信息论基础第4章连续信源与连续信道[80页]
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信息论基础与应用(第2版)
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2.6.1连续信源的相对熵 2.6.2连续信源最大熵定理 2.6.3连续信源的互信息
2.7熵计算及熵应用
2.7.1熵计算 2.7.2熵信息应用
3.1信道分类和参数 表示
3.2离散单符号信道 及其容量
3.3离散序列信道及 其容量
3.4连续信道及其容 量
3.5信道容量计 算及MATLAB程
序实现
习题3
3.2离散单符号信道及其容量
3.2.1信道容量定义 3.2.2离散单符号无噪信道及其容量 3.2.3离散单符号有噪信道及其容量
3.3离散序列信道及其容量
3.3.1并联信道 3.3.2和信道 3.3.3扩展信道
3.4连续信道及其容量
3.4.1时间离散信道及其容量 3.4.2时间连续信道及其容量
3.5信道容量计算及MATLAB程序实现
5.3离散信道编码定理
5.3.1有噪信道编码定理 5.3.2有噪信道编码逆定理
5.4信道编码方法
5.4.1线性分组码 5.4.2循环码 5.4.3卷积码
5.5信道编码MATLAB计算实现
5.5.1 RS码 5.5.2 Turbo码 5.5.3 LDPC码 5.5.4 Polar码
6.1相关信源及可达 速率区域
6.2多址接入信道及 其容量区域
6.3广播信道及其容 量区域
习题6
6.2多址接入信道及其容量区域
6.2.1离散二址接入信道及其容量区域 6.2.2高斯加性二址接入信道及其容量区域 6.2.3离散多址接入信道及其容量区域
连续信源和信道
b
a q(x)log
1 q(x)
dx
log( b
b
a)a q(x)dx
b
a q(x)log
1 q( x)(b
a)
dx
log
b
a q(x)
1 q(x)(b
a)
dx
log 1
0
（2） 平均功率受限时，限制随机变量x 的平均功
率或方差，即 2 p(x)(x m)2 dx
定理：若连续随机变量的方差一定，则x服从正态 分布时的微分熵最大，
1 N
N2
xi
i 1
Ps
定理：平均功率受限的时间离散、恒参、可加高斯
噪声信道的容量为： （还是单个随机变量的）
C
1 2
log( 1
Ps
2
)
Ps 是输入平均功率的上限， 2 是均值为0的高斯噪
声的方差。最佳输入分布是均值为0、方差为 Ps 的高
p(x | y)x pX (x)x
pXY (xy)log
p(x | y) dxdy h(X ) h(X p(x)
|Y)
I (X ;Y | Z)
pXYZ (xyz) log
pXY|Z (xy | z) pX|Z (x | z) pY|Z ( y |
dxdydz z)
I(XY;Z)
(Y EY )2 ] DX DY E( X EX )(Y EY ) DX DY E( X EX )E(Y EY ) DX DY
独立的
如果对输入功率不加限制，互信息可能任意大。 所以我们研究平均功率受限的可加噪声信道。也就是
2
xi
xN xi2 p(x)dx xi xi2 p(xi )dxi ,
(完整版)信息论基础与编码课后题答案(第三章)
3-1 设有一离散无记忆信源，其概率空间为12()0.60.4X x x P x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，信源发出符号通过一干扰信道，接收符号为12{,}Y y y =，信道传递矩阵为51661344P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求： （1） 信源X 中事件1x 和2x 分别含有的自信息量；（2） 收到消息j y （j ＝1，2）后，获得的关于i x （i ＝1，2）的信息量； （3） 信源X 和信宿Y 的信息熵；（4） 信道疑义度(/)H X Y 和噪声熵(/)H Y X ； （5） 接收到消息Y 后获得的平均互信息量(;)I X Y 。
解：（1）12()0.737,() 1.322I x bit I x bit ==（2）11(;)0.474I x y bit =，12(;) 1.263I x y bit =-，21(;) 1.263I x y bit =-，22(;)0.907I x y bit =（3）()(0.6,0.4)0.971/H X H bit symbol ==()(0.6,0.4)0.971/H Y H bit symbol ==（4）()(0.5,0.1,0.1,0.3) 1.685/H XY H bit symbol ==(/) 1.6850.9710.714/H X Y bit symbol =-= (/)0.714/H Y X bit symbol =（5）(;)0.9710.7140.257/I X Y bit symbol =-=3-2 设有扰离散信道的输入端是以等概率出现的A 、B 、C 、D 四个字母。
该信道的正确传输概率为0.5，错误传输概率平均分布在其他三个字母上。
验证在该信道上每个字母传输的平均信息量为0.21比特。
证明：信道传输矩阵为：11112666111162661111662611116662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，信源信宿概率分布为：1111()(){,,,}4444P X P Y ==， H(Y/X)=1.79（bit/符号），I(X;Y)=H(Y)- H(Y/X)=2-1.79=0.21（bit/符号）3-3 已知信源X 包含两种消息：12,x x ，且12()() 1/2P x P x ==，信道是有扰的，信宿收到的消息集合Y 包含12,y y 。
信息论基础2015-第四章
K 1
K , J k 0 j 0,1,, J 1
对称离散无记忆信道（II）
若一个信道既关于输入对称，又关于输出对称，即P中每一行都是第 一行的一个置换，每一列都是第一列的一个置换，则该信道是对称的 对一个信道的转移概率矩阵P按列划分，得到若干子信道，若划分出 的所有子信道均是对称的，则称该信道是准对称的 0.8 0.1 0.1 0.1 1 0.1 0.8 0 1 2
K 1 J ({Qk }) I ( X l;Y ) I ( X k ;Y ) Ql Qk Qk l 0 K 1 J 1 p( j | k ) I ( X k ;Y ) Ql p( j | l ) K 1 l 0 j 0 Qi p( j | i ) i 0 I ( X k ;Y ) (1 )
K–1
二进制删除信道（BEC）
1–p–q 0 q E q
0 Q0 = Q1 = 0.5
p p
1
C I X 0; Y I X 1; Y
1 p q log 1 p q q p q log p log 1 q / 2 1 q / 2 q
幅度离散，时间离散信道；
幅度连续，时间离散信道；
幅度连续，时间连续信道； 幅度离散，时间连续信道。
按输入/输出之间的记忆性
有记忆信道 无记忆信道
按其输入/输出信号的关系的确定性：
确定信道
随机信道
信道的抽象模型
输入/输出统计关系 输入量X （随机过程） 信道 输出量Y （随机过程）
H (Y ) H (Y1Y2 Yn ) H (Y1 ) H (Y2 | Y1 ) H (Y3 | Y1Y2 ) H (Yn | Y1Y2 Yn1 )
信息论基础第4章连续信源与连续信道
为极值时的 p(x) 。限制条件为
∞
p(x) dx 1
∞
∞
x2 p(x) dx P
∞
限平均功率最大熵定理 若连续信源输出信号的平均功率为 P，则其输出信号幅度的概率密度是高斯分布 X ~ N(0, P) 时，信
源具有最大熵，其值为 1 log 2πeP 。 2
采用相似的思路，可以证明：
若 N 维连续随机矢量输出幅度受限，只有各随机分
YN X N nN
由平均互信息性质可得：
N
N
I (X; Y)
I ( Xi ;Yi )
log
1
Pi
/
2 i
i 1
i 1
N
则：
C max I (X; Y) log
p(x)
i 1
1 Pi
/
2 i
比特/N
个自由度
式中，
2 i
是第
i
个单元时刻高斯噪声的方差。因此当且仅当输入
随机矢量 X 中各分量统计独立，且是均值为零、方差为 Pi 的高斯
熵的引入：观察离散随机变量
n
n
H ( X ) p(xi ) log p(xi ) pi log pi
i 1
i 1
连续随机变量可以看作是离散随机变量的极限（量 化间隔趋于0），故可采用离散随机变量来逼近。
下面，将采用这一观点讨论连续随机变量的信息 熵与信息量。
1）类比概率 Pi 与 概率密度p(u)：
4.4 连续信源的最大熵
第 2 章我们讨论了离散信源熵的极值性。对于离散信 源，在所有的消息独立且等概时，信源熵最大。
下面将讨论连续信源最大熵的问题，即当连续信源存 在最大熵时，其概率密度应满足什么条件？
∞
p(x) dx 1
∞
∞
x2 p(x) dx P
∞
限平均功率最大熵定理 若连续信源输出信号的平均功率为 P，则其输出信号幅度的概率密度是高斯分布 X ~ N(0, P) 时，信
源具有最大熵，其值为 1 log 2πeP 。 2
采用相似的思路，可以证明：
若 N 维连续随机矢量输出幅度受限，只有各随机分
YN X N nN
由平均互信息性质可得：
N
N
I (X; Y)
I ( Xi ;Yi )
log
1
Pi
/
2 i
i 1
i 1
N
则：
C max I (X; Y) log
p(x)
i 1
1 Pi
/
2 i
比特/N
个自由度
式中，
2 i
是第
i
个单元时刻高斯噪声的方差。因此当且仅当输入
随机矢量 X 中各分量统计独立，且是均值为零、方差为 Pi 的高斯
熵的引入：观察离散随机变量
n
n
H ( X ) p(xi ) log p(xi ) pi log pi
i 1
i 1
连续随机变量可以看作是离散随机变量的极限（量 化间隔趋于0），故可采用离散随机变量来逼近。
下面，将采用这一观点讨论连续随机变量的信息 熵与信息量。
1）类比概率 Pi 与 概率密度p(u)：
4.4 连续信源的最大熵
第 2 章我们讨论了离散信源熵的极值性。对于离散信 源，在所有的消息独立且等概时，信源熵最大。
下面将讨论连续信源最大熵的问题，即当连续信源存 在最大熵时，其概率密度应满足什么条件？
信息论课件CHAPTER4
由于
h( X
)
h( X
/Y
)
p( xy) log
p( x / y)dxdy p( x)
p( xy)(1
p( x) )dxdy p(x | y)
0
仅当X、Y独立时等式成立。
4.1.5 连续随机变量集合差熵的性质(续) ——连续熵与离散熵的类似性
3. 可加性 设N维高斯随机矢量集合 XΝ X1X2 X N ,很容易证明
4.1.1 连续随机变量的离散化
一个连续随机变量的离散化过程大致如下：
若给定连续随机变量集合X 的概率分布F(x) P{X x} 或 概率密度p(x) ；再给定一个由实数集合到有限或可数集 合的划分 P ，使得
P {Si, i 1, 2, }，其中Si 表示离散区间，i Si 为实数集合，
主要是高斯信源的差熵；然后介绍连续信 源最大熵定理；最后介绍连续集合之间的 平均互信息、离散集合与连续集合的平均 互信息。
§4.1 连续随机变量集合的熵
本节主要内容：
1.连续随机变量的离散化 2.连续随机变量集的熵 3.连续随机变量集的条件熵 4.连续随机变量集的联合熵 5.连续随机变量集合差熵的性质 6.连续随机变量集合的信息散度
4.1.5 连续随机变量集合差熵的性质 ——连续熵与离散熵的类似性
1. 连续熵与离散熵计算表达式类似。通过比较可见，由计算 离散熵到计算连续熵，不过是将离散概率变成概率密度， 将离散求和变成积分。
2. 熵的不增性。连续熵同样满足熵的不增原理，即
h( X ) h( X / Y )
(4.1.15)
i
p(xi )x log p(xi ) p(xi )x log x （4.1.5）
信息论基础教学课件ppt信息论基础概述信息论基础概论
33
§1.2.1 通信系统模型
例如，奇偶纠错 将信源编码输出的每个码组的尾补一个1或0 当传输发生奇数差错，打乱了“1”数目的奇偶性，就 可以检测出错误。
34
§1.2.1 通信系统模型
(a) 无检错
(b) 可检错 (奇校验) (c) 可纠错(纠一个错)
图1.4 增加冗余符号增加可靠性示意图
35
§1.2.1 通信系统模型
信源的消息中所包含的信息量 以及信息如何量度
核心 问题
29
§1.2.1 通信系统模型
编码器(Encoder)
编码器的功能是将消息变成适合于信道传输的信号 编码器包括：
信源编码器(source encoder) 信道编码器(channel encoder) 调制器(modulator)
信源编码器
信道编码器
调制器
功能：将编码器的输出符号变成适合信道传输的信号 目的：提高传输效率 信道编码符号不能直接通过信道输出，要将编码器的输 出符号变成适合信道传输的信号，例如，0、1符号变成 两个电平，为远距离传输，还需载波调制，例如，ASK， FSK，PSK等。
36
§1.2.1 通信系统模型
信道(channel)
13
§1.1.2 信息的基本概念
1949年，Weaver在《通信的数学》中解释香农的工 作时，把通信问题分成三个层次： 第一层：通信符号如何精确传输？（技术问题） 第二层：传输的符号如何精确携带所需要的含义？（语义问题） 第三层：所接收的含义如何以所需要的方式有效地影响行为？ （效用问题）
14
§1.1.2 信息的基本概念
§1.1.2 信息的基本概念
信息的三个基本层次：
语法(Syntactic)信息 语义(Semantic) 信息 语用(Pragmatic)信息
§1.2.1 通信系统模型
例如，奇偶纠错 将信源编码输出的每个码组的尾补一个1或0 当传输发生奇数差错，打乱了“1”数目的奇偶性，就 可以检测出错误。
34
§1.2.1 通信系统模型
(a) 无检错
(b) 可检错 (奇校验) (c) 可纠错(纠一个错)
图1.4 增加冗余符号增加可靠性示意图
35
§1.2.1 通信系统模型
信源的消息中所包含的信息量 以及信息如何量度
核心 问题
29
§1.2.1 通信系统模型
编码器(Encoder)
编码器的功能是将消息变成适合于信道传输的信号 编码器包括：
信源编码器(source encoder) 信道编码器(channel encoder) 调制器(modulator)
信源编码器
信道编码器
调制器
功能：将编码器的输出符号变成适合信道传输的信号 目的：提高传输效率 信道编码符号不能直接通过信道输出，要将编码器的输 出符号变成适合信道传输的信号，例如，0、1符号变成 两个电平，为远距离传输，还需载波调制，例如，ASK， FSK，PSK等。
36
§1.2.1 通信系统模型
信道(channel)
13
§1.1.2 信息的基本概念
1949年，Weaver在《通信的数学》中解释香农的工 作时，把通信问题分成三个层次： 第一层：通信符号如何精确传输？（技术问题） 第二层：传输的符号如何精确携带所需要的含义？（语义问题） 第三层：所接收的含义如何以所需要的方式有效地影响行为？ （效用问题）
14
§1.1.2 信息的基本概念
§1.1.2 信息的基本概念
信息的三个基本层次：
语法(Syntactic)信息 语义(Semantic) 信息 语用(Pragmatic)信息
(信息论、编码及应用)第4章连续信源与连续信道
应用
连续信源的编码定理是信息论中最重 要的定理之一，它为信源编码提供了 理论依据和指导，广泛应用于数据压 缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、 视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些 特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤 波、神经网络等，对信源和信道 进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编 码、增量编码等，对信源进行编 码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前 提下，优先考虑能效，通 过优化信源和信道的参数， 降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE） 等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保 证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通 过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证 图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相 关参数，如信源的压缩比、信道 的调制方式等，以实现匹配。
连续信源的编码定理是信息论中最重 要的定理之一，它为信源编码提供了 理论依据和指导，广泛应用于数据压 缩、图像处理等领域。
02
连续信道
定义与特性
定义
连续信道是一种能够传输连续信号的通信通道，例如音频、 视频信号等。
特性
连续信道具有带宽限制、噪声干扰、信号衰减等特性，这些 特性会影响信号传输的质量和可靠性。
利用统计学习方法，如自适应滤 波、神经网络等，对信源和信道 进行学习和优化，实现动态匹配。
编码技术
采用适当的编码技术，如差分编 码、增量编码等，对信源进行编 码，使其更适应信道的传输特性。
匹配的优化策略
01
02
03
能效优先
在保证信息传输质量的前 提下，优先考虑能效，通 过优化信源和信道的参数， 降低能耗。
例如，在移动通信网络中，语音信号通常采用码分多址（CDMA）或长期演进（LTE） 等技术进行传输。这些技术能够提供较高的数据传输速率和较低的误码率，从而保 证语音信号的清晰度和可懂度。
图像信号传
图像信号传输是连续信源与连续信道的另一个重要应用领域。在电视广播、视频会议和在线教育等应用中，图像信号需要通 过连续信道进行传输。由于图像信号的数据量较大，因此需要采用高效的压缩编码技术来减小传输数据量，同时还需要保证 图像质量。
输速率，同时保证信息的可靠传输。
03
匹配理论的发展历程
随着信息论的不断发展，匹配理论也在不断完善，从早期的经典匹配理
论到现代的统计匹配理论，为连续信源与连续信道的匹配提供了更精确
的指导。
匹配的实现方法
参数调整
根据信源和信道的特性，调整相 关参数，如信源的压缩比、信道 的调制方式等，以实现匹配。
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熵的引入：观察离散随机变量
n
n
H ( X ) p(xi ) log p(xi ) pi log pi
i 1
i 1
连续随机变量可以看作是离散随机变量的极限（量 化间隔趋于0），故可采用离散随机变量来逼近。
下面，将采用这一观点讨论连续随机变量的信息 熵与信息量。
1）类比概率 Pi 与 概率密度p(u)：
4.4 连续信源的最大熵
第 2 章我们讨论了离散信源熵的极值性。对于离散信 源，在所有的消息独立且等概时，信源熵最大。
下面将讨论连续信源最大熵的问题，即当连续信源存 在最大熵时，其概率密度应满足什么条件？
熵功率
如果 h 为这个信源的熵，则根据熵功率的定义，得
h
1 2
log e
2eP
（奈特/自由度）
一维连续信源的概率空间为
X p(x)
(a, b)
p(x)
或
R
p(x)
并满足
b
p(x)dx 1
或
p(x)dx 1
a
R
连续信源的相对熵（简称为连续信源的熵，又称差熵）表示为
h(X ) p(x) log p(x)dx （比特/自由度） R
多维连续信源的熵
波形信源的熵率
《信息论与编码原理》
X pX x1x2
xN J log pX x1x2
xN
J
1 J
dx
X pX x1x2 xN log pX x1x2 xN J dx
h(X) E log J
可见，通过信息处理后连续信源的相对熵发生了变化。
【例】 已知一个在 (a, b) 区间内均匀分布的连续信源通过一个
类比概率 Pi
设连续随机变量 X 的概率密度函数 p(x) 如图所示。把连续取值范围(a,b)均匀
分割成 n 个等宽的小区间，量化间隔为 (b a) / n 。X 处于第 i 区间的概率为
Pi Pa i 1 x a i
ai
p
ai1
x dx p
xi
i 1,2,,n
连续随机变量的概率空间可以表示为：
《信息论与编码原理》
4.1 连续信源的分类和统计特性
连续信源的分类
如果信源输出消息符号取值连续，此时的信源就是连续信 源。连续信源分为两种，一种是在离散时间发出的取值连 续符号的信源，包括单符号连续信源和多符号连续信源； 另一种是在连续时间发出的取值连续符号的信源，通常称 为波形信源或模拟信源。
连续信源的统计特性
两种重要的连续随机变量
两种重要的连续随机变量
《信息论与编码原理》
4.2 连续随机变量的信息度量
一、连续随机变量的熵 连续随机变量的概率空间可以表示为
X (a,b)
p(x)
p(
x)
或
R
p(
x)
并满足
b p(x)dx 1
或
p(x)dx 1
a
R
其中 (a,b) 是连续随机变量 X 的取值区间，R 表示实 数集 (∞,∞) ， p(x) 是随机变量 X 的概率密度函数。
X p(x)
(a, b)
p(x)
或
R
p(x)
连续随机变量 X 被量化成离散随机变量 X n ，概率
空间为
Xn P(x)
x1 p( x1
)
x2 p(x2 )
xn
p(
xn
)
连续随机变量的熵具有的性质
【例】 求均匀分布的连续随机变量的相对熵，已知概率密 度函数为
1 p(x) b a
2）由离散信源熵的定义得到连续信源熵的定义
对连续随机变量 X 进行量化后可用离散随机变量描
述。所谓量化就是将取值连续的信号用预先规定的有限个
量化值来表示的过程。量化间隔 越小，则所得的离散变
量和连续变量越接近，也就是说，连续随机变量可以认为 是离散随机变量的极限情况，我们可以从这个角度来讨论 连续随机变量的熵。
信号。加性噪声独立于有用信号，却始终干扰有用信号。
【例】 有两个连续随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 为
p(xy)
1
，
(a2 a1 )(b2 b1 )
x [a1, a2 ] ， y [b1,b2 ]
计算 h(X | Y) , h( XY ) 和 I (X ;Y ) 。
《信息论与编码原理》
4.3 连续信源的信息度量
一维连续信源的熵
a xb
0 x b, x a
【例】 高斯随机变量 X ~ N , 2 ，即概率密度函数为
1
(x )2
p(x)
2 2
exp
2 2
该随机变量的差熵?
连续随机变量的平均互信息
连续随机变量的平均互信息的定义 平均互信息和其它熵之间的关系 连续随机变量的平均互信息与离散连
续随机变量的平均互信息的区别
则熵功率 P 为
P 1 e2h
2e
【例】一个平均功率为 3W 的非高斯信源的熵
为 h(X ) 1 log 4 e （比特/自由度），计算该信
2
源的熵功率和剩余度。
《信息论与编码原理》
4.5 连续信源熵的变换
连续信源的差熵如何变化？
h(Y) h(Y1Y2 Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) Y p(y) log p(y)dy
放大倍数为 k 的放大器，比较变换前后连续信源概率分布和相对熵
的变化。
《信息论与编码原理》
4.6 波形信道的分类和处理方法
当信道的输入和输出都是随机过程xt 和yt时，
这个信道称之为波形信道。 在实际模拟通信系统中，信道都是波形信道。研究波
形信道就要研究噪声。在通信系统模型中，我们把来自通 信系统各部分的噪声都集中在一起，并认为均通过信道加 入。
一、波形信道的分类
1、乘性信道 信道中噪声对信号的干扰作用表现为是与信号相乘的关系，乘性 噪声随信号存在而存在，消失而消失。此时的信道称为乘性信道。 2、加性信道 信道中噪声对信号的干扰作用表现为是与信号相加的关系，则此
信道称为加性信道，噪声称为加性噪声，即{y(t)} {x(t)}{n(t)} ， 其中{x(t)}、{y(t)} 和{n(t)}分别是信道的输入、输出和噪声的随机
《信息论与编码原理》
第4章 连续信源与连续信道
本章内容
4.1 连续信源的分类和统计特性 4.2 连续随机变量的信息度量 4.3 连续信源的信息度量 4.4 连续信源的最大熵 4.5 连续信源熵的变换 4.6 连续信道和波形信道的分类 4.7 连续信道的平均互信息 4.8 连续信道的信道容量 4.9 波形信道的信道容量