量子力学中的代数解法

������)
+
������������,Ax]=0
[Ax,
Ay]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
关键词：代数解法 氢原子能级 Runge-Lenz 矢量
Niels Bohr，1911 年于哥本哈根大学获博士学位。1912 年他来到 Rutherford 实验室工作，开始思考原子中电子绕核运动问题。1913 年，Bohr 在 Philosophical magazine 上发表三篇论文，开启量子时代大门。
在量子力学中，氢原子虽然没有了经典的“轨道”概念，但 Runge-Lenz 矢量仍 为守恒量*2，但要相应地对物理量改写成量子化的算符。在量子力学中，
可观测量必须为实数，而厄米矩阵的本征值都是实数。经典的 Runge-Lenz
矢量������
=
������������ ������2������
������)
+
������������,Az]=
������ℎ 2������������2������
Lx
即
Â
×
Â
=
������ℎ 2������������2������
���̂���
相同的计算方式，可得
L̂
×
Â
=
������ℎ 2������������2������
Â
令K̂ = √������2������4������ Â
=
������������������ ������������
=
������������2 h√���������������3���
由
∫ ������������������ = ∫ ������dn
h√������������������������2���3���
得
������������
=
量子力学中能级的代数解法
——追寻昔日的英雄 Bohr、Pauli、Schrodinger、Dirac
以及 Landau。
张轩中（爱因斯坦网络学校教务处） 黄宇傲天（爱因斯坦网络学校学习部）
摘要：从早期 Bohr 的旧量子论开始，回顾了量子力学大师 Bohr、Pauli、 Schrodinger、Dirac 以及 Landau 在代数法求能谱问题上留下的睿智才思。给出了 Bohr 的圆轨道氢原子能级公式、类氢原子能级公式、一维谐振子能级公式以及 Landau 能级公式的代数推导过程。
其中 a、b 分别为轨道的半长轴、半短轴。可以证明*1
e2
=
（
√������2 − ������
������2
2
）
=
|������|2
由以上四个式子可以得到
1
−
������2
=
−
2������ ������2������4������
������2
*1 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
本征矢量
|������⟩，J+|������⟩， J+2 |������⟩，…
的本征值
������， ������ + 1，������ + 2，…
+
������中，������
������
×
������不是厄米的，取其
x
分量验证即知：
因为(������ × ������)+x=（LyPz-LzPy）+=PzLy-PyLZ 不等于它本身。故而，将经
典的������ × ������改写为量子化的1 （���̂��� × ���̂��� − ���̂��� × ���̂���）；因为(���̂��� × ���̂��� − ���̂��� × ���̂���) =
Ĵ × Ĵ = iĴ
同理，
N̂ × N̂ = iN̂
因为 Runge-Lenz 矢量平行于轨道平面而角动量与该平面垂直。所以
L∙A=0
可得
Ĵ2
=
(
1
2
)
(���̂���2
+
K̂ 2)
=
N̂ 2
因此
⇒
2ℎ
���̂���2 + K̂2 = 4ℎ2Ĵ2
由于以上的量子对易关系，我们可以得到相应的
1
让我们追寻 Pauli 的足迹，还要从一个隐藏在中心势场的矢量说起。
我们知道，在经典力学里，中心势场有能量、动量、角动量三个显而易见
的守恒量，但是 Runge-Lenz 矢量的守恒就不是那么显见了。其实，这些
守恒量都是中心势场的动力学对称性子势场中的定义为：
−2������
再定义
���̂��� = L̂+K̂，���̂��� = L̂−K̂
2ℎ
2ℎ
则[Jx, Jy]=(21ℎ)2[(LxLy- LyLx)+ (KxKy- KyKx)+ ( KxLy-LyKx)+ ( LxKy- KyLx)]=iJz
[Jx, Jz]=-i Jy
[Jy, Jz]=i Jx 即
量子化的
Runge-Lenz
矢量算符Â
=
���̂���×���̂���−���̂���×���̂��� 2������������2������
+
���̂���也满足这样一些关系：
������
[Ax,
Ax]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
（一）Bohr 圆轨道的氢原子理论计算 1913 年，Bohr 根据 Planck 的量子假说、Einstein 的光子假说以及 Rutherford 的有核模型，提出了著名的原子理论的两条假设：
① 原子具有能量不连续的定态，原子在定态中不发射也不吸收电磁辐射 能。
② 原子在能级 En 与 Em 之间跃迁时发射或吸收特定频率的ν的光子；满
[J2, Jx]=[ J���2���+ J���2���+ J���2��� , Jx]=0 [J2, Jy]=[ J���2���+ J���2���+ J���2��� , Jy]=0 [J2, Jz]=[ J���2���+ J���2���+ J���2��� , Jz]=0 因为对易算符有共同的本征矢量*3，所以我们要求取Ĵ2的本征值之前可以从 Jz 入
因为 Jz|������⟩=������|������⟩ 所以上式为得到
Jz J+|������⟩=(������ + 1)J+|������⟩
其中 J+|������⟩作为一个矩阵，也是 Jz 的本征矢量，相应的本征值为(������ + 1)。连续重
复上述步骤，可得相应的
*1 赵凯华 罗蔚茵 新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
足下式：En-Em=（n-m）hν
（A1）
此外，早在 1912 年他给 Rutherford 的备忘录中即初步提出了假设：(A1)
式中的频率ν即电子绕核旋转的圆频率ω。
静电单位制下，当电子在 rn 轨道做匀速圆周运动时，有
������������2 ���������2���
=
mω2������������
rn-1→rn,ωn-1→ωn
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������������2 ������������ − ������������−1 = h√���������������3���
lim
n−1→n
(n������−������ −(n������−������−11))
−
������2������4������ 2ℎ2������2
此即 Bohr 得到的氢原子能级公式。该公式能很准确地符合氢原子的谱线
规律，也适合核外仅有单电子的类氢离子。但是在公式推导的过程中，还
存在经典的“轨道”概念，并且没有引入正确的量子化条件。后来
Sommerfeld 将圆轨道推广到椭圆轨道，并给出了氢原子的两个量子化条
2
[���̂���, ���̂���] = ih���̂���
所以它是厄米的。
证明上式的对易式我们用了著名的 Heisenberg 对易关系：
[x̂, p̂] = ih 此外，我们用此基本对易关系证明 L̂ × L̂ = ihL̂
首先，L = r × P，写成分量的形式即：
Lx=yPz-zPy Ly=zPx-xPz Lz=xPy-yPx 因为[Lx,x]=[ yPz-zPy,x] = (yPz-zPy)x-x(yPz-zPy) 由于坐标是对易的，上式可以整理为：
������)
+
������������,Ay]=
������ℎ 2������������2������
Lz
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[Ax,
Az]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������