工业机器人手臂静态平衡--平衡离散讲义(doc14页)
工业机器人的力学分析
第!!卷!第"期#$%&!!!’$&"!!!!!平!原!大!学!学!报()*+’,-)./0’12*,’*’0#3+4052!!!!!667年8月!(9:;&!667工业机器人的力学分析姬清华!平原大学机电工程学院"河南新乡<7"66"#!!摘!要!随着机电一体化技术的迅速发展!工业机器人在工业生产中的地位越来越重要!本文从工业机器人的力学分析入手!分别作了静力学和动力学的分析研究!为工业机器人手部及运动各构件提供了力学的分析原理及方法"关键词!工业机器人#静力学#动力学#力矩中图分类号!5/!<!W !!!文献标识码!,!!文章编号!=66>?"@<<!!667#6"?6==8?6!!!收稿日期!!667?6"?6>作者简介!姬清华$=@A 8%&!男!河南新乡人!主要从事机电一体化及数控加工方面的研究"!!随着工业机器人技术的发展"工业机器人的力学分析变得至关重要$工业机器人力学分析主要包括静力学分析和动力学分析"它们是工业机器人操作机设计%控制器设计和动态仿真的基础$P 静力学分析静力学分析是研究操作机在静态工作条件下"手臂的受力情况$P &P 静力平衡方程如图=所示"为开式链手臂中单个杆件的受力情况$杆件)通过关节)和)N =分别与杆件)U =和)N =相连接"以)关节的回转轴线和)N =关节回转轴线为2)U =和2)坐标分别建立两个坐标系)U =和)$令5)U =")表示)U =杆作用在杆上的力"5)")N =表示)杆作用在)N =杆上的力"则U 5)")N =表示)N =杆作用在)杆上的力"*)为)杆的重心"重力<1作用在*)上"于是杆件)的力平衡方程为&5)U =")N 5)N =")N <)1K 6)K ="!"’"#若以5)")N =代替5)N =")"则有&5)U =")U 5)")N=N <)1K 6!=#!!又令;)U =为)U =杆作用于)杆上的力矩"U ;)")N =为)N =杆作用于)杆的力矩"则力矩平衡方程为;)U =")U ;)")N=U !&)")N =N &)"*)#V 5)U =")N !U &)"*)#V U 5)")N =K 6!!)K ="!"’"!!#式中"第三项为5)U =")对重心取矩"第四项为U 5)")N =对重心取矩$若工业机器人操作机由#个杆件构成"则由式图=!杆件的受力分析!=#和式!!#可列出!#个方程"两式共涉及力和力矩!#g !个"因此"一般需结出两个初始条件方程才能有解$在工业机器人作业过程中"最直接受影响的是操作机手部与环境之间的作用力和力矩"故通常假设这两个量为已知"以使方程有解$从施加在操作机手部的力和力矩开始"依次从末杆件到机座求出所施加的力和力矩"将式!=#和式!!#合并并变成从前杆到后杆的递推公式"即5)U =")K 5)")N=U <)1;)U =")K ;)")N =N !&)U =")N &)"*)#V 5)U =")U !&)"*)V 5)")N =#!!)K ="!"’"#P &N 关节力和关节力矩为了使操作机保持静力平衡"需要确定驱动器对相应杆件的输入力和力短与其所引起的操作机(8==( 万方数据手部力和力矩之间的关系!令*)为驱动元件)的第)个驱动器的驱动力或驱动力矩"并假设关节处无摩擦"则有当关节是移动副时"如图!所示"*)应与该关节的作用力5)U =")在2)U =上的分量平衡"即*)K -O)U =5)U=")式中-)U =为)U =关节轴的单位向量!上式表明驱动器的输入力只与5)U =")在2)U =轴上的分量平衡"其他方向的分量由约束力平衡"约束力不作功!当关节是转动副时"*)表示驱动力距"它与作用力矩;)U =")在2)U =轴上的分量相平衡"即*)K -O)U =;)U=")图!!移动关节上的关节力N 动力学分析动力学分析是研究操作机各主动关节驱动力与手臂运动的关系"从而得出工业机器人动力学方程!目前已提出了多种动力学分析方法"这里仅就用牛顿欧拉方程建立工业机器人动力学方程作简要介绍!图"!杆件动力学方程的建立!!动力学方程可以用两个方程表达#一个用以描述质心的移动"另一个描述质心的转动!前者称为牛顿运动方程"后者称为欧拉运动方程!取工业机器人手臂的单个杆件作为自由体"其受力分析如图"所示!图中(*)为杆件)相对于固定坐标系的质心速度"+)为杆件)的转动角速度!因为固定坐标系是惯性参考系"所以将杆件)的惯性力加入到静力学方程式$=%中"于是有牛顿运动方程#5)U =")U 5)")N=N <)1U <)W (*)K 6)K ="!"&"#$"%作用在杆件)上的惯性矩是该杆件的瞬时角动量对时间的变化率!令+)为角速度向量"B )为杆件)质心处的惯量"于是角动量为B )+)!因为惯量随杆件方位的变化而变化"所以角动量对时间的导数不仅包含B )W +)"而且包含因B )的变化而引起的变化+)V B )+)"即陀螺力矩"上述两项加到静力学力矩平衡式$!%中"得;)U =")U ;)")N =N &)"*)V 5)")N =U &)U ="*)V 5)U =")U B W +)U +)V B )+)K 6)K ="!"&"#$<%公式$"%和$<%是单个杆件的动力学特性关系式"若将工业机器人的:个杆件均列出相应的上述两个方程"即得到工业机器人完整的动力学方程组的基本形式#牛顿’欧拉方程!!!参考文献!!="徐元昌#陶学恒&工业机器人!["&北京$中国轻工业出版社#=@@@&!!"陈小川#刘晓冰&虚拟制造体系及其关键技术!("&计算机辅助设计与制造#=@@@#%=6&&!""盛晓敏#邓朝晖&先进制造技术!["&北京$机械工业出版社#!66<&!<"邱士安&机电一体化技术!["&西安$西安电子科技出版社#!66<&【责任编校!李东风】@"@"’-.()(45B %*$’")*(!"U 474#_K +)"2?$,’$C "*0$#)*$+$#DX +"*8&)*$+X #1)""&)#1H "I $&8<"#8’5%)#1.3$#6#)("&7)8."9)#:)$#1"!"#$#<7"66"40)#$%@7(#1’*##_C G BG B ;F E J C II ;T ;%$J M ;:G$O [;H B E G F E :C H D "G B ;F $K $GE J J %C ;IC :C :I 9D G F L BE T ;K ;H $M ;M $F ;E :IM $F ;C M J $FG E :G &5B C D E F G CH %;E :E %L c ;D O F $M M ;H B E :C H D "I C D H 9D D ;D O F $MG B ;D G E G C H D E :II L :E M C H D D ;J E F E G ;%L E :I$O O ;F D G B ;G B ;$F C ;D $O E :E %L c C :Q E F M M $T ;M ;:G E :I H $M J$:;:G $O F $K $G D &A %.:41/(#F $K $G (D G E G C H D (I L :E M C H D (M $T ;M ;:G )A ==) 万方数据工业机器人的力学分析作者：姬清华， JI Qing-hua作者单位：平原大学,机电工程学院,河南,新乡,453003刊名：平原大学学报英文刊名：JOURNAL OF PINGYUAN UNIVERSITY年，卷(期)：2005,22(3)被引用次数：2次1.邱士安机电一体化技术 20042.盛晓敏;邓朝晖先进制造技术 20043.陈小川;刘晓冰虚拟制造体系及其关键技术 1999(10)4.徐元昌;陶学恒工业机器人 19991.陈登瑞六自由度机械手本体结构关键技术研究[学位论文]硕士 20062.张烈霞工业机器人运动及仿真研究[学位论文]硕士 2006本文链接：/Periodical_pydxxb200503036.aspx。
第3章工业机器人静力学及动力学分析
工业机器人动力学的任务
• 工业机器人动力学问题有两类： • (1)动力学正问题：已知关节的驱动力
，求工业机器人系统相应的运动参数， 包括关节位移、速度和加速度。 • (2)动力学逆问题：已知运动轨迹点上 的关节位移、速度和加速度，求出相应 的关节力矩。
•
研究工业机器人动力学的目的
• 动力学正问题对工业机器人运动仿真是 非常有用的。
•
• 图3-1所示二自由度平面关节型工业机器 人手部的速度为：
• 假如1及2是时间的函数，1=f1(t)， 2=f2(t)，则可由此式求出手部的瞬时速
度V＝f(t) 。
•
• 对于图3-1所示2R工业机器人，若令J1、
J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量 和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
• 通常J-1出现奇异解的情况有下面两种： • 1) 工作域边界上奇异。当臂全部伸展开
或全部折回而使手部处于工作域的边界 上或边界附近时，出现J-1奇异，这时工 业机器人相应的形位叫做奇异形位。 • 2) 工作域内部奇异。奇异也可以是由两 个或更多个关节轴线重合所引起的。
• dq＝[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微 小运动。
• 手部在操作空间的运动参数用X表示，它 是关节变量的函数，即X＝X(q)，并且是 一个6维列矢量。
dX＝[dx dy dz x y z]T
• dX反映了操作空间的微小运动，它由工业 机器人手部微小线位移和微小角位移(微小 转动)组成。
•
3.2 工业机器人速度雅可比与速 度分析
• 3.2.1 工业机器人速度雅可比
• 数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一 个多元函数的偏导矩阵。
• 假设有六个函数，每个函数有六个变量 ，即：
工业机器人静力计算及动力学ppt
将机器人的连杆和关节视为刚体，利用牛顿-欧拉方法计算各关节的力和扭矩 ，从而得到机器人的动力学行为。
基于拉格朗日方法的机器人动力学计算
拉格朗日方法
这是一种通过分析系统的动能和势能来计算动力学的方法。
应用到机器人动力学计算
利用拉格朗日方法建立机器人的动力学模型，计算各关节的力和扭矩，从而得到 机器人的动力学行为。
基于牛顿-欧拉方法的机器人静力学建模
03
工业机器人静力学的计算
刚体静力学基础
刚体的静力学基本概念
了解刚体的概念、刚体的基本形态、刚体的分类等。
刚体的静力学基本原理
掌握静力学基本原理，如力的合成与分解、力的平衡等。
工业机器人的刚体模型
工业机器人的基本结构
了解工业机器人的基本结构，如机械臂、腕部、手部等。
介绍MATLAB、Simulink的基本概念、功能及特点，以 及在机器人控制系统设计中的应用。
基于MATLAB/Simulink的机…
详细阐述利用MATLAB/Simulink进行机器人控制系统设 计的步骤和方法，包括模型建立、控制器设计、系统仿 真等。
基于ADAMS的机器人控制系统联合仿真
ADAMS软件简介
介绍ADAMS软件的基本概念、功能及特点，以及在 机器人控制系统联合仿真中的应用。
基于ADAMS的机器人控制
系统联合仿真流程
详细阐述利用ADAMS进行机器人控制系统联合仿真 的步骤和方法，包括模型建立、动力学分析、控制策 略实现等。
07
结论与展望
研究成果总结
1 2
工业机器人静力计算方法
提出了基于物理模型的静力计算方法，并验证 了其有效性。
工业机器人静力计算及动 力学ppt
工业机器人技术基础5.3工业机器人手臂
主要内容
• 一、手臂的特点 • 二、手臂的分类
整理课件
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一、手臂的特点
• 手臂一般由大臂、小臂（或多臂）所组成，用来支撑腕部和手部，实现较 大运动范围。
• 总质量较大，受力一般比较复杂 • 在运动时，直接承受腕部、末端操作器和工件的静、动载荷，尤其在高速
运动时，将产生较大的惯性力（或惯性力矩），引起冲击，影响定位精度。 • 手臂的结构形式必须根据机器人的运动形式、抓取重量、动作自由度、运
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二、手臂的分类 2. 按运动形式分
• 移动型手臂 • 旋转型手臂 • 复合型手臂
活塞油缸 前盖 活塞缸
滚套 销轴 手 臂
手部
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ14
总结
一、手臂的特点 1. 刚度要求高 2. 导向性要好 3. 重量要轻 4.运动要平稳、定位精度要高 二、手臂的分类 1.按结构形式分 2. 按运动形式分
动精度等因素来确定。
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3
1.刚度要求高
• 为防止手臂大变形，手臂的断面形状要合理选择。 • 工字型断面 • 空心管
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1.刚度要求高
• 采用多重闭合的平行四边形的连杆机构代替单一的刚性构件的臂杆。
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2. 导向性要好
• 防止手臂在直线运动中沿运动轴线发生相对转动 ➢设置导向装置 ➢设计方形、花键等形式的臂杆
• 单臂式
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二、手臂的分类 1.按结构形式分
• 单臂式 • 双臂式
整理课件
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二、手臂的分类 1.按结构形式分
• 单臂式 • 双臂式 • 悬挂式手臂
《工业机器人技术及应用》教学课件—03工业机器人运动学和动力学
规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,
工业机器人结构设计ppt课件
2.2.1 钳爪式手部的设计
四、钳爪式手部结构及其夹紧力的计算公式举例
N
N
P
N=P/2 注：①两手指平移 ②增力比（N/P）小
齿轮齿条式手部结构
No.32
2.2.1 钳爪式手部的设计
四、钳爪式手部结构及其夹紧力的计算公式举例
α
γB A β
P
C
EN
N
N=PLcos(α+β+γ)/(2lsinαcosβ)
2、开式连杆系中的每根连杆都 具有独立的驱动器，属于主动连 杆系，连杆的运动各自独立，不 同连杆的运动之间没有依从关系， 运动灵活。
No.5
2.1 机器人本体的基本结构
二、机器人本体基本结构特点：
3、连杆驱动扭矩的顺态过程在 时域中的变化非常复杂，且和执 行器反馈信号有关。连杆的驱动 属于伺服控制型，因而对机械传 动系统的刚度、间隙和运动精度 都有较高的要求。
应根据被抓取工件的要求确定吸盘的形 状。由于气吸式手部多吸附薄片状的工 件，故可用耐油橡胶压制不同尺寸的盘 状吸头。
No.41
2.2.2 吸附式手部的设计
三、气吸式手部的吸力计算
吸盘吸力的大小主要取决于真空度(或 负压的大小)与吸附面积的大小。
真空吸盘吸力F计算公式：
F nD2 ( H )
4K1K2K3 76
注：①AB＝DE，DB＝AE，L＝BC杆长，l＝AB杆长； ②两手指保持平行；③当α角较小时，可获得较大的力比。
平行连杆杠杆式手部结构
No.33
2.2.1 钳爪式手部的设计
四、钳爪式手部结构及其夹紧力的计算公式举例
P
φ
α
c
bN
N
N=Pcsin(α+φ)/2bsinαsinφ
机器人模型与控制-4静力学模型
22
y1 y0 x1 C1
θ2 G2
2M2 2Mt 2Pt 2Ft 2rC22G2
θ1 x0 G1
2ftyl2G2rC2 cos1 (2)
1F1 12R2F2 10R0G1
22ffttxxscion2s222ffttyycsoins22 G G11 G G22 csion1s1
1M121R2M21P221R2F2 1rC11G1
• 刚度矩阵表示关节变形与关节驱动力或力矩之间的线性关系，对于n 关节机械臂，K为n×n维对角阵；
• 柔度矩阵表示机械臂末端操作力与末端变形之间的线性关系，对于m 维作业空间，C为m×m维矩阵。
• 如果J方阵满秩，C可逆， C-1称为末端刚度矩阵矩阵。
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（移动关节） （转动关节）
6
例：如图所示的二杆平面机器人，建立相应的坐标系。已知，外界对机
器人手的作用力（手爪坐标系与坐标系{2}重合）为
2Ft 2ftx 2ftyT
求各杆件间的相互作用力（矩）和关节力矩。
Ft
C2
解：
y2
x2
2F2 2Ft 12 R01R0G2
22ffttyx
G2 G2
sin1 cos1
BFS
A BR BPOAA BR
A B0RAF
13
4.4 刚度和柔度
操作臂终端在外力的作用下会产生变形，变形的大小与操作臂的刚度 及作用力的大小有关。操作臂的刚度即为操作臂末端抵抗变形的能力，它 将影响操作臂的动态特性和在负载情况下的定位精度。
对于大多数工业机器人而言，连杆的刚度较大，可以认为是刚性的， 变形主要来源于关节处的传动、减速装置和伺服驱动系统。假设关节刚度 为线弹性，用一个弹簧常系数来表示，即为
机器人手臂的平衡机构
机器人手臂的平衡机构垂直关节机器人手臂，一般都需要平衡装置，以减小驱动器的负荷和缩短启动时间。
机器人所采用的平衡机构有以下几种：a.配重平衡机构配重平衡机构原理图见下图。
图 配重平衡机构原理图图中 m —机器人手臂的质量 ι—机器人手臂质量中心与关节回转中心之间的距离 r —力臂与水平面夹角 M —配重质量 ι′—配重质量中心至关节回转中心的距离如果m 与M 两个质心与关节回转中心在同一直线上，不平衡力123,,R R R配重平衡力矩''cos C Mgl γ=则静力平衡条件是'C C =即'l M ml =这种平衡装置结构简单，平衡效果好，易于调整，工作可靠，但增加了机器人手臂的惯量与关节轴的载荷。
一般在机器人手臂的不平衡力矩C比较小的情况下采用这种平衡机构。
下图为垂直关节机器人手臂配重平衡结构实例。
图垂直关节机器人手臂平衡结构1—电机 2—配重 3—丝杠b.弹簧平衡机构弹簧平衡机构及其工作原理，如下图所示。
设:K为弹簧刚度，R为弹簧自由长度(R<L'-e)，臂的不平衡力矩图 弹簧平衡机构原理图m —机器人手臂不平衡质量 ι′—弹簧在力臂上安装点至关节轴心O 的距离e —弹簧在关节轴座上方安装点Y 相对关节轴中心O 的偏心距离r 一机器人手臂与水平面的夹角 ι—机器人手臂质量中心至关节轴心O 的距离12c C C =-式中C1-臂的静不平衡力矩1cos C mgl γ=C2-臂的惯性力矩2C I ε=I －臂对于关节轴的转动惯量ε－臂运动的平均加速度弹簧的平衡力矩()'22'1cos '2'sin l RC k e e l el γγ=-+-(1)静平衡条件即'2'21cos 2'sin l e R K e l el γγ⎛⎫⎪-⎪+-⎝⎭cos mgl γ=因为ｅ<<ι′ 所以，可近似认为2'22'sin 'e l el l γ+-≈这样，静平衡条件式可简化为()'Ke l R mgl -=如果能满足这一平衡条件，则大臂在γ=0～90及90～180时，基本上都能保持平衡，残余不平衡力矩很小。
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工业机器人手臂静态平衡一平衡离散讲义（doc 14页）工业机器人手臂的静态平衡第一部分：平衡离散Ion SiiniOneSCu*, LiViU CiUPitUMeChaniCaI Engineering DePartment, POLITEHNICA UlIiVerSity Of BUCharest9 SPlaiUl IndePendeiItei 313, RO-77206,BUChareSt 6, ROnIaniaReCeiVed 2 OCtOber 1998; accepted 19 May 1999摘要：本文介绍了一些在工业机器人手臂的重量平衡解决方案，运用了螺旋弹簧的弹性力量。
垂直和水平手臂的重量力量的平衡显示很多备选方案。
最后，举例子，解决一个数值示例。
关键词：工业机器人；静态平衡；离散平衡7 2000 EISeVier SCieIICe Ltd∙ All rights reserved.1.介绍机器人及工业机器人机制构成了一个特殊类别的机器系统,其特点是大质量的元素在一个垂直平面移动速度相对缓慢。
基于这个原因，重量势力成了驱动系统必须要克服的一大份额的阻力。
对于平衡重量力量的问题，可编程序的机器人是非常重要的，在训练期间，人工操作必须容易地驾驶机械系统。
一般来说，工业机器人手臂的重量平衡力量都将会削弱驱动力量。
在轴承发生的摩擦力没有被考虑到，因为摩擦时刻感觉取决于相对运动感觉。
在这项工作中,对直圆柱螺旋弹簧弹力影响力量平衡问题的可能性进行了分析。
这种平衡的可以被分离出来，可以是工作领域位置的有限数字, 或者在在工作领域中的所有位置的连续。
因此，离散系统只能实现了机器人手臂的近似平衡。
增量的使用并没有被考虑在内，因为他们涉及到了移动的质量物体的增加，整体大小，惯性和组分的压力。
2.在一固定水平轴附近的重量力量的平衡通过螺旋弹簧的弹力来平衡机器手和机器人的重量力量，有集中可行的方案。
简单的解决方案并不总是适用的。
有时候从建筑角度来首选一个有效的近似解替代原先方案。
在一个水平固定轴附近的链接1 (例如：横向机械手臂)的重量力量的维持平衡的最简单的方法在图1中该要的显示出来了。
在链接点A和固定点B之间，使用了一个螺旋弹簧2.以下是对链接1适用的表达力矩的平衡公式：(niιOG1COSφ i+m2A)g+F s a=0,i=l,…,6在那里，螺旋弹簧弹力是：F s=F+k (AB-I0),和AIf= y ∕(X A -X B )2A-(Y A - Y B f ■,弹簧2的重心G2和双中心A 、B 两点在同一个直线上。
弹簧的弹性系数由k 表示、ml 是链接1的质量、m2是螺旋 弹簧2的质量，g 表示重力加速度的大小。
这样，通过六个非重复 值Ψi 以及由其获得的力的平衡值，可以获得以下的未知值： χ lA,yiA,XB,YB,Fθ 和 K 。
为了使得重心Gl 位于OXi 上，对于手臂1我们选择活动协调轴系统Xi OYi. XlA 和YlA 的调整确定了臂1上点A 的位置。
在一些特殊的情况下，当Y IA =X B =I O =F O =O 时，这个问题可以有无 限的解答，通过下面的公式定义： k_ （%OG∣+ 叫力）角度乎取任意值。
BG 、 仏=力“. Rg-X B Y A -X A Y B 7B•cos φi —⅛in(P S (P COSX因为在这种情况下，F s =k AB （见图2第一行），不使用螺旋弹 簧的系统在建筑上出现了一些困难。
压缩弹簧，它对于计算的功能, 不能被对折。
因此，在导航中出现的摩擦力使得培训工作更加困难。
甚至于在一般的情况下，当yix≠O 和X B≠0时，弹簧的初始长度I 0的 减少，相当于力Fo=O e 对于平衡所必须的弹簧的平直特征位置的径 向变位系数（图2直线2）,换言之，从建筑学的角度上看，为了获 得一个可以接受的原始长度Io ,可能可以用一个移动的弹簧取代固定B 点的弹簧连接。
换句话来说，弹簧的B 端挂在可移动的链接2上, 位置随着手臂1的变化而变化。
链接2可能有一个平面副的或者是直 线的绕着一个固定点的转动运动副,并且它通过中介动力学链子所驱 动。
（图3・5）在引用里展示了更多的可能性［2・7］。
X】图3・弹性系统的平衡与四杆机构图3展示了一个运动学构架，其中连接2在C 点帧加入，它通过连 接杆3和机器人手臂1的链接进行驱动。
在手臂1运行的平衡力量系 统由一下方程表示：fi=(mιOGιcos0 +m 4AXA)g+Fs(YACθs0 —XAsin &) +RsixYE-R 3IY X E=O, i=l, 12,(2)where: Oi = UrCIUn If I ■: ∕H 4.< =~ 川二：〃打円=InA 一 Itl^I≈b ISIdSI +MJ c I 跨■貂在连接杆3和机器人手臂1之间的反作用力组分,在固定坐标系轴上:where:T = F*[(*〃 — A i e)Sin Oi-(YB — I ZC)COS 0订十 nb (JYG -XC)十J —肮)十 UVU 2+ r 2- ιr 2- Vw -r√L r '÷ - UW ◎ •1 =7'(XD -KE) +"H (X D - Xa y )(Xc — X E W VnCV r -Yd — YC(XD -航)—Y^c - Rz( YE-YD) 一叫(X G -X D )M+盹 ∙v 3tf)y»nThe VaIUe Of angle ψ:YC arclarepresents ItIe SoIUtiOn Of IIIe equation:U CoS(% + x) + Γ ÷ a) + W = O,where:U ≡ ICD(XC - Λzf ): V ≡ 2CD( Γr ):W = OE i + CD i + OC i -DE i - 2(X f ：X C + Y t ；Y c )∖"叫4A 2P类似于前面的例子，连接杆3的角度是:DEOGI 和BG4的距离，同χ2c ,y 2G ,X G 3, Y G3分别决定了链接1、4、未知数X iA 9^y iλ9 X iE 9y iE 9χ2D 9y 2D JXC^YC BG Fo 和 k 通过 解决平衡方程(2)解得，其中需要工作区域12个机器人手臂的非重 复位置角Wi 。
元素的质量mj (j=l,・・・・,4)和物质中心假设是已知的。
根据那些角：0,i==l,∙∙∙, 12机器人手臂的静态平衡在那些12个位置 保持平衡。
由于连续性的原因,不平衡值在这些位置上是微不足道的。
实际上，问题是以一种反复的方式解决的，因为在设计之初，关于螺旋弹簧和链接2和3的情况，很多都是未知的。
不平衡力矩的最大值和平衡系统的未知数成反比。
通过在臂1和 链接2上两个平行圆柱螺旋弹簧的组装，平衡精度增加了，因为18 个非重复值的Ψi 可施加在相同的工作领域。
在Fig.4中，显示了围绕一个固定的横轴的链接的静态平衡的另 一种可CD C oS(I// +a) + χC -X Eζ = arc c os 2.2的质量重心的位］能性。
被固定在直线上滑行的滑道2上的B点通过机器人手臂由杆3驱动。
该系统根据以下的平衡方程形成:fi=(mιOGιcos φ +m 4AXA)g+F s (YΛCθs Q -XASin0 )+RisxYE-RmXi=O, i=l,Ib(3)Wh ςτς“ [(WJ + WJ +巾财)£ Mn X - ?；CoH(O - Qi)]DE^mygDCri sin a . H ----------- --------- DSD --------- -- - e °s昨 未知数：AjA ,儿,Ajo, y2CD9d9b,e,a, Fo,and k 0滑块的位移Si 可以取以下的值：如果工作领域关于垂直轴OY 对称，那么平衡机制就有一个特定的 模式，并由这些变量决定：yiA=yiD=b=e=O,和α =兀/2 [5]。
未知值减少到了六个，但是平衡精度提高了，因为考虑到了位 Si= y 卄 Dsn %+(X2"Sln αXE + DE CoS IP I— (b ⅛ σ)sin α置角Ψi 决定了以下的方程式：(P J 托_(PJ i=l ∙∙∙, 6. (4) 同样，平衡螺旋弹簧4可以在B 点加入到连杆点3.0(Fig.5).Eq.⑶ 臂1和链接3之间的反应力的构成为：[(/w ：十 ∕fh 十 fζ Sin I 十 F tXO^O 一 α)lcos IIf i Kg= --------------------------------- ---- [(f/b + ∕∏s + 叫B)S Sin OC + ∕ζco ∙√(J — α)]sin ψiCoS(OE —如 [〃打(XG3 — XD) + 刃打令(X/? — XD )]g + F, [(A z∕? —XD)fin 〃_()"〃_ y°)co ⅜ DECMe _ 叭) 未知数为:x i A>y IA 9X iD 9y iD 9X 3B 9 y iB CD,e,a, F 0 ,and k 。
图6显示了另一个平衡系统变体。
螺旋弹簧4B 端加入了能够 平面平行运动的连杆 3・以下的未知数 X I A ，儿^X^y^X^y^XC^YC^F^ k.被作为由以下平衡方程 构筑的系统的解决方案(3)：D V S in ≠j - V{XE - Y r )V(Y C -Y^-U ∞s ψlRnx= ------------- F -------- : ^3r = ----------- FF ------- ； 务和 U = FJ(A ZS — AC)Sin 0 — (YB — K t)COS “]十加 2(X<⅛ — XU) ÷ m 3 {^Gj ~ Xe) + -花)]g;V = F S COS(^J 一 0) + J)i 3g Sin 心:CoS(I-≠j )[/»J (A7；3 — XD) + //Uf(Afs — Xn )]g + l ∖{(Xβ — -Vn)Sin YD)CoS 0].I)ECOSX f e Sin oe — YFeoS N — e DEXD YD =⅛ ÷ aitSlnW =(YC- YE)Sm ψi + (XC 一 -Vr)COS 机;CE= v ∕(r d .-xjr)-+(r e - r £)2.一样的方法，如果工作领域关于垂直轴Oy 对称.(yiA=yiE=V3B=d=Xc=0)⑸的话，在图4显示的建设性的解决方案, 平衡精度性更高，因为位置角W 决定了方程式。