硕士研究生结构有限元课件10

第六章多项式插值理论一、区间[a , b]上的一般插值理论(从有限维子空间出发的逼近方法)①对无限维函数空间的一个元素f (x) 进行逼近，关于f (x) 的情况仅知道一部分(1、若干点的函数值或导数值已知；2、满足一些控制方程)。

②选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间1、满足基本的函数已知条件基函数的性质：2、完备的3、线性的③选择nX中的元素)()(~xPxfn或，在一定的约束条件下，使)(~xf良好的逼近()x f, 即令)(~xf=nncccφφφ+++2211关于()xf在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。

④良好逼近的判断ε<-ff~e.g.Tchebycheff 范数，|| f || = |)(|max xfbxa≤≤称为一致逼近。

⑤约束条件（依据对()xf的了解来确定）i/插值约束)()(~iixfxf=1ni≤≤ix∈(a, b) 且ix互不相同；ii/插值与光滑性混合约束(1)、)()(~iixfxf=1ki≤≤ix∈(a , b) 且ix互不相同(2)、)()(~iixfxf'='1ki≤≤ix∈(a,b) 且互不相同(3)、)(~xf的二阶导数存在iii/变分约束（以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数满足某些控制方程）依据|| f -f~||在nX中为最小的条件，确定常数nccc21,，使f~的解由下列形式的极小化问题得到：|| f -0f~|| = min{|| f-f~||：f~nX∈} （范数内的函数可理解为微分算子的结果）Note：这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积诱导的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，能量泛函就是一种范数）。

iv/正交约束根据f-f~与n个给定基函数)(,),(),(21xxxnφφφ 的正交条件，确定常数ic, 1ni≤≤，即< f -f~,0)()](~)([=->=⎰dxxxfxfibaiφφ1ni≤≤{}nnSpanXφφφ,,,21=这是Galerkin 方法的基础（差向量在几何上与坐标轴正交意味着逼近程度最好）。

Note :1）、约束条件可组合使用，如在有限元的计算中，构造位移形状函数时，应用插值或光滑性约束条件与变分约束的组合。

2）、仅对插值约束问题，实际构成求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++)()()()()()()()(221111212111n n n n n n n n x f c x c x c x x f c x c x c x φφφφφφ 3）、若选取X n = Span {n x x x ,,,,12 } 则称为单项式插值。

二 、Lagrange 多项式插值1、多项式插值的一般定理Weierstrass （维尔斯托拉斯）定理：设[a , b ]为任意给定的闭区间，ε为任意小常数，f (x )为 [a ,b ]上的任意连续函数，则必存在一定的多项式P n (x ) 使得, || f - P n ||<ε，|| · || 为切比雪夫型范数。

Bernstein （伯恩斯坦）给出下列n P 形式，可对任意连续函数f (x ) 进行一致逼近。

kn k nk n x x h n k f k n x P -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑)1()()(0 ； n a b h -=（感兴趣的问题：① 若节点x 0，x 1, …… , x n 不断增多，P n 的阶次也随之增大，在保证∞→n ，()()ε<-x P x f n 时，使逼近的光滑性变差，多项式出现“摆振”特性，从而使计算性质劣化，故一般不希望选得阶次太高。

② 在不改变节点数n 的情况下，可改变节点位置的配置，使得在某种范数意义下，获得对f (x )的最佳逼近。

例如选择n 个有规则的不等距配点，可使()()[]0212=-⎰-dx x P x f ba n n 2、Lagrange 插值定理在n +1个不相等的实数n x x x <<< 10上，取被规定值的n 次多项式P n (x ) 是存在且唯一的。

意思是说，不论你用什么多项式形式或各种方法构造逼近函数，结果都是唯一的，都可化为统一的形式。

这样，就有Lagrange 插值的标准基函数（Canonical Base Function ）:11001101()()()()()()()()()()()()()()()()()()nn i i i i i n i i i i i i i i n i n p f x l x x x x x x x x x w x l x x x w x x x x x x x x x w x x x x x x x =-+-+=----=='-----=---∑① 第i 个基函数在x i 点取值为 1，在 x j ( j ≠i )的点取值为 0，即 ② 在区间 [a ,b ]上为 n 次多项式。

③ P n 为基函数的线性组合，其系数为被插函数在型值点的函数值。

（仅有典则基有此性质）。

④ {}n l l l ,,,10 称为n 次多项式线性空间上的典则基。

⑤ 还有许多多项式基函数，如{1，x ,…x n}（并不满足插值系数就是函数点值的性质）；再如：正交多项式基：Legender 或 Tchebycheff 基等。

正交多项式可类比Euchilid 几何空间上的正交坐标轴，在那里几何上的正交性是自然的；在函数空间中的正交多项式是指在内积定义下的正交性，如带权正交基函数定义为：()()⎩⎨⎧≠=∞<=>=<⎰j i j i dx baj i j i 0,φρφφφ ⑥ 计算时如何选择基，则依据对计算的方便和高精度少运算量的原则来决定；在插值时用典则基比较方便。

注意：这里并不是分片插值基函数，而是全域上的；分片插值见下段。

3、误差估计（包括各种误差估计式） 4、分段拉氏插值有上节所述，多项式在整个区间[ a ,b ]上插值，随着节点的增多（n →∞, h →0）会使逼近函数的图形产生激烈的起落（也与型值有关）。

这是不希望的，克服的办法采用分段插值，l i (x()()⎩⎨⎧≠===j i j i x l ijj i 01)(δ即:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+++≤≤+++≤≤+++=++++++ mm mm m m mm m m m m m m m x x x x a x a a x x x x a x a a x x x x a x a a x S 213322*********或 00223232()()()()()()()()()()mim ii mi im m i m mi i m m i mf x l x x x x S x f x l x x x x f x l x x x x ===⎧≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑常用的m = 1分段线性插值 ：m = 2分段二次插值：Note : 不保证节点导数的存在。

5、有限元常用的在标准区间上的插值形式：在区间 [ x i+1，x i+2 ]上，作标准变换[ -1，1 ]()()12212++=+-==⇒=∑i i i i k k k i x x h h dx l x x ξ()()()()ξξξξ+=-=12112121l l ()()11121≤≤-+=ξξξξk k l ⎩⎨⎧==-=2111k k k ξ 在标准区间[-1，1]上，作函数插值：-11l 1l 2()()()∑=+=21k k k i l x f S ξξ 函数的近似积分()()⎰⎰-≈++11221ξξd h s dx x f ix x i i 三、Hermite （埃尔米特）插值1、区间 [a , b ] 上满足插值与光滑性约束的插值约束条件：()()()()()()()()b f b P b f b P a f a P a f a P '='='='=由拉氏插值定理可以得到如下启迪：① 能唯一构造一个三次多项式：332210)(x a x a x a a x p +++= ② 可以写成一种典则基形式：)()()()()()()()()(21112010x b p x a p x b p x a p x p ΦΦΦΦ'+'++=其中，x 1= a , x 2 = b 时，()x ∙∙Φ为区间 [a , b ] 上的三次多项式，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=Φ'=Φ=Φ'≤≤=Φ2100211100j ,i )x ()x ()x (j ,i )x (ij ii j i j i ijj i δδ （这里的 i ,j 指的是区间的两端点）寻找方法：)(0x i Φ在节点（边界点）上的要求类似于)(x l i ，但要是三次多项式且还要满足前两个条件，故可选：20()()()i i x ax b l x Φ=+ 易验证： 00()0;()0()i j i j x x i j 'Φ=Φ=≠于是选择常数a , b 满足： 2()()1()[()2()()]0i i i i i i i i i i ax b l x l x al x ax b l x ⎧+=⎪⎨'++=⎪⎩ (i =j )ji j i i i i i i x x x x l )x (l x b )x (l a --='+='-=⇒212同理可得：)(1x i Φ留作作业。

最终有： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=---=--+--=--+--=2221221132203210)()()()()())(()()()](2)[()()()()](2)[()()(b a b x a x x b a b x a x x a b x b a b a x x b a x a b a b x x ΦΦΦΦ唯一性证明略。

2、 拉格朗日分段线性插值在节点处改进为一阶导函数连续的Hermite 插值。

该问题实际上是上述Hermite 插值的简单推广，只要取[a , b ]为[x i+1 , x i+2 ] 即可。

由此获得分段的Hermite 插值多项式。

该插值是在每个节点有两个参数，即 f (x i +1) 及 f ′(x i +1) 情况下得到的，同时具有节点一阶导数连续插值的内嵌性。

3、 有限元常用的标准区间上的Hermite 插值① 在节点坐标系上，x 轴的原点在梁的第一个节点，x 轴的正向指向第二个节点，元素长度为l ，即在[ 0, l ]上做Hermite 插值。

在 [ 0，l ]上⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=-=+-=2322123211322032102)(2)(3)(2)(31l x l x l x l x x l x l x lx l x ΦΦΦΦ 在 [-1 ，1 ] 上⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=Φ=--=Φ=-+=Φ=+-=Φ42212211332013101181118132413241N ))((N ))((N)(N )(ξξξξξξξξ()()()()()()()()()()()()ξξξξξξξ423221111210N x f N x f N x f N x f x f x f )(S i i i i k k i k k k i +++++=+'++'+=Φ'+Φ=∑∑211()()(1)2i k k k k k x x l l ξξξξ+===+∑ （亚参元）4、 在节点上仅已知函数值（即不知导数值）情况下的Hermite 插值方法可以很多，但三次多项式是唯一的，一种举例220111()()()k k k k k k s x r x q x ===Φ+Φ∑∑（r 1, r 2, q 1, q 2）可以这样来选择：()()i i S x f x = f 为被插函数，1≤ i ≤4 即：243211++=<<<=i i x x x x x x ，联立方程求解后获得被插函数的系数。