新高考数学教材和题型变化浅谈
新高考数学题型改革
新高考数学题型改革全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：随着时代的进步和社会的发展，教育体制也在不断改革和创新。
作为学生们重要的考试科目之一，数学在新高考改革中也发生了一些变化，新高考数学题型改革备受关注。
数学是一门基础学科，也是一门具有科学性和逻辑性的学科。
新高考数学题型改革旨在提高学生的数学素养，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，让学生更好地适应未来社会的需求。
一、背景在过去的高考制度中，数学题型主要分为选择题和填空题两种，注重考查学生的记忆能力和计算能力。
而新高考数学题型改革则更加注重考查学生的数学思维能力和解决问题的能力。
随着科技的发展和社会的进步，传统的数学教育模式已经无法满足学生发展的需求，因此有必要对数学教育进行改革和创新。
二、新高考数学题型改革的主要内容1. 多元化题型：新高考数学试卷不再固守传统的选择题和填空题，而是增加了更多的解答题和应用题。
通过引入多元化的题型，可以更好地考查学生的数学综合能力和解决问题的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
2. 考查思维能力：新高考数学题型改革也更加注重考查学生的思维能力，例如通过设计思维导向的题型来考查学生的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。
这种考察方式能够激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
4. 强化综合性评价：新高考数学题型改革强调综合性评价，考察学生在解决问题过程中的整体表现。
通过综合评价，可以更加客观地评估学生的数学学习水平和综合素质，帮助学生找到自身的不足之处，进一步提高学习水平。
1. 提高学生的数学素养：新高考数学题型改革更加注重考查学生的思维能力和解决问题的能力，有助于提高学生的数学素养。
通过解决更多的实际问题，可以让学生更好地理解数学知识的实际应用，提高学生的数学实践能力。
3. 促进教学改革：新高考数学题型改革也促进了教学模式的改革和创新。
教师在教学中需要更多地注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，促进学生的综合素质发展。
2020年高考全国一卷数学分析及新高考改革和教材变化
程序框图 等差通项与求和
椭圆标准方程 三角函数图象与性质
立几外接球
2018Ⅰ理 复数运算模
补集不等式 饼图信息
等差数列和 三次奇函数切线方程
三角形中线向量 三视图最短路径 抛物线直线数量积 分段函数零点范围 数学文化几何概型 双曲线渐近线弦长 正方体线面角面积最值
高一毕竟不同于高三，教师不能用高三的标准来要求高一的学生，不能一个知识 点“一锹挖到底”，要循序渐进。高一教学重在培养学生良好学习习惯，培养学 生分析问题，解决问题能力，把学生掌握“基础知识，基本方法”，放在首位。 新课阶段每章最好采用“课本—资料—章末复习”三段式，考试应以考察学生对 “基础知识、基本方法”掌握情况为主，大综合题少出或不出。每次考试难度系 数控制在0.65为宜。
自高习信中，惯，总，觉这解得些题自家有己长一初可一定能、规局初律二限性的于，时数有候学数的水学学平也生没无甚有法至很跟是好上，套课等用程到某了的种初安题三排型一，咬或牙、一 努者模力即就式便可进以是行迅跟解速上答地，。提但高而是，到比抱了有起高“高中临考，时的抱这要佛种求脚模”有式的着一心较般态大。来的但说偏是不在差适高。合中新学习中，这 是的很难学做习到水的平，。高一是整个高中数学三年的学习中最关键的一年，其涉及的基
础性知识占整个高中的很大一部分，一旦“开窍”晚，很容易导致整个高中数
学学习跟不上。
初高中数学知识“脱节”点 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为 “1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中 教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化 是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是 高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单 调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握 的基本题型与常用方法。
数学2024新高考题型
数学2024新高考题型
2024年新高考数学题型的变化可以总结如下：
1. 整体结构变化：
- 多选题减少，每题分值提高至6分。
- 填空题和大题数量均有所减少，可能是为了更侧重于综合能力和深度思考的考察。
- 解答题（大题）部分总分为77分，且包含具有较高难度、接近竞赛水平的题目。
2. 广东高考题型调整：
- 数学题型向高考英语靠拢，这意味着可能增加基于语篇理解及应用数学知识解决实际问题的题型。
- 广东省采用与九省联考类似的试卷结构，即保留了单选题、多选题、填空题和解答题的基本构成。
3. 新增或强调的题型：
- 集合的运算
- 四种命题及其关系的理解与运用
- 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明
- 求解涉及充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围
这些信息意味着在备考2024年新高考数学时，学生需要注重提升以下能力：
- 对基础知识的扎实掌握，特别是集合论初步知识、逻辑推理等。
- 灵活运用所学知识解决复杂问题的能力。
- 提高分析解读题意以及将数学知识应用于实际情境的能力。
建议考生密切关注当地教育考试院发布的最新官方通知，并根据新的题型特点及时调整复习策略。
高考2024新高考试卷结构
高考2024新高考试卷结构
2024年新高考的试卷结构将会有一些调整，特别是在数学科目上。
以下是一些具体的变化：
1. 题型调整：2024年九省联考数学试卷在整体上延续了全国新课标卷的单选题、多选题、填空题、解答题的结构。
但是，相比以前，试题数量有所减少，总题数从22个变为更少的数量。
2. 考查重点：未来的高考试卷将会加强对核心素养、关键能力和必备知识的整体性考查，注重考生的逻辑思维、形象思维、抽象思维等多方面的能力。
3. 分值变化：在外语科目上，将会减少语言知识运用类试题的题量和分值，相应地增加语言运用能力试题的分值，以更好地考查学生的语言实际运用能力。
综上所述，这些调整反映了教育部门对高考内容和形式不断优化的努力，旨在更好地适应新时代教育的需求，培养学生的综合能力和创新思维。
对于即将参加高考的学生来说，了解这些变化对于他们的备考是非常重要的。
同时，这也提醒教师和学校在教学安排和复习指导上要及时做出相应的调整，以帮助学生适应新的考试模式。
高中数学新旧教材知识点对比
高中数学新旧教材知识点的主要差异主要体现在以下几个方面：
1. 整式与分式：新教材中，整式与分式的概念更为明确。
通过引入多项式和有理式的概念，建立了更系统的数学框架。
在旧教材中，对于整式和分式的概念可能没有这样清晰的界定。
2. 三角函数：新教材对于三角函数的定义和性质进行了较大调整。
例如引入了反三角函数和任意角的概念等。
而在旧教材中，可能没有涉及到这些内容或者不够详细。
3. 函数与导数：新教材中更加注重函数与导数的几何意义和应用。
引入了函数图像、导数的物理意义等内容。
旧教材中可能没有这样强调几何意义和应用方面的内容。
4. 空间几何与解析几何：新教材中空间几何的内容较旧教材有所增加，同时解析几何的内容进行了调整和扩充。
在旧教材中，可能对于空间几何和解析几何的内容没有这样全面和详细的介绍。
5. 概率论与统计学：新教材中加入了概率论与统计学的基本概念和方法，并配套了相应的统计软件工具。
这在旧教材中可能没有涉及到或者没有这样重视。
6. 数学建模：新教材在数学建模方面有了明确的要求，强调数学与实际问题的应用结合。
而在旧教材中可能对于数学建模的内容没有这样明确的要求和指导。
需要注意的是，新旧教材知识点对比还存在一些细节方面的差异。
具体以各个地区的具体教材为准。
同时，不同学校和不同地区对教材
的选用也会有所不同，因此在具体的教学过程中，应以学校所采用的教材为基准进行教学。
新高考高中北师大数学教材的变化
新高考高中北师大数学教材的变化一、引言随着新高考的推进，高中数学教材也在不断地改革和创新。
北师大版高中数学教材作为国内重要的高中数学教材之一，其变化备受关注。
本文将从多个方面对新高考高中北师大数学教材的变化进行详细介绍和分析。
二、总体变化1. 结构体系调整新高考高中北师大数学教材在结构体系上进行了调整，更加注重数学知识的内在联系和逻辑性。
整个教材按照数学知识的发展脉络进行编排，从基础知识到高级知识逐步深入，使学生能够更好地理解和掌握数学知识。
2. 内容更新与扩充新高考高中北师大数学教材在内容上进行了更新和扩充，增加了一些新的知识点和题型，如数学建模、数学文化等。
这些新的知识点和题型旨在培养学生的数学素养和应用能力，使学生能够更好地适应未来的学习和工作。
3. 难度适当调整新高考高中北师大数学教材在难度上进行了适当调整，既考虑了学生的接受能力，又注重了数学知识的深度和广度。
整个教材的难度呈现出逐步上升的趋势，使学生能够逐步提高自己的数学能力。
三、具体变化1. 函数与导数部分在函数与导数部分，新高考高中北师大数学教材增加了函数的单调性、函数的极值与最值等内容，这些内容旨在帮助学生更好地理解函数的性质和变化规律。
同时，教材还增加了导数的应用，如利用导数研究函数的单调性、极值等，使学生能够更好地掌握导数的概念和应用。
2. 三角函数与平面向量部分在三角函数与平面向量部分，新高考高中北师大数学教材注重了三角函数的图像和性质的教学，增加了三角函数的变换、三角恒等式等内容。
这些内容旨在帮助学生更好地理解三角函数的本质和变化规律。
同时，教材还加强了平面向量的教学，增加了平面向量的数量积、向量的坐标表示等内容，使学生能够更好地掌握平面向量的概念和应用。
3. 数列与数学归纳法部分在数列与数学归纳法部分，新高考高中北师大数学教材注重了等差数列、等比数列的教学，增加了数列的通项公式、求和公式等内容。
这些内容旨在帮助学生更好地理解数列的性质和变化规律。
2025版新教材高考数学全程一轮总复习新教材新高考权威解读评析
新教材新高考权威解读评析近三年新高考数学落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展，体现高考改革的要求．试卷突出数学学科特点，强化基础考查，突出关键实力，加强教考连接，助力基础教化提质增效．一、设置现实情境发挥育人作用近三年的新高考数学试卷坚持思想性与科学性统一，从中华优秀传统文化、社会经济发展、科技发展与进步等方面设置了真实情景．一是体现中华优秀传统文化情景，旨在让学生领会中华民族的才智和数学探讨成果，进一步树立民族自尊心和骄傲感．如2024年新高考Ⅰ卷第4题，以日晷为背景，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程．典例1 [2024·新高考Ⅰ卷，4]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )A．20°B．40°C．50°D．90°二是以科技发展与进步中取得的重要成就为背景，旨在激发青年学生树立为国家服务、奉献科技事业的信念．如2024年新高考Ⅱ卷第4题，以北斗三号全球卫星导航系统为情景，考查学生视察问题、分析问题和解决问题的实力．典例 2 [2024·新高考Ⅱ卷，4]北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6 400 km 的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能干脆观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为( )A．26% B．34% C．42% D．50%三是以我国的社会经济发展、生产生活实际为情景素材设置试题．如2024新高考Ⅰ卷第4题，以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查学生的空间想象、运算求解实力，引导学生关注社会主义建设的成果，增加社会责任感．典例3 [2024·新高考Ⅰ卷，4]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形态看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)()A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3二、加强教考连接发挥引导作用高考数学命题贯彻高考内容改革的要求，依据中学课程标准命题，进一步增加考试与教学的连接．试卷的考查比例、要求层次与课程标准保持一样，注意考查内容的全面性，同时突出主干、重点内容的考查，引导教学以标施教、施教以标．近三年的试题强调对学科基本概念、基本原理的考查，强调学问之间的内在联系，引导学生形成学科学问系统；注意本原性方法，淡化特别技巧，强调通性通法的深化理解和综合运用，促进学生将学问和方法内化为自身的学问结构.2024年新高考Ⅰ卷第16题体现了特别与一般的思想，2024年新高考Ⅱ卷第19题对统计与概率的思想进行了深化的考查．数学试题力图引导中学遵循教学规律、提高课堂教学效果，实现作业题、练习题减量提质．典例4 [2024·新高考Ⅰ卷，16]已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE 的周长是________．典例5 [2024·新高考Ⅱ卷，19]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．同时，加强主干考查．如2024新高考Ⅰ卷第12题，要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求．此外，近三年的新高考试卷还创新试题设计．题型设计上有多选题、开放题、结构不良问题，激励学生运用创建性、发散性思维分析问题和解决问题；引导教学注意培育学生的创新精神．如2024新高考Ⅰ卷14题，2024新高考Ⅰ卷17题，2024新高考Ⅱ卷21题．典例6 [2024·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．典例7 [2024·新高考Ⅰ卷，17]在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．典例8 [2024·新高考Ⅱ卷，21]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P，Q在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．三、加强素养考查发挥选拔功能近三年试卷深化考查关键实力，优化试题设计，发挥数学学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素养．首先是加强思维品质考查，增加思维的敏捷性．试卷通过突出思维品质考查，强调独立思索和创新意识．如2024年新高考Ⅱ卷第8题，对思维的敏捷性有较高要求，在抽象的情景中发觉函数周期性是问题的关键．典例9 [2024·新高考Ⅱ卷，8]已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则( )A．－3 B．－2 C．0 D．1其次是加强关键实力考查，增加试题的选拔性．试卷设置了综合性的问题和较为困难的情景，加强关键实力的考查．如2024新高考Ⅰ卷第22题重视基于数学素养的关键实力考查，在数学学问层面、数学实力层面和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能.2024年新高考Ⅱ卷第22题将函数、导数、数列与不等式等学问有机结合，考查学生敏捷应用函数、不等式思想解决困难问题的实力，对直观想象实力和逻辑推理实力也有较高要求．典例10 [2024·新高考Ⅰ卷，22]已知函数f(x)＝e x－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．典例11 [2024·新高考Ⅱ卷，22]已知函数f(x)＝x e ax－e x.(1)当a＝1时，探讨f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：＋…＋>ln (n＋1)．开篇典例1 解析：过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.答案：B典例2 解析：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：＝＝≈0.42＝42%.故选C.答案：C典例 3 解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3)．故选C.答案：C典例4 解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan 30°＝，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y－c代入并整理，得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|DE|＝＝·＝＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.答案：13典例 5 解析：(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．(2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，所以P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4.典例6 解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y)．由＝，得A()．因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1)．由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)典例7 解析：方案一：选条件①.由C＝和余弦定理得＝.由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝和余弦定理得＝.由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.方案三：选条件③.由C＝和余弦定理得＝.由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c冲突．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．典例8 解析：(1)由题意可得解得所以C的方程为x2－＝1.(2)当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得方程组消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，x1－x2＝＝.因为x1>x2>0，所以x1x2＝>0，即k2>3.所以x1－x2＝.设点M的坐标为(x M，y M)，则y M－y2＝(x M－x2)，y M－y1＝－(x M－x1)，两式相减，得y1－y2＝2x M－(x1＋x2)．因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，所以2x M＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得x M＝.两式相加，得2y M－(y1＋y2)＝(x1－x2)．因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，所以2y M＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，解得y M＝＝x M.所以点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．选择①②.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，则解得x A＝，y A＝ .同理可得x B＝，y B＝－ .此时x A＋x B＝，y A＋y B＝.因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝x，所以解得x M＝＝，y M＝＝，所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝x上，与题设冲突，故直线AB的斜率存在．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，则解得x A＝，y A＝ .同理可得x B＝，y B＝－ .此时x M＝＝，y M＝＝.由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.选择②③.因为PQ∥AB，所以k AB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(x A，y A)，点B的坐标为(x B，y B)，则解得x A＝，y A＝ .同理可得x B＝，y B＝－ .设AB的中点为C(x C，y C)，则x C＝＝，y C＝＝.因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－y C＝－(x－x C)上．将该直线方程与y＝x联立，解得x M＝＝x C，y M＝＝y C，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上．典例9 解析：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x) ①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1) ②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.所以＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝3×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3.故选A.答案：A典例10 解析：(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.由于f(x)存在最小值，则方程f′(x)＝0有解，故a>0，解得x＝ln a.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(ln a)＝a－a ln a.同理，得g(x)min＝g()＝1＋ln a.因为函数f(x)，g(x)的最小值相等，所以a－a ln a＝1＋ln a，即(a＋1)ln a＋1－a＝0.令h(x)＝(x＋1)ln x＋1－x，x>0，则h′(x)＝ln x＋.令m(x)＝ln x＋，x>0，则m′(x)＝＝.令>0，则x>1；令<0，则0<x<1.所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即h′(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以＝h′(1)＝1>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h(1)＝0，所以1是h(x)唯一零点，所以a＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝e x－x，g(x)＝x－ln x，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝＝1.①当b<1时，f(x)min＝g(x)min＝1>b，明显直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)无交点，不符合题意．②当b＝1时，f(x)min＝g(x)min＝1＝b，则直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有2个交点，不符合题意．③当b>1时，首先证明直线y＝b与曲线y＝f(x)有2个交点，即证F(x)＝f(x)－b有2个零点．因为F′(x)＝f′(x)＝e x－1，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．F(－b)＝e－b>0，F(0)＝1－b<0，F(b)＝e b－2b.令t(b)＝e b－2b，b>1，则t′(b)＝e b－2>0，所以t(b)>t(1)＝e－2>0，所以F(b)>0.所以由零点存在定理，知F(x)＝f(x)－b在(－∞，0)上存在且只存在1个零点，设为x1，在(0，＋∞)上存在且只存在1个零点，设为x2.其次证明直线y＝b与曲线g(x)有2个交点，即证G(x)＝g(x)－b有2个零点．因为G′(x)＝g′(x)＝1－，所以G(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．G(e－b)＝e－b>0，G(1)＝1－b<0，G(2b)＝b－ln 2b.令μ(x)＝－ln x，x>2，则μ′(x)＝>0，所以μ(x)>μ(2)＝1－ln 2>0，即G(2b)>0.所以由零点存在定理，得G(x)＝g(x)－b在(0，1)上存在且只存在1个零点，设为x3，在(1，＋∞)上存在且只存在1个零点，设为x4.再次证明存在b使得x2＝x3.因为F(x2)＝G(x3)＝0，所以b＝－x2＝x3－ln x3.若x2＝x3，则－x2＝x2－ln x2，即－2x2＋ln x2＝0，所以只需证明方程e x－2x＋ln x＝0在(0，1)上有解即可，即证明φ(x)＝e x－2x＋ln x在(0，1)上有零点．因为φ()＝－3<0，φ(1)＝e－2>0，所以φ(x)＝e x－2x＋ln x在(0，1)上存在零点，取一零点为x0，令x2＝x3＝x0即可，此时b＝－x0，则此时存在直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点．最终证明x1＋x4＝2x0，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．因为F(x1)＝F(x2)＝F(x0)＝G(x3)＝G(x0)＝G(x4)＝0，所以F(x1)＝G(x0)＝F(ln x0)．又因为F(x)在(－∞，0)上单调递减，x1<0，0<x0<1，即ln x0<0，所以x1＝ln x0.因为F(x0)＝)＝G(x4)，又因为G(x)在(1，＋∞)上单调递增，x0>0，即>1，x4>1，所以x4＝.又因为－2x0＋ln x0＝0，所以x1＋x4＝＝2x0，即存在直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．典例11 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x e x－e x＝(x－1)e x，f′(x)＝e x＋(x－1)e x＝x e x.令f′(x)＝0，得x＝0，∴当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．(2)f′(x)＝e ax＋a e ax x－e x＝(ax＋1)e ax－e x，f′(0)＝0.设g(x)＝(ax＋1)e ax－e x，则g′(x)＝a e ax＋a e ax(ax＋1)－e x＝(a2x＋2a)e ax－e x，g′(0)＝2a－1.当2a－1>0，即a >时，存在δ>0，使得当x∈(0，δ)时，g′(x)>0，此时f′(x)在(0，δ)上单调递增．∵f′(x)>f′(0)＝0，∴f(x)在(0，δ)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝－1，这与f(x)<－1冲突，故舍去．当2a－1≤0，即a ≤时－e x.令h(x)＝－e x，则h′(x)＝＋·x－e x ＝(1＋x －)<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，此时h(x)<h(0)＝－1符合条件．综上可知，a的取值范围为(－∞，].(3)证明：由(2)知当a ＝时，x>0时－e x<－1，－.令＝t，t>1，则x＝2ln t，∴2ln t<t －，t>1.取t＝(n∈N*)，则2ln t＝ln (n＋1)－ln n <－＝，∴＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln (n＋1)－ln n＝ln (n ＋1)，故结论得证．。
新高考数学和旧高考数学题型有什么区别吗
新高考数学和旧高考数学题型有什么区别吗第一、试卷的结构组成。
新高考已经考了三年了，第一年的新高考只有山东一个省份参加，然后2021年和2022年随着其他省份的加入，新高考将在全国全面展开，因此试卷基本上就固定下来了。
数学它的组成是由8道单选题，4道多选题，其中4道多选题部分选对得2分，全部选对得5分。
还有就是4道填空题，填空题可能会出现一道双空题，双空题会有一个难度的区分，其中简单一个空，困难一个空，简单的空得两分，困难的空得三分。
大题的变化主要体现在删除了原先的两道选做题，现在是共有6道，其中第一道10分，后面5道总共后面5道，每题12分。
第一题基本上考的最多的是数列；第二题是解三角形及三角函数；三、四题就是立体几何和统计概率，它俩的位置不太固定。
最后两道就是我们非常熟悉的圆锥曲线和导数了，最后总计150分。
我们着重的来说一下多选题和双空题，其中多选题刚出来的时候，很多同学总觉得它是加大难度了，但其实不是，你感觉它加大难度了，这是你从蒙题的角度来说，单选题你容易蒙对，不管怎么样至少有1/4的概率，多选题想把它全部蒙对得5分是很不容易的。
但是我们从得分的角度来说，多选题对比原先的单选题，如果蒙不对，是不是只能得0分。
但是多选题不一样，多选题它是有一个难度的递增的设计，比如说像这到2022年的，新高考全国一卷，这道题的正确答案是A、C选项，其中A选项比较简单，C选项就相对较难一些，A选项你只需要把它求出导数，判断出来它有两个极值点还是很容易的，轻松得个两分还是很容易的。
第二、试卷的新考法。
新高考出现了很多新题型，比如说开放性试题，今年的新高考全国一卷，有这么一道题，让你写出与这两个圆都相切的一条直线的方程，这道题的设计是它有三个正确答案，你只需写出一个正确答案就可以了。
为什么这样设计？比如说答案3，这个答案比较简单，但是我们必须通过画图才能把它看出来，其中答案1、2相对较难一些，但是有些同学就不喜欢画图，他就喜欢直接从解析几何的方面列式子把它给推导出来，那也是可以的，无论你从哪个方向，只要能把这题做对，都是没问题的的。
新高考(全国卷地区)数学考试试卷结构及题型变化(不分文理)
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
以新冠疫情为背景，考察了指数与对数函数，这也启示我们，在未来，数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活，平时我们对这些内容有所关注，可以减少我们的焦虑感，增强我们做题的自信心。
新高考大纲变化数学
新高考大纲变化数学
新高考数学大纲的变化主要表现在以下几个方面：
1. 总体变化：新教材知识点设置走向全国卷考试大纲。
使用新教材后，从各区统考、市重月考题的难易度来看，2023年高考数学卷的难易度上升，接近全国卷的概率较高。
2. 必修一反函数部分在新教材中中标星级，不再作为考察点。
有些普高学校不再教反函数的内容。
3. 必修二旧教材高一教三角函数和数列，新教材是三角函数、复数和向量。
三角函数的部分没什么变化，追加了积化和差和差化的积式。
在新教材中，目标选择的多个三角表示形式和辐角的主值变多，意味着多个三角表示可以在大问题上直接使用。
在平面矢量一章中明确了三角形重心坐标的求法，这意味着重心公式可以直接使用。
4. 增加对于数学文化的考查。
在近年的高考新课标卷中对于这一点的考查已明显加强，2016年就已经有所体现。
全国课标卷中选择题部分对于多项式的考查，就很好的说明了全国课标卷对于这种题型的命题意图是通过解题让学生感受中国的传统文化之美并予以传承。
总的来说，新高考数学大纲的变化更加强调数学的实际应用和文化内涵，同时也增加了对于学生数学思维和能力的考查。
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高考变革趋势
高考数学命题目标变化
数学科将原来考试大纲中5种能力、2种意识进行整合，形成新的能力结构，即逻辑思维能 力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力和创新与应用意识。数学科应加强考查 学生运用数学知识解决学习和实际生活问题的能力。
逻辑思维
运算求解
空间想象
数据处理
创新与应用意识
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必修模块
必修第一册
必修第二册
传统内容 集合与逻辑用语 一元二次函数、方程不等式 函数 基本初等函数 三角函数 平面向量 复数 立体几何初步 统计 概率
修改后内容 删除：四种命题，或且非联接词 删除：二元一次不等式组与线性规划 未改变 未改变 未改变
未改变
删除：三视图、平行投影与中心投影 未改变（前面删除算法初步） 未改变
旧高考时间
考试时间
上午
9:00-11:30
下午
15:00-17:00
上午
9:00-11:30
下午
15:00-17:00
考试科目 语文 数学
文综/理综 外语
高考时间变化
时间 6月7日 6月8日 6月9日
6月10日
新高考时间 考试时间
上午
9:00-11:30
下午
1:00
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数学教材变化
选择性必修
传统内容
空间向量和立体几何
选择性必修第一册 直线与圆的方程
圆锥曲线与方程
数列
选择性必修第二册 导数及其应用
计数原理 选择性必修第三册 随机变量及其分布
统计分析（回归、二联表）
修改后内容 未改变（是之前理科学习内容） 未改变 删除：曲线与方程 未改变 删除：定积分的概念、微积分基本定理、定 积分的简单应用
增加应用型试题，紧密联系社会生产实践、生活实际与科学研究，使用真实数据、比 如全国卷Ⅱ第13题以高铁发展成果为背景，引导学生关注社会经济发展，全国卷Ⅲ第 16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为素材命制的立体几何试题 等等
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Thank You
感谢您的聆听
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高考变革趋势
高考数学命题方式变化
注重学科知识内在的联系和多学科的融合，多角度、多层次考查学生的综合素质和应 用能力。比如全国卷Ⅱ第4题结合“嫦娥四号”反映我国航天事业取得的成就，体现对 德育的渗透和引导，将数学与物理知识结合，体现不同学科间的联系;
创新试题设计，通过提供数据、图形、表格等多种形式的材料，引导学生作出独立的 判断，创造性地提出解决方案。全国卷Ⅰ第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探 讨人体黄金分割之美
未改变（前两章是之前理科学习内容）
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8
Part 03
高考题型变化
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9
高考题型变化
数学科命题改革
01
研发数学新题型：
选择题：有多个正确选项，考生选对一个即可得到2 分，全部选对得4分， 有一个错误选项不得分
填空题：一题两空，分空给分，实际上是给了中间分
解答题：开放题，结构不良试题
新高考 数学知识点和题型变化浅谈
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1
目录
CONTENTS
Part 01 高考时间变化 Part 02 数学教材变化 Part 03 高考题型变化 Part 04 高考变革趋势
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2
Part 01
高考时间变化
新旧时间对比
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3
高考时间变化
时间 6月7日 6月8日
上午
9:00-10:30
下午
13:30-15:00 16:30-18:00
上午 下午
9:00-10:30 13:30-15:00 16:30-18:00
考试科目 语文 数学
外语 化学 思想政治 物理 历史 地理 生物
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4
Part 02
数学教材变化
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5
数学教材变化
课程结构变化
由必修+选修变为必修课程2本、 选择性必修课程3本
课程内容变化
常用逻辑用语、复数选修内容调 整为必修内容，删去了算法初步、 推理与证明、简单的线性规划、 三视图等
高考题型变化
选考题考查内容调整，全国 模拟卷出现多选题
高考考法变化
突出重点，灵活考查数学本 质，创新题增多
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6
数学教材变化
02
新试卷结构：
试卷以过去文科试卷开头，以理科试卷结尾，入口容 易出口难
降低选择题和填空题的分值，由5分降为4分。增加1 个选择题，以增加考 生的得分
解答题增加小题的数量，一方面力图增加中间得分， 更重要的是增加铺垫和引导，为学生完成全体创造条 件
根据合卷后考生的水平和四次测试的结果，调整整卷 难度
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高考试卷结构变 化
旧高考
题型
题量 分值
单项选择题 12 60
填空题
4 20
解答题
6 70
总计
22 150
新高考
题型
题量 分值
单项选择题 10 40
多项选择题 3 12
填空题
4 16
解答题
6 82
总计
23 150
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11
Part 04
高考变革趋势
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15
空白演示
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