量子力学中的代数解法

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件。
直到 1925 年,那时候 Schrodinger 已经给出了波函数的概念,也发表了著
名的 Schrodinger 方程。在大家习惯了这种解微分方程的方法时,天才的
Pauli 给出了正确的同时也是富有技巧性的代数解法,该解法填补了当时
矩阵力学处理氢原子问题的空白。
(2)Pauli 代数法解氢原子能级
Ĵ × Ĵ = iĴ
同理,
N̂ × N̂ = iN̂
因为 Runge-Lenz 矢量平行于轨道平面而角动量与该平面垂直。所以
L∙A=0
可得
Ĵ2
=
(
1
2
)
(���̂���2
+
K̂ 2)
=
N̂ 2
因此

2ℎ
���̂���2 + K̂2 = 4ℎ2Ĵ2
由于以上的量子对易关系,我们可以得到相应的
1

������2
=

2������ ������2������4������
������2

ℎ2
所以
4Ĵ2
=

������2������4������ 2������ℎ2

1
……(B-1)式
因为���̂���作为一个算符,在选取了一定的基后可表示为矩阵。前面证明了Ĵ × Ĵ = iĴ,
所有有
+
������中,������
������
×
������不是厄米的,取其
x
分量验证即知:
因为(������ × ������)+x=(LyPz-LzPy)+=PzLy-PyLZ 不等于它本身。故而,将经
典的������ × ������改写为量子化的1 (���̂��� × ���̂��� − ���̂��� × ���̂���);因为(���̂��� × ���̂��� − ���̂��� × ���̂���) =

������2������4������ 2ℎ2������2
此即 Bohr 得到的氢原子能级公式。该公式能很准确地符合氢原子的谱线
规律,也适合核外仅有单电子的类氢离子。但是在公式推导的过程中,还
存在经典的“轨道”概念,并且没有引入正确的量子化条件。后来
Sommerfeld 将圆轨道推广到椭圆轨道,并给出了氢原子的两个量子化条
让我们追寻 Pauli 的足迹,还要从一个隐藏在中心势场的矢量说起。
我们知道,在经典力学里,中心势场有能量、动量、角动量三个显而易见
的守恒量,但是 Runge-Lenz 矢量的守恒就不是那么显见了。其实,这些
守恒量都是中心势场的动力学对称性所导致的。
Runge-Lenz 矢量在氢原子势场中的定义为:
量子力学中能级的代数解法
——追寻昔日的英雄 Bohr、Pauli、Schrodinger、Dirac
以及 Landau。
张轩中(爱因斯坦网络学校教务处) 黄宇傲天(爱因斯坦网络学校学习部)
摘要:从早期 Bohr 的旧量子论开始,回顾了量子力学大师 Bohr、Pauli、 Schrodinger、Dirac 以及 Landau 在代数法求能谱问题上留下的睿智才思。给出了 Bohr 的圆轨道氢原子能级公式、类氢原子能级公式、一维谐振子能级公式以及 Landau 能级公式的代数推导过程。
rn-1→rn,ωn-1→ωn
*1 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
������������2 ������������ − ������������−1 = h√���������������3���
lim
n−1→n
(n������−������ −(n������−������−11))
2
[���̂���, ���̂���] = ih���̂���
所以它是厄米的。
证明上式的对易式我们用了著名的 Heisenberg 对易关系:
[x̂, p̂] = ih 此外,我们用此基本对易关系证明 L̂ × L̂ = ihL̂
首先,L = r × P,写成分量的形式即:
Lx=yPz-zPy Ly=zPx-xPz Lz=xPy-yPx 因为[Lx,x]=[ yPz-zPy,x] = (yPz-zPy)x-x(yPz-zPy) 由于坐标是对易的,上式可以整理为:
手。
定义一个厄米算符
J+= Jx+iJy

[Jz, J+]=[ Jz, Jx+iJy]= Jx+iJy= J+
设右矢|������⟩为 Jz 相应于本征值������的一个本征矢量。即 Jz|������⟩=������|������⟩。

[Jz, J+]|������⟩= Jz J+|������⟩- J+Jz|������⟩= J+|������⟩
(一)Bohr 圆轨道的氢原子理论计算 1913 年,Bohr 根据 Planck 的量子假说、Einstein 的光子假说以及 Rutherford 的有核模型,提出了著名的原子理论的两条假设:
① 原子具有能量不连续的定态,原子在定态中不发射也不吸收电磁辐射 能。
② 原子在能级 En 与 Em 之间跃迁时发射或吸收特定频率的ν的光子;满
[Lx,x]=[ yPz,x]+[x, zPy]=0 同理,[Lx,y]=y[Pz,y]+z[y, Py]=ihz
[Lx,z]=y[Pz,z]+z[z, Py]=-ihy 同样的方法若是对 L 于 P 运算则是得到上式[���̂���, ���̂���] = ih���̂��� 即:
[Lx,PX]=O [Lx,PY]=ih PX [Lx,Pz]=-ih PY 因此,[Lx,LX]= [ yPz-zPy, LX] = yPz LX-zPy LX- LXyPz+ LXzPy=0 [Lx, Ly]= [ yPz-zPy, Ly] =( yPz-zPy) Ly- Ly( yPz-zPy) =y(-ih PX)+ihx Py =ih(x Py-y Px)=ih Lz [Lx, Lz]=-ih Ly [Ly, Lz]=ih Lx 刚好组成L̂ × L̂的三个分量,即L̂ × L̂ = ihL̂。
[J2, Jx]=[ J���2���+ J���2���+ J���2��� , Jx]=0 [J2, Jy]=[ J���2���+ J���2���+ J���2��� , Jy]=0 [J2, Jz]=[ J���2���+ J���2���+ J���2��� , Jz]=0 因为对易算符有共同的本征矢量*3,所以我们要求取Ĵ2的本征值之前可以从 Jz 入
量子化的
Runge-Lenz
矢量算符Â
=
���̂���×���̂���−���̂���×���̂��� 2������������2������
+
���̂���也满足这样一些关系:
������
[Ax,
Ax]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
=
������������������ ������������
=
������������2 h√���������������3���

∫ ������������������ = ∫ ������dn
h√������������������������2���3���

������������
=
在量子力学中,氢原子虽然没有了经典的“轨道”概念,但 Runge-Lenz 矢量仍 为守恒量*2,但要相应地对物理量改写成量子化的算符。在量子力学中,
可观测量必须为实数,而厄米矩阵的本征值都是实数。经典的 Runge-Lenz
矢量������
=
������������ ������2������
电子的能量������������
=

������������2 ������������
+
1 2
������������2���������2���
= − 1 ������������2
2 ������������
(束缚态下,能量小于零)
当电子从远处相邻的两条轨道 n 与 n-1 间跃迁时,由于两条轨道靠得很近,
足下式:En-Em=(n-m)hν
(A1)
此外,早在 1912 年他给 Rutherford 的备忘录中即初步提出了假设:(A1)
式中的频率ν即电子绕核旋转的圆频率ω。
静电单位制下,当电子在 rn 轨道做匀速圆周运动时,有
������������2 ���������2���
=
mω2������������
������)
+
������������,Ay]=
������ℎ 2������������2������
Lz
*1 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
[Ax,
Az]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
������)
+
������������,Ax]=0
[Ax,
Ay]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
������)
+
������������,Az]=
������ℎ 2������������2������
Lx


×

=
������ℎ 2������������2������
���̂���
相同的计算方式,可得

×

=
������ℎ 2������������2������

令K̂ = √������2������4������ Â
−2������
再定义
���̂��� = L̂+K̂,���̂��� = L̂−K̂
2ℎ
2ℎ
则[Jx, Jy]=(21ℎ)2[(LxLy- LyLx)+ (KxKy- KyKx)+ ( KxLy-LyKx)+ ( LxKy- KyLx)]=iJz
[Jx, Jz]=-i Jy
[Jy, Jz]=i Jx 即
其中 a、b 分别为轨道的半长轴、半短轴。可以证明*1
e2
=

√������2 − ������
������2
2

=
|������|2
由以上四个式子可以得到
1

������2
=

2������ ������2������4������
������2
*1 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
因为 Jz|������⟩=������|������⟩ 所以上式为得到
Jz J+|������⟩=(������ + 1)J+|������⟩
其中 J+|������⟩作为一个矩阵,也是 Jz 的本征矢量,相应的本征值为(������ + 1)。连续重
复上述步骤,可得相应的
*1 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
������)
+
������������,Az]=Biblioteka Baidu
−������ℎ 2������������2������
Ly
[Ay,
Az]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
本征矢量
|������⟩,J+|������⟩, J+2 |������⟩,…
的本征值
������, ������ + 1,������ + 2,…
������ × ������ ������ ������ = ������������2������ + ������
在椭圆轨道中,我们知道能量 E 与角动量 L 分别满足下式:
������������2 E = − 2������
������2
=

������������2������������2 ������
关键词:代数解法 氢原子能级 Runge-Lenz 矢量
Niels Bohr,1911 年于哥本哈根大学获博士学位。1912 年他来到 Rutherford 实验室工作,开始思考原子中电子绕核运动问题。1913 年,Bohr 在 Philosophical magazine 上发表三篇论文,开启量子时代大门。
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