[数学]生物种群模型
数学建模生物种群模型(课件资料)
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06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。
生物种群及其模型研究的背景
生物种群及其模型研究的背景引言：生物种群是指生物学上具有相同基因组的个体在同一地理区域内的总体。
研究生物种群及其模型是生物学领域的重要课题之一。
通过对种群数量、分布和动态变化等方面的研究，可以深入了解生物种群的特征、演化规律以及生态系统的稳定性等问题。
本文将介绍生物种群及其模型研究的背景，以及其中的重要理论和方法。
背景：生物种群研究起源于19世纪的生态学领域，旨在研究生物种群的数量、分布、增长和灭绝等现象。
随着科学技术的发展和理论研究的深入，人们逐渐认识到生物种群的复杂性和多样性，进而提出了各种种群模型，用以描述和解释生物种群的动态过程。
种群模型：种群模型是指用数学方程或计算机模拟等方法描述和预测生物种群数量和结构变化的模型。
其中最经典的种群模型包括指数增长模型、对数增长模型、Logistic增长模型等。
指数增长模型：指数增长模型是最简单的种群模型之一，假设种群的增长速度与种群数量成正比。
该模型适用于种群数量迅速增加的情况，但无法长期持续，因为资源的有限性会限制种群的增长。
对数增长模型：对数增长模型是一种考虑资源限制的种群模型。
在资源充足时，种群数量呈指数增长；而当资源逐渐减少时，种群数量会趋于稳定。
对数增长模型能够更好地描述真实的生态系统中的种群动态变化。
Logistic增长模型：Logistic增长模型是一种常用的种群模型，它结合了指数增长模型和对数增长模型的特点。
该模型考虑了种群数量和资源之间的相互作用，能够更准确地预测种群数量的变化趋势。
生物种群模型的应用：生物种群模型的应用范围十分广泛，涉及生态学、进化生物学、保护生物学等多个领域。
它可以帮助科学家了解种群数量的波动原因，预测种群的灭绝风险，评估生态系统的稳定性等。
在生态学领域，种群模型可以用来研究种群之间的相互作用和竞争关系，揭示生态系统中物种多样性和生态平衡的形成机制。
在进化生物学领域，种群模型可以用来研究基因频率的变化和遗传漂变，探索物种的起源和演化过程。
数学建模生物种群问题
In [1] :=X=200.0; xs=75.0;x0=5.0;c=6.0. Alpha=0.5;beta= 1.0.gama= 1.5;
In [8] :=temp=gama*X/(X-xs)- (c*alpha+beta). Result=If[temp<0,X/alpha*Log [(c*alpha+beta)*(Xx0)/(gama*X)],X/alpha*Log [(X-x0)/(X-xs)]] Out[9] :=382.205
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■ 假设 ：
■ 1.本模型只对某一 品种猪进行讨论 ，故设计猪 的性质的有关 参数均可视为固定的常数。
■ 2. 由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重 ，所以可以假设猪的
体重增长的速度将不断减慢 。设反映猪体重增长速度的参数为a。
■ 3. 由于猪的体重越大 ，单位时间消耗的饲养费用就越多 ，达
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■ 由C dx/dt=dy/dt，
■ 有C e- 1 /xt0 (1-x0/X)=2 - βe- α /Xt0 (1-x0/X)
■ 解得t0=X/α ln (Cα+ β)(X-x0)/γX
■ 现考虑如下两种情况：
■ (1) t0>ts， 即 γX/（X-xs ） <Cα+ β ■ 这时猪应在t*=t0=X/α ln (Cα + β)(X-x0)/ γ X时售出 ■ (2) t0<=ts ， 即 γX/（X-xs)>=Cα+ β ■ 这时猪应在t*=ts=X/ α ln (X-x0)/(X-xs)时售出（因为
数学建模 种群模型
若 F ( p ) 0 ，则p* 是稳定平衡点。 若 F ( p )模型
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回到我们的问题，由于 F( p0 ) k r F( p1) r k 所以， • 当k < r 时， F ( p0 ) 0 F ( p1) 0
p0 是稳定平衡点, p1 不是 ； • 当k > r 时， F ( p0 ) 0 F ( p1) 0
弱肉强食模型，生态学
上称为食饵（Prey）—捕食 者（Predater）系统，简称 为P—P系统。
二十世纪20年代中期， 意大利生物学家D’Ancona研究鱼类种群间的制约关系。 在研究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期， 地中海各个港口的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类 的比例有明显的提高（见下表）。
数学建模
种群模型
11
模型建立
记
F ( p) f ( p) h( p) ，
则在有捕捞条件下渔场鱼量的增长模型为
dp dt
F( p)
rp 1
p N
kp
(7)
数学建模
种群模型
12
模型讨论 由本问题的目标出发，我们关心的是渔场中鱼 量达到稳定的平衡状态时的情形，而不必知道每一 时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要 讨论方程 (7) 的平衡点并分析其稳定性。
当初值p(t0)=p0给定时，（3）的解为
p(t)
bp0
(r
rp0 bp0 )er (tt0 )
(4)
其变化曲线见下图。
数学建模
种群模型
7
注意到
p(t) r b
(t )
于是，不论初值怎样，群体规模总是小于并且趋于
极限值 r/b, 这个极限值的实际意义是环境资源对该
2024年考研数学生物数学题型详解与答案讲解
2024年考研数学生物数学题型详解与答案讲解对于将要参加2024年考研的学生而言，数学生物数学题型一直是备战过程中的重要内容。
本文将深入探讨2024年考研数学生物数学题型，并提供详尽的答案解析，旨在帮助考生更好地应对考试。
I. 生物数学题型1. 种群增长模型1.1 离散型种群模型离散型种群模型是描述种群数量随时间离散变化的模型，常见的模型包括递推型、几何型等。
递推型模型：递推型模型以递推公式表示种群在未来时刻的数量。
例如，考虑一个递推公式为P(n+1)=2P(n)，其中P(n)表示第n个时刻的种群数量。
根据这个公式及初始条件P(0)=100，可以计算出P(1)=200，P(2)=400等。
递推型模型常常具有明确的公式，便于计算。
几何型模型：几何型模型以几何级数表示种群在未来时刻的数量。
例如，考虑一个几何级数模型为P(n)=P(0)2^n，其中P(n)表示第n个时刻的种群数量。
通过这个公式，可以推算出种群在任意时刻的数量。
几何型模型适用于一些连续变化的情况，如金融领域的投资增长等。
1.2 连续型种群模型连续型种群模型是描述种群数量随时间连续变化的模型，常见的模型包括微分方程模型和积分方程模型。
微分方程模型：微分方程模型以微分方程表示种群数量关于时间的变化率。
例如，考虑一个微分方程模型为dP/dt=kP，其中dP/dt表示种群数量关于时间t的变化率，k为常数。
通过求解这个微分方程，可以得到种群数量随时间的变化规律。
积分方程模型：积分方程模型以积分方程表示种群数量关于时间的变化。
例如，考虑一个积分方程模型为P(t)=P(0)exp(kt)，其中P(t)表示时间为t时的种群数量，P(0)为初始时刻的种群数量，k为常数。
通过这个公式，可以计算得到种群在任意时刻的数量。
2. 遗传算法遗传算法是一种模拟生物遗传和进化过程的最优化计算方法。
遗传算法通过模拟进化过程中的选择、交叉和变异等操作，优化求解复杂的函数或问题。
高中生物种群数量增长的几种数学曲线模型例析
种群数量增长的几种数学曲线模型例析吉林省梨树县第一高级中学姜万录种群生态学研究的核心是种群的动态问题。
种群增长是种群动态的主要表现形式之一，它是在不同环境条件下，种群数量随着时间的变化而增长的状态。
数学曲线模型能直观反映种群数量增长的规律，它能达到直接观察和实验所得不到的效果。
为了更好理解种群数量增长规律，下面结合实例介绍种群数量增长的几种数学曲线模型。
1．种群数量增长曲线模型种群在“无限”的环境中，即环境中空间、食物等资源是无限的，且气候适宜、没有天敌等理想条件下，种群的增长率不随种群本身的密度而变化，种群数量增长通常呈指数增长。
也就是说，种群数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍，t年后种群数量为N t＝N0λt，如果绘成坐标图指数式增长很像英文字母“J”，称之为“J”型增长曲线。
然而自然种群不可能长期地呈指数增长。
当种群在一个有限的环境中，随着密度的上升，个体间对有限的空间、食物和其他生活条件的种内斗争也将加剧，加之天敌的捕食，疾病和不良气候条件等因素必然要影响到种群的出生率和死亡率，从而降低了种群的实际增长率，一直到停止增长。
种群在有限环境条件下连续增长称之为逻辑斯谛增长，这种增长曲线很像英文字母“S”，称之为“S”型增长曲线。
两种类型种群增长模型如右图所示。
例1．右图为某种群在不同环境的增长曲线，据图判断下列说法不正确的是 ( D )A．A曲线呈“J”型，B曲线呈“S”型B．改善空间和资源有望使K值提高C．阴影部分表示有环境阻力存在D．种群数量达到K值时，种群增长最快解析：由图可知，A曲线呈“J”型增长，B曲线呈“S”型增长。
在种群生态学中，环境容纳量（K值）是指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量。
环境容纳量是一个动态的变量，只要生物或环境因素发生变化，环境容纳量也就会发生相应的变化。
因此，改善空间和资源有望使K值提高。
图像中阴影部分表示环境阻力所减少的生物个体数，代表环境阻力的大小。
种群模型
3. 种群的弱肉强食 (食饵-捕食者模型)
• 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用 鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 • 模型的历史背景——一次世界大战期间地中 海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕 捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？
食饵-捕食者模型(Volterra)
对于消耗甲的资源而 言，乙(相对于N2)是甲 (相对于N1) 的 σ1 倍。
σ1 >1
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强
2.
种群的相互依存
甲乙两种群的相互依存有三种形式 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型检验
1. 全局预测方法：直接用拟合函数 x2000 = 274.18 2. 局部方法（一步预测）：在90年数据上修正
x(2000) = x(1990) + Δx = x(1990) + rx(1990)[1 − x(1990) / xm ]
x(2000)=275.4 实际为281.4 (百万)
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合（中期） 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
方法：直接做非线性拟合
阻滞增长模型非线性拟合
x1860 =35.99， r = 0.1996，xm=481.98
实线为战前的鲨 鱼比例，“*”线为 战争中的鲨鱼比例
种群生态学模型
设种群甲可以独立存在，按 Logistic 规律 增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲的增长 。类似于竞争模型中的第一个方程，种群甲的 数量演变规律可以写作
dN1 dt
r1N11K N11 1 K N22
其中 r1、N1、N2 的意义同前。1 前面由“”
变成“+”，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲 提供资源。
这个初值问题称为有限资源环境中单个种群增长的
Logistic 模型。
11
需要注意的是：
① 显然，当 K 时 Logistic 模型退化为 Malthus 模型。
② r 仍表示种群的内禀增长率。 ③ K 为种群在特定环境内的饱和水平，生态 学上也称之为环境对这个种群的承载力。
使用分离变量法，不难求得Logistic模型的解 析解为
D ( x ,t) u ( x ) u ( x ,t)或 u u ( x ) u ( x ,t) x t
19
因为新生儿是 0 岁的个体，因此有边界条件
u(0,t)(x)u(x,t)dx 0
（0 意味着所有年龄的个体都有
生育能力，生育率为 (x)）
此外，还有初始条件 u(x, 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = u0(x)
致的对它本身增长的阻滞作用，N1/K1 可解释为：
相对于 K1 而言，单位数量的甲消耗的供养甲的资
源（设资源总量为 1）。
23
由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产 生影响，可以合理地在因子 1N1/K1 中再减去 一项，该项及种群乙的数量 N2（相对于 K2 而 言）成正比。于是，当两个种群在同一自然环 境中生存时，种群甲增长的方程为
K N(t)1Cer(tt0) ,
C K N0 N0
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f 与h交点P
0 x0*=N/2 x0
N
E r x0稳定
P的横坐标 x0~平衡点
* * 0
x
P的纵坐标 h~产量
产量最大 P ( x N / 2, hm rN / 4)
E hm / x r / 2
* * 0
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
一、一阶微分方程的平衡点及其稳定性 F ( x) (1) 一阶非线性（自治）方程 x
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x (t ) F ( x) rx(1 ) Ex x N
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
x (t ) F ( x) rx(1 ) Ex x N E F ( x) 0 x0 N (1 ), x1 0 r 平衡点
产量模型
稳定性判断
平衡点p0(0,0)的系数矩阵A的特征值1，2的性质所决定
设 p (a1 b2 ),
q detA 0
1 , 2
p , q
平衡点的类型 稳定性 稳定
1 2 0 1 2 0 1 0 2
p 0, q 0, p 2 4q 稳定结点 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定结点
f x1 记 p ( f x1 g x2 ), q det g x1
稳定性结论见上表
f x2 g x2 p 0
捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 •考察一个渔场，其中的鱼量在天然 环境下按一定规律增长。 • 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
x1 稳定, 渔场干枯
在捕捞量稳定的条件下， 产量模型 图解法 控制捕捞强度使产量最大 F ( x) f ( x) h( x) y y=rx y=E*x x y=h(x)=Ex f ( x) rx(1 ) * P hm N P h h( x) Ex y=f(x)
F ( x) 0
F ( x0 ) E r, F ( x1 ) r E
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
不稳定 不稳定
q0
鞍点
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q 稳定退化结点 稳定 p 0, q 0, p 2 4q 不稳定退化点 不稳定
1 2 0
1,2 i , 0 p 0, q 0, p 2 4q 稳定焦点 2 p 0 , q 0, p 4q 不稳定焦点 1,2 i , 0
xx 0 x x0 x
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x ( t ) x , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 0 t
F ( x0 )(x x0 ) (2) x
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
问题 及 分析
产量模型 假设
x(t) ~ 渔场鱼量
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 x (t ) f ( x) rx(1 x ) N r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
记 F ( x) f ( x) h( x)
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
二、二阶方程的平衡点和稳定性
x1 ' (t ) f ( x1 , x2 ) x2 ' (t ) g ( x1 , x2 ) (2)
平 x1 x10 称为方程（2）的平 f ( x1 , x2 ) 0 衡 方程组 的实根 0 0 0 p ( x , x 衡点记为 g ( x , x ) 0 0 1 2) 1 2 x2 x2 点 稳 如果从所有可能的初始条件出发，方程（2）的解 0 定 x1 (t ), x2 (t ) 都满足 lim x1 (t ) x10 , lim x2 (t ) x2 t t 点 则称平衡点p 是稳定的；否则称平衡点是不稳定的 0 线性常 x1 ' (t ) a1 x1 a 2 x2 系数方 a1 a 2 A 程稳定 x ' ( t ) b x b x 1 1 2 2 2 b b 2 1 性判别 方法
1,2 i , 0
p 0, q 0
稳定 不稳定
中心
不稳定
结论： 若p>0,q>0,则平衡点稳定；若p<0或q<0,则平衡点不稳定 对于方程：
x1 ' (t ) f ( x1 , x2 ) x2 ' (t ) g ( x1 , x2 )
0 0 0 0 0 0 x1 ' (t ) f x1 ( x1 , x 2 )( x1 x1 ) f x2 ( x1 , x 2 )( x x 2 ) 线性化： 0 0 0 0 0 0 x 2 ' (t ) g x1 ( x1 , x 2 )( x1 x1 ) g x2 ( x1 , x 2 )( x x 2 )