第七章连续信源与连续信道
连续信源高斯分布微分熵
连续信源高斯分布微分熵介绍连续信源高斯分布微分熵是信息论中的一个重要概念，用于描述连续信源的不确定性。
本文将深入探讨连续信源、高斯分布以及微分熵的概念和性质。
连续信源连续信源是指信源输出的符号集是连续的。
与离散信源不同，连续信源的输出可以是无限个可能值中的任意一个。
连续信源常用于描述实际世界中的连续变量，如温度、压力等。
高斯分布高斯分布，也被称为正态分布，是一种在统计学中常用的概率分布。
它的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中，x是随机变量的取值，μ是均值，σ是标准差。
高斯分布的图像呈钟形曲线，均值处为峰值，随着离均值的距离增加，概率密度逐渐减小。
微分熵微分熵是对连续信源的不确定性进行度量的指标。
它可以用概率密度函数的负对数积分来计算，表示为：H(X)=−∫f+∞−∞(x)log2(f(x))dx其中，f(x)是连续信源的概率密度函数。
微分熵的单位是比特，表示信源输出的平均信息量。
微分熵的性质微分熵具有以下性质：1. 非负性微分熵始终大于等于零，即H(X)≥0。
当且仅当连续信源的概率密度函数为高斯分布时，微分熵达到最大值。
2. 不变性微分熵对信源的均匀线性变换具有不变性。
即对于连续信源X和线性变换Y=aX+b，有H(Y)=H(X)，其中a和b是常数。
3. 可加性对于相互独立的连续信源X和Y，它们的联合微分熵等于它们各自微分熵的和，即H(X,Y)=H(X)+H(Y)。
4. 连锁规则对于连续信源X、Y和Z，有H(X,Y,Z)=H(X)+H(Y|X)+H(Z|X,Y)。
连锁规则可以推广到更多的连续信源。
应用场景连续信源高斯分布微分熵在许多领域都有重要的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 通信系统设计在通信系统中，了解信源的不确定性非常重要。
通过计算连续信源的微分熵，可以为系统设计提供指导，例如确定合适的编码方式和信道容量。
2. 数据压缩微分熵可以用于数据压缩算法中的信息量度量。
连续信源高斯分布微分熵
连续信源高斯分布微分熵连续信源高斯分布微分熵是信息论中一个重要的概念，它可以用来描述信源的不确定性。
在本文中，我们将详细介绍连续信源、高斯分布和微分熵，并探讨它们之间的关系。
我们来了解一下连续信源的概念。
连续信源是指信号取值可以是任意实数的信源。
与之相对的是离散信源，它的信号取值只能是有限个或可数个值。
连续信源常见的例子包括音频信号、视频信号等。
接下来，我们介绍一下高斯分布。
高斯分布，也称为正态分布，是一种常见的连续概率分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，以均值μ为中心，标准差σ决定了曲线的宽度。
高斯分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如人的身高、体重等都符合高斯分布。
微分熵是信息论中的一个概念，用来度量信源的不确定性。
对于离散信源来说，微分熵可以通过对信源的概率分布进行求和得到。
而对于连续信源来说，由于信号的取值是连续的，我们需要使用积分来计算微分熵。
高斯分布的微分熵可以通过对高斯分布的概率密度函数进行积分来计算。
具体来说，我们可以使用概率密度函数的负对数作为微分熵的表达式。
高斯分布的微分熵与标准差有关，标准差越大，微分熵越大，表示信源的不确定性越高。
连续信源高斯分布微分熵在信息论和统计学中有着广泛的应用。
例如，在无线通信中，我们可以利用高斯分布微分熵来评估信道的容量，从而确定可以传输的最大数据量。
在数据压缩领域，我们可以利用高斯分布微分熵来设计有效的压缩算法，以减小数据的存储和传输成本。
总结一下，连续信源高斯分布微分熵是信息论中的一个重要概念，用于度量连续信源的不确定性。
它可以通过对高斯分布的概率密度函数进行积分来计算。
在实际应用中，连续信源高斯分布微分熵可以用来评估信道容量、设计压缩算法等。
通过对这些概念的理解和应用，我们可以更好地理解和利用信息论的知识，为实际问题提供解决方案。
信息论考试题(填空简答)
一.填空题（每空1分，共20分）1.香农信息论的三个基本概念分别为_______________ 、_____________ 、 ____________ 。
2•对离散无记忆信源来说，当信源呈_______________ 分布情况下，信源熵取最大值。
3•写出平均互信息的三种表达公式________________ 、_____________ 、 ____________ 。
4.若连续信源输出的平均功率和均值被限定，则其输出信号幅度的概率密度函数为______________ 时，信源具有最大熵值；若连续信源输出非负信号的均值受限，则其输出信号幅度呈____________ 分布时，信源具有最大熵值。
5. ________________________________ 信道容量是为了解决通信的_________________________ 问题，而信息率失真函数是为了解决通信的___________ 问题。
6. ______________________________________________________ 费诺编码比较适合于的信源。
7•无记忆编码信道的每一个二元符号输出可以用多个比特表示，理想情况下为实数，此时的无记忆二进制信道又称为__________________________ 。
&差错控制的4种基本方式是：_________________ 、_____________ 、 ____________ 、______________ 。
9 . （n,k）线性码能纠t个错误，并能发现I个错误（l>t）,码的最小距离为：10.循环码码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘___________________ 后再模______________ 。
二.简答题（每小题5分，共30分）1 •分别说明平均符号熵与极限熵的物理含义并写出它们的数学表达式。
2•写出二进制均匀信道的数学表达式，并画出信道容量C与信道转移概率 p的曲线图。
信息论与编码期末考试题----学生复习
《信息论基础》参考答案一、填空题1、信源编码的主要目的是提高有效性,信道编码的主要目的是提高可靠性。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性,二是信源符号的统计不均匀性。
3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为bit/符号。
4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r （S））。
5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配.6、根据信道特性是否随时间变化,信道可以分为恒参信道和随参信道。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
8、若连续信源输出信号的平均功率为，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或时，信源具有最大熵，其值为值。
9、在下面空格中选择填入数学符号“”或“"（1）当X和Y相互独立时，H（XY)=H(X）+H（X/Y）=H（Y)+H（X）。
（2)（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示.在无噪有损信道中，H(X/Y)〉 0, H（Y/X)=0,I(X；Y）<H(X)。
二、若连续信源输出的幅度被限定在【2，6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少.=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大.三、已知信源(1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码;（6分)（2）计算平均码长;（4分）（3）计算编码信息率；（2分）（4）计算编码后信息传输率；（2分）（5)计算编码效率。
(2分）(1)编码结果为：（2）（3）（4）其中，（5)四、某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现,出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。
如果符号的码元宽度为0。
5。
计算:（1）信息传输速率。
（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为。
试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P。
解：（1）（2）五、一个一阶马尔可夫信源，转移概率为.（1) 画出状态转移图。
《信息论》(电子科大)第七章_信息率失真理论
电子科技大学
称全部n 称全部n×m个失真度组成的矩阵为失真 矩阵： 矩阵：
d(x1, y1 ) d(x1, y2 ) d(x , y ) d(x , y ) 2 2 2 1 [D] = ... ... d(xn , y1 ) d(xn , y2 ) ... d(x1, ym ) ... d(x2 , ym ) ... ... ... d(xn , ym )
电子科技大学
i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi ln − Sd(xi , yj ) − =0 p(yj ) p(xi ) p(yj / xi ) i = 1,2,L,n, j = 1,2,L,m
µi 令ln λi = p(xi )
ln
p(yj / xi ) p(yj )
电子科技大学
∂ {−S[∑∑p(xk )p(yl / xk )d(xk , yl ) − D]} ∂p(yj / xi ) k =1 l =1
n m
= −Sp(xi )d(xi , yj )
p(yj / xi ) ∂Φi ∴ = p(xi )ln ∂p(yj / xi ) p(yj ) − Sp(xi )d(xi , yj ) − µi = 0
电子科技大学
d(xi , yj ) = (yj − xi )
2
称为平方误差失真度。 称为平方误差失真度。
(2)平均失真度 (2)平均失真度
D = E[d(xi , yj )] = ∑∑p(xi )p(yi / xi )d(xi , yj )
i =1 j=1 n m
电子科技大学
(3)保真度准则 (3)保真度准则 如果给定的允许失真为D 如果给定的允许失真为D 为保真度准则。 则称 p(yj / xi ) = p(yj )
信息论与编码技术练习题
一、判断题1、信息论主要研究目的是找到信息传输过程的共同规律，提高信息传输的可靠性、有效性、保密性和认证性，以达到信息传输系统的最优化。
（√）2、同一信息，可以采用不同的信号形式来载荷；同一信号形式可以表达不同形式的信息。
（√）3、通信中的可靠性是指使信源发出的消息准确不失真地在信道中传输；（√）4、有效性是指用尽量短的时间和尽量少的设备来传送一定量的信息。
（√）5、保密性是指隐蔽和保护通信系统中传送的消息，使它只能被授权接收者获取，而不能被未授权者接收和理解。
（√）6、认证性是指接收者能正确判断所接收的消息的正确性，验证消息的完整性，而不是伪造的和被窜改的。
（√）7、在香农信息的定义中，信息的大小与事件发生的概率成正比，概率越大事件所包含的信息量越大。
（×）8、通信中获得的信息量等于通信过程中不确定性的消除或者减少量。
（√）9、离散信道的信道容量与信源的概率分布有关，与信道的统计特性也有关。
（×）10、连续信道的信道容量与信道带宽成正比，带宽越宽，信道容量越大。
（×）11、信源熵是信号符号集合中，所有符号的自信息的算术平均值。
（×）12、信源熵具有极值性，是信源概率分布P的下凸函数，当信源概率分布为等概率分布时取得最大值。
（×）13、离散无记忆信源的N次扩展信源，其熵值为扩展前信源熵值的N倍。
（√）14、互信息的统计平均为平均互信息量，都具有非负性。
（×）15、信源剩余度越大，通信效率越高，抗干扰能力越强。
（×）16、信道剩余度越大，信道利用率越低，信道的信息传输速率越低。
（×）17、信道输入与输出之间的平均互信息是输入概率分布的下凸函数。
（×）18、在信息处理过程中，熵是不会增加的。
（√）19、熵函数是严格上凸的。
（√）20、信道疑义度永远是非负的。
（√）21、对于离散平稳信源，其极限熵等于最小平均符号熵。
通信原理第7版第7章PPT课件(樊昌信版)
实验二：数字调制与解调实验
实验目的
掌握数字调制与解调的基本原理和实现方法。
实验内容
设计并实现一个数字调制与解调系统，包括调制器、解调器和信道等部分。
实验二：数字调制与解调实验
01
实验步骤
02
1. 选择合适的数字调制方式，如2ASK、2FSK、2PSK等。
03
2. 设计并实现调制器，将数字基带信号转换为已调信号。
循环码
编码原理
01
循环码是一种具有循环特性的线性分组码，其任意码字的循环
移位仍然是该码的码字。
生成多项式与校验多项式
02
生成多项式用于描述循环码的编码规则，而校验多项式则用于
检测接收码字中的错误。
编码效率与纠错能力
03
循环码的编码效率与线性分组码相当，但纠错能力更强，可以
纠正多个错误。
卷积码
编码原理
06
同步原理与技术
载波同步技术
载波同步的定义
在通信系统中，使本地产生的载波频率和相位与接收到的信号载波保持一致的过程。
载波同步的方法
包括直接法、插入导频法和同步法。直接法利用接收信号中的载波分量进行同步；插入导频法在发送端插入一个导频 信号，接收端利用导频信号进行同步；同步法则是通过特定的同步信号或同步头来实现同步。
归零码（RZ）
在码元间隔内电平回归到零，有利于时钟提取。
差分码（Differential Cod…
利用相邻码元电平的相对变化来表示信息，抗干扰能力强。
眼图与误码率分析
眼图概念
通过示波器观察到的数字基带信号的一种图形表示，可以 直观地反映信号的质量和传输性能。
眼图参数
包括眼睛张开度、眼睛高度、眼睛宽度和交叉点位置等， 用于评估信号的定时误差、幅度失真和噪声影响等。
第七章量子编码
概率记为
Pe Pr urˆL urL
（7.3）
对于给定的信源和编码速率R及任意 0 ，若存在 L0 及
编译码方法，使得当码长 L L0 时，Pe ，称R是可达的， 否则是不可达的。
无失真信源编码定理1：对于无噪声信道，若R H (U ) ，
则R是可达的，若 R H (U )，则R是不可达的。
T n, tr P n, ，满足
1 2nS T n, 2nS
(7.29)
（3）令 S n为到 H n 的任意至多 2nR 维子空间的一个投影，其中 R S 为固定，
则对任意 0 和充分大的 n，有
编码。
无失真信源编码是在不损失信息的前提下， 压缩信息的冗余度，而有失真编码基于率失 真理论，允许信息有一定损失，或波形失真 （对连续信源），从而达到降低信息速率的 目的。
7.1.1 经典信源编码简介
1.无失真信源编码
对于无失真编码，包括等长编码和不等长编码。
（1）等长编码
对于等长编码，如果将长度为L的消息序列 Байду номын сангаасrL u1,u2,...,uL U L
的最小互信息量。再定义失真－信息率函数：
D(
R)
min
DDR
D
由定义可见，率失真函数的取值范围为：0 R(D) H (U )
且
lim
D0
R(D)
H
(U
)
有失真时的逆信源编码定理：当速率 R R(D) ，不论采取
什么编译码方式，平均失真必大于D。
有为使失真D时 Pr的 离D 散，无且记I 忆Pr 信达源到编极码小定的理条：件给概定率失，真则D存，在令长P度*
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设p(x)是除指数分布以外的任何概率密 度函数，且
0
p( x)dx 1 xp( x)dx m
0
0
Hc ( X) p( x)lbp ( x)dx
p( x)lbp ( x)
0
me me
x
m x m
dx
e e m p( x)lb dx p( x )lb dx 0 0 m m p( x ) x lbe p( x)( )dx p( x)lbmdx 0 0 m
x m
x
lbe
0
e m p( x) ln dx m p( x )
0
x
lbe lbm lbe
lb(em) lbe [
0
e m p( x)[ 1]dx m p( x ) x
x
e m dx p( x)dx ] lb (em) 0 m
一、连续信源及其相对熵
1、单变量连续信源的数学模型
X a x b P ( X ) p( x )
并满足 p( x)dx 1
a
b
式中，p(x)为随机变量的概率密度函数。 2、单变量连续信源的熵 假定概率密度函数p(x)如图所示
p(x)
p( xi )
可直接由定义证明：
H c ( XY ) p( xy)lbp ( xy)dxdy
p( xy)lbp ( x)dxdy p( xy)lbp ( y / x)dxdy
R2 R2
R2
p( x)lbp ( x)dx p( xy)lbp ( y / x)dxdy
第7章 连续信源与连续信道
信源分为离散信源和连续信源，在讨论 了离散信源整体测度的基础上，本章讨 论的第一个问题是： 从连续信源的整体出发，它的信息量应 该如何度量？ 信道也分为离散信道和连续信道，在讨 论了离散信道中流通信息量的整体测度 及能达到的最大值的基础上，本章讨论 的第二个问题是：
从整体的角度，如何度量在连续信道中 流通的信息量？该信息量能达到的最大 值是多少？
Ic ( Y; X) Hc ( Y) Hc ( Y X) 同理，也可以定义单变量连续信道Y对X 的平均互信息量为 Ic ( X; Y) Hc ( X) Hc ( X Y) 虽然相对熵不具有信息测度的意义，但 平均互信息量是一种熵差，具有信息测 度的意义。
平均互信息量的性质和定理
①平均互信息量具有非负性
a n 0 a
b
b
p( x)lbp ( x)dx lim lb
a n 0
b
(2)连续信源的相对熵 定义连续信源的相对熵
Hc ( X) p( x)lbp ( x)dx
a b
相对熵不能反映连续信源的平均不确定 度。 定义相对熵的目的：
①在形式上与离散信源熵统一；
1 2 2
(xm)2 2 2
e
)dx
( x m) 2 lbe p( x) dx lb 2 p( x)dx 2 2 lbe 2 2 ( x m ) p( x)dx lb 2 2 2 1 1 2 2 lbe lb 2 lb ( 2e ) 2 2 2
2 (xm)2 2 2
e
, x
其中，m E[ X] xp( x)dx
E[( X m) ] (x m) p(x)dx
2 2 2
Hc ( X) p( x)lbp ( x)dx
p( x )lb (
设p(x)是除高斯分布以外的任何概率密 度函数，且
p( x)dx 1
x p( x)dx P
2
Hc ( X) p( x)lbp ( x)dx
p( x)lbp ( x)
2 e
2
x2 2 2 x2 2 2
dx
2 e
R2 R2
p( x / y ) p( xy)lb dxdy p( x) R2 p( x) lbe p( xy) ln dxdy p( x / y ) 2 R p( x) lbe p( xy)[ 1]dxdy p( x / y ) R2
lbe [ p( x)dx p( y )dy p( xy)dxdy ]
R2 R2
3、几种连续信源的相对熵 (1)均匀分布连续信源的相对熵
1 p( x ) ,a x b ba
Hc ( X) p( x)lbp ( x)dx
a
b
b
a
1 1 lb dx ba ba
lb(b a)
(2)高斯分布连续信源的相对熵
p( x ) 1 2
连续信道的信道容量的求取相当困难。
4、加性连续信道及信道容量 (1)加性连续信道 噪声对输入的干扰作用表现为噪声和输 入的线性叠加，即 X Y=X+N
R I c ( X; Y) 由平均互信息量Ic(X;Y) 的凸函数性— 信道固定时，平均互信息量是信源概 率密度函数p(x)的上凸函数可知： 信道固定时，总能找到一种信源概率密 度函数，使信道的信息传输率最大，称 该最大值为信道容量，即
C max R max Ic ( X; Y)
p( x ) p( x )
②熵差具有信息测度的意义。
同理，可以定义其它相对熵：
两个连续随机变量的联合熵
H c ( XY ) p( xy)lbp ( xy)dxdy
R2
两个连续随机变量的条件熵
H c ( X / Y ) p( xy)lbp ( x / y )dxdy H c ( Y / X) p( xy)lbp ( y / x)dxdy
b b
lb (b a) lbe [
b
a
b 1 dx p( x)dx ] a ba
lb(b a)
•限平均功率的最大熵定理 如随机变量的平均功率被限定，则均值 为零、方差等于该平均功率的高斯分布 的连续信源具有最大熵，即
1 1 2 H c ( X) ln( 2e ) ln( 2eP) , x 2 2
I c ( Y; X) 0 I c ( X; Y) 0 可由定义并利用不等式ln z≤z-1证明
H c ( X / Y ) H c ( X)
p( xy)lbp ( y / x)dxdy p( x)lbp ( x)dx
R2 R
p( xy)lbp ( x / y )dxdy p( xy)lbp ( x)dxdy
当信源固定时，Ic(Y;X)是信道转移概率 密度函数p(y/x)的下凸函数。 ④数据处理定理
I c ( X; Z) I c ( X; Y)
I c ( X; Z) I c ( Y; Z)
3、单变量连续信道的信道容量 与单符号离散信道相仿，也可以将平均互 信息量Ic(X;Y)理解为单变量连续信道的 信息传输率R，即
R R2
H c ( X) H c ( Y / X )
③最大相对熵定理 连续信源没有一般意义下的最大熵，只 有限制条件下的最大熵。 通常讨论三种限制条件下的最大熵： •取值范围受限； •平均功率受限； •均值受限。
•限取值范围的最大熵定理 如随机变量取值被限定在一定范围内， 则在该有限定义域内均匀分布的连续信 源具有最大熵，即 Hc ( X) lb(b a) , a x b 可利用不等式ln z≤z-1进行证明 设p(x)是定义域(a,b)上除均匀分布以外 的任何概率密度函数，且
lbe lbm lb(em)
x
4、相对熵的性质及最大相对熵定理 ①相对熵不具有非负性 例如，当b-a<1时，均匀分布连续信源的 相对熵
Hc ( X) lb(b a) 0
②相对熵的可加性
Hc ( XY ) Hc ( X) Hc (Y / X) Hc ( XY ) Hc (Y) Hc ( X / Y)
e
2 2
2 2 p( x)
dx
P 2 lbe lb 2 2 2 x 2 2 2 e lbe p( x)[ 1]dx 2 2 p( x)
P 1 2 lbe lb ( 2 ) 2 2 22
x
lbe [
e
2 2 2
ba n
a
xia+i△ b a+(i-1)△
a i
x
随机变量落在第i个小区的概率为
P(a (i 1) X a i )
a ( i 1)
p( x)dx
根据中值定理，有
a i
a ( i 1)
p( x)dx p( xi )
(1)连续信源的绝对熵
二、连续信道及信道容量
1、单变量连续信道的数学模型 单变量连续信道的数学模型可表示为
X
p(y / x) Y
其中X为单变量连续信源，X为单变量连 续信宿，信道统计特性用信道转移概率 密度函数p(y/x)表示。 2、单变量连续信道的平均互信息量
与单符号离散信道相仿，可以定义单变 量连续信道X对Y的平均互信息量为
0
R
R
R2
Ic ( X; Y) Hc ( X) Hc ( X / Y) 0 同理可证 Ic (Y; X) Hc (Y) Hc (Y / X) 0 ②平均互信息量具有对称性 Ic ( X; Y) Ic (Y; X) ③平均互信息量具有凸函数性 当信道固定时，Ic(Y;X)是信源概率密度 函数p(x)的上凸函数；