浅谈算术解法与代数解法
浅析应用题的代数解法和算术解法
浅析应用题的代数解法和算术解法应用题，也叫应用题，是数学中一种重要的研究内容。
应用题是指一定条件下求解特定问题的方法，它具有较强的实用性。
应用题的解法可以分为代数解法和算术解法。
本文将从理论层面深入分析这两种解法的具体内容，以期为读者提供一份更加丰富的学习内容。
一、代数解法代数解法是指利用代数的思想、方法和手段，合理地组织求解方程、不等式和其他数学问题的一种方法。
一般而言，代数解法需要进行多项式的运算，研究多项式的性质以及求解多项式的不等式和方程等，以及其他一些复杂的运算。
一般的应用题的代数解法可以分为以下几个基本步骤：首先，进行指定的步骤，正确构造出正确的方程；其次，根据题目要求，求解方程；最后，将求解后的结果转化为问题要求的解。
具体操作如下：（1）首先，将问题描述成方程或不等式，并将所有变量表示出来；（2）然后，按照题目要求，运用代数的基本规则，化简方程或不等式；（3）对于方程求解，通常可以分类求解，例如一元二次方程的解法；（4）最后，针对一些不好分类的方程，可以使用一些其他的数学方法，进行求解；（5）最后，将结果表示出来，并将其与题目要求的条件相比较，从而得出正确的结论。
二、算术解法算术解法，也称为计算机解法，是指利用计算的原理和方法，合理组织求解数学问题的一种方法。
算术解法一般是指使用算术运算，如四则运算、代数运算等，来依次求解变量的值的一种方法。
一般的应用题的算术解法，大致可以分为以下几个步骤：首先，确定问题的变量，并将其表示出来；其次，根据题目给出的条件，给出正确的答案；最后，将结果表示出来，并与题目要求的答案进行比较，从而得出正确的结论。
具体步骤如下：（1）首先，根据题目要求，提取出所有的变量；（2）然后，按照题目要求，进行四则运算，求解变量的值；（3）在有限的情况下，可以使用解析法和数值法，进行求解；（4）最后，将结果表示出来，并与题目要求的答案进行比较，从而得出正确的结论。
综上，代数解法和算术解法是应用题求解的两种主要方式，在求解应用题时，应根据具体情况采用不同的方法，以期在最短的时间内得出正确的答案。
代数方法和算术方法的特点
代数方法和算术方法的特点代数方法和算术方法是数学中常见的两种解题方法。
代数方法是通过使用代数符号和方程式来解决问题，而算术方法则是通过运用数学运算符号和计算过程来解决问题。
两种方法各有特点，下面将详细介绍它们。
代数方法：代数方法是一种抽象思维的数学解题方法。
它不仅注重结果，更注重解题的过程和思维方式。
代数方法具有以下几个特点：1.符号化思维：代数方法运用了各种符号和代数表达式，可以将问题抽象化。
这使得问题转化为方程式，可以更加清晰地描述问题的本质，并寻求解决方法。
2.一般性：代数方法不仅仅适用于某个具体问题，而是具有一般性。
它不拘泥于特定的数值，而是着重关注问题中的各个变量和它们之间的关系。
这使得代数方法具有普适性，可以解决各种问题。
3.逻辑思维：代数方法需要进行逻辑推理和推导。
通过建立数学模型和方程，运用逻辑推理定律和数学公式来解决问题。
这培养了人们的逻辑思维能力，提高了问题解决能力。
4.抽象思维：代数方法追求问题的本质和规律，它不仅仅是求解具体问题，更是在寻找问题的普遍规律。
通过抽象化的思维方式，可以将问题与实际情况分离，从而更好地理解和解决问题。
算术方法：算术方法是数学解题中最基本的方法之一。
它是通过运用计算过程和运算符号来解决问题，具有以下特点：1.具体性：算术方法强调具体数值和具体计算过程。
它注重精确的计算和结果，适用于需要求解具体数值和进行具体运算的问题。
2.实用性：算术方法是日常生活中最常用的数学方法之一。
无论是简单的加减乘除还是复杂的百分比、比例等，都可以通过算术方法解决。
因此，掌握算术方法对我们的日常生活和工作都非常重要。
3.可视化：算术方法强调直观和可视化。
通过具体的计算过程和运算符号，可以让问题更加清晰地呈现在我们面前。
这有助于我们更好地理解问题，快速准确地找到解决办法。
4.操作性：算术方法强调具体的操作过程。
通过运用数学运算符号，逐步进行计算，逐步靠近最终答案。
这培养了我们的操作能力和灵活思维，提高了我们的计算速度和准确性。
浅析应用题的代数解法和算术解法
浅析应用题的代数解法和算术解法应用题的代数解法和算术解法是数学解题中最重要的解决方法，并且在中小学数学课程中得到了大量的应用。
本文将对其解法的基本原理和解题方法进行详细的浅析，以期帮助学生更好地理解和掌握这些解题方法。
一、代数解法代数解法是以代数方式进行推理，利用解方程解数学问题的一种解题方法。
针对这种解题方法，学生需要掌握一些基本的解方程的方法，比如解决一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程等。
针对一元二次方程，常用的解法有利用平方差公式、配方法、判别式法和因式分解法。
其中，利用平方差公式解一元二次方程的方法是：将二次方程化为一般形式（即化为ax2+bx+c=0的形式），用平方差公式求解，即：x1=（-b+√b2-4ac）/2a，x2=（-b-√b2-4ac）/2a。
针对一元三次方程，常用的解法有利用三角形定理解一元三次方程，即利用梯形解法求根的方法：将三次方程化为一般形式（即化为ax3+bx2+cx+d=0的形式），用梯形法求根，即：把一元三次方程分解为三个二次方程，并分别求解，再根据三角形定理再综合得出最终的三个根。
对于二元一次方程组，常用的解法有用行列式解法、消元法和代数解法，其中用行列式解法是比较常用和简单的方法，以大小未知数x和y的二元一次方程组ax+by=c和dx+ey=f为例，用行列式解法，即把该方程组的行列式：|a b||d e|分解为两个方阵：|x b||y e|和|a c||d f|求出其倒数，再将倒数乘以右边矩阵得到未知数x和y的值，即得出该二元一次方程组的解。
二、算术解法算术解法是数学解题中最常用的一种解题方法，即利用加、减、乘、除等算术运算推导出实际问题的解。
这种解题方法可以用于解决非常简单的数学问题，也可以用于解决比较复杂的数学问题，只要加以适当的技巧和策略。
针对简单的加减乘除运算，学生需要学会熟练的运用四则运算的基本技巧，比如做被乘数的除法、把分数弄成同分母、分解因式等。
浅析应用题的代数解法和算术解法
浅析应用题的代数解法和算术解法
应用题的代数解法和算术解法都是常见的高中数学考试题，也是在学校中传授的重要的数学知识。
二者在高中数学课程教学中，都被认为是一种重要的知识点，重要性和应用价值都不容忽视。
下面让我们来浅析一下这两种解法的区别和联系：
一、代数解法
1、定义
代数解法是通过把一个复杂的数学问题转换成一个或多个算式来解决问题，从而达到解决问题的目的。
2、特点
（1）具有解决复杂问题的能力；
（2）强调建立与各类学科关系紧密的各类代数模型；
（3）注重解决过程中恰当选择方程的实质性概念、抓住问题的关键信息、以及灵活处理这些信息的运算。
二、算术解法
1、定义
算术解法是指通过运用算术思想和算术方法，逐步分析问题，求出问题的结果的解法。
2、特点
（1）侧重于运用算术的技巧，通过计算解决问题；
（2）注重理解与应用问题中出现的数学思想，充分利用数字或文字等
信息，解决多项式函数和一元二次方程等问题；
（3）运用良好的分析思维，运用其解题过程，做出正确的规划及判断，是数学课堂里使用最多的解题方式。
综上所述，代数解法和算术解法可以说是搭配使用的，它们可以相辅
相成，充分衬托出数学的魅力，它们能够帮助我们更好地理解、使用
数学原理和算法，以期更好地解决实际问题。
无论是代数解法还是算
术解法，都是数学解决问题的基础，应该加强数学实践，并广泛掌握
这些方法来解决实际问题，从而推动科学技术的发展和社会进步。
掌握基础：如何理解数学中的算术和代数运算
掌握基础：如何理解数学中的算术和代数运算1. 算术运算在数学中，算术运算是最基本也是最常见的一类运算。
它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
加法（Addition）加法是将两个或多个数值相加得到总和的操作。
例如：2 +3 = 5减法（Subtraction）减法是从一个数值中减去另一个数值得到差的操作。
例如：5 - 2 = 3乘法（Multiplication）乘法是将两个或多个数值相乘得到积的操作。
例如：2 ×3 = 6除法（Division）除法是将一个数值分割成若干等份的操作。
例如：6 ÷ 2 = 32. 代数运算代数是研究未知量和它们之间关系的一门数学学科。
在代数中，我们使用字母来表示未知量，并通过各种代数运算来推导出方程式。
变量与常量在代数中，字母通常被用作变量来表示未知量，而具体的数字则被称为常量。
方程式（Equations）方程式是代数中最基本的表达式，其中包含一个等号和一组由变量和常量组成的表达式。
例如：2x + 3 = 7这个方程式表示未知量x的值满足2倍的x加3等于7。
解方程（Solving Equations）解方程是找到使得方程式成立的未知量值的过程。
通过代数运算，我们可以进行适当的操作来求解方程。
以刚才的方程为例，我们可以进行如下步骤来解出未知量x的值：2x + 3 = 72x = 7 - 32x = 4x = 4 ÷ 2x = 2因此，在这个例子中，未知量x等于2。
总结通过掌握基础算术和代数运算，我们能够更好地理解和应用数学知识。
算术运算帮助我们对数值进行计算，而代数运算则让我们能够推导出未知量之间的关系并解决问题。
掌握这些概念有助于进一步学习更高级的数学内容，并在日常生活中应用数学知识。
代数解法与算术解法的比较
代数解法与算术解法的比较代数解法与算术解法的比较初一年级学生，有些同学解应用题时常用小学的算术方法解题，而不习惯用代数方法解题，这不利于学生的思维发展和今后的学习.从算术解法到代数解法是数学思维的一次重要的转折和飞跃，为了帮助认识代数解法的优越性，本文举两例作一比较.例1希腊数学家丢番图(公元前3—4世纪)的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.”请回答：(1)他结婚时的年龄.(2)他开始当爸爸时的年龄.(3)他儿子死时他的年龄.(4)他去世时的年龄.算术解法把丢番图的寿命看作“1”，那么他一生中，其中四个阶段的年龄分(1)他结婚时的年龄：14+7=21(岁).(2)他开始当爸爸时的年龄：21+12+5=38(岁).(3)他儿子死时他的年龄：38+42=80(岁).(4)他去世时的年龄：84(岁).代数解法设丢番图去世时的年龄为x岁，那么他一生先后六个阶段的岁数分别为根据题意列出方程解这个方程得 x=84.(以下略).例2小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，10分与20分的邮票各买了多少枚？[选自九年义务教材代数(下)P30.例1].算术解法此题直接列出算术式子较困难.为了找出算式，先假设购买10分邮票16枚，那么用去10·16=160分，250分还余(250-160)=90分，为使2元5角钱都用完，且邮票总数为16枚，就必须把一些10分邮票换成20分邮票，每换一枚，钱数增加(20-10)=10(分)，一共要换几次才能把相差的90分用完？显然，共需要换90÷10=9(次)，实际上是购买了9枚20分的邮票.由此得出算式：购买20分邮票数(250-10·16)÷(20-10)=9(枚)购买10分邮票数：16-9=7(枚)代数解法设共买x枚10分邮票，y枚20分邮票，答10分邮票买了7枚，20分邮票买了9枚.由此可见1.算术解法将已知数与未知数对立起来，未知数不能直接参与运算，而是用已知数的算式来表示；代数解法将已知数与未知数统一起来，只需用字母表示未知数，使未知数参与运算.2.算术解法的关键是构造算式，而构造算式往往要经过反复思考.“拐弯抹角”地找出，这是逆向思维的一种范例；代数解法的关键是根据题意找出等量关系，通过设未知数能“直截了当”地列出方程(或方程组).3.方程比算式直观、易懂.。
从算术思维到代数思维的转换初探-算术思维和代数思维的特点
从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。
而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。
对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。
例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。
我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。
后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。
二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。
学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。
进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。
通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。
当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。
浅析应用题的代数解法和算术解法
浅析应用题的代数解法和算术解法把一般问题转换成数学问题，并用数学方法解决，就是我们常说的应用题。
应用题可以分为两大类：代数解法和算术解法。
本文将对这两种解法进行浅析，以及比较它们的应用场景。
一、代数解法代数解法，是指把一般问题转换成代数公式的形式，然后求解问题的解。
代数解法有两大类：一种是求等式的解，另一种是形式上就是变量表示的方程的求解。
求等式的解，一般采用的就是代数的等式加减乘除法。
如果等式中有根号，则还可以采用反比例法求解，它是以某项是其他项的反比例出发，利用反比例把等式变成整理出来的形式，用等式加减乘除法求解。
形式上就是变量表示的方程，一般采用牛顿迭代法求解。
它是用解析法求取方程初始解，然后迭代法迭代求解。
二、算术解法算术解法是把一般问题转换成一系列的计算步骤，然后根据计算结果得出满足问题的解的方法。
算术解法的应用题通常包括最大公约数、最小公倍数、最大公倍数等数学问题。
最大公约数和最小公倍数的求解，一般采用的就是辗转相除法。
它是用最大公约数和最小公倍数的关系来确定最大公约数，一般是从小到大比较两个数之间的差值，同时进行除法，最后求出最大公约数。
最大公倍数的求解，一般采用的是最小公倍数的求解，它是用最大公倍数和最小公倍数的关系来确定最大公倍数，一般是从大到小比较两个数之间的差值，同时进行乘法，最后求出最大公倍数。
三、两者比较代数解法和算术解法各有优劣。
1、从计算精度上来说，代数解法计算精度更高，因为采用数学公式把一般问题转换成代数形式，就能够获得更准确的解。
2、从解题步骤来说，算术解法解题步骤更多，更繁琐，容易出错。
3、从应用场景来说，代数解法适用于求等式的解和形式上就是变量表示的方程的求解，算术解法一般用于最大公约数、最小公倍数和最大公倍数等数学问题的求解。
综上所述，代数解法和算术解法各有优劣，具体选择哪一种要根据具体问题的性质来决定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈算术解法与代数解法
作者：张逸柔
来源：《教育周报·教研版》2016年第15期
无论中高中数学还是初中数学，有些内容看似复杂，但在解题的方法上又颇为灵活，而且总会有一些知识既是大家关注的焦点，又是学习的难点。
如现实生活中，我们就无法回避“算术解法”与“代数解法”相比较的问题。
许多同学对此认识模糊，难以摆脱算术解法思维模式的羁绊，抓不住代数解法的思考方向和要领，缺乏新知识应用的自觉性。
下面我以高中理科生的身份，和同学们谈谈几点心得感受。
一、从思考过程上看对待未知数的不同态度
算术与代数两种解法的不同思维方法，首先表现在思考过程中对待未知数的态度不同。
算术解法只看到已知数与未知数对立的一面，在它们之间划了一道不可逾越的鸿沟。
在具体思考中，不少同学把已知数当作探索过程的起点，而题目所需要的未知数只能是探索过程的终点。
遇到较为复杂的应用题，要寻找到解题的正确方向与途径，往往需要付出大量艰辛的探索，这正是算术解法“落后”的标志，其直接原因是：提前背起了未知数的“未知”这一沉重包袱，没能调动未知数的“积极性”，发挥它身上的“导向功能”。
不能把已知数和未知数放在一起考虑，平等地对待；总认为已知数是现实的，而未知数只存在于未来理想中，已知数与未知数彼此不通“音信”，也就无法弄清它们之间的全部数量关系，问题的全貌就无法展示出来，如此解题既费时又费力，实非中学数学之上策。
下面我举一实例，供同学们参考。
例如：甲、乙两厂去年分别完成任务的112%和110%，共生产机床4000台，比原任务（两厂之和）超产400台。
甲厂原任务生产多少台？用算术解法，省去探求过程，说明如下：
从解题的艰难过程来看，幸亏有“假设”的妙想帮忙，而代数解法以“已知”和“未知”的对立统一思想为指导，积极促进“未知”向“已知”转化，首先用字母表示其中一个未知数，并用含字母的代数式表示相关的其它未知数，做到将未知数化“无形”为“有形”，再将未知数和已知数“面对面”放在一起，通过它们的交融，我们就不难找出它们之间的全部数量关系，进而抓住反映问题全部含义的相等关系，然后用含有未知数的代数式分别表示反映“相等关系”的等式左边和右边，从而得到方程。
方程的建立，标志着解答应用题已经取得决定性胜利。
接下来解方程，求未知数的值，相信各位已不在话下。
大家切莫忘记，在发现相等关系建立方程的过程中，“未知”与“已知”的“平等对话”立下了头功。
请看下面例题的代数解法过程：设甲厂原任务为x台，则乙厂原任务为（4000-400-x）台，让以上两个未知数与已知数4000台等处于平等“地位”，统一到下面的相等关系中：甲厂实际生产台数+乙厂实际生产台数=两厂实际生产总量。
利用有关数量关系，甲厂实际生产台数表示为：112%X台，乙厂实际生产台数表示为：（4000-400-x）·110%台，于是得出方程：112%x+110%（ 4000-400-x） =4000。
至于解方程，那是程序化的运算操作，也就不是什么难事了。
二、从思想方法上看两种解题方法的优劣
代数解法从整体入手，一开始就抓住既包括已知也包括未知的整体，将问题的“全部涵义”通过方程暴露在“光天化日之下”，再利用“操作系统”，也就是解方程的方法步骤求出问题的解，它常具有居高临下、省时省力的优点。
而算术解法从局部入手，着眼于数量之间的“狭窄阴暗空间”，把已知数当作唯一依靠，“摸着石头过河”，不能把所有已知数和未知数都作为基点，利用它们之间全部数量关系，架起一座通往未知的“桥梁”（方程）。
代数解法用相互联系的目光看问题，把数量关系作为探索的主要目标，把握了数量关系之“藤”就能“顺藤摸瓜”（求未知数）。
而算术解法的目标，是一个个彼此孤立的数量，用孤立静止的目光看问题，看不到或不善于综合利用数量之间的系统联系，算术解法过于“功利”，过于“现实”，重视眼前，力争每一步求出一个数量，而代数解法着眼“将来”，优先考虑数量的“生存环境”（数量关系）的优化（建立方程）。
看来，我们不仅要对代数解法的特点和优越性有清醒的认识，而且还要掌握如下几方面的思考要领。
一是要弄清题意，明白问题中的已知数和未知数，并用字母表示其中一个未知数，一般是题目要求的未知数。
二是要把分析重点放在掌握已知数与未知数的所有数量关系上，并找出“反映问题”全部含义的相等关系。
三是要根据这个“相等关系”的左边和右边，列出需要的代数式，从而列出方程。
这些要领，我们要在各种题型的分析中反复体会才能掌握，并形成技能，从而提高运用代数方法解决实际问题的能力。