高阶马尔科夫链的张量模型
马尔可夫链专题讲义——2025届高三数学一轮复习
马尔科夫链专题讲义马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关系求的概率.一、马尔科夫链的性质马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列X m已知第n小时的状态X n.如果X n−1的随机变化规律与前面的各项X1,X2,⋯,X n−1的取值都没有关系,那么称随机变量序列X n具有马尔科夫性,称具有马尔科夫性的随机变量序列{X n}为马尔科夫链。
二、马尔科夫链基本原理虽然贝叶斯公式不做要求,但是全概率公式已经是新高考考查内容,利用全概率公式,我们既可以构造某些递推关系求解概率,还可以推导经典的一维随机游走模型,即设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻t=0时,位于点X=i(i∈N∗)一个时刻,它将以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态X t=i表示在时刻t该点位于位置X=i(i∈N∗),那么由全概率公式可得P(X t+1=i)=P(X t=i−1)⋅P(X t+1=i∣X t=i−1)+P(X t=i+1)⋅P(X t+1=i∣X t=i+1).另一方面,由于P(X t+1=i∣X t=i−1)=β,P(X t+1=i∣X t=i+1)=α,代入上式可得P i=α⋅P i+1+β⋅P i−1.进一步,我们假设在x=0与x=m(m>0,m∈N∗)处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是P0=0,P m=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为a,原地不动,其概率为b,向右平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得P i=aP i−1+bP i+cP i+1.三、应用举例1.药物试验问题例1（2019全国1卷21）为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,脱停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈半分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列:(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1.⋯.8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p i=1,p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i−1−p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列;(iii)求p c,并根据p c的值解释这种试验方案的合理性.解:(1)由超意知,X的所有可能取值为-1.0,1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=a(1−β),∴X的分布列为X−10 1P(1−α)βαβ+(1−α)(1−β)α(1−β)(2)(i)由(1)知,a=(1−0.5)×0.8=0.4,b=0.5×0.8+(1−0.5)(1−0.8)=0.5,c=0.5×(1−0.8=0.1.∴p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1,∴0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1),∴p i+1−p i=4(p i−p i−1),又p1−p0=p1≠0,∴{p i+1−p i}(i=0,1,2,⋯,7)是首项为p1,公比为4的等比数列. (ii)由(i)可得p i+1−p i=p1⋅4i,∴p8=p8−p7+p7−p6+⋯+p1−p0+p0=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)=p1(47+46+⋯+4)=4(1−47) 1−4p1=48−4 3p1∵p8=1,∴48−43p1=1,∴p1=348−4.∴p4=(p4−p3)+(p3−p2)+(p2−p1)+(p1−p0)=p1(43+42+4+1)=1−44 1−4p1=44−13p1=44−13×348−4 =144+1=1257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验注：虽然当时学生未学过全概率公式,但命题人直接把p i=ap i−1+bp i+cp i+1给出,并没有让考生推导这个递推关系,实际上,这就是一个一维随机游走模型。
马尔可夫模型名词解释 -回复
马尔可夫模型名词解释-回复
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学模型。
它基于马尔可夫性质，即当前状态只与其前一状态相关，与之前的状态无关。
马尔可夫模型可以用于预测未来状态的概率、计算状态转移概率、估计参数等。
马尔可夫模型包括马尔可夫链和马尔可夫过程两种形式。
1. 马尔可夫链：马尔可夫链是一种状态转移模型，表示在离散时间下一个状态仅取决于当前状态的概率分布。
马尔可夫链可以用有限状态空间或无限状态空间来表示，其动态性质可以通过转移概率矩阵或转移概率函数来描述。
2. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一种连续时间下的随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来状态仅依赖于当前状态的条件概率分布。
马尔可夫过程可以分为离散态马尔可夫过程和连续态马尔可夫过程两种类型。
马尔可夫模型在很多领域中有着广泛的应用，例如自然语言处理、机器学习、信号处理、金融建模等。
它能够帮助建立概率模型、进行状态预测和预测未来状态概率等。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
高阶马尔可夫链无线链路连通性建模
高阶马尔可夫链无线链路连通性建模陈冬明;汪洋;张继良;李银;向少华【摘要】In order to meet the demand of dynamic wireless network precised link connectivity modeling, considering wireless channel propagation characteristics and mobility models, the link connectivity model based on high order Markov chain is established. Parameters of the model are statistically analyzed. The model is employed to evaluate the link life time of wireless network. The relationship of link life time error and Markov chain order is compared. Analysis shows that the accuracy of link life time improves with the increasing order of Markov chain. In addition, the accuracy of link life time generated by Markov chain whose order is higher than 4 improves inconspicuously. Compared to the multi⁃state one⁃order Markov link connectivity model, the error of four⁃order Markov model link life time decreases 68%.%针对动态无线网络对高精度链路连通性建模的需求，结合无线电波传播特性和节点运动模式，基于高阶马尔可夫链建立链路连通性模型。
第八章 马氏链模型
0.8w1 0.7w2 w1 0.2w1 0.3w2 w2
0.2w1 0.7w2
w (7 / 9,2 / 9)
w满足 wi 1
i 1
k
w1 w2 1
2. 吸收链 表示存在吸收状态（一旦到达就不会离 开的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经 有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。 有r个吸收状态的吸收链 I r r P 的转移概率阵标准形式 R
（非负，行和为 1）
马氏链的两个重要类型
a(n 1) a(n)P
1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态（如例1）。
正则链 N , P N 0
正则链 w, a(n) w(n ) w ~ 稳态概率
w满足 wP w
0.8 0.2 例1. P 0.7 0.3
0.8
0.18
0.65
0.25
1
0.02 1
2 3
0.1
a1 (n 1) a1 (n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1 (n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1 (n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
第八章
马氏链模型
马氏链模型——马尔可夫链模型
1、描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型 2、系统在每个时期所处的状态是随机的 3、 从一个时期到下时期的状态按一定概率转移 4、 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率 （已知现在，将来与过去无关（无后效性）） 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
马尔科夫链模型
所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不 断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所 研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离 散数值如日、月、季、年，其状况是有限的只有可到个 状态
马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，
由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其
3
特点是“无后效应性”
犏 犏 P 11 P 11 P 11 (k ) (0) 犏 S = S 犏 犏 犏 P 犏 11 P 11 P 11 臌
此式即为马尔可夫预测模型。
2、市场占有率预测
例 设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品， 共同供应1000家用户，各用户在各企业间自 由选购，但不超出这三家企业，也无新用户。 假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三 家企业拥有的客户分别是250户，300户， 450户，而11月份用户可能的流动情况如下：
从 甲 到 甲 230 乙 10 丙 10 ∑ 250
乙
丙 ∑
20
30 280
250
10 270
30
410 450
300
450 1000
问题： 假定该产品用户的流动按上述方向继 续变化下去（转移矩阵不变），预测12月 份三家企业市场用户各自的拥有量，并计 算经过一段时间后，三家企业在稳定状态 下该种产品的市场占有率。
2
12月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲： 1000? 0.306 306 户 乙： 1000? 0.246 246 户 丙： 1000? 0.448 448 户
现在假定该产品用户的流动情况按上述 方向继续变化下去，我们来求三个企业的该 种产品市场占有的稳定状态概率。 易证 P 为正规矩阵，设t = ( x, y,1- x - y) 令 tP = t ，则
概率统计学—马尔可夫链
由题知
p0 (0)
1 3
p1 (0)
2 3
1
P{X2 1, X3 1, X6 1}
pi
(0)
p(2) i1
p11
p(3) 11
i0
1
p11
p(3) 11
(
pi
(0)
p(2) i1
)
0.4128
i0
25
马尔可夫链在任何时刻 tn 的一维概率分布
pj (tn) P{X (tn) j}, j 0,1,2,
第十三章 马尔可夫链
马尔可夫过程是一类特殊的随机过程, 马尔可夫链 是离散状态的马尔可夫过程,
最初是由俄国数学家马尔可夫1896年 提出和研究的应用十分广泛,其应用领域涉 及计算机,通信,自动.控制,随机服务,可靠性, 生物学,经济,管理,教育,气象物理,化学等等.
1
例：一维随机游动 一个质点在直线上的五个位置:0, 1, 2, 3, 4做随机 游动.当它处在位置1或2或3时,以的1/3概率向左移 动一步而以2/3的概率向右移动一步;当它到达位置 0时,以概率1返回位置1;当它到达位置4时以概率1停 留在该位置上(称位置0为反射壁,称位置4为吸收壁).
p(2) 1k
pk1
18 100
1 10
82 100
9 10
0.756
P( Xn1 1, Xn2 1 | Xn 1) P( Xn1 1 | Xn 1)P( Xn2 1 | Xn 1, Xn1 1)
P( Xn1 1 | Xn 1)P( Xn2 1 | Xn1 1) p11 p11 0.81
0时,以概率1返回位置1;当它到达位置4时以概率1停
留在该位置上(称位置0为反射壁,称位置4为吸收壁).
人工智能开发中的马尔科夫链算法详解
人工智能开发中的马尔科夫链算法详解人工智能是当今世界科技领域的一项重要研究领域，它涉及到很多复杂的算法和模型。
其中，马尔科夫链算法在人工智能的开发中扮演着重要的角色。
马尔科夫链算法是一种基于概率的模型，可以用于预测和模拟复杂的系统行为。
本文将详细介绍马尔科夫链算法的原理和应用。
1. 马尔科夫链的基本原理马尔科夫链是一种状态转移模型，它描述了在给定系统中，从一个状态转移到下一个状态的概率。
这种模型的基本思想是，当前状态的转移只与前一个状态相关，与其他状态的转移无关。
这也被称为“无记忆性”。
马尔科夫链可以用数学表达式表示。
假设我们有一系列的状态，用S1，S2，S3，...，Sn表示，其中S1是初始状态。
我们还需要定义一个状态转移矩阵A，其中aij表示从状态Si转移到状态Sj的概率。
那么，对于任意的k，我们可以计算出状态在第k步的概率分布向量Pk，其中Pk=[pk1，pk2，...，pkn]，pkj表示在第k步系统处于状态Sj的概率。
马尔科夫链有一个重要的性质，即它具有收敛性。
当马尔科夫链的状态转移矩阵满足一定条件时，系统的状态分布将会趋于稳定。
这使得马尔科夫链可以用于预测和模拟系统的长期行为。
2. 马尔科夫链的应用马尔科夫链在人工智能领域有许多应用。
以下是其中几个典型的应用案例。
2.1 自然语言处理在自然语言处理中，马尔科夫链可以用来生成文本。
通过学习文本的统计规律，我们可以构建一个马尔科夫链模型，利用状态转移概率生成新的句子。
例如，我们可以通过学习一本小说的句子结构和词语频率，构建一个马尔科夫链模型，从而生成新的小说段落。
2.2 金融市场分析马尔科夫链可以用于预测金融市场的走势。
通过分析历史数据，我们可以构建一个马尔科夫链模型，根据当前市场状态的转移概率预测未来的市场走势。
这对于投资者来说是一个有用的参考。
2.3 图像识别在图像识别领域，马尔科夫链可以用来识别和跟踪图像中的对象。
通过学习图像的像素分布和颜色特征，我们可以构建一个马尔科夫链模型，从而实现对目标对象的识别和跟踪。
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Am x-1 x[m1],
其中 A m - 1 x i n 1 ,i . m 1 .a i . 1 ,, i m .x i . 1 ..x i m .,.x [ m 1 ] [ x 1 m 1 ,x .1 m 1 . ]..
如果不唯一，什么情况下唯一？
（b）保证唯一性条件下，如何给出（7）平稳概率分布向量
的求解算法？
（c） 如何给出（7）的敏感性（扰动）分析？
二、关于模型（7）平稳分布存在唯一性
1、存在性：文[Li, Ng, 2019]定理2.2 (p.21) 给出了Байду номын сангаас 不可约非负张量，方程（7）的存在性证明，即:
2、唯一性：文[Li, Ng, 2019]给出了如果概率转移张量P没有任何 限制，（7）的解不是唯一的（p. 24 Remark 1）。对方程（7）文 [Li,Ng, 2019]首次给出了唯一性的充分条件（见Theorems 2.3 and 2.4, p. 22--35），即
间S = {1, 2, . . . , m}内取值，x t 1 的概率
只和 x t 有关。一个Markov过程是由它的概
率转移矩阵 P( pij )刻画的，其中， p i j P o ( x t 1 r b i | x 0 i 0 , x 1 i 1 ,x . t j . ) P .o , ( x t 1 r b i | x t j ) (1. )
参数。这有助于我们理解基因网络和理解网络中不同 的基因的作用。然后提出基因干预的治疗或基因控制 策略。然而，网络的规模随基因数量的增长而呈指数 阶增长。一个PBN可以建立有关Markov模型，进而利 用该Markov链模型分析该网络; 在信用危机模型中的 应用中，信用等级在信用危机分析和建模中非常重要。 以往建立信用等级和他们之间的转移的常规的方法就 是Markov链模型及其概率转移矩阵。当今 人们面临的 问题越来越复杂，复杂的事物通常可以用高维数据来 刻画。
最近，高阶非负张量用于建立高阶Markov链模型， 这给研究Markov链带来新的具有挑战性的课题。
因此，对Markov过程及其应用的研究至今仍然是 数学及许多领域的研究热点，其研究在生物、医学、 计算机科学、数据分析和数学等各方面都要重要的理 论和实践意义。
1、 Markov链模型
给定一个Markov链过程x(t)，设它在 离散的时间段t = 1, 2, 3, . . .内在状态空
其中，P满足（5），且 x(t ) 0,
x n (t ) i1 i
1
则平稳概率分布向量可以通过如下模型得到：
n
xPm x -1(
pik2..k.mxk2..xk.m)in 1 （7）
k2,.k .m .,1
其中
x
0,
x n i1 i
1
对模型（7）我们有如下需要解决的问题：
（a）模型（7）的解向量，即平稳分布x是存在吗？唯一吗？
这时，P 是列和为1的非负矩阵。
对某些数据序列进行分析时， 一阶Markov模型不能满足进一 步的分析要求，因为在时刻t的概率与它前面的n 个时刻有关， 即需要求如下概率:
P o ( r x tb k 0 |x t 1 k 1 ,,.x t . n .k n ,).
Raftery于1985年给出了估计方法：
而Z-特征值和特征向量定义:
Axm1- x,
x ( 0 ) C n ,x 1 1 :Z 1 eig;ex n 2 1 p : Z a 2 e ir ige
(see Chang and Zhang, manuscript, 2019).文 [Ng,Qi, Zhou, SIMAX, 2009]指出，对某些数据系列建 立高阶Markov模型时通常可以计算如下高阶转移概率：
高阶马尔科夫链的张量模型
黎稳 华南师范大学数学科学学院
广州，510631
Joint work with Prof. Michael Ng and LB Cui
提纲
引言 关于张量模型平稳分布存在与唯一性 求解张量模型平稳分布的迭代法 平稳分布的扰动分析 数值例子
一、引言：
Markov链的研究有非常悠久的历史，在建模以及 分析实系统时，Markov链的应用非常广泛，例如对制 造系统，随机自动化网络（SAMs），排队系统，生物 信息工程，数据序列、网页排序以及其他和计算有关的 应用和网络决策分析等等, Markov链模型能作出很好 的预测和优化计划等作用。
非负张量（5）来计算有关概率分布向量。
对计算高阶张量的在时刻t概率分布 x ( t )
[Qi，2019]等给出了如下模型:
x(t ) P(-t1 x.)x .(t. m 1)(
p i2 k.k .m .xk (2 t 1).x .k (m t. m 1)in 1,（6）
k2,.k.m . 1 ,
0Por(bxt k1|xt1k2,,..xt.n,km)pk1,.k.m .,1,
n
pk1,.k.m .,1, 1k2,.k.m . ,n
k11
（5）
在模型（2）和（4）中， pk1 ,...,km 的值分别由某些 p kik j
的线性组合近似得到。由非负张量的关于H-特征值的 Perron-Frobenius定理知道[N-Q-Z，09]可以直接利用
在某些应用研究中，例如在生物信息学中，不同基 因之间的相互作用构成了复杂的细胞活动。对作用于细 胞、组织和器官的基因共同性研究在生物信息学中是一 个重要的课题。代替独立看待单细胞，全局的或历史性 的观点在理解细胞作用和控制大量正常功能运作的机制 中显得越来越重要。通过概率布尔网络(PBN)建立基 因调控网络模型，利用实际的数据推断网络结构和
n
P o ( r x tb k 0 |x t 1 k 1 ,,.x t .n .k n ,) i 1iq k 0 k i.2 ( )
2、高阶非负张量模型
对高阶Markov模型的分析也可以利用高 阶非负张量的有关理论，所谓m阶n维非负 张量指 A ( a i 1 ,. i m .) .,,a i 1 ,. i m . .0 ,,1 i 1 ,i .m .n .,