以平面波展开法分析光子晶体能带结构.
一维光子晶体的能带结构计算与分析
ｍｅｄｉｕｍ ｌａｙｅｒ Ａ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｍｅｄｉｕｍ ｌａｙｅｒｓ ｃｏｍｐｏｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｃｒｙｓｔａｌ ａｔ ｆｉｒｓｔ，
ｏｒ ｔｈｅ ｏｐｔｉｃａｌ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｌａｙｅｒ ｉｓ ｅｖｅｎ ｔｉｍｅｓ ｏｆ Ａ．Ｂｙ ｃｏｎｔｒａｒｉｅｓ，ｗｈｅｎ
ｅｆｆｅｃｔｓ ａｎｄ ｎｅｗ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．Ｈｅｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｂａｎｄ ｇａｐｓ． Ｔｒａｎｓｆｅｒ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ａｎｄ ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ ｔｏｏｌ ｔｏ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅ ｂａｎｄ
ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｌａｙｅｒ’Ｓ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ ｗｈｉｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｔｈｅ １ Ｄ ｐｈｏｔｏｎｌｃ ｃｒｙｓｔａｌ，ｔｈｅ ｌａｒｇｅｒ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ（ｎａ／ｒｉｂ），ｔｈｅ ｗｉｄｅｒ ｔｈｅ
ｅｖｅｎ ｔｉｍｅｓ ｏｆ ＣＯｏ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｈｏｔｏｎｉｃ ｂａｎｄ ｇａｐ ｏｆ １ Ｄ ｔｅｍａｒｙ ｐｈｏｔｏｎｉｃ
ｍｅｄｉｕｍ ｃｒｙｓｔａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ，ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ，ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｈｅ
ｌａｙｅｒ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ １ Ｄ
ｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｃｒｅａｔｅ ｓｏｍｅ ｒａｎｇｅｓ ｏｆ ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｆｏｒ
二维光子晶体完全光子带隙的优化设计
二维光子晶体完全光子带隙的优化设计刘茂军;周莹;王丽;马季【摘要】应用平面波展开法推导二维光子晶体横磁场模式和横电场模式主方程,得到两种模式下的二维光子晶体完全带隙,并研究二维光子晶体完全带隙宽度及中心频率位置随填充比和背景介质介电常数的变化规律,从而实现二维光子晶体完全光子带隙的优化.%We used the plane-wave expansion method to derive the master equation of two-dimensional photonic crystal for transverse magnetic mode and transverse electric mode,and obtained the complete photonic-band-gap of two-dimensional photonic crystal for two modes.We studied the change rule of filling ratio and dielectric constant of background medium with the complete photonic-band-gap width and center frequency location of two-dimensional photonic crystal.Thus,the optimal design of the complete photonic-band-gap was realized.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)005【总页数】5页(P1292-1296)【关键词】二维光子晶体;平面波展开法;完全光子带隙【作者】刘茂军;周莹;王丽;马季【作者单位】吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;同济大学物理科学与工程学院,上海200092【正文语种】中文【中图分类】O436光子晶体是介电常数受空间位置周期性调制的光学微结构, 具有光子局域态和光子禁带, 在新型光电器件、光学传感、高效低损耗反射镜、光子晶体微谐振腔及高效率发光二极管等领域应用广泛[1-9]. 光子晶体的理论研究方法主要有传输矩阵法、时域有限差分法和平面波展开法等[10-12]. 其中, 平面波展开法是研究光子晶体带隙结构的主要方法. 本文将电磁场在倒格矢空间内展开为平面波叠加的形式, 进而将Maxwell方程组化为一个本征方程, 通过求解本征值得到相应的本征解, 即得到在光子晶体内存在的本征模式. 平面波展开法优点在于能快速得到本征模式的电磁场分布以及光子晶体的带隙结构, 计算各种理想结构光子晶体带隙所得结果准确且高效[13]. 根据平面波展开法得到的光子晶体带隙结构可考察能带结构、禁带宽度以及各光子态之间的关系等光学特性[14]. 对于某个偏振态, 若在一定频率范围内不存在对应的模式, 则称其为该偏振态的光子带隙. 对于两个偏振态, 若在一定频率范围内均不存在对应的模式, 则称其为完全光子带隙[15]. 完全光子带隙的宽度与位置均决定了该光子晶体的应用性能, 因此对于光子晶体完全带隙的优化设计研究有一定的意义. 本文用平面波展开法计算两种模式下二维光子晶体的完全带隙, 并讨论填充比及背景介质介电常数对二维光子晶体完全带隙的影响.光在电介质内的传播遵循Maxwell方程, 假设构成二维光子晶体介质为无源介质, 则Maxwell方程为：对于非磁性材料光子晶体, 有所以, Maxwell方程组可表示为：其中ε(r)为二维光子晶体的介电常数, 受空间位置的周期性调制, 二维情况下可记为ε(r∥).对于横磁场模式(TM模式), 电磁场为:其中r∥=xi+yj. 将式(11),(12)代入式(9),(10), 有将式(13)～(15)中的时间项、Hx和Hy消除后可得式(16)即为TM模式对应的主方程.对于横电场模式(TE模式), 电磁场为:将式(17),(18)代入式(9),(10), 有将式(19)～(21)中的时间项、Ex和Ey消除后可得式(22)即为TE模式对应的主方程.根据二维光子晶体介电常数的周期性分布, 有其中在求解主方程时, 可将1/ε(r∥)在倒易空间进行Fourier展开其中: G∥=l1b1+l2b2为倒易空间内的二维矢量; K(G∥)为1/ε(r∥)的Fourier系数, 为二维光子晶体的填充比, ac为二维光子晶体原包面积, J1为一阶Bessel函数.对二维光子晶体完全光子带隙进行数值分析, 通过参数调节得到二维光子晶体完全光子带隙宽度及其完全带隙中心频率位置的变化规律, 从而实现完全光子带隙的优化设计. 二维光子晶体的基本参数为：背景介质介电常数εb=11.56, 空气柱εa=1, 空气柱在空间为正方结构排列, 如图1所示. 空气柱半径ra=0.45a, a=10-6 m为晶格常数, 填充比k=0.636 2.二维光子晶体结构的完全光子带隙如图2所示. 由图2可见: 当f=0～0.8ω时, TM 模式比TE模式有更宽的带隙, 二者重合的部分称为完全光子带隙; 该结构具有宽为Δ ω=0.057ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.452ω, Δ ω/ωmid=12.61%.填充比对完全光子带隙结构的影响如图3所示. 由图3可见: 当f=0～0.8ω时, TM 模式比TE模式有更宽的带隙; 当k=0.536 2时, 该结构不存在完全光子带隙; 当k=0.636 2时, 该结构具有宽为Δ ω=0.057ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.452ω, Δ ω/ωmid=12.61%; 当k=0.736 2时, 该结构具有宽为Δω=0.089ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.475ω, Δ ω/ωmid=18.74%; 该结构二维光子晶体的完全光子带隙宽度随填充比的增大而增大, 且完全光子带隙中心频率的位置发生蓝移.背景介质介电常数对完全光子带隙结构的影响如图4所示. 由图4可见: 当f=0～0.8ω时, TM模式比TE模式有更宽的带隙; 当εb=10.24时, 该结构具有宽为Δω=0.036ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.467ω, Δ ω/ωmid=7.71%; 当εb=11.56时, 该结构具有宽为Δ ω=0.057ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.452ω, Δ ω/ωmid=12.61%; 当εb=12.89时, 该结构具有宽为Δω=0.071ω的完全光子带隙, 中心频率ωmid=0.438ω, Δ ω/ωmid=16.21%; 该结构二维光子晶体的完全光子带隙宽度随背景介质介电常数的增大而增大, 且完全光子带隙中心频率的位置发生红移.综上, 本文用平面波展开法推导了二维光子晶体的主方程, 并对二维光子晶体完全光子带隙进行了数值分析, 通过调节参数, 得到了正方晶格二维光子晶体完全光子带隙的宽度和位置的变化规律. 结果表明: 增大填充比可使完全光子带隙的宽度增加, 完全光子带隙的位置蓝移；增大背景介质介电常数可使完全光子带隙的宽度增加, 完全光子带隙的位置红移.【相关文献】[1] Yablonovitch E. 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以平面波展开法分析光子晶体能带结构.
以平面波展開法分析光子晶體能帶結構廖淑慧講師中州技術學院電子工程系黃坤賢學生黃照智學生中州技術學院電子工程系摘要光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。
雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。
我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。
根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。
對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。
關鍵詞: 光子晶體，光子能隙，平面波展開法壹﹑前言當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。
西元1987年，E. Yablonovitch 與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。
根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。
這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。
事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料) 的研究早已行之多年。
電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构光子晶体是一种周期性的光学结构，它具有在一定频率范围内禁带结构的特性，这种结构对于光子的传播和控制具有重要意义。
利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构是一种常见的方法，本文将详细介绍这种计算方法的步骤和原理。
一维光子晶体是一种由周期性介质层叠而成的光学结构，在这种结构中，光的传播受到周期性介质的布拉格散射影响，从而产生禁带结构。
为了计算一维光子晶体的带隙结构，我们可以利用平面波展开法，该方法可以将一维光子晶体看做平面波在周期性介质中的传播，并通过布拉格散射条件来求解光子的能带结构。
在Matlab中，我们可以通过编写相应的程序来实现对一维光子晶体带隙结构的计算。
在编写程序之前，我们首先需要了解平面波展开法的原理和计算步骤。
平面波展开法的基本思想是将光子晶体的电磁场表示为平面波的叠加，然后利用布拉格散射条件求解电磁场的分布和能带结构。
平面波展开法的计算步骤如下：1. 定义光子晶体的周期性结构，包括介质的折射率分布和周期性的层叠结构。
2. 将电磁场表示为平面波的叠加形式，即电磁场可以由一系列波矢和频率确定的平面波组成。
3. 根据布拉格散射条件，求解平面波在周期性介质中的传播行为，得到光子的色散关系。
4. 根据色散关系，求解光子的能带结构，包括带隙的位置和宽度等信息。
在Matlab中，我们可以通过编写相应的程序来实现以上计算步骤。
我们需要定义光子晶体的周期性结构，包括介质的折射率分布和周期性的层叠结构。
然后，我们可以利用Matlab中的矩阵运算和数值方法来求解平面波在周期性介质中的传播行为，并得到光子的色散关系。
我们可以利用色散关系来计算光子的能带结构，并可视化带隙结构的位置和宽度。
假设我们要计算周期性介质的折射率分布为正弦形式的一维光子晶体的带隙结构。
该光子晶体的周期性结构如下：n(x) = n0 + Δn * sin(2πΛx)其中n0为基准折射率，Δn为周期性介质的折射率差，Λ为周期长度。
三维平面波法讨论及光子晶体完全禁带分析
三维平面波法讨论及光子晶体完全禁带分析张长青【摘要】详细讨论了三维平面波法(PWM)的特征方程及数值求解过程,分析了简体立方、面心立方和体心立方等典型晶胞的基本参数,计算了这些晶胞在空心晶格、实心晶格、球形晶格和方形晶格等情况下无缺陷时的完全禁带.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(022)001【总页数】7页(P57-63)【关键词】平面波法;三维光子晶体;完全带隙【作者】张长青【作者单位】中国移动通信集团湖南有限公司岳阳分公司,湖南岳阳414000【正文语种】中文【中图分类】TN911.74三维光子晶体制备复杂，但实用性强，备受人们关注.目前，三维光子晶体有木材堆砌式、钻石结构和球形等部件.虽然最初提出面心立方结构是在20世纪80年代［1－2］，但实际工作中怎样选用面心立方结构和填充率确定光子带隙是在2年后［3］.实验发现，用介电材料构成周期性结构，通过测量电磁波透射率来确定是否存在光子带隙的方法是很不成功的，从而迫使人们关注光子能带的理论计算.Ames的研究人员第1次从理论上证实了具有金刚石结构的光子晶体有很大的光子带隙［4］，激励人们开始从实验上寻找金刚石结构的光子晶体，1年后终于制作了1个具有全方位光子带隙的金刚石结构三维光子晶体模型［5］.这说明从理论上研究光子晶体是何等的重要.完全带隙是指在确定频率范围内，任何方向入射的电磁波都不能在光子晶体中传播.用无吸收损耗材料制成的光子晶体，在完全带隙情况下，各个方向的透射率为0，反射率为1.该特性应用于光波导中，其优异的导波性能使它在集成光学领域中具有广泛的应用前景.光子晶体中的Maxwell方程是无法求出解析解的，电磁场的矢量性又使数值模拟非常困难，好在光子之间不存在相互作用，禁带计算比电子更加准确，而平面波法的物理概念清晰，可直接应用介质结构的周期性，当方程从实空间变换到离散傅里叶空间后，可将光子晶体的禁带计算简化为代数的本征问题求解，且只需求解最简布里渊区(first brillouin zone)就可得到足够信息反映电磁波在光子晶体中的色散关系.1 平面波展开法［6］在无电荷源(ρ=0)、无电流源(J=0)、无磁流源(Jm=0)的光子晶体中传播的单色电磁波方程是式中ε(r)=εr(r)是相对介电常数，E(r)、H(r)是电磁矢量，ω是角频率，c是真空中光速.1.1 三维平面波法的色散方程光子晶体中的电磁场被周期变化的介电常数散射，据Bloch定理可以得到矢量式F(r)=u(r)exp(ik·r)，其中的Bloch矢量函数u(r)=u(r+T)，F(r)为E(r)或H(r).为了得到色散关系，我们将u(r)做平面波展开，由于u(r)是周期函数，只有符合傅里叶级数形式的平面波才对方程F(r)=u(r)exp(ik·r)有贡献.所以，(1)和(2)式中的电磁场E(r)和H(r)可以按倒格矢量作离散傅里叶变换:光子晶体的周期性决定了它的介电常数的倒数也是周期函数，按倒格矢量作离散傅里叶变换:将(3)、(4)、(5)代入(1)、(2)式中，可得:对于平面波展开系数E(G)和H(G)，(6)和(7)式是等价的本征值方程，因磁场满足H(G)⊥(k+G)，可降解一维度，一般只分析(7)式.由于非磁性光子晶体中的磁场H 是Hermitian矩阵，若设eλ是H(G)的单位矢量，则H(G)=H(G)eλ，考虑到磁场H相互正交的2个偏振模式，则(7)式为:其中λ'=1、2表示标量H(G')的2个偏振模式，G是参考倒晶格矢量，G'是求和倒晶格矢量.若用eλ对(8)式两边做点积，等式右边:H(G)·eλ=H(G)(eλ·eλ)=H(G)，矢量转为标量;等式左边解要复杂一些，根据矢量代数(A×B)·C=(B×C)·A=(C×A)·B=－(A×C)·B，取A=(k+G)、B= ［(k+G')× eλ'］和C=eλ，则左边矢量部分可简化为:所以矢量式(8)可以简化为下面的标量式:其中λ =1、2表示标量H(G)的2个偏振模式，λ'=1、2表示标量H(G')的2个偏振模式.由于H(G)⊥(k+G)，取e1、e2是互为垂直且垂直于(k+G)的单位矢量，因e1、e2、(k+G)三者正交，则(k+G)×e1=|k+G|e2，(k+G)× e2= －|k+G|e1，同理 e1'、e2'、k+G'亦是如此.为了分析方便，令 P=k+G，P'=k+G'，若对(9)式中λ、λ'求和部分求和则有:再将单位矢量的和式用矩阵表示，则(9)式简化为:显然，(11)式是一个特征方程，其特征矩阵由4组数据组成，即ε－1(G－G')、k+G、k+G'和H(G)与H(G')矢量对应基底单位矢量点积的矩阵，求出这4组数据，通过不断选择第一布里渊区中不同波矢量k值和倒格子空间的倒格矢量，就可以求出特征矩阵，并求出特征值，最后求出归一化频率ω/ω0与波矢量k的关系曲线，即光子晶体的禁带特性.1.2 一、二维平面波法的色散方程利用三维光子晶体的平面波色散方程(11)式，可以改造成一、二维光子晶体的平面波色散方程.1.2.1 一维光子晶体平面波色散方程因为是一维空间，我们将波矢量与倒晶格矢量的和k+G确定在X方向，如果将e1、e1'假定为Y方向，则e2、e2'就一定在Z方向，这样e1、e2、e1'、e2'都是确定的单位矢量.根据(11)式，其中的单位矢量矩阵元素应为:e2·e2'=1，e1·e1'=1，e2·e1'=0，e1·e2'=0，所以(11)式可以得到2个完全相同的一维光子晶体色散方程:1.2.2 二维光子晶体平面波色散方程因为是二维空间，设波矢量与倒晶格矢量的和k+G=P=(kx+Gx)i+(ky+Gy)j，即P 仅位于XY平面内，没有确定坐标.又因 e1、e2、P 三者正交，e1'、e2'、P'亦如此，当e1、e1'确定为Z 方向后，e2、e2只能落在XY平面上，并与P、P'正交，所以e2·e1'=e1·e2'=0.因为e2、e2'、P 没有确定方向，为了方便研究，且将e2、e2'设为Z方向，根据P×e1=Pe2、P × e2= －Pe1公式，并重解(10)式可得:由于已经将e1、e1'确定为Z方向，所以(P×e1)·(P'×e1')必垂直Z轴.如果取(P×e1)·(P'×e1')=P·P'=(k+G)·(k+G')为X方向场量，则P P'e1·e1'=P P'= k+Gk+G'应为Y方向场量，根据波矢、电场和磁场的右手螺旋关系k=E×H，(k+G)·(k+G')对应横电场TE波，k+G k+G'对应横磁场TM波，则(11)式演变来的二维光子晶体色散方程为展开后得到如下2式:TE波的H偏振场量(14)式，TM波的E偏振场量(15)式.1.3 3种典型三维晶格结构的相关参数所有晶格结构都可以分类为简体立方、体心立方和面心立方，以及它们的复式结构.了解这3种典型晶格结构的相关参数是分析三维光子晶体的重要基础，具体如表1所示.从(11)式可知，特征矩阵主要由4项组成，下面我们来求解第1项介电常数倒数ε－1(G－G').二元光子晶体由晶格和背景2种介质组成，设晶胞(cell)为a、b两区，a区介质是εa，b区介质是εb，即设晶胞a、b区的体积分别是Va、Vb，晶胞总体积为V=Va+Vb，根据下面(16)式，对倒格矢量空间逆向离散傅里叶变换，并设G－G'=G.因为是求一个晶胞中的介电常数的倒数，可取消求和号，又因为这2个区域中的ε是常数，所以可以将其提出积分号，移项后对一个晶胞积分得先分析上式第2项，当G≠0时因对称性和周期性，积分为0，从而第2项为0;当G=0时exp(－iG·r)=1，因而积分等于V，即晶胞体积，所以第2项为，则(16)式为其中f=Va/V为εa在晶胞中的填充率，而叫结构因子.由于结构因子是对晶格点积分，仅与晶格点形状有关，复式结构除外(如钻石结构)与晶格结构无关.由于晶格结构因子不可能是复数，根据迪美弗定理取exp(－iG·r)实部cos(G·r).下面将研究几种典型晶格的结构因子.1.3.1 球形晶格结构因子1.3.2 立方晶格结构因子研究晶格结构时我们将晶格结点当作质点来考虑，但研究结构因子时，因需要考虑填充率，所以必须借用圆球堆积图来分析，而圆球的半径r则是重要参数.表2所示是三类球体晶格和立方晶格结构的填充率，其中r是球体晶格的圆球堆积的圆球半径，l是立方晶格的边长，a是晶格常数，V=a1·a2×a3，是晶胞体积.1.4 钻石结构晶格分析钻石结构的基元包含2个相同元素，分别位于(0，0，0)和(1/4，1/4，1/4)，基元加在面心立方晶格点上，每个元素有4个最邻近的元素，形成四面体键结.钻石结构晶胞较空，球形晶格的填充率只有34%.钻石结构的空间晶格是面心立方的复式结构，所以正格基矢和倒格基矢等参数与面心立方晶格一样.因钻石结构复杂，在做傅里叶变换时要用平移定理:即假设一元素ε(r)的傅里叶变换为ε(G)，若将此元素移动一距离r0，则傅里叶变换需乘上一相位变化因子exp(iG·r0)，即∑ε(r+rj)↔∑ε(G)·exp(iG·r0)，所以(16)式变为显然，钻石结构晶格和面心立方晶格的结构因子S(G)、填充率f是一样的，不同的只是介电常数倒数多了一项cos(G·r0)，为此把cos(G·r0)直接加在结构因子中，即得1.5 倒格矢量 G、G'，波矢量 k，k+G 的参考基矢 e1、e1'、e2、e2'(11)式中的倒格矢量G、G'，是晶胞中各倒晶格的位置矢量，其中G是参考倒格矢量，G'是求和倒格矢量，其值分别是 G=m1b1+m2b2+m3b3，G'=m1'b1+m2'b2+m3'b3，虽然 m1、m2、m3 和 m1'、m2'、m3'都取整数值1，2，…，n，但数值计算时必须错开取值，为了计算方便，取值范围都设为［－n，n］，且n的大小决定了计算量，一般为n＜10.(11)式中的波矢量k，是表1所示的波矢量空间第一布里渊区边界对应的各段边界.如:简立方晶胞第一布里渊区边界是由波矢量组成，在第一布里渊区边界的数值计算中，为了精确，我们往往将每个k矢量等分成多段(如4、6、8段等)来计算. (11)式中基矢矩阵的e1、e2 是H(G)的基矢，e1'、e2'是H(G')的基矢，其中e1、e2、k+G 以及 e1'、e2'、k+G'三者正交.因G和G'的倒格基矢b1、b2、b3可变换到k=kxi+kyj+kzk的波矢空间，所以同取G、G'和k的i与 j分量，便可以得到 e1、e2和 e1'、e2'的基矢.其实，我们只需要得到 e1、e2，通过取 e1、e2的转置就可以得到e1'、e2'的基矢.三维 PWM法中表现倒格矢量 G、G'和波矢量 k以及求解特征矩阵κ(G－G')·可用 Matlab 编程实现，此处略.2 计算结果为了分析三维光子晶体的完全禁带，特选择简体立方、体心立方、面心立方和面心立方复式结构的钻石结构4种二元晶胞模型，对晶格εa=1、背景εb=12和晶格εa=12、背景εb=1，及球形晶格半径0.2a≤r≤0.5a和立方晶格边长0.2a≤l≤0.5a(步长为0.01a)的情况下作模拟计算，结果如图1、2所示.简体立方空实心球体晶格和立方晶格都没有完全禁带;体心立方空心球体晶格在r=(0.4～0.44)a，f=(0.61～0.9)ω/ω0处存在完全禁带，尤其在r=0.44a时带隙宽度为Δf=(0.9－0.86)ω/ω0，实心球体晶格在r=0.23a、f=0.52ω/ω0处存在禁带.空心立方晶格在 l=0.45a，f=0.58ω/ω0以及在l=0.49a、f=0.54ω/ω0和f=0.89ω/ω0处同时存在禁带，实心立方晶格在l=0.39a，f=0.55ω/ω0处存在禁带;面心立方空心球体晶格在r=0.32a，f=0.89ω/ω0处存在完全禁带.实心球体晶格没有禁带.空心立方晶格在r=0.28a，f=(0.51～0.62)ω/ω0处存在较宽禁带，实心立方晶格没有禁带;钻石结构空心球体晶格在r=(0.2～0.34)a，f=0.36ω/ω0开始一直存在完全禁带，且带隙越来越宽，并向高位移动.实心球体晶格在r=0.33a，f=(0.82～0.88)ω/ω0存在禁带，但空心和实心立方晶格没有禁带.4 结论从图1、2中可以看出，体心立方的球形晶格和方形晶格都存在完全禁带，只是带隙宽度越来越窄.面心立方仅空心球形晶格和空心方形晶格存在完全禁带，且空心方形的禁带宽度要宽得多.钻石结构也只有空心球形晶格和实心球形晶格存在完全禁带，且带隙都较宽，尤其是空心球形晶格的带隙宽度超过0.5ω/ω0，是非常理想的光子晶体材料结构.参考文献:［1］YABLONOVITCH E.Inhibited spontaneous emission in solid－state physics and electronics［J］.Phys Rev Lett，1987，58:2059－2062. ［2］JOHN S.Strong localization of photos in certain disordered dielectric super lattices［J］.Phys Rev Lett，1987，58:2486 －2489.［3］YABLONOVITCH E，GMITER T J.Photonic band structure:the face－centered－cubic case［J］.Phys Rev Lett，1989，63:1950－1953.［4］HO K M，CHAN C T，SOUKOULIS C M.Existence of photonic gap in periodic dielectric structures［J］.Phys Rev Lett，1990，65:3152－3155. ［5］YABLONOVITCH E，GMITTER T J，LEUNG K M.Photonic band structure:The face－centered－cubic case employing nonspherical atoms ［J］.Phys Rev Lett，1991，67:2295 －2298.［6］张高德.广义光子晶体元件之研究与分析［D］.台湾:国立中央大学，2007.。
一维光子晶体能带结构特性分析 山东农业大学
Abstract ： Based on plane wave expansion method，the influences of different parameters on the band gap of one － dimensional photonic crystal were studied according to numerical method． Experimental results show that when the normalized frequency range light beams into one － dimensional photonic crystal surface，the light generates a plurality of photonic band gap． When the difference of medium refractive index is increased，the number of band gap is increased and the width of band gap is enlarged． The band gap center moves towards the low frequency range． The necessary and sufficient condition of Omni directional photonic band gap is that grazing incidence light cone has no the transmission state in TE mode and TM mode， and Brewster angle of medium is outside of the light cone． Key words： One － dimensional photonic crystal； plane wave expansion method； photonic band gap； omni directional photonic band gap 1987 年， E． Yablonovitch 与 S． John 根据半导体材料中形成电子能隙的物理机理 ， 提出了在介电材料 ［1 ］［2 ］ 。将介电材料在三维空间进行周期性排列 ， 周期性排列的光子系统中也会出现光子能隙 固定波段的 ［3 ］［4 ］ 。 相对于三维、 色散关系呈现带状， 此种现象称为光子晶体带隙 电磁波会因为干涉呈现衰减性传输 ， 二维的复杂结构， 两种介电材料周期性堆叠在一起形成的一维光子晶体 ， 具有结构简单， 计算方便， 便于制 ［4 ］［5 ］ 。通过理论分析发现， 作的优势， 受到众多科研工作者的重视 一维光子晶体结构满足一定的条件， 能 够实现全向反射光子禁带。
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构
利用平面波展开法在matlab中计算一维光子晶体的带隙结构1. 引言1.1 研究背景光子晶体是近年来新型功能性材料的研究热点之一，其具有周期性结构对光子的传播性质具有重要影响，表现出许多独特的光学性质。
光子晶体的带隙结构是其中一个最基本的性质，也是许多光子晶体应用的关键。
通过调控光子晶体的结构参数，可以实现对光子带隙的调控，从而实现光子晶体的光学性能优化和设计。
利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构具有重要意义，可以为光子晶体的设计和性能优化提供有力支持。
本文将从理论基础出发，详细介绍平面波展开法的原理，光子晶体的带隙结构计算方法，以及在Matlab中实现算法的过程。
希望通过本研究对光子晶体的带隙结构有更深入的理解，为未来的光子晶体研究和应用提供新的思路和方法。
1.2 研究目的研究目的是利用平面波展开法在Matlab中计算一维光子晶体的带隙结构，通过研究光子晶体的带隙结构，可以深入了解光子晶体的光学特性和传输特性。
这对于设计和制造新型光子晶体材料具有重要意义。
目的在于探究光子晶体的带隙结构与其微结构之间的关系，为调控光子晶体的光学性质提供理论指导。
通过计算一维光子晶体的带隙结构，可以更好地理解光子晶体在光学通信、光子器件和传感器等领域的应用潜力，并为实际应用提供技术支持。
研究光子晶体的带隙结构还有助于拓展光学材料的设计思路，推动光子晶体材料在光电子领域的发展。
通过本研究，可以为光子晶体的应用研究和材料设计提供重要的理论基础和技术支持。
1.3 研究意义光子晶体的带隙结构计算是光子学研究的重要内容之一，能够揭示光子在晶格周期性结构中的行为规律。
利用平面波展开法在Matlab 中计算一维光子晶体的带隙结构，可以快速准确地获得光子晶体的能带结构，为进一步研究光子传输、光谱性质等提供重要依据。
通过本研究，可以深入了解光子晶体的光学性质，为光子学领域的发展和光子晶体材料的应用提供理论支持。
光子晶体带隙结构的数值计算
第37卷增刊电子科技大学学报Vol.37suppl 2008年6月Journal of University of Electronic Science and Technology of China Jun.2008光子晶体带隙结构的数值计算郭强，谢康，张雅蕊(电子科技大学光电信息学院成都610054)【摘要】该文简述了光子晶体的基本概念及基于平面波方法的理论分析。
光子晶体是周期性介质结构，其带隙结构计算复杂，难于进行解析分析，只能使用数值模拟，所以关于光子晶体带隙的计算成为其理论研究的一个重要分支。
该文在推导出一维光子晶体的解析解后，使用平面波方法在MATLAB 下编写了通用的二维光子晶体能带结构计算程序，找到了出现最大带隙的结构参数，为设计和制作二维光子晶体提供了理论依据。
关键词带隙;周期结构;光子晶体;平面波中图分类号TP18文献标识码ANumerical Computation of Photonic Crystal Band GapGUO Qiang,XIE Kang,and ZHANG Ya-rui(School of Optoelectronic Information,University of El ectronic Science and Technology of Chi naChengdu610054)Abstr act The basic conception and theoretical methods based on plane wave method (PWM)are reviewed in this paper.As the periodic structure of photonic crystal is intricate,it is very hard to make a mathematical analysis.So people usually analyze a photonic crystal through numerical simulations.Therefore,it is essential to study numerical methods in the theoretical research of photonic crystals.In this paper,one-dimensional photonic band gap structures are derived,general computational routines are programmed to calculate photonic crystal band gap using MA TLAB,and parameters for widest band gap are found.Key wor ds band gap;periodic structure;photonic crystal;plane wave method收稿日期：20080304基金项目：国家杰出青年科学基金(60588502)作者简介：郭强()，男，硕士，主要从事集成光学方面的研究文献[1]提出了光子晶体(又称光子禁带材料)的概念，使操纵和控制光子的梦想成为可能。
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廖淑慧講師
中州技術學院電子工程系
黃坤賢學生
黃照智學生
中州技術學院電子工程系
摘要
光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。
事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料)的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以「晶格」的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmitter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存在[3]，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。
(1)
(2)
(3)
(4)
其中 為電場強度， 為磁場強度， 為相對介電常數， 、 為真空中的介電常數和導磁係數。
假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令:
(5)
(6)
將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式(Helmholtz's equation)：
(7)
其中ω和c分別為光在真空中的角頻率及光速， 為介電常數函數。根據布洛赫定理(Bloch's Theorem)，在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下：
考慮一介電質圓柱在x-y平面的週期排列，圓柱在z方向上無窮延伸出去，晶格基底向量(primitive lattice vector)為 ， ，a代表晶格間距，R為圓柱半徑，圓柱的材質為鋁(Al，其介電常數 )。正方晶格的倒晶格還是正方晶格，倒晶格基底向量(reciprocal lattice vector)為 ， ，根據(9)、(10)式可以求得 如下所示：
目前，光子晶體在光通訊系統中已有非常多的應用，例如光開關、光放大器、光交換等元件，甚至於非線性光子晶體光纖、多模態光子晶體光纖等，都在光電領域中有著非常具大的應用潛力。若能在元件中或電路製作前，先以演算法分析所需的光子晶體，必能為龐大的半導體製程省下大量的費用。
目前計算光子能帶結構的數值方法最常見的主要有:平面波展開法(plane wave expansion method,PWM)[4]-[7]有限元素法(finite element method, FEM)[8]-[10]及時域有限差分法(finite difference time domain, FDTD)[11]-[14]。在本論文中將利用平面波展開法，計算一維與二維光子晶體的色散曲線(dispersion curve)，找出其能隙所在。
關鍵詞:光子晶體，光子能隙，平面波展開法
壹﹑前言
當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。
參﹑結果分析
在本論文中，我們使用了一部份參考文獻[15].中的數據，以作為確認數值演算的結果依據。
在一維光子晶體結構中，無論介電常數比值為何，只要 ，永遠存在著能隙(圖1.)。由圖1.、圖2.及圖3.能隙的比較，我們也發現介電常數差額愈小者，能隙亦較小。
對於二維光子晶體結構，則主要計算正方晶格(square lattice)結構排列的二維光子晶體，探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線。
(12)
二﹑橫電波(TEmode)
在TE模態下，電場方向在x-y平面上，磁場在z方面上( 、 和 )，(11)式可化簡如下：
(13)
若考慮一維的問題，k和G只有兩個方向，分別是+x與-x，此時可將 分別取為 ，所以，特徵方程式可簡化為:
(14)
在此情況下， 和 都在y-z平面，所以TE mode和TM mode的情況是一樣的。
貳﹑光子能帶結構分析
平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係(dispersion relation)。透過平面波展開法，可以了解光子晶體能隙的形成，並且可以利用超晶胞(supercell)的技巧求解含有缺陷(defect)的光子晶體的色散關係。
考慮一無源、線性、非損耗性( )介質的Maxwell方程式如下：
(8)
其中 為倒晶格向量， 、2， 為布洛赫波向量(Bloch's wavevector)， 為磁場沿著 方向的係數， 為兩個與 相互垂直的單位向量。
由於 為一週期函數，所以可用傅立葉級數展開之：
(9)
(10)
其中 為單位晶格(unit cell)，V為單位晶格的體積。
接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理 後可得到一特徵方程式如下：
(11)
由(11)式，可根據不同的 值解出對應特徵值{ωn}及特徵向量 。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波(TMmode)和橫電波(TEmode)。
一﹑橫磁波(TMmode)
假設電磁波的傳播方向在x-y平面上 ，在TM模態下僅考慮 、 和 三個場量，則(11)式可化簡如下：