2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试高二理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.命题“任意实数x ,都有2>x ”的否定是（ ）A ．对任意实数x ,都有2≤xB ．不存在实数x ,使2≤xC ．对任意非实数x ,都有2≤xD ．存在实数x ,使2≤x 2.已知复数iii i z -+-+-=2222，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A.56 B.58 C.58- D.i 58- 3.设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题: ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若m β⊥，α//m ，则αβ⊥； ③若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥； ④若αγβγ⊥⊥，，则//αβ； 则真命题为（ ）A.①②B.③④C.②D.②④ 4.若)()13(*∈-N n xx n 的展开式中各项系数和为64，则其展开式中含2-x 项的系数为（ ）A.540B.540-C.135D.135- 5.已知复数R a iii a z ∈-+-+=,1125，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A.0<aB.1>aC.10<<aD.1<a 6.哈尔滨市冰雪节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（ ）种.A．90 B．60 C．150 D．1257．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==．若E 是棱1BB 上的点，且E B BE 1=，则异面直线E A 1与1AC 所成角的余弦值为（ ） A.1313 B ．13132 C ．13135 D ．131388.执行如图所示的程序框图，若输入6=n ，则输出的S 值为（ ） A.201 B.165 C.516 D.839.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。
甲说：“是丙或丁打碎的。
”乙说：“是丁打碎的。
”丙说：“我没有打碎玻璃。
”丁说：“不是我打碎的。
”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃。
A ．甲B ．乙C ．丙 D.丁 10.已知甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待.已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ） A.95 B.94 C.32 D.31 11.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门已知每名同学踢进的概率为8.0，每名同学有2次射门机会，且每次射门和同学之间都没有影响.现规定：踢进两个10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X 为10个同学的得分总和，则X 的数学期望为（ ）A.30B.40C.60D.8012.吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命。
据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．76 B ．2521 C ．5049 D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知随机变量X 服从正态分布),1(2σN ,且7.0)2(=<X P ，则=<<)10(X P ______14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.用频率分布直方图估计的小学生的身高的平均值为FDE A BCB 1C 1A 116.已知一个圆柱内接于半径为4的球，点P 为圆柱上底面圆周上一动点，ABC ∆是圆柱下底面圆的内接三角形，︒=∠=120,6A BC ，则三棱锥ABC P -体积的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，且1AB AA =，F E D ,,分别为1B A ，1C C ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：直线//DE 平面ABC ； （Ⅱ）求E B 1与平面F AB 1所成角的正弦值.18.（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：学生的编号i 1 2 3 4 5 6 数学i x 89 87 79 81 78 90 物理i y797577737274（Ⅰ）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程.参考数据和公式：a x b y ˆˆˆ+=，其中1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，x b y aˆˆ-=.19.（本小题满分12分）在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了80个面包，以x （单位：个，60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （单位：元）表示利润．（Ⅰ）求T 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于100元的概率；需求量/个0.0150.025 0.02060 70 80 90 100 110 0频率/组距（III ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[60,70)x ∈，则取65x =，且65x =的概率等于需求量落入[60,70)的频率)，求T 的分布列和数学期望．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，222AB AD CD ===，E 是PB 上的一点. （Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若E 是PB 的中点，AC PC >，且直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32，求二面角P AC E --的余弦值.21.（本小题满分12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或满9局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为21，乙获胜的概率为21，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲胜2局，乙胜1局. （Ⅰ） 求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设X 表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求X 得分布列及数学期望.22．（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆E :22221x y a b+=)0(>>b a 的左、右焦点，过1F 作斜率为1的直线l 与椭圆E 相交于B A ,两点，且椭圆E 上存在点P ,使OB OA OP +=(O 为坐标原点).（Ⅰ）求椭圆E 的离心率； （Ⅱ）47-=⋅OB OA ，求椭圆E 的方程.高二理科数学答案：1-6 DBCCBA 7-12 ABDADA 13. 0.2 14.31615. 124.5 16. 34 17.（Ⅱ）以点A 为坐标原点，1,,AA AC AB 的方向为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，设2=AB ，)1,2,2(1--=E B ，平面F AB 1的法向量)1,1,1(--=n ，设E B 1与平面F AB 1所成的角为θ，所以33sin =θ 18.（Ⅰ）X 的分布列为X0 12P52 158 151 32)(=X E （Ⅱ）75,84==y x ，回归方程为529151+=x y 19.（Ⅰ）)(80,1608060,1604N x x x x T ∈⎩⎨⎧≥<≤-=（Ⅱ）875.0=p（Ⅲ）T 的分布列为T100 140 160 P0.250.150.6142)(=T E20.（Ⅱ）过点A 做⊥AZ 平面ABCD ，以点A 为坐标原点，AZ AB AD ,,的方向为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系，设a PC =，),1,1(a PA ---=，平面EAC 的法向量)2,,(a a n -=，因为32=⋅⋅nPA n PA ，所以1=a （舍）或2=a ，设二面角E AC P --的平面角为θ，平面PAC 的法向量)0,1,1(-=m ，平面EAC 的法向量)2,2,2(-=n ，所以36cos =θ21.（Ⅰ）6429=P ； （Ⅱ）X 的分布列为X246P41 163 169 837)(=X E 22.（Ⅰ）直线l 的方程为c x y +=，设),(),,(2211y x B y x A⎪⎩⎪⎨⎧+==+c x y b y ax 12222 02)(22222222=-+++b a c a cx a x b a 0>∆恒成立 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22222221222212b a ba c a x xb ac a x x 所以)2,2(222222b a c b b a c a P ++-代入椭圆方程得，510=e （Ⅱ）设m c m b m a 2,3,5===，因为474722121-=-=+=⋅m y y x x OB OA 所以1=m ，所以2,3,5===c b a ，所以椭圆方程为13522=+y x。
专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题——新高考数学专项练习题附解析
专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M ，使平面？说明理由.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为233.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为30？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）证明：BD PC ⊥；（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值． 6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.14. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.15.如图，五面体11A BCC B -中，14AB =，底面ABC 是正三角形，2AB =，四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．（1）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并说明理由； （2）当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．2.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）33,2【解析】（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；（2）∵CF ∥DE ，且AE 与CF 的夹角为60°，故AE 与DE 的夹角为60°，即60AED ∠=︒， 过D 作DP ⊥AE 交AE 于P ，由已知得DE ⊥EF ，AE ⊥EF ，∴EF ⊥平面AED ， EF ⊥DP,又AE EF=E,∴DP ⊥平面AEFB ， 即DP 为点D 到平面ABFE 的距离，且3DP x =， 设DE ＝x ，则AE ＝BF ＝4﹣x ， 由（1）知GM ∥DF ，G BDF M BDF D MBF V V V ---===11131(4)3322MBF S DP x x ⎡⎤⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦()24333(4)x x x x -+=-⋅=，当且仅当4﹣x ＝x 时等号成立，此时x ＝DE ＝2． 故三棱锥G ﹣BDF 的体积的最大值为33，此时DE 的长度为2． 【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【解析】（1）证明：连接,,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面，面平面.（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面取中点，连接，又，又，，平面，又是正三角形，平面(Ⅱ)当时，有平面平面过作于，由(Ⅰ)知，平面，所以平面平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以 解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M ，使平面．类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为23.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 30E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点， 于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()1110n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =，所以12122123cos ,721n n n n n n λλλ-⋅==-+30=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1CE =.【解析】（1）取1AB 中点G ，连结EG FG 、，则FG ∥1BB 且112FG BB =. 因为当E 为1CC中点时，CE ∥1BB 且112CE BB =， 所以FG ∥CE 且FG = CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1CF AEB ⊄平面，1EG AEB ⊂平面， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()01CE λλ=≤≤.以F 为原点，向量1FB FC AA 、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则()3,0,0A -，()13,0,2B ，()0,1,E λ，平面ABC 的法向量()0,0,1m =，平面1AEB 的法向量()333,3n λ=--，，()23cos 23991m n m n m nλ⋅===++-，，解得1λ=，所以存在满足条件的点E ，此时1CE =.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 (Ⅰ)取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ，Q PC点是的中点，∴M Q∥CD，1.2MQ CD=又AB∥CD，1,2AB CD QM=则∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形.BQ∴∥AM.又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，BQ∴∥平面PAD.（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).令()()()000000,,,,,1,0,2,1.Q x y z PQ x y z PC=-=-则()()000,,,10,2,1,PQ PC x y zλλ=∴-=-()0,2,1.Qλλ∴-又易证BC⊥平面PBD，()1,1,0.n PBD∴=-是平面的一个法向量设平面QBD的法向量为(),,,m x y z=(),0,0,2210,.0,1x yx ym DBy z z ym DQλλλλ=-⎧+=⎧⎧⋅=⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪-⎩则有即解得令21,1,1,.1y mλλ⎛⎫==-⎪-⎝⎭则60Q BD P 二面角为--，21cos,,22221m n m n m nλλ⋅∴===⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭解得3 6.λ=±Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=-2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）证明：连接BE ，在等腰梯形中ABCD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，∴OB AE ⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OBOP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ．又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ． （2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴2AD DE ==， 在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，∴PAE △正三角形， ∴3OP =3OB =∵6PB =，∴222OP OB PB +=，∴OP OB ⊥．由（1）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，OE ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意得，各点坐标为()0,0,3P ，()1,0,0A -，()0,3,0B，()2,3,0C ，()1,0,0E ，∴(3,3PB =-，(3,3PC =-，()2,0,0AE =，设()01PQ PB λλ=<<，()1,333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=， 设平面AEQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()203330x x y λλ=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴0,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则15sin cos ,5PC nPC n PC nθ⋅===，即2331511011λλλλ+-=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155． 3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由m FCm CB⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y azx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x=，则3y=，23z=，所以取231,3,m⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，显然可取平面DFC的法向量()1,0,0n=，由题意：22cos,41213m na==++，所以3a=.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD∠为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt PBD∆中，tan3PDPBD aBD∠===，从而60PBD∠=︒，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60︒.4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为正方形，已知PA⊥平面ABCD，2AB=，2PA=.（1）证明：BD PC⊥；（2）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（210；（3）存在，23PEPC=，理由见解析【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PA BD⊥，即BD PA⊥由于BD PA ⊥，BD AC ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC又因为PC ⊂平面PAC ，因此BD PC ⊥ （2）由于PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直， 因比，如图建立空间直角坐标系A xyz -(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，P因此(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，1y =，z =，则(1,1,2)m =设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，10sin |cos ,|=||10||||m PC m PC m PC θ⋅=<>=⋅（3）存在，设[0,1]PEPCλ=∈，则(2,2))E λλλ- 则(22,2))BE λλλ=--，(2,2,0)BD =-设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，则0n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2(1)2(1)0220a b a bλλλ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，即1a λ=-，1b λ=-，2)c λ=-则(1,12))n λλλ=---，若平面BDE ⊥平面BDP ，则0m n ⋅=即1(1)1(1)2)0λλλ⋅-+⋅-+-=，则2[0,1]3λ=∈ 因此在棱PC 上存在点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，23PE PC =5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．【解析】设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（1）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．（2）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有，过点作于，设，则.因为，所以，，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：由已知，得，在中，，∴，即，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面（2）∵平面，∴为直线与平面所成角，∴，∴，在中，，取的中点，连结，则，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，∴.∴二面角的余弦值为.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以. 又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD =， 2AD =，又22AB =，所以在ABD ∆中，满足222AD BD AB +=，所以ABD ∆为直角三角形，且BD AD ⊥. 因为四边形BDMN 为矩形，所以BD DM ⊥. 由BD AD ⊥， BD DM ⊥， DM AD D ⋂=， 可得 BD ADM ⊥平面. 又BD ABD ⊂平面，所以平面ADM ⊥平面ABCD .（2）存在点H ，使得二面角H AD M --为大小为，点H 为线段AB 的中点.事实上，以D 为原点， DA 为x 轴， DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0D A B , ()1,0,1M ， 设(),,H x y z ,由MH MN DB λλ==，即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1H λ. 设平面ADH 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则，即，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-. 平面ADM 的一个法向量为()20,1,0n =. 二面角H AD M --为大小为于是.解得 或（舍去）.所以当点H 为线段MN 的中点时，二面角H AD M --为大小为.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以O 为原点，分别以过O 点与DB 共线同向的向量， OD ， OP 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,0,0,0,3,O A B C P --()()()0,2,3,4,0,0,2,3,0AP BC AC ==-=-∴0AP BC ⋅= ∴AP BC ⊥ ∴AP BC ⊥（2）假设M 点存在，设AM AP λ=， (),,M x y z ，则(),2,AM x y z =+，∴()(),2,0,2,3x y z λ+=，∴0{22 3x y z λλ=+==，∴()0,22,3M λλ-， ∴()2,23,3BM λλ=--设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面APC 的法向量为()2222,,n x y z = 由110{n BM n BC ⋅=⋅=得()111122330{40x y z x λλ-+-+=-=，令11y =，可得1320,1,3n λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由220{n AC n AP ⋅=⋅=得2222230{230x y y z -+=+=，令16y =，可得()29,6,4n =-，若二面角A MC B --为直二面角，则120n n ⋅=，得326403λλ--⋅=， 解得613λ=，∴613AM =故线段AP 上是否存在一点M ，满足题意， AM 的长为613. 12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值； （2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置. 【解析】（1）在中，记，，则由余弦定理：，（当且仅当时，上式取等号）此时，，的面积的最大值为.（2）由（1）知，，，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由.设，得，，故.故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），，设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又.由.故存在，且，满足题意.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.。
黑龙江省哈尔滨市高三上学期期末考试数学(理)测试题(含答案)(2019级)
哈尔滨市XX 中学上学期期末测试高三理科数学一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．复数ii i 1313+-+等于（ ） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.02．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A. 1B.－12C. 1或－12D. -1或－123. 已知)6cos()42(cos 2ππ+=+x x ，则=x cos （ ） A.33 B. 33- C. 31 D 31-. 4．已知,x y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为( )A.21 B.2 C.23 D.34 5．下列选项中，说法正确的个数是( )(1)命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定为“0,2>-∈∃x x R x ”； (2)命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题； (3)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据n x x x ,,,21 的方差为1,则n x x x 2,,2,221 的方差为2； (5)若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数绝对值越接近1.A.1个B.2个C.3个D.4个6. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生CA ．13B ．21C ．197．如图，给出的是求111246+++ (1)20+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是( ) A ．10i ≥ B ．10i ≤ C ．9≥i D ．9≤i8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A.12B.4C.5639．某同学为了解秋冬季用电量（y 度）与气温（C x ）的关系，曾由下表数据计算出回归直线方程为602+-=∧x y ，现表中一个数据被污染，则被污染的数据为（ ）A ．40 B. 39 C ．38 D ． 37 10．若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )A B C D11．从抛物线x y 42=的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PB PA ,,B A ,为切点,若直线AB 的倾斜角为3π,则P 点的纵坐标为( ) A.33 B.332 C.334 D. 32 12. 若方程0122=---t x x 有四个不同的实数根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<则)()(22314x x x x -+-的取值范围是（ ）A.]26,8[B.(]54,26C.[]54,8D.(]54,8 二、填空题：（共4题，每题5分，共20分）13．在52512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为 .14. 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，3,60=︒=AB C ，则此直三棱柱的外接球的表面积为 .15．已知点21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点，若|:|AB ||2BF 5:4:3|:|2=AF ，则双曲线的离心率为 .16.ABC ∆中，BC B c B A b ,tan 2)tan (tan =+边上中线长是1，则a 的最小值是 .三、解答题：（共70分）17．（共12分）已知数列{}n a 满足(){}21,n n n S a n N b *=-∈是等差数列，且1143,b a b a ==. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若*)(211N n b b a c n n n n ∈-=+,求数列}{n c 的前n 项和n T .18．（共12分）2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为,,x y z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列及其数学期望.19．（共12分）如图，已知长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --20.（共12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由.21．（共12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()yh x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（共10分）已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 4=，曲线2C 的参数方程是)0(sin cos πααα<≤⎩⎨⎧=+=为参数，t t y t m x ，射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线1C 交于极点O 外的三点C B A ,,. （1）求||||||OA OC OB +的值；（2）当12πϕ=时，C B ,两点在曲线2C 上，求m 与α的值.23．（共10分）已知c b a ,,都是正数. （1）若b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+；（2）求证：abc cb a ac c b b a ≥++++222222.高三理科数学答案1-12 DCABA ABBCB BD13.14.15.16.17.（1）由21,n n S a =-可得1121n n S a ++=-，两式作差可得1112n n n n a S S -++=-=，又111a S ==适合此通项公式，所以12n n a -=；由此可得11431,4,b a b a ====由等差数列的性质可得n b n=；（2）由题意写出数列{}n c 的通项公式111211221n n n n n c a b b n n -+⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭，再用分组求和法求之即可. 试题解析： （1） 1121,21n n n n S a S a ++=-=-,两式相减可得 111122,2n n n n n n n S S a a a a a ++++-==-∴=, 当1n =时，111121,1S a a a ==-∴=，所以n a 是以1为首项，2为公比的等差数列，所以12n n a -=，11431,4,n b a b a b n ====∴=.（2）()1111221122211n n n n n n c a b b n n n n --+⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111112221 (22121223121112)n n n n T n n n n ---⎛⎫⎛⎫∴=--+-++-=---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭-18.（1）由表可知：空气温度指标为0的有1A ；空气温度指标为1的有23,58,910,,,A A A A A A ,空气温度指标为2的有46,7,A A A .所以空气温度指标z 相同的概率22632101532455C C P C ++===.（2）计算10块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表：其中长势等级是一级的有234679,,,,A A A A A A ，共个，长势等级不是一级的4<有15810,,,A A A A ，共4个.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5.()()11111132312211116464171,2424C C C C C C P X P X C C C C ⋅⋅+⋅======⋅⋅,()()1111111111312121112111116464713,4248C C C C C CC C C C P X P X C C C C ⋅+⋅+⋅⋅+⋅======⋅⋅,()111111641524C C P X C C ⋅===⋅,所以X的分布列为：()123454242482412E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19.（1）因为平面AMD ⊥平面ABCM ，2,1AB AD ==，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ONAM ⊥，以O 为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得0,0,0,0,0,0,A B M D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎝，则AD ⎛=- ⎝⎭，()BM =，所以0AD BM ⋅=，故AD BM ⊥．（2）设DE DB λ=，因为平面AMD 的一个法向量()0,1,0n =，2ME MD DB λ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0AM =．设平面AME 的一个法向量为(),,m x y z =，)2210x y z λλ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取1y =，得20,1,1x y z λλ===-，所以20,1,1m λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，因为5cos ,m n m n m n⋅==⋅，求得51=λ 20.（1）设()00,y x B ，则()00,y x C --，142020=+y x所以4144114222022020000021-=--=-=+⋅-=x x x y x y x y k k （2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=， 解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14)2(221y x x k y 得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=， 解得212141)14(2k k x B +-=，2111414)2(k k x k y B B +-=-= 所以121241B BC B y k k x k -==-，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k k k x k -+-===--+++， 所以52PQBC k k =，故存在常数52λ=，使得52PQBC k k =．21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，∵()()22l n f xx ax a x=-++，∴()()()()22122222a x x x a x a af x x a x xx⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭=-++==，∵2a>，∴12a >，令()0f x '>，即()2120a x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，∵0x >，∴01x <<或2a x >，所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当4a=时，()264ln f x xx x =-+，∴()426f x x x'=+-，()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭， 令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x φ⎛⎫=-=-+-+--+-+ ⎪⎝⎭，则()00x φ=，()()()()00000000002442222262621x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫'=+--+-=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-，当0x ()x φ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x φφ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x φ<-， ∴当(()2,x ∈+∞时，()y f x=不存在“类对称点”．当0x ()(22x x xφ'=，∴()x φ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x φ>-，所以当0x=()y f x =存在“类对称点”．。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线l：x+ay−2=0，(a为实数).倾斜角α的取值范围是()A. [0,π)B. (0,π)C. (0,π2)∪(π2,π) D. [0,π2)∪(π2,π)2.椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，为等边三角形，则的离心率=()A. B. C. D.3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A. x25−y220=1 B. x220−y25=1 C. 3x225−3y2100=1 D. 3x2100−3y225=14.过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1、y1)，P2(x2、y2)两点，若y1+y2=6，则|P1P2|的值为()A. 5B. 6C. 8D. 105.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为2的等腰三角形，那么原平面图形的面积是()A. 2B. 2√2C. 4√2D. 8√26.已知点A(−1,0)，B(1,0)均在圆C：(x−3)2+(y−3)2=r2(r>0)外，若圆C上存在唯一点P满足AP⊥BP，则r的值是()A. √13B. 3√2−1C. 3√2+1D. 57.圆x2+y2=9与圆(x−3)2+(y−4)2=5的位置关系为()A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交、相切或相离8.已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0的圆心在直线l：x+ay−1=0(a∈R)上，过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=()A. 2B. 4√2C. 6D. 2√109.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x−1)2+y2=4，若直线l：x+y+m=0(m>0)上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ 为正方形，则m的值为()A. 1B. 2√2C. 3D. 710.已知定点M(−1,0)，N(1,0)，P是椭圆x24+y23=1上动点，则1|PM|+4|PN|的最小值为()A. 2B. 94C. 3D. 3+2√211.已知曲线C1：|y|=x+3与曲线C2：ax2+y2=9恰好有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[0,1)B. (−1,1]C. [−1,1)D. [−1,0]∪(1，+∞)12.直线y=a(a∈R)与抛物线y2=x交点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 0或1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线l：8x−6y−3=0被圆O:x2+y2−2x+a=0所截得弦的长度为√3，则实数a的值是________．14.一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水面所成的角的大小为.15.已知P为双曲线x29−y216=1上的动点，点M是圆(x+5)2+y2=4上的动点，点N是圆(x−5)2+y2=1上的动点，则|PM|−|PN|的最大值是______ ．16.命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在四棱台ABCD−A1BC1D1中，平面DCC1D1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且AD=4，C1D1=DD1=CC1=2，E为AB的中点．(Ⅰ)证明：C1E//平面ADD1A1；(Ⅱ)求三棱锥D1−CDE的体积．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短半轴长为1，点M(2,t)(t>0)是右准线x=a2c上的动点．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设F为椭圆的右焦点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求ON的长．(Ⅲ)求以OM为直径且被直线3x−4y−5=0截得的弦长为2的圆的方程．19.(本题12分)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线=2相交于A、B两点。
2019届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三冲刺押题卷(二)数学(理)试题Word版含答案
哈尔滨市第六中学2019届高考冲刺押题卷（二）数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量,满足)2,1(2m =+，),1(m =，且在方向上的投影是552，则实数=m （ ） A ．5 B ．5± C ．2 D ．2±2．已知等差数列}{n a 中，11=a ，前10项的和等于前5的和，若06=+a a m ，则=m （ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．2 3．若z 为复数，0:=+z z p ，2:z q 为实数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为xxx n ln )(≈的结论（素数即质数，43429.0lg =e ）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n 的值为100，则输出k 的值应属于区间（ ）A ．)20,15(B ．)25,20(C ．)30,25(D ．)35,30(5．函数||3x ex y =的大致图像为（ ）A B C D6．已知33log=x，67log=y，717=z，则实数zyx,,的大小关系是（）A．yzx<< B．yxz<< C．zyx<< D．xyz<<7．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+2211yxyxyx表示的平面区域为D，若对任意的Dyx∈),(，不等式02≥--tyx恒成立，则实数t的最大值为（）A．1 B．1- C．5- D．4-8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为122≤+yx，若将军从点)0,2(A处出发，河岸线所在直线方程为3=+yx，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．110- B．122- C．22 D．109．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为（）A．316πB．29πC．π18 D．π3610．如图，已知椭圆)0(12222>>=+babyax的左，右焦点分别为21,FF，10||21=FF，P是y轴正半轴上一点，1PF交椭圆于A，若12PFAF⊥，且2APF∆的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为（）A．45B．410C．35D．41511．双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为21,FF，过1F的直线与圆222ayx=+相切，与C的左、右两支分别交于点BA,，若||||2BFAB=，则C的离心率为（）A ．325+B ．325+C ．3D ．512．已知函数53)(2+-=x x x f ，x ax x g ln )(-=，若对),0(e x ∈∀，),0(,21e x x ∈∃，且21x x ≠，使得)2,1)(()(==i x g x f i ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)6,1(ee B ．),1[43e e C ．),6[)1,0(43e e e ⋃ D ．),6[43e e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 18sin 2=m ，若42=+n m ，则=+63sin nm _________ 14．若0,0>>b a ，二项式6)(b ax +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分⎰⎰+abxdx xdx 022的最小值为_________15．如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD 中，E 为边AB 的中点，将A ∠沿直线DE 翻转DE A 1∆（∉1A 平面ABCD ），若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列正确的命题序号是__________①//MB 平面DE A 1； ②异面直线BM 与E A 1所成角是定值；③三棱锥1A ADE -体积的最大值是322； ④一定存在某个位置，使C A DE 1⊥16．在平面直角坐标系xOy 中，点)0,1(A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 作直线052)1(=-+-+m y m x 的垂线，垂足为B ，则||||MB MA +的最小值为__________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数23cos cos sin 3)(2-+=x x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及在区间]2,0[π的最大值（Ⅱ）在ABC ∆中，21)(-=A f ，求ABC ∆周长的最大值． ABDEA 1CM18．（本小题满分12分）2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP 抽样调查了非一线城市M 和一线城市N 各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．（Ⅰ）请填写以下22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？（Ⅱ）以频率估计概率，从城市M 中任选2名用户，从城市N 中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）该读书APP 还统计了2018年4个季度的用户使用时长y （单位：百万小时），发现y 与季度x 线性相关，得到回归直线为^4a x y +=∧，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（5=x ）该读书APP 用户使用时长约为多少百万小时．附：))()()(()(22d b c a d c b a bd ac n K ++++-=，其中d c b a n +++=．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为直角梯形，AD BC //，且222===BC AB AD , 90=∠BAD ,PAD ∆为等边三角形，平面⊥ABCD 平面PAD ；点M E ,分别为PC PD ,的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 作倾斜角为45°的直线l ，直线l 与抛物线C 交于B A ,，若16||=AB ．（Ⅰ）抛物线C 的方程；（Ⅱ）若经过)2,1(M 的直线交抛物线C 于Q P ,,)0,5(N ，若||||QN PN =，求直线PQ 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数12)(2---=mx x m e x f x ． （Ⅰ）当1=m 时，求证：若0≥x ，则0)(≥x f ； （Ⅱ）当1≤m 时，试讨论函数)(x f y =的零点个数．请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并填写序号． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y t x 2321（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ，点P 的极坐标是)32,3152(π. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PMN ∆的面积.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数R a x a x x f ∈-+-=|,1||2|)(. （Ⅰ）若2-=a ，解不等式5)(≤x f ；（Ⅱ）当2<a 时，函数)(x f 的最小值为3，求实数a 的值.押题卷2理科数学参考答案1. D2. A3. A4. B5.C6. D7. C8. A9. B 10. C 11. A 12. D13． 14． 15． 16．17. 【答案】（1）最小正周期为，在区间上的最大值为；（2）.【解析】（1），最小正周期为所以在区间的最大值是0（2）,由余弦定理得,即,当且仅当时取等号.的周长的最大值是6法二：由，得，由正弦定理可得，所以，当时，L取最大值，且最大值为618.【详解】（1）由已知可得以下列联表：计算，所以有99．5%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关．（2）由统计数据可知，城市M中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从M城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则设从N城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，其中．故，；；；．故所求的分布列为．（3）由已知可得，又，可得，所以，所以．以代入可得（百万小时），即2019年第一季度该读书APP用户使用时长约为百万小时．19.【详解】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且；在梯形中，，且，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面，又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，又平面，平面．（2）设的中点为，又．因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．已知点，设平面的法向量为：．则有，可得平面的一个法向量为，，可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为．20.【详解】（1）依题意：，则直线的方程为，由，消可得，设，则，∴，∴，故抛物线的方程为．（2）若经过的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于，则关于轴对称，满足，即直线满足题意．若经过的直线的斜率存在，设它为，则．由，消可得设，则，∴，∴，∵，∴点在线段的中垂线上，即线段的中垂线为：，即，即所以直线的方程为即．故直线的方程为或．21.【解析】(1)当时，，则，令，则，当时，，即，所以函数在上为增函数，即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.(2)由（1）知，当时，，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对，，即.①当时，，又，，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.②当时，（ⅰ）当时，，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点.(ⅱ)当时，，令，则，所以函数在上单调递增，，当时，，又曲线在区间上不间断，所以，使，故当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时，，又，曲线在区间上不间断.所以，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.22.【解析】（1）由消去，得到，则，∴，所以直线的极坐标方程为.点到直线的距离为. （2）由，得，所以，，所以，则的面积为.23.【详解】(Ⅰ) 时，不等式为①当时，不等式化为，，此时②当时，不等式化为，③当时，不等式化为，，此时综上所述，不等式的解集为（Ⅱ）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.法二：所以，又，所以.。
黑龙江省哈尔滨市第六中学18-19学年度高二10月月考—
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018—2019学年度上学期10月月考高二历史试题一、选择题（本大题共40小题，每小题1.5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 孔庙是孔子文化的重要基地，今天我们如果想要去参观孔庙，了解孔子所代表的儒家思想的精髓，首先必须要参阅（）A．《春秋》B．《尚书》C．《论语》D．《道德经》2. 孔子主张对鬼神敬而远之，把讨论和解决人世间的实际问题放在中心位置，而老子重视天人关系，认为“道”是凌驾于天人之上的天地万物的本原，并提出“天法道，道法自然”的思想，两人不同的天人观（）A. 是不同时代背景的反映B. 凸显出两人不同的阶级立场C. 折射出两种不同的人生追求D. 是继承与背离传统文化的结果3. 《墨子》中说，天帝经常监察人的行动，特别是统治者的行动。
他以祸惩罚那些违反天意的人，以福奖赏那些顺从天意的人。
这主要反映了墨子思想（）A. 严厉批评儒家现实主义B. 体现下层百姓精神诉求C. 构建中国最早宗教信仰D. 为统治者营造集权氛围4. 韩非在批评某家学说时说：“举先王，言仁义者盈廷（注：同“盈庭”，充满朝廷），而政不免于乱。
”他批评的是（）A. 法家学说B. 道家学说C. 儒家学说D. 墨家学说5. “明礼仪以化之，起法正以治之，重刑法以禁之，使天下皆出于治，合于善也。
”上述材料主张治国要（）A．重视礼仪教化B．实行礼法并施C．强调严刑峻法D．提倡为政以德6. 春秋战国时期，鲁国尚儒，齐地阴阳、道家、儒学相当发达，楚地道学与词赋最具特色，三晋以法家与游说之士为盛，秦地主要接受三晋学术。
这反映了（）A. 学术思想的地域性B. 儒学正统地位衰落C. 北方文学发展缓慢D. 秦国学术水平落后7. 司马迁在《史记》中记载，西汉初年，“自天子不能具钧驷，而将相或乘牛车。
”至汉武帝时“非遇水旱，则民人给家足，……京师之钱累百巨万,贯朽而不可校。
太仓之粟陈陈相因,充溢露积于外，腐败不可食”。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)8
【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（ ）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________． 【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2010-2011学年度上学期期末考试高二数学理
哈尔滨市第六中学2010—2011学年度上学期期末考试高二（理科）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（每题5分共60分） 1.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．215D ．10 2. 下列命题中的假命题是A ．1,20x x R -∀∈> B. ∀*x N ∈,2(1)0x -> C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x =3.由曲线x y =2和直线1x =围成图形的面积是 （ ）A ．3B ．23C ．34D ．324. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m //5. 函数32y x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3) 6设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A. 2B. 27. 已知向量(0,2,1),(1,1,2)a b ==--，则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．150º 9.函数3223125y x x x =--+在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（ ） A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 10.已知直线1y x =+与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-211.已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为12. 设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二．填空题：（每题5分共20分）13.如图，已知一四棱锥的主视图、左视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积为 14. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ． 15.已知⎰-=122)2()(dx x a axa f ，则函数)(a f 的最大值为16. 如图，矩形ABCD 中，DC=3，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 . 三．解答题17. 已知函数()bx ax x x f --=233，其中b a ,为实数. (Ⅰ) 若()x f 在1=x 处取得的极值为2，求b a ,的值;（Ⅱ）若()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且a b 9=，求a 的取值范围.(10分)18. 如图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=600，AB=2，PA=1,PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点。
专题20 数学归纳法(原卷版)
专题20 数学归纳法一、单选题1．（2020·河南省高二月考（理））利用数学归纳法证明()*()123(31)f n n n N =+++++∈时，第一步应证明（ ） A ．(2)12f =+ B ．(1)1f =C ．(1)123f =++D ．(1)1234f =+++2．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））某个命题与自然数n 有关，若*()n k k N =∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知5n =时，该命题不成立，那么可以推得 A ．6n =时该命题不成立 B ．6n =时该命题成立 C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立3．（2020·宁县第二中学高二期中（理））用数学归纳法证明不等式111131214n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ） A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项121k +，()121k + C ．增加了A 中的一项，但又减少了另一项11k + D ．增加了B 中的两项，但又减少了另一项11k +4．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））用数学归纳法证：11112321n n ++++<-…（*n N ∈时1n >）第二步证明中从“k 到1k +”左边增加的项数是（ ） A ．21k +项B ．21k -项C ．12k -项D ．2k 项5．（2018·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））用数学归纳法证明“()221111,N 1n n a a a aa n a++*-++++=≠∈-”，在验证1n =是否成立时，左边应该是( ) A ．1B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++6．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2020·江苏省天一中学高二期中）2n n +<n+1(n ∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k ∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n ∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确8．（2020·郏县第一高级中学高二开学考试（理））用数学归纳法证明不等式()111121222n n n n ++⋅⋅⋅+>≥++的过程中，由n k =递推到1n k =+时不等式左边（ ） A ．增加了()121k +B ．增加了112122k k +++ C ．增加了112122k k +++，但减少了11k + D ．以上各种情况均不对 9．（2020·甘肃省兰州一中高二月考（理））用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N ++++=⋅⋅-∈时，由“1n k n k =→=+”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ）A ．22k +B ．(21)(22)k k ++C ．221k k ++ D ．(21)(22)1k k k +++10．（2020·巴楚县第一中学高二期中（理））在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．011．（2020·河南省高二学业考试（理））利用数学归纳法证明“(1)(2)(3)()n n n n n +++⋅⋅⋅+213(21)n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，*n N ∈”时，从”n k =”变到“1n k =+”时，左边应增加的因式是（ ） A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．(21)(22)1k k k +++12．（2018·浙江省诸暨中学高二月考）已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6二、填空题13．（2019·邳州市第四中学高二期中（理））用数学归纳法证明1111(2321n n n N +++⋯+<∈-且1)n >，第一步要证的不等式是_________．14．（2016·上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“()22111...11n n a a a aa a++-++++=≠-”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是______.15．（2019·江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理））利用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++”时从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增加的项是______________.16．（2019·江苏省高二期中（理））用数学归纳法证明“当*n N ∈时，235112222n -+++++能被31整除”时，从k 到1k +时需添加的项是______. 三、解答题17．（2020·陕西省西安一中高二期中（理））用数学归纳法证明：()215914)332(n n n n N +++++⋅⋅⋅+-=-∈．18．（2020·武威第六中学高二期中（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-， （1）求1a ，2a ，3a ，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．19．（2020·新疆维吾尔自治区高二期中（理））已知数列112⨯，123⨯，134⨯，…，1n(n 1)+，…，（1）计算123,,S S S ；（2）由以上结果推测计算n S 的公式，并用数学归纳法给出证明.20．（2020·湖北省高二月考）已知数列{}n a 满足11a =，()144n n n a a a ++=． （1）计算2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．21．（2020·白山市第一中学高二开学考试（理））已知数列{}n a ，首项11a =，前n 项和n S 足()2*nnS n n N a =∈. （1）求出1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.22．（2018·浙江省高三月考）已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,11331542,,a b a b a a b ===+=．设,n n n n c a b S =是数列{}n c 的前n 项和．(1)求,n n a b ；(2)试用数学归纳法证明：18(34)2n n S n +=+-⋅．。
高二数学复习考点题型讲解与提升练习1---直线方程综合高频考点题
高二数学复习考点题型讲解与提升练习直线方程常考综合考点必刷题一、单选题1．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·江苏·高二单元测试）已知()0,2A ，()2,1B ，过点()1,0C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．()(),21,-∞-+∞C ．()2,1-D ．(][),21,-∞-+∞3．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为k ，且1k -≤≤α的取值范围是（ ）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭4．（2022·全国·高二单元测试）对于直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），现有下列说法： ①无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变； ②无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限； ③无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限； ④当a 取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知直线l 310y -+=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 的倾斜角是3πB ．直线l 在x 轴上的截距为1C ．若直线m ：310x +=，则l m ⊥D ．过()2与直线l 30y -=6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知()1,0A -，()0,3B ，若直线:210l ax y a ++-=上存在点P ，满足PA PB AB +=，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．（2022·全国·高二单元测试）直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为（ ）A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．3x －2y －6＝0D ．2x ＋3y ＋6＝08．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）①直线12y x +=在y 轴上的截距为1；②直线10x +=的倾斜角为150；③直线3y ax a =-必过定点（3，0）；④两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=.以上四个命题中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（ ）A B ．25 C ．10．（2021·四川省绵阳南山中学高二期中（理））在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和260x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（ ）A ．．7C ．5D ．11．（2022·江苏·高二单元测试）已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（ ）A ．(B ．⎡⎣C ．(D ．⎡⎣12．（2021·江苏·高二期中）已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13．（2022·江苏·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为 A ．()4,0-B ．()3,1--C ．()5,0-D ．()4,2--14．（2019·湖北·随州市第一中学高二期中）已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则a b +的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．715．（2021·全国·高二单元测试）点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则111a b++的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题16．（2021·江苏苏州·高二期中）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．17．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高二期中）下列说法中，正确的是（ ） A ．直线53y x =-在y 轴上的截距为3 B10y -+=的倾斜角为60︒ C ．(1,3)A ，(2,5)B ，(2,3)C --三点共线D ．过点(3,4)且在,x y 轴上的截距相等的直线方程为70x y +-= 18．（2022·全国·高二单元测试）下列说法错误的是A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为112121y y x x yy x x --=--D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=19．（2021·全国·高二单元测试）下列说法正确的是（ ） A ．点（2，0）关于直线y ＝x +1的对称点为（﹣1，3）B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为112121y y x xy y x x --=--C ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0或x ﹣y ＝0D ．直线x ﹣y ﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是820．（2021·山东枣庄·高二期中）下列说法正确的是（ ）A ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x yy x x --=--B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 21．（2021·福建省福州高级中学高二期中）已知直线()1:120l a x ay +++=，()2:110l a x a y +--=，则（ ）A ．1l 恒过点()2,2-B ．若12l l //，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限22．（2022·全国·高二单元测试）已知点P 是直线3450x y -+=上的动点，定点()1,1Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．线段PQ 的长度的最小值为45B ．当PQ 最短时，直线PQ 的方程是3470x y +-=C ．当PQ 最短时P 的坐标为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭D ．线段PQ 的长度可能是23 三、填空题23．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______24．（2021·浙江·高二单元测试）若直线l 的倾斜角的变化范围为,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则直线斜率的取值范围是_______.25．（2018·湖北湖北·高二期中（理））过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.26．（2021·天津河西·高二期中）直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A ､B 两点，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为___________.27．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设点()2,0A -和()0,3B ，在直线l ：10x y -+=上找一点P ，使PA PB +取到最小值，则这个最小值为__________28．（2021·江苏·高二单元测试）过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________.四、解答题29．（2021·北京市第四十三中学高二期中）已知平面内两点(8,6)(22)A B -，，． （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过(2,3)P -点且与直线AB 平行的直线l 的方程；（3）一束光线从B 点射向（2）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程．30．（2021·重庆市朝阳中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()0,4A ，()2,6B -，()8,0C -.（1）求边AB 所在直线的方程；（2）求边AC 上的中线BD 所在直线的方程.31．（2018·湖北湖北·高二期中（文））已知直线:120()l kx y k k R -+-=∈． （1）求证：无论k 取何值，直线l 始终经过第一象限；（2）若直线l 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B 点，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．32．（2022·全国·高二单元测试）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0（k ∈R ）． （1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．33．（2020·安徽省太和第一中学高二期中）设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB 面积最小时，求AOB 的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.34．（2021·湖北·沙市中学高二期中）在ABC ∆中，(1,2)A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为74460x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为211540x y -+=.（1）求点C 坐标； （2）求直线BC 的方程.35．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．参考答案：1．A【分析】由“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”得到a ＝－2或a ＝1，即得解.【详解】解：若a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行； 若“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”，∴(1)20a a +-=，解得a ＝－2或a ＝1，∴“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的充分不必要条件． 故选：A 2．D【分析】画出图形，由图可知，BC k k ≥或AC k k ≤，从而可求得答案 【详解】因为过点()1,0C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 有公共点， 所以由图可知，BC k k ≥或AC k k ≤， 因为10121BCk-==-或20201ACk -==--， 所以1k 或2k ≤-， 故选：D3．B【分析】由1k -≤≤1tan α-≤≤ 【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为1k -≤≤1tan α-≤≤结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ． 4．C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误． 【详解】直线l ：10ax ay a+-=（0a ≠），可化简为：210x y a +-=，即21y x a =-+，则直线的斜率为1-，倾斜角为135︒，故①正确；直线在y 轴上的截距为210a >，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当a 取不同数值时，可得到一组斜率为1-的平行直线，故④正确； 故选：C 5．D【分析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y ＝0可得；C.求出直线m 斜率即可判断；D. 30y t -+=，将()2代入即可. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，直线l 310y -+=，即13y =+，其斜率k =6π，A 错误；对于B ，直线l 310y -+=，令y ＝0，可得x =l 在x 轴上的截距为B 错误；对于C ，直线m ：310x +=，其斜率m k 1≠-，故直线m 与直线l 不垂直，C 错误；对于D 30y t -+=，将()2代入，可得t ＝0，即要求直线为30y -=，D 正确；故选：D 6．A【分析】根据题意，求得直线l 恒过的定点，数形结合只需求得AB 线段与直线l 有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线:210l ax y a ++-=，变形为()12y a x -=-+，故其恒过定点()2,1M -， 若直线l 存在点P ，满足PA PB AB +=，只需直线l 与线段AB 有交点即可.数形结合可知，当直线l 过点B 时，其斜率取得最大值，此时212l k ==，对应倾斜角4π； 当直线l 过点A 时，其斜率取得最小值，此时111l k ==--，对应倾斜角为34π. 根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线l 的倾斜角的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：A. 7．B【分析】先求出定点M 的坐标，再设出与直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax ＋y ＋3a －1＝0得()()310x a y ++-=，由3010x y +=⎧⎨-=⎩，得31x y =-⎧⎨=⎩，∴M （－3，1）． 设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为()2306x y C C ++=≠-，=，解得:C ＝12或C ＝－6（舍去），∴直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋12＝0． 故选：B ． 8．B【分析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.【详解】对于①，直线12y x +=，令0x =，则1y =-，直线在y 轴上的截距为-1，则①错误；对于②，直线10x +=的斜率为150，则②正确； 对于③直线()33y ax a a x =-=-，由点斜式方程可知直线必过定点（3，0），则③正确；对于④，两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离为d =，则④错误. 故选：B. 9．C【分析】求出直线l 过的定点P ，当OP l ⊥时，原点到直线l 距离最大，则可求出原点到直线l 距离的最大值；【详解】因为()()324220x y λλλ++++-=可化为()342220x y x y λ+-+++=，所以直线l 过直线3420x y +-=与直线22=0x y ++交点， 联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩可得22x y =-⎧⎨=⎩所以直线l 过定点()2,2P -，当OP l ⊥时，原点到直线l 距离最大，最大距离即为||OP ，故选：C. 10．D【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线210x y ++=和260x y ++==，1340x y c -+=和2340x y c -+=125c c -=，于是有：12125c c c c -=-= 故选：D 11．A【分析】先求得直线l 的定点，进而求得点P 到直线l 的最大距离，然后检验点(2,1)P --是否可能在直线l 上即可【详解】:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=可化为：()22310x y x y λ+-+-+= 设直线l 的定点为A ，点P 到直线l 的距离为d ，则有：{x +y −2=02x −3y +1=0可得：()1,1A 为直线l 的定点则有：PA =PA 为点P 到直线l 的最大距离若(2,1)P --在直线l 上，则有：()2124310λ---+-++=，即50-= 可得：(2,1)P --不可能在直线l 上，则有：0d >综上可得：0d <≤故选：A 12．A【分析】直线l 过定点P （1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA 、PB 的斜率，从而得出l 的斜率m -的取值范围,即得解【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=，令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --==--，213314PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥， 则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦． 故选：A【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．13．A【分析】设出点C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB 的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C 的坐标【详解】设C （m ，n ），由重心坐标公式得，三角形ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭代入欧拉线方程得：242033m n++-+=整理得：m-n+4=0 ① AB 的中点为（1，2），40202AB k -==--AB 的中垂线方程为()1212y x -=-， 即x-2y+3=0．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得11x y =-⎧⎨=⎩∴△ABC 的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 14．A【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果. 详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13，所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-， 所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果. 15．A【分析】由题意曲线C 为圆，22(6)(6)222t x y a =++---，且22(6)(6)x y ++-表示曲线C 上的点M 到点()6,6N -的距离的平方，结合圆的特征可得点()6,3M -，由此可得22max (66)(36)222t a b =++----=，于是3a b +=，故()14a b ++=，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心为()2,0A ，半径为5的圆．2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点， 所以直线AN 的方程为()324y x =--，由()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2223x y =-⎧⎨=⎩（舍去），∴当63x y =⎧⎨=-⎩时，t 取得最大值，且22max (66)(36)222t a b =++----=，∴3a b +=， ∴()14a b ++=，∴()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当11b a a b+=+，且3a b +=，即1,2a b ==时等号成立． 故选A ．【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将22(6)(6)x y ++-转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值． 16．AC【分析】给出特殊值可以确定选项AC 的正误，由直线恒过定点可判断选项B 的正误，利用直线垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程可确定选项D 的正误. 【详解】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12k =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线垂直，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC.【点睛】本题主要考查两条直线之间的位置关系，直线恒过定点及其应用，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．BC【分析】结合直线截距的意义、直线倾斜角和斜率的概念以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.【详解】A ：直线53y x =-在y 轴上的截距为-3，故A 错误；B 101y y -+=⇒=+，所以直线的斜率为tan k α== 则倾斜角=60α︒，故B 正确；C ：由(13)(25)(23)A B C --，、，、，可得(12)(48)AB BC ==--，，，， 所以14AB BC =-，A 、B 、C 三点共线，故C 正确；D ：过点(34)，且在x 、y 轴截距相等的直线方程为70x y +-=或43y x =，故D 错误. 故选：BC 18．ACD【分析】对于A ．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B ．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C ．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D ．过原点的直线也满足条件．【详解】解：对于A ．当0a =，两直线方程分别为1y =和2x =，此时也满足直线垂直，故A 错误，对于B ．直线的斜率sin k α=-，则11k -，即1tan 1θ-，则[0θ∈，3][,)44πππ，故B 正确，对于C ．当12x x =，或12y y =，时直线方程为1x x =，或1y y =，此时直线方程不成立，故C 错误，对于D ．若直线过原点，则直线方程为y x =，此时也满足条件，故D 错误， 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大． 19．ACD【解析】通过对称性判断A ；两点式方程的体积判断B ；截距式方程判断C ，三角形的面积判断D ；【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（12，32） 满足直线y ＝x +1，并且两点的斜率为﹣1，所以点（2，0）关于直线y ＝x +1的对称点为（﹣1，3）， 所以A 正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，过（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 两点的直线方程为112121y y x x yy x x --=--，所以B 不正确；经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程 为x +y ﹣2＝0或x ﹣y ＝0，所以C 正确；直线x ﹣y ﹣4＝0，当x ＝0时，y ＝﹣4，当y ＝0时，x ＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：1442⨯⨯=8，所以D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查. 20．BC【解析】运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C 的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．【详解】对于A ：当12x x ≠，12y y ≠时，过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，故A 不正确；对于B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标1322⎛⎫⎪⎝⎭，， 满足直线方程1y x =+, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y =x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；对于C ：直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线20x y --=与坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，所以C 正确；对于D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x +y −2=0 或 y =x ，所以 D 不正确； 故选：BC.【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为0的情况，属于基础题． 21．BD【分析】A.直线写成()20a x y x +++=，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有()()211a a a +-=；C.两直线垂直，根据公式有()()110a a a a ++-=；D.根据直线2l 不经过第三象限，求实数a 的取值范围.【详解】()()1:12020l a x ay a x y x +++=⇔+++=，当020x y x +=⎧⎨+=⎩，即2,2x y =-=，即直线恒过点()2,2-，故A 不正确；若12l l //，则有()()211a a a +-= ，解得：212a =，故B 正确；若12l l ⊥，则有()()110a a a a ++-=，得0a =，故C 不正确； 若直线2l 不经过第三象限，则当10a -≠时，101a≥-，01a a -≤- ，解得：01a ≤<，当10a -=时，直线2:1l x =，也不过第三象限， 综上可知：01a ≤≤时，2l 不经过第三象限，故D 正确. 故选：BD 22．AC【分析】当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，即可判断A 、D ，设出P 坐标，根据最短使PQ 与直线垂直求解P 坐标，即可判断C ，由两点式求出直线方程，即可判断B ． 【详解】解：当PQ 垂直直线3450x y -+=时，PQ 最短，Q45=，故A 正确； 故PQ 的长度范围为4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，2435<，故D 错误；设35,4m P m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3514413PQm k m +-==--，解得1325m =， 故P 为1341,2525⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确； 此时直线PQ 的方程是114113112525y x --=--，即4370x y +-=，故B 错误，故选：AC ． 23．1【详解】：121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴=24．⎣ 【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数tan y α=在,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，当,63ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，tan α∈⎣，所以斜率tan k α=∈⎣【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.25．13⎡⎣【解析】化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ， 令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为=r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13=CN ，所以MN 的取值范围是13⎡⎣.故答案为：13⎡⎣.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 26．240x y +-=【分析】由题可得直线恒过定点()2,1P ，可设方程为()10,0x y a b ab+=>>，则211ab+=，利用基本不等式可得142AOB S ab =≥△，即求. 【详解】∵直线:(12)(1)130l m x m y m +-+--=， ∴1(23)0x y m x y --+--=，由10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩， ∴直线恒过定点()2,1P ，可设直线方程为()10,0x y a b a b +=>>，则,0,0,A a B b ，211a b+=，又211ab+=≥8ab ≥，当且仅当4,2a b ==时取等号， ∴142AOB S ab =≥△，当AOB 面积最小时，直线l 的方程为142xy+=，即240x y +-=. 故答案为：240x y +-=.27【解析】求出点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，连结AC ，则AC 交直线l 于点P ，点P 即为所求的点，此时PA PB PA PC +=+，()min PA PB AC +=. 【详解】解：设点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为(),C m n线段BC 的中点3,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭在10x y -+=上 则31022m n +-+=()1又1l BC k k ⋅=-，311n m-⨯=-()2解()()12得，()2,1;2,1m n C ==AC ==【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用， 属于中档题. 28．45y x =【解析】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053a a b a b b ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为45y x =. 故答案为：45y x =【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.29．（1）34230x y --=；（2）4310x y ++=；（3）1127740x y ++=.【分析】(1)先求AB 的中点坐标为(5,2)-，利用两直线垂直121k k =-，则134AB k k =-=，再利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用两直线平行12k k =，则43AB k k ==-，再利用点斜式写出直线方程即可；（3）先利用点关于直线的对称点求(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '，BB '的中点在直线l 上，BB l '⊥，则斜率乘积为 1，联立方程可解148(,)55B '--，86115142785B Ak '-+∴==-+，再利用点斜式写出直线方程即可.【详解】（1）8252+=，6222-+=-，∴AB 的中点坐标为(5,2)-， 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34， ∴由点斜式可得32(5)4y x +=-， ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=； （2）由点斜式43(2)3y x +=--， ∴直线l 的方程4310x y ++=，（3）设(2,2)B 关于直线l 的对称点(,)B m n '，∴2324{22431022n m m n -=-++⨯+⨯+=，解得145{85m n =-=-，∴148(,)55B '--，86115142785B A k '-+==-+， 由点斜式可得116(8)27y x +=--，整理得1127740x y ++= ∴反射光线所在的直线方程为1127740x y ++=. 30．（1）40x y +-=；（2）2100x y -+=.【分析】（1）直接由两点式求边AB 所在直线的方程；（2）求出点D 的坐标为（－4，2），再利用两点式求中线BD 所在直线的方程. 【详解】（1）由两点式得边AB 所在直线的方程为406420y x --=---，即40x y +-=； （2）由题意，得点D 的坐标为（－4，2），由两点式，得BD 所在直线的方程为()()426224x y ---=----，即2100x y -+=.31．（1）证明见解析； （2）面积S 的最小值为4，直线l 的方程为240x y +-=． 【分析】（1）先将直线方程化成点斜式，求得x 、y 的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线l 始终经过第一象限；（2）法一：先求得A 、B 的坐标，可得ABC 的面积为S 表达式，再利用基本不等式，求得S 的最小值及此时的k 值，进而得到此时直线l 的方程．法二：设直线的方程为1x y a b +=(0,0)a b >>，则12S ab =，直线l 过定点(2,1)，所以211a b+=，利用基本不等式求得8ab ≥，则可得S 的最小值及此时的,a b 的值，进而得到此时直线l 的方程．【详解】（1）因为直线:120l kx y k -+-=，即1(2)y k x -=-，令20x -=，求得2x =，1y =， 即直线l 过定点(2,1)且在第一象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第一象限．（2）方法一：因为直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，所以0k <， 令0y =，解得21k x k-=；令0x =，得12y k ，即21,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭，(0,12)-B k ， ∴112111(12)()44222k S OA OB k k k k -⎛⎫=⋅=-=--+ ⎪⎝⎭， ∵0k <，∴0k ->，则144k k -+≥=-， 当且仅当14k k -=-，也即12k =-时，取得等号，则()1114444422S k k ⎛⎫=--+≥⨯+= ⎪⎝⎭，∴4S ≥，从而S 的最小值为4， 此时直线l 的方程为122y x =-+，即240x y +-=． 方法二：因为直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，设(),0A a ，()0,B b ，设直线的方程为1x y a b +=(0,0)a b >>，则12S ab =， 又直线l 过定点(2,1)，所以211ab+=，又因为0a >，0b >，所以211ab=+≥即：1，所以8ab ≥， ∴4S ≥，即S 的最小值为4， 此时21a b=，解得4a =，2b =，所以直线l 的方程为142xy+=，即：240x y +-=．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题和直线方程，涉及三角形的面积、截距的定义，以及利用基本不等式求面积最值，考查计算能力．32．（1）证明见解析；（2）[0,)+∞；（3）S 的最小值为4，直线l 的方程为x －2y ＋4＝0． 【分析】（1）直线方程化为y ＝k （x ＋2）＋1，可以得出直线l 总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y 轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为y ＝k （x ＋2）＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点（－2，1）． （2）直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l不经过第四象限，则0120k k ≥⎧⎨+≥⎩解得k ≥0，故k 的取值范围是[0,)+∞．（3）依题意，直线l 在x 轴上的截距为12kk+-，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A 12,0k k +⎛⎫-⎪⎝⎭，B （0，1＋2k ）． 又120kk+-<且1＋2k ＞0，∴k ＞0．故S ＝12|OA ||OB |＝12×12k k+×（1＋2k ）＝1214+4k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12×（4＋4， 当且仅当4k ＝1k，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．33．(1)证明见解析；(2) 10+(3) 330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=【分析】(1)将原式变形为()250a x x y -++-=，由2050x x y -=⎧⎨+-=⎩可得直线l 必过一定点()2,3P ；(2)由题可得52B y a =+，521A ax a +=+，则()1252521AOBa S a a ++⋅=⋅+，求出最值，并找到最值的条件，进而可得AOB ∆的周长； (3) 52a +，521a a ++均为整数，变形得523211a a a +=+++，只要31a +是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出a ，进而可得直线l 的方程.【详解】解：(1)由()1520a x y a ++--=得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ； (2)由()1520a x y a ++--=得， 当0x =时，52B y a =+，当0y =时，521A ax a +=+， 又由5205201B A y a ax a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()119141+121212221252521AOBa a a Sa a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号.()4,0A ∴，()0,6B ，AOB ∴∆的周长为4610OA OB AB ++=+=+(3) 直线l 在两坐标轴上的截距均为整数， 即52a +，521aa ++均为整数， 523211a a a +=+++，4,2,0,2a ∴=--， 又当52a =-时，直线l 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，所以直线l 的方程为330x y --=，10x y -+=，50x y +-=，390x y +-=，320x y -=. 【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.34．（1）()66C ，（2）2180x y +-= 【分析】（1）由AC 边上的高BE 所在的直线方程可得kAC ．利用点斜式可得AC 方程,与CM 方程联立解得C 坐标．（2）设B 点坐标，可得中点M 坐标代入CM 方程，与BE 方程联立，可得点B 坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程． 【详解】（1）AC 边上的高为74460x y +-=，故AC 的斜率为47， 所以AC 的方程为()4217y x -=+， 即47180x y -+=，因为CM 的方程为211540x y -+=21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，，解得66x y =⎧⎨=⎩ 所以()66C ，. （2）设()00,B x y ，M 为AB 中点，则M 的坐标为0012,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭， 0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩解得0028x y =⎧⎨=⎩， 所以()2,8B ， 又因为()6,6C ，所以BC 的方程为()866626y x --=-- 即BC 的方程为2180x y +-=.【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 35．（1）30x y +-=（2）0y =或1x =-【解析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m -+⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩ ，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以点()1,0A -关于直线l ：10x y +-=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =-，则直线1l 为：()21y x -=--，即30x y +-=.（2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h == 又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b=，即1b a =-或3b a =+又1b a =-，解得：10a b =⎧⎨=⎩ 或12a b =-⎧⎨=⎩则直线2l 为：0y =或1x =-31 / 31。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高一下学期期末物理考试试卷含答案
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试高一物理试题一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～12题有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1.下列说法中符合物理学发展史实的是（）A. 开普勒在牛顿定律的基础上，推导出了行星运动的定律B. 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的定律C. 开普勒总结出了行星运动的规律，并且找出了行星按照这些规律运动的原因D. 牛顿总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律，并测出了万有引力常量【答案】B【解析】开普勒在他的导师第谷天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并未找出了行星按照这些规律运动的原因；选项AC错误，B正确；牛顿在开普勒行星运动定律的基础上推导出万有引力定律，卡文迪许测出了万有引力常量，选项D错误；故选B。
2.下列说法正确的是（）A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动B. 物体在恒力作用下一定做直线运动C. 物体在变力作用下一定做曲线运动D. 垂直速度方向的合力不为零时，物体一定做曲线运动【答案】D【解析】【详解】AB．在恒力作用下，物体可以做曲线运动，如平抛运动，故AB错误；C．物体在变力作用下有可能做曲线运动，也可能做直线运动，如变力只是大小变化方向不变，并且力和速度方向在同一直线上，物体做直线运动，故C错误；D．如果垂直于速度方向的合力不为零时，力和速度不在同一直线上，则物体一定做曲线运动，故D正确；3.一小船在静水中的速度为2v，要渡过一条宽度为d的河流，已知河水流速为v，则小船渡河（）A. 最小位移为dB. 最小位移为2dC. 相对河岸最小速度为D. 相对河岸最大速度为【答案】A【解析】AB. 由于小船在静水中的速度为2v大于水的速度v，故小船过河最短路程为d，故A正确，B 错误；C. 两速度的合速度是相对河岸的速度，当两速度方向相反时，合速度最小，等于v，即相对河岸最小速度为v，故C错误；D．当两速度方向一致时，合速度最大，为3v，即相对河岸最大速度为3v，故D错误。