 0.01% 内。求在测量二 者速率的同时测量位置所能达到的最小不 确定度 ∆x 。 ：（1） 解：（ ）电子位置的不确定度 电子动量不确定度 ∆Px = P × 0 .01％ = m ev × 0 . 01 %
= 9 . 11 × 10 × 200 × 0 . 01 % −32 −1 = 1 . 8 × 10 kg ⋅ m ⋅ s
§7.海森伯不确定关系 / 二、海森伯不确定关系 海森伯不确定关系
−31
∆x ∆Px ≥ h
h −2 ∆x ≥ = 3 .7 × 10 m ∆Px
（2）子弹位置的不确定度 ） 子弹动量不确定度
sin ϕ =
∆Px
P
，
λ ∆Px = ∆x P
§7.海森伯不确定关系 / 一、电子单缝衍射 海森伯不确定关系
λ ∆Px = ∆x P h ∆x ∆Px = λP = λ = h λ a ∆x ∆Px ~ h ∆x 位置的不确定度 ∆x 动量的不确定度 ∆Px
二、海森伯不确定关系
x
第一章_量子力学的基础知识
m
0
c2
h
c2
（4）光子的动量为 pmh c/ch /
（5）光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律
1
①
hν < W 0
②
hν > W 0
W0
1 m2 2
W0
① 当 h < W0 (ho) 时，光子
没有足够的能量使电子克服 电子的束缚能而成为自由电 子，则不发生光电效应；
② 当 h > W0 (ho) 时，
D
狭缝到底片的距离远大于狭
缝宽度, CP≈AP，
e
sin＝OC/AO =/D
x A OC
P y
在p点的动量在x轴的分量就 是在该方向的不确定量
△px＝psin＝p/D=h/D 而坐标x的不确定量Δx即为 单缝宽度D
△x＝D, 所以 △x△px＝h
Q A
C O
P
psin
电子单缝衍射实验示意图
考虑二级以上衍射， x px ≥h 1
金属中发射的电子具有 一定的动能，发生光电
流，并随 增加而增加。
1
光电子动能mv 2/2
光子能量: E=hν 光子动量: p=h/λ 光电效应方程: mv2/2 =hν-W
(λ为入射光的波长, W为金属的功函数, m和v为光电子的质量和速度)
斜率为h
光频率ν
1
只有把光看成是由光子组成的光束才能理解光电效 应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象。光表 现出波粒二象性，即在一些场合光的行为像粒子，在另 一些场合光的行为像波。粒子在空间定域，而波却不能 定域。光子模型得到的光能是量子化的，波动模型却是 连续的，而不是量子化的。
1
按经典物理学理论
22.5力学量的统计不确定性
• 什么样的核可以把它束缚住呢？ 目前最稳定核的能量(最大的能量) 是 8MeV 这就是说 目前还没有能量是20MeV的核 • 结论：电子不是原子核的组成部分 例5 估算一些物理量的量级: 估算 H 原子的轨道半径 r; H 原子最稳定的半径 ——玻尔半径。 解 设H原子半径为 r , 则电子活动范围
0
x ~
而实际的光波, 波列有限 ， 则必然存在谱线宽度
3 第22章 量子物理的基本概念
2. 粒子单缝衍射中的结论
p h/ x
sin
x
px
大部 分电 子落 在中 央明 纹
电 子 束 △x
电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 △x ；
4
第22章 量子物理的基本概念
Δr
r
令
4π 0 2 r0 0.53 Å 2 me
dE 0 dr
Emin
17
2 e2 e2 13.6eV 2 2mr 4π 0 r 8π 0 r
第22章 量子物理的基本概念
m0
E mc
2
m
2 2 pc p pc p 1 2 2 2 4 1 2 2 p E ( p c m0 c ) 2 pc p 2 E mc 2
1 v 2 / c2
E (p c m c )
2 2
2 4 12 0
mc
2
Et pt x p
8 第22章 量子物理的基本概念
2
E t
E E 2
寿命△t
2
反映了原子能级宽度△E 和 原子在该能级的平均寿命 △t 之 间的关系。 激发态 平均寿命 能级宽度 基态
2020中国海洋大学信息科学与工程学院考研招生考试大纲
2020年硕士研究生招生考试大纲002信息科学与工程学院目录初试考试大纲 (2)341农业知识综合三 (2)638 量子力学 (3)806 普通物理 (4)808地理信息系统 (7)810数字电子技术 (9)930程序设计基础 (10)946 信号与系统 (12)953 声学基础 (14)954计算机基础综合 (15)977高级程序设计与软件工程 (18)978软件工程综合 (19)复试考试大纲 (22)F0201现代物理基础与科技英语 (22)F0202数字信号处理 (25)F0203 C++语言编程 (27)F0204现代光学综合 (29)F0205通信原理 (31)F0206电子技术A (33)F0207 计算机系统结构 (34)F0208 面向对象的程序设计与数据库 (35)F0210数据结构 (38)F0211 程序设计实践 (39)F0212光电基础综合 (40)F0213 农业工程与信息技术概论 (42)同等学力加试科目考试大纲 (44)T0201数据结构 (44)T0202软件工程 (45)初试考试大纲341农业知识综合三一、考试性质《农业知识综合三》是中国海洋大学信息科学与工程学院农业工程与信息技术专业硕士研究生招生考试初试笔试科目。
二、考查目标要求考生比较系统地理解和掌握计算机基础，数据库技术及网络技术，能够运用计算机技术的基本原理和方法分析、判断和解决有关农业生产实践中的实际问题。
三、考试形式本考试为闭卷考试，满分为150分，考试时间为180分钟。
试卷结构：计算机基础50分，数据库技术与应用50分，网络技术与应用50分。
四、考试内容（一）计算机基础内容包括计算机系统的基本概念、数制的转换及二进制运算基础、计算机运行的基本原理、算法相关概念、多媒体及图形图像相关基础知识等。
（二）数据库技术与应用内容包括数据库的分类、关系数据库的基本概念、三级模式及两级映像、E-R图、范式的定义及分类以及基本SQL语句的使用。
量子跃迁的微扰理论
初始时刻系统处于F表象(含算符Hˆ 0 )的本征
态 | k ，而(8)式表明体系可能从初始时刻的
状态 | k 在Hˆ 的作用下跃迁到F表象中另一个
本征态 | n ，| Cnk (t) |2 也代表这种跃迁的概率。
10
二、定态下量子态的跃迁(3)
在t时刻，Hˆ Hˆ 0 Hˆ Hˆ 0 Hˆ (t),
若 Hˆ t 0且 (0) k ,则
| (t) eiEkt / | k
(7)
体系
能在不
受外界作用的情况下保持在
。
k
若在t时刻，体系受到一个外界因素Hˆ 的
作用, 体系的状态将发生怎样的变化？
此时，体系的哈密顿为 Hˆ Hˆ 0 Hˆ (t) 体系的状态不再由(7)式描述，但可以表示为
F表象的本征态| n 的线性叠加，即
体系的状态从| (t) eiEkt / | k
| (t) Cnk (t)eiEnt / | n (8)
n
Cnk (t) ？将(8)式代入薛定格方程，即
(8)
i
t
|
(t)
(Hˆ 0
Hˆ
)
|
(t )
左边 i Cnk (t)eiEnt / | n E nCnk eiEnt / | n
k
(iEnt / )k k!
| n
| (t)
a eiEnt / n
| n
(5)
n
注意在(4)式中，an n | (0)
(6)
6
一、量子态随时间的演化—定态与非定态(3)
| (t)
a eiEnt / n
| n
(5)
n
an n | (0)
第12章3不确定关系薛定谔方程
2 p2 2 2 x
i E t
（1）
（2）
物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符
将(4), (5)代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 2 2Ψ Ψ 对一维情况有： 2m x 2 U ( x, t )Ψ i t
21 这个方程称为含时薛定谔方程
26 v x 5.5 10 m / s 2 m x
超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。
6
该图出自伽莫夫的
《物理世界奇遇记》 这在微观世界里是可 能发生的图象。该图包 含着两个物理内容：
1. 由不确定关系，汽车
在车库中永远不会静止。 2. 物体在有限势阱内 （车库的壁）有一定透 出的概率。
Et 2
能级自然宽度和寿命
5
讨论
xp x 2
yp y 2
zp z 2
1. 不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和 动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小， 另一个不确定量越大，若 x 为零， p则无穷大。 2. 不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体， x不超过10-6m（这是可以做到的），
2 1 2 2 E m ω x 2 8m x 2
dE 2 2 Δx m ω 3 d Δx 4m Δx
令 可得
dE 0 d Δx
Δx
2
2m ω
可得最小可能能量为
Emin
1 1 ω 2 2
思考: Emin 0 ?
线性谐振子沿直线在平衡位置附近振动，坐标和 动量都有一定限制，即
2 p 1 2 2 E mω x
2m
2
能量-时间测不准关系11.4
由于在此非定态 非定态下，有可能测得 E1 ， 也可 非定态 能测得 E2 ，故可将 ∆E = E2 − E1 视为测量体 系能量时出现的不确定度。 由
2 2 * ρ(r , t ) = ψ1 (r ) + ψ 2 (r ) + ψ1 ψ 2 e iωt + ψ1ψ * e − iωt 2
(
)
ρ 可知， (r , t ) 随时间呈周期性变化,其周期为
从几个特例出发来探讨这个问题。 一、几个特例 例1 设粒子初始状态为
r r r ψ (r ,0) ≈ ψ 1 (r ) +ψ 2 (r ),
其中： ψ1 和 ψ 2 是粒子的两个能量本征态， 本征值分别为 E1 和 E2 .
r r −iE1t h 则有： ψ (r , t ) = ψ 1 (r )e +ψ 2 e − iE2t h ,
T = 2π ω = 2πh ∆ E = h ∆ E
动量及其它力学量的几率分布也有同样的变 化周期. 化周期
故此周期 T 是表征体系性质变化快慢的特征 时间，记为
∆t = T
由
∆t = T = h ∆E
有
∆t∆E ~ h
对定态来说，能量是完全确定的，即
∆E = 0
而定态的特点是： 而定态的特点是：所有不显含时间的力学量 几率分布都不随时间改变， 几率分布都不随时间改变，∆t →∞ 是一致的。 这与关系 ∆t∆E ~ h 是一致的。
∆p ~ h / ∆x ~ h / cτ 从而能量 ( E = cp) 的不确定度为
∆E = c∆p ~ h τ
由此得出粒子激发态能量的不确定度 Γ 并满足
Γτ = ∆Eτ ~ h 上述例子给出相同的结论：
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T
11.4 能量-时间不确定度关系
(5)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 下面对能量-时间不确定度关系给一个较普遍的描述. 前面（3.3.1）讲过，两个力学量 A 和 B 不确定 度之间的关系是
1 ΔA ΔB [ A, B] 2
(6)
其中
A ( A A)
__________ _ 2
11.4 能量-时间不确定度关系
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 例1 设粒子初始状态为 (r ,0) 1 (r ) 2 (r ), Ψ1和Ψ 2 是粒子的两个能量本征态，本征值为 E1和E2 , 则
Ψ (r,t ) Ψ1 (r)e
iE1 t
Ψ 2 (r)e
iE2 t
（1）
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 11.4 能量-时间不确定度关系 在 1.1 节中已经指出，由于微观粒子具有 波动性，人们对于粒子的力学量的经典概念 有所修改 . 把经典粒子力学量的概念全盘搬到 量子力学中来,显然是不恰当的.使用经典粒子 力学量的概念来描述微观粒子必定会受到一 定的限制.这个限制集中表现在 Heisenberg 的 不确定度关系中.下面我们来讨论与此有关 ,但 含义不尽相同的能量-时间不确定度关系.先讨 论几个特例.
E E p vp p
所以
x t E vp x p v
11.4 能量-时间不确定度关系
(4)
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
例3 设原子处于激发态,它可以通过自发辐射而衰变 到基态,寿命为 .这是一个非定态,其能量不确定度 ΔE, 称为能级宽度 . 实验上可通过测量自发辐射 光子的能量来测出激发态的能量.由于寿命的限制, 自发辐射光子相应的辐射波列的长度 Δx c , 因而光子动量不确定度 Δp Δx c , 能量(E=cp) 的不确定度 ΔE cΔp . 由于观测到的光子能量 有这样一个不确定度,由之而得出的原子激发态能量 也相应有一个不确定度,即宽度 . 而
E A
就有
2
这里 A 是 A 改变 A 所需的时间间隔,表征 A 变化 快慢的周期.在给定状态下, 每个力学量A都有相的 A ,在所有的 A 中,最小的一个记为τ.这就是能量时间 不确定关系的含义.
11.4 能量-时间不确定度关系
t E h
(3) 定态
对于一个定态,能量是完全确定的,即 E 0.
的特点是所有力学量的概率分布都不随时间改变, 即变化周期 T ,或者说特征时间 t . 这并不违反关系式(3)
11.4 能量-时间不确定度关系
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 例2 设自由粒子状态用一个波包来描述，波包宽度 Δx ,群速率为v,相应于经典粒子的运动速度.波包 掠过空间某点所需时间 Δt Δx v .因此其能量不确定 度为Δp Δx .因此其能量不确定度.
那么对于以下常见的能量-时间不确定度关系 如何理解？
E t 2
11.4 能量-时间不确定度关系
(7)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 我们先给出以下推导，选两个力学量分别为体系 的哈密顿量 H 和 A，那么
ΔE ΔA 1 [ H , A] 2
(7)
其中
E ( H H )
(r, t )是一个非定态. 在此态下，各力学量的概率
分布一般要随时间而变.例如粒子在空间的概率 密度 2 2 2
(r , t ) Ψ (r , t ) Ψ1 ( r ) Ψ 2 ( r )
it (Ψ1 Ψ 2 eit Ψ1 Ψ 2 e )
（2 ）
其中
（E2 E1 ） E
__________ _ 2
12
， A ( A A )
2
12
由 得到
dA i [ A, H ] dt
dA E A 2 dt
11.4 能量-时间不确定度关系
(8)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 所以，定义对应于力学量 A 的时间不确定度
A A d A/dt
11.4 能量-时间不确定度关系
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
Δ E 可视为测量体系能量时出现的不确定度.由上可见, (r , t ) 随时间而周期变化学量的概率分布也有同样的变化周期.这个周期 T是表征体系性质变化快慢的特征时间,记为 Δt T . 按以上分析,它与体系的能量不确定度 E 有下列关系