空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)
空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一123a a i a j a k =++，有序实数组123,,)a a a 叫作向量a 在空间中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐二、空间向量的直角坐标运算律
1）若12(,,a a a =12(,,b b b =则1133(,)a b a b a a b +=++，
1123(,)a b a b a b -=---，1(,a a λλλ=1233//,()a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,A x y z 222,,)x y z ，则2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔=123
()b b R b λ=⎧⎪
⇔=∈⎨⎪=⎩
三、空间向量直角坐标的数量积
设b a ,是空间两个非零向><b a ,cos 规定：零向量与任一向量的数量积为、模长公式
21|a a a x =⋅=+、两点间的距离公式：若2
21|(AB AB x x ==-2,212()(A B d x x y =-+
cos ||||
a b
b a b ⋅=
⋅． 注：①2
2|a a a a =⋅=。
空间向量数量积的性质：
||cos ,a e a a e ⋅=<>．②0a b a b ⊥⇔⋅=．③2
||a a a =⋅．
、运算律
a b b a ⋅=⋅； ②)()(a b b a ⋅=⋅λλ； ③c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)( 四、直线的方向向量及平面的法向量
、直线的方向向量：我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线）待定系数法：建立空间直接坐标系(,,n x y z =
②在平面内找两个不共线的向量11(,,a x y =22(,,b x y =0
n a n b ⋅=⋅=
④解方程组，取其中的一组解即可。
、证明两直线平行
和b , B A ,AB CD λ= 存在有序实数对μλ,使AB CD CE λμ=+ //AB m
已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为,m n ,则m n αβ⊥
⇔⊥
六、计算角与距离
1、求两异面直线所成的角
已知两异面直线b a ,，,,,A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD
θ•=
例题
【空间向量基本定理】
例1.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定
比2，N 分PD 成定比1，求满足的实数x 、y 、z 的值。
分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用
、
、
表示出来，
即可求出x 、y 、z 的值。
如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则。
点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。
再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。
有分解才有组合，组合是分解的表现形式。
空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c 的系数是惟一的。
【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F 。
（1）证明：PA//平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD ；
（3）求二面角C —PB —D 的大小。
点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
（2）证明线面平行的方法：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
（3）证明面面平行的方法：
①转化为线线平行、线面平行处理；
②证明这两个平面的法向量是共线向量．
（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．
（5）证明线面垂直的方法：
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
（6）证明面面垂直的方法：
①转化为线线垂直、线面垂直处理；
②证明两个平面的法向量互相垂直．
【用空间向量求空间角】
例3.正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：
（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；
（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。
（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或
（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。
【用空间向量求距离】
例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：
（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；
（2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。
本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。
利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。
现列出几类问题的解决方法。
（1）平面的法向量的求法：设，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元
一次方程，联立后取其一组解。
（2）线面角的求法：设n 是平面的一个法向量，AB 是平面
的斜线l 的一个方向向量，则直线与平面
所成
角为n
AB n AB ⋅•=
θθsin 则
（3）二面角的求法：①AB ，CD 分别是二面角
的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为。
②设分别是二面角的两个平面
的法向量，则
就是二面角的平
面角或其补角。
（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，n 是
的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是
上
的任意两点，则。
（5）点面距离的求法：设n 是平面
的法向量，AB 是平面
的一条斜线，则点B 到平面
的距离为。
（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。
练习：
1.若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足12
63
CM CB CA =
+，则MA MB •=_________ 2．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐
标是________。
3.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。
4．（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，
PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；
（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
5.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与
平面PDB 所成的角的大小.
学科组长审核：教学主任审核：。
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结
高中数学立体几何与空间向量知识点归纳总结立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且长度相等。
若侧棱垂直于底面，则为直棱柱；若底面是正多边形，则为正棱柱。
2) 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
3) 棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
上下底面平行且是相似的多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴，旋转一周所围成的几何体叫圆台。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇环形。
7) 球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积1) 几何体的表面积为各个面的面积之和。
2) 特殊几何体表面积公式：直棱柱侧面积=底面周长×高圆锥侧面积=π×底面半径×母线正棱台侧面积=(上底+下底+侧棱)×高/2圆柱侧面积=2π×底面半径×高正棱锥侧面积=(底面周长1+底面周长2+侧棱)×高/2圆台侧面积=(上底半径+下底半径)×母线×π/2圆柱表面积=2π×底面半径×(底面半径+高)圆锥表面积=π×底面半径×(底面半径+母线)圆台表面积=π×(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径×(上底半径-下底半径)/母线)3) 柱体、锥体、台体的体积公式：直棱柱体积=底面积×高圆柱体积=底面积×高=π×底面半径²×高圆锥体积=底面积×高/3=π×底面半径²×高/3圆台体积=底面积×高/3=(上底半径²+下底半径²+上底半径×下底半径)×高/3圆台的体积公式为V=(S+S'+√(SS'))h/3，其中S和S'分别为圆台的上下底面积，h为圆台的高。
立体几何与空间向量知识点归纳总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则|||||,cos |sin n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d =直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C A P =A B +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P =O A +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z O P =O A +O B +O ++=． 7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4c o s ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p O P =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p x e y e z e =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若b ≠，则12//,,a b a b xλλλλ⇔=⇔==．()721a a a x =⋅=+ ()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=。
空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)
y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
立体几何与空间向量知识点归纳总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结一、立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积rhS π2=圆柱侧'21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ3、平面及基本性质公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 |||||,cos |cos b a b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系A a a a =⋂⊂ααα,//,2、直线与平面平行的判定（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质b a b a a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用a l a l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）（3）αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβαα//,,//,//⇒⎭⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）（2）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ）（3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）12、 空间角：异面直线所成角（9.1）；斜线与平面所成的角 )2,0(π（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面α的法向量为n ，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则|||||,cos |sin n AB n AB =><=θ )2,0(πθ∈（3）两个重要结论最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离：求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥；（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：||n d =直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） ② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离向量法 ||n n AB d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，n 为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用：θcos 22222mn d n m l ±++=二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．6、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．7、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．8、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．9、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 10、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 11、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=； ()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,ab a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．12、空间向量基本定理: 若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 14、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．15、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()721a a a x =⋅=+()821cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB = 16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．17、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量．18、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．19．0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．20、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．21、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．22、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．23、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．24、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算．26、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=。
空间向量与立体几何知识点归纳总结52783
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 (2) 向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)⑵加法结合(a b) c 二 a (b c)⑶数乘分配律：(a b) a • ■ b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a II b 。
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 半0 ), a /I b 存在实数入使a = (3) 三点共线：A 、B 、C 三点共线v=>AB 二■ AC<=> OC = xOA yOB(其中 x y = 1)(4)与a 共线的单位向量为士 44. 共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
， 一(2) 共面向量定理x, y 使 p 二 xa yb 。
(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面v=>AP-xAB yAC学习资料收集于网络，仅供参考:如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实数 运算律：⑴加法交换律：a b a<二>OP = xOA yOB zOC(其中x y z = 1)T ,专一45. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一* * * 4个唯一的有序实数组x,y, z，使p = xa • yb • zc o学习资料学习资料收集于网络，仅供参考呻若三向量a,b,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1 （2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB =OA +AB =a +b ; BA =OA -OB =a -b ; O P =λ a (λ∈R )运算律：⑴加法交换律：a +b =b +a⑵加法结合律：(a +b ) +c =a +(b +c )⑶数乘分配律：λ(a +b ) =λa +λb运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b（2）共线向量定理：空间任意两个向量a，记作a //b 。
、b （b ≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线AB =λACOC =x OA +y OB (其中x +y =1) （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量a , b 不共线，p 与向量a , b 共面的条件是存在实数x , y 使p =xa +yb 。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面AP =x AB +y AC个唯一的有序实数组x , y , z ，使p =xa +yb +zc 。
若三向量a , b , c 不共面，我们把{a , b , c }叫做空间的一个基底，a , b , c 叫做基向量，5. 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一OP =x OA +y OB +z OC (其中x +y +z =1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
高中数学空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
立体几何和空间向量综合知识点(高中数学)
立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。
2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。
3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。
（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。
（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。
高中数学必修2--空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。