第八章 连续信源和波形信道 - 2013
波形信源和波形信道
电子信息工程学院
信息论
4 连续信道和波形信道的分类
若多维连续信道的传递概率密度函数满足
p( y | x ) p( yi | xi )
i 1 N
则称此信道为连续无记忆信道。 即：若连续信道在任一时刻输出的变量只与对应时刻的输入变 量有关，与以前时刻的输入，输出变量无关，也与以后的输入变量 无关，则此信道为无记忆连续信道。 连续信道任何时刻的输出变量与其他任何时刻的输入，输出变量都 有关。则此信道称为连续有记忆信道。
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4 连续信道和波形信道的分类
输入X 信道
+
噪声n
输出Y
p( x)dx
因此，在加性信道中，Y=X+n ，条件熵为
h( X | Y ) p( xy ) log( y | x)dxdy
R
p( y | x) log p( y | x) dy
XN
Y Y1Y2
波形信道
YN
P( y1 y2
yN | x1 x2
xN )
图4.7 波形信道转化成多维连续信道
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4 连续信道和波形信道的分类
按噪声统计特性分类 1.高斯信道 信道中的噪声是高斯噪声。高斯噪声是平稳遍历的随机过程，其瞬时 值的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）。 一维概率密度函数为 1 ( x m)2 p ( x) exp( ) 2 2 2 2
0 n
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4 连续信道和波形信道的分类
3.高斯白噪声信道
一般情况把既服从高斯分布而功率谱密度又是均匀的噪声称为高斯 白噪声。关于低频限带高斯白噪声有一个很重要的性质，即低频限带高 斯白噪声经过取样函数取样后可分解成N（＝2FT）个统计独立的高斯随 机变量（方差为 N0 / 2 ，均值也为零）。 低频限带高斯白噪声可以看成是无限带宽的高斯白噪声通过一 个理想低通滤波器后所得。如果理想低通滤波器其带宽为F 赫兹，那么 它的传递函数的频率响应为 1 2 F 2 F K ( ) 其他 0
《信息论与编码技术》复习提纲复习题
《信息论与编码技术》复习提纲复习题纲第0章绪论题纲：I.什么是信息？II.什么是信息论？III.什么是信息的通信模型？IV.什么是信息的测度？V.自信息量的定义、含义、性质需掌握的问题：1.信息的定义是什么？（广义信息、狭义信息——Shannon信息、概率信息）2.Shannon信息论中信息的三要素是什么？3.通信系统模型图是什么？每一部分的作用的是什么？4.什么是信息测度？5.什么是样本空间、概率空间、先验概率、自信息、后验概率、互信息？6.自信息的大小如何计算？单位是什么？含义是什么（是对什么量的度量）？第1章信息论基础㈠《离散信源》题纲：I.信源的定义、分类II.离散信源的数学模型III.熵的定义、含义、性质，联合熵、条件熵IV.离散无记忆信源的特性、熵V.离散有记忆信源的熵、平均符号熵、极限熵VI.马尔科夫信源的定义、状态转移图VII.信源的相对信息率和冗余度需掌握的问题：1.信源的定义、分类是什么？2.离散信源的数学模型是什么？3.信息熵的表达式是什么？信息熵的单位是什么？信息熵的含义是什么？信息熵的性质是什么？4.单符号离散信源最大熵是多少？信源概率如何分布时能达到？5.信源的码率和信息率是什么，如何计算？6.什么是离散无记忆信源？什么是离散有记忆信源？7.离散无记忆信源的数学模型如何描述？信息熵、平均符号熵如何计算？8.离散有记忆多符号离散平稳信源的平均符号熵、极限熵、条件熵（N阶熵）的计算、关系和性质是什么？9.什么是马尔科夫信源？马尔科夫信源的数学模型是什么？马尔科夫信源满足的2个条件是什么？10.马尔科夫信源的状态、状态转移是什么？如何绘制马尔科夫信源状态转移图？11.马尔科夫信源的稳态概率、稳态符号概率、稳态信息熵如何计算？12.信源的相对信息率和冗余度是什么？如何计算？㈡《离散信道》题纲：I.信道的数学模型及分类II.典型离散信道的数学模型III.先验熵和后验熵IV.互信息的定义、性质V.平均互信息的定义、含义、性质、维拉图VI.信道容量的定义VII.特殊离散信道的信道容量需掌握的问题：1.信道的定义是什么？信道如何分类？信道的数学模型是什么？2.二元对称信道和二元删除信道的信道传输概率矩阵是什么？3.对称信道的信道传输概率矩阵有什么特点？4.根据信道的转移特性图，写出信道传输概率矩阵。
连续信源和信道
b
a q(x)log
1 q(x)
dx
log( b
b
a)a q(x)dx
b
a q(x)log
1 q( x)(b
a)
dx
log
b
a q(x)
1 q(x)(b
a)
dx
log 1
0
（2） 平均功率受限时，限制随机变量x 的平均功
率或方差，即 2 p(x)(x m)2 dx
定理：若连续随机变量的方差一定，则x服从正态 分布时的微分熵最大，
1 N
N2
xi
i 1
Ps
定理：平均功率受限的时间离散、恒参、可加高斯
噪声信道的容量为： （还是单个随机变量的）
C
1 2
log( 1
Ps
2
)
Ps 是输入平均功率的上限， 2 是均值为0的高斯噪
声的方差。最佳输入分布是均值为0、方差为 Ps 的高
p(x | y)x pX (x)x
pXY (xy)log
p(x | y) dxdy h(X ) h(X p(x)
|Y)
I (X ;Y | Z)
pXYZ (xyz) log
pXY|Z (xy | z) pX|Z (x | z) pY|Z ( y |
dxdydz z)
I(XY;Z)
(Y EY )2 ] DX DY E( X EX )(Y EY ) DX DY E( X EX )E(Y EY ) DX DY
独立的
如果对输入功率不加限制，互信息可能任意大。 所以我们研究平均功率受限的可加噪声信道。也就是
2
xi
xN xi2 p(x)dx xi xi2 p(xi )dxi ,
信息论第4章(波形信源和波形信道)ppt课件
4.1波形信源的统计特性和离散化
随机变量 X
随机矢量X(X1X2 XN)
随机过程{ x ( t ) }
05-06学年上 3 .
表4.1
消息(信号) 消息(信号)取 取值的集合 值时刻的集合
信源种类
离散
离散
离散信源(Discrete source)/ 数字信源(Digital source)
假定连续信源 X 的概率密度 函数p(x)如右 图所示。我们 把取值区间分 割成 n 个等宽 的小区间。X 处于第 i 区间 的概率为
05-06学年上
Pi Pa(i1)xai
ai
7.
a(i1)p(x)dxp(xi)
这样，连续变量 X 就可用取值为 xi 的离 散变量 Xn 来近似。连续信源 X 被量化成 离散信源。
lo2gae
05-06学年上 18 .
4.3具有最大熵的连续信源
离散信源的最大熵问题：离散信源的各 符号为等概率分布时，信息熵有最大值 （最大离散熵定理）。
H(p1, p2,
,
pr
)
H1r,
1, r
r
条件是 pi 1 i1
,1rlogr
05-06学年上 19 .
在什么条件下，连续信源的熵最大？
最大熵为：
N
h(X)log (bi ai)比特 /自由度 i1
05-06学年上 23 .
平均功率受限条件下信源的最大熵 （方差受限）
定理：若一个信源输出信号的平均功率被 限定为P，则其输出信号幅度的概率密度 分布是高斯分布时，信源具有最大熵。
最大熵为：
h (X ) 1 lo 2 e gP 或 h (X ) 1 lo 2 e g 2
第4章波形信源和波形信道(ok)
可用变量的概率密度函数 p(x来) 描述。此时，连续信源
的数学模型为：
X p( x)
（ pa(,xb)）或
R p( x)
并满足 b p(x)dx 1或 p(x)dx 1
a
R
其中，R是全实数集，是变量X的取值范围。
4.1 连续信源及波形信源的信息测度
连续信源熵：
H
(
X
)
lim
n
H
(
X
C WT log(1 Ps / 2W )(比特 / N自由度) N0 / 2
WT log(1 Ps )(比特 / N自由度) N 0W
4.3 连续信道和波形信道的信道容量
2.高斯加性波形信道的信道容量
要达到这个信道容量要求输入N维随机序列X中每一分量
Xi都是均值为零，方差为Ps，彼此统计独立的高斯变量。
第4章 波形信源和波形信道
4.1 连续信源及波形信源的信息测度 4.2 连续信源熵的性质及最大熵定理 4.3 连续信道和波形信道的信道容量
4.1 连续信源及波形信源的信息测度
实际某些信源的输出常常是时间和取值都是连续的消息。
例如语音信号、电视信号。这样的信源称为随机波形信源。 1、基本概念 模拟信源：信源的输出是时间和取值都连续的消息。即输出
高斯白噪声加性信道的单位时间的信道容量
Ct
lim
T
C T
W
log(1
Ps N0W
)(比特 / 秒)
其中Ps是信号的平均功率， NoW为高斯白噪声在带宽W 内的平均功率。可见，信道容量与信噪功率比和带宽有关。
则当输出信号的概率密度是均匀分布时，信源具有 最大熵。其值等于log(b-a)。
4.2 连续信源熵的性质及最大熵定理
普通高等教育 电子信息工程专业教学大纲合集 1041812信息论与编码课程教学大纲
《信息论与编码》教学大纲课程编码：1041812课程性质：专业课程适用专业：电子信息工程学分：2学分学时：36学时开设学期：第5学期一、教学目的本课程的教学目的是使学生掌握信息处理的理论基础和各种编码原理、手段与方法。
培养学生能够适应数字通信、信息处理、信息安全、计算机信息管理等编码工作的要求。
使学生掌握信息理论的基本概念和信息分析方法及主要结论，为今后从事信息领域的科研及工程工作的进一步研究打下坚实的理论基础。
二、教学重点与难点1．重点：信息以及失真的测度、信道及信道容量、无失真信源编码方法以及有噪信道编码方法。
2．难点： 典型序列以及由此推导出的香农三大编码定理及其逆定理。
三、教学方法建议讲授法：教师讲授信息论与编码的基本知识和研究现状。
讨论法：师生共同讨论信息论与编码中研究的问题。
探究法：师生共同探究信息论与编码中前沿问题。
四、教学内容第一章信息理论基础（4学时）教学要求：了解信息论研究对象、目的、发展简史与现状；了解通信系统的模型以及通信系统各部分的主要组成以及作用。
1．信息论的形成和发展2．通信系统的模型3．信息论研究的内容第二章离散信源及其测度（8学时）教学要求：了解信源的相关性和剩余度的概念，消息、信息、信号的概念，信息，信号，消息，数据的关系及其联系。
掌握信源的数学模型、离散无记忆信源、离散平稳信源和马尔可夫信源基本理论。
1．信源的数学模型及分类2．信息熵及其基本性质3．离散平稳信源4．马尔可夫信源5．信息剩余度第三章离散信道及其信道容量（8学时）教学要求：了解一般信道容量的计算方法。
掌握信道的数学模型，离散无记忆信道以及一些特殊信道容量的计算方法。
1．信道数学模型及分类2．平均互信息及特点3．信道容量及一般计算方法4．离散无记忆扩展信道及其容量第四章无失真信源编码（8学时）教学要求：了解其它一些无失真信源编码方法；理解渐近等分割性及ε典型序列，算术编码方法及具体实现方案；掌握编码的定义、码的分类、定长编码定理、变长编码定理、最佳编码方法、香农编码方法、费诺编码方法、哈夫曼编码方法。
(信息论)第8章连续信源和波形信道
8.3 连续信道的信道编码定理
定理 8.3.1 （离散时间高斯信道编码定理）
对于带限加性高斯白噪声信道，设噪声功率为
2 N
，
带宽为B，信号平均功率为
2 X
，对于给定的信息率 R ，
若R 小于信道容量 C 时，则存在以信息率R速率通过信道
的二元码，并且错误概率任意小；当 R C 时，则以 R 通
过信道的二元码的错误概率不可能任意小。
dx, y x y2
(8.36)
求上述条件下的 RD 实际上是求在条件
第 8 章 连续信源与波形信道
在实际的通信系统中，所传输的消息可分为离散消息 和连续消息。前面几章已经较详细地介绍了离散信源的有 关特性。本章基本上采用相同的方法重点介绍连续信源及 相关问题。
8.1 连续信源的特征
8.1.1 连续信源
✓ 连续信源：信源输出是时间的连续函数，其取值既是
连续的又是随机的，且信源输出的消息可以用随机过程描 述，这种信源称为连续信源。
当信源彼此独立时，等号成立。
❖ 由于连续信源的熵是相对熵，它与离散信源的熵不
同，不具有非负性和极值性。所以连续信源的平均交互 信息熵具有非负性。
8.1.5 连续信源的熵速率和熵功率
基本概念
熵速率：信源在单位时间内输出的熵称为信源的熵速率。
连续信源的熵是连续信源每个样值的熵，它由信源 分布密度来表示。如果信源是时间连续、信号带宽为 B 的连续信源，根据随机信号的采样定理，可用 2B 的速 率对信源进行采样。因此，连续信源的熵速率为
n
X
b p xlog p x d x lim
a
x0
b p xlog xd x
a
(8.7)
信息论：第8章 无失真的信源编码讲解
9
8.1 霍夫曼码
香农编码 • 香农编码严格意义上来说不是最佳码。 • 香农编码是采用信源符号的累计概率分布函数来
分配码字。
10
香农编码方法如下： (1)将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列：
• 一般情况下，按照香农编码方法编出来的码，其平 均码长不是最短的，也即不是紧致码(最佳码)。只有 当信源符号的概率分布使不等式左边的等号成立时， 编码效率才达到最高。
19
8.1.1 二元霍夫曼码
1952年霍夫曼提出了一种构造最佳码的方法。它是一 种最佳的逐个符号的编码方法。其编码步骤如下： (1) 将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列
上式。
36
注意: 对于r元码时，不一定能找到一个使式 q (r 1) r 成立。在不满足上式时，可假设一些信源符号： sq1 , sq2 ,..., sqt 作为虚拟的信源，并令它们对应 的概率为零，即：pq1 pq2 ... pqt 0
而使 q t (r 1) r 能成立，这样处理后得到
21
例8.1:
对离散无记忆信源 进行霍夫曼编码。
S p(si
)
s1 0.4
s2 0.2
s3 0.2
s4 0.1
s5 0.1
解:编码过程如表所示，
1)将信源符号按概率大小由大至小排序。
2)从概率最小的两个信源符号和开始1”，上面的信源符号（大概率）为“0”。若两 支路概率相等，仍为下面的信源符号为“1” 上面的 信源符号为“0”。
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按输入幅度离散连续连续离散4
主要内容
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连续信源和波形信源
连续信道和波形信道
数学模型熵的求解微分熵/差熵最大差熵定理数学模型
熵的求解微分熵/差熵最大差熵定理
连续信源的数学模型
连续随机变量X 的取值分割成Δ=(b -a )/+≤≤-∆a )1
16
定义与数学描述信道容量的定义加性信道C 的求解波形信道C 的求解定义与数学描述
信道容量的定义
加性信道C 的求解波形信道
C 的求解连续信源和波形信源
✹
连续信道和波形信道
Y 之间的平均互信息定义为:
)
(xy p 平均互信息和信道容量。