九年级数学竞赛专题讲座-二次函数的最值问题(含答案)

九年级数学竞赛专题讲座 ---二次函数的最值问题

一、内容概述

对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：

（1）当0,2b a x a >=-时，2

44ac b y a -=最小值

（2）当0,2b a x a <=-时，2

44ac b y a

-=最大值

若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a

-的大小关系确定。

1．对于0a >：

（1）当2b

a

αβ<≤-

，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2b

a

αβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a

-. 2．对于0a <

（1）当2b

a

αβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（2）当2b

a

αβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。 （3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a

-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a

- 二、例题解析

例1 已知12,x x 是方程22

(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。

解：由于题给出的二次方程有实根，所以0?≥，解得443

k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2

106k k ---

∵函数y 在4

43

k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，50

9

y =最小值

例2 （1）求函数2

43y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

（2）已知：1y ≤，且21x y +=，求22

2163x x y ++的最小值。

解 （1）若240,2,x x -≥≥即则2

34y x x =-- ∴2

325()2

4

y x =--

若240,2,x x -≤≤即则234y x x =--+ ∴2

325()2

4

y x =-++ 由此在25x -≤≤画出草图

∴2

325

()2

4

y x =--

（25x ≤≤），当5x =时，6y =最大值；当2x =时，6y =最小值－ 对2325()24y x =-++（22x -≤≤），当32x =－时，25

4y =最大值；2x =时，6y =最小值－

综上所述，2x =时，6y =最小值－；当32x =－时，25

4

y =最大值.

（2）由21x y +=得12

y

x -=，12y x =-

由1y ≤ 得11x -≤≤ 故01x ≤≤

∴222

2

1192163144314()7

7

z x x y x x x =++=++=++

z 为开口向上，对称轴为17x =－的抛物线，虽然有最小值19

7

，但17x =－不在01x ≤≤的范围内，

因此不是所求的最值。

又0x =时，3z =；1x =时，21z = ∴所求的最小值为3

例3 有两条抛物线22

3,9y x x y x =-=-+，通过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线，分别交这两条抛物线于点A 和B ，当t 在0到3的范围内变化时，求线段AB 的最大值。

解：∵A 和B 的纵坐标分别为223,9t t t --+，

∴AB =2222

381(9)(3)2392()48

t t t t t t -+--=-++=--+

∴当34t =

时，线段AB 取得最大值818

例4 已知二次函数22962y x ax a a =---+11

()33

x -≤≤有最大值－3，求实数a 的值。 分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数22962y x ax a a =---+的对

称轴是3a x =-，而x 的取值范围是11

33x -≤≤，所以要对3

a -是否在x 的取值范围内讨论求解。

解：（1）若11333a -≤-≤，即11a -≤≤，抛物线开口向下，当3

a

x =-时，2y a =最大值

∵二次函数最大值3-，即3

2

a =-与11a -≤≤矛盾，舍去。

（2）若1

,133a a -<->即

当1133x -≤≤时，y 随x 增大而减小，当13x =-时，2

41y a a =-+-最大值，

由2413,2a a a -+-=-=解得

又1a >，∴2a =（3）若1

,133a a -

><-即 当1133x -≤≤时，y 随x 增大而增大，当13

x =时，2

1y a =--最大值，

由213,a a --=-=解得又1a <-

，∴a =

综上所述，2a =

a =

例5 在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数29

10105

x x y =

-+的图像上找出满足y x ≤的所有整点(),x y ，并说明理由。

解：∵y x ≤，即

218

10

x x x -+≤ ∴21810x x x -+≤ ①

当0x ≥时，①式即为2

1810x x x -+≤，解得29x ≤≤

此时，满足条件的点有()()()()2,2,4,3,7,6,9,9

当0x <时，2

1810x x x -+≤-，解得63x -≤≤-

此时满足条件的点有()()6,6,3,3-- 综上所述，满足条件的整点，共有6个。

例6求分式22

365

112

x x x x +++＋的最小值

解：令2223652

612212

x x y x x x x +==-++++＋，问题转化为考虑函数

222z x x =++的最小值。

∵22

22(1)1z x x x =++=++ ∴当1x =-时，min 1z =，min 4y =

例7已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积。

解：设矩形PNDM 的边DN=x ,NP=y ，于是矩形PNDM 的面积S xy =，24x ≤≤

易知CN ＝4x -, EM ＝4y -，且有NP BC BF CN AF -=,即

31

42

y x -=- 所以152y x =-

+，21

52

S xy x x ==-+,24x ≤≤ 所有根据二次函数的性质可得当4x =时max 12S =

例7

二次函数的最值问题训练题

班级 姓名 学号

1．填空

（1）已知函数211

(03)22

y x x x =-

++≤≤，当x =________时，y 取最大值是______；当x =________时，y 取最小值是______.

（2）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的开口向上，对称轴是直线2x =，

当120,3x x ===，

对应的值y 分别是1y 、2y 、3y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_________.

（3

）函数24)y x =≤≤的最大值与最小值分别是___________.

（4）已知二次函数22y x x a =++（01x ≤≤）的最大值是3，那么a 的值为__________. 2．设x 为正整数，则函数21

y x x x

=-+的最小值是多少？

3．已知：01x ≤≤，函数22

a

y x ax =-+的最小值为m ，试求m 的最大值。

4．对于任意实数x ，不等式2

10kx kx --<恒成立，求k 的取值范围。

5．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：

（1）它的周长y 与腰长x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。 （2

6．已知实数a 、b 满足等式()2

2

23a b -+=，求：

b

a

的最大值和最小值。

7．已知：方程222(1)212170x k x k k --+-+=，两根为1x 、2x ，求2212x x +的最大值与最小值，并求此时方程的根。

8．根据某服装店统计，服装价格每提高3％，出售服装的件数就要降低2％，设某种服装提价x%，结果每天的经营收入（价格×出售价数）为原来的y 倍，

（1）写出y 与x 的函数关系；

（2）要使经营收入不降低，x 应控制在什么范围内？ （3）当x 是什么值时，能使经营收入最多？

9．求函数2221

21

x ax y x bx ++=++的最值。

参考答案

1．(1)x=1,y=1,x=3,y=-1;(2) 231y y y <<;（3）最大值与最小值分别为：2，0；（4）a=0； 2．1；

3．a ＝0时，m 有最大值0；a ＝1时，m 有最大值0.25；a ＝2时，m 有最大值0 4．－4

时，周长最大为5

6．当1,2a b =-

=b a 取得最小值1,2a b ==时，b a 7．k=8时，最大值为98，方程为2

14490x x -+=，两根为7；

k ＝2时，最小值为2，方程为2

210x x -+=，两根为1。

8．（1）(1)(1)100150x x y =+- （2）0≤x ≤50 （3）当x=25时，最多。 9．解：把2221

21

x ax y x bx ++=++化为关于x 的二次方程

()212()(1)0y x a by x y -+-+-=，要使这个方程有实数根，则根据

222(1)2(1)10b y ab y a ?=---+-≥

① 2

10b ->，即1b >，∴1,22(1)1ab a b y b -±-=-，∴2(1)1ab a b y b ---≤-或2

(1)1

ab a b y b -+-≥- ∴2(1)1ab a b y b ---=-极大值，2(1)1

ab a b

y b -+-=-极小值

②2

10b -<，即1b <，则有 22

(1)(1)11

ab a b ab a b y b b -+----≤≤-- ∴2(1)1ab a b y b ---=-极大值，2

(1)1

ab a b

y b -+-=-极小值 ③2

10b -=，即1b =，得()2112

a a

b y --≤

2112(1)a ab y ab ->≤

-时，，∴21

2(1)a y ab -=-极大值 2112(1)a ab y ab -<≥

-时，，∴21

2(1)

a y a

b -=-极小值