基于破坏准则的岩石压剪断裂判据研究

1引言
岩石是一种结构非常复杂的固体材料，它是由 多种矿物晶粒、胶结物和孔隙组成的混合体。岩石 中存在的断层、节理和裂隙等缺陷对岩石力学性质 有很大影响，岩石变形破坏过程的实质就是岩石材 料中缺陷的萌生、扩展、相互作用和贯通的过程，
所以对岩石裂纹尖端的力学性质进行研究有很大的 意义。在漫长的地质历史条件下，岩石在各种各样 的构造作用下产生了多种性质的裂纹，岩石的破坏 实质也就是裂纹的相互作用和扩展的过程。传统的 断裂力学研究的对象主要是 3 种基本裂纹类型：张 开型(I 型)、滑开型(II 型)和撕开型(III 型)。但由于 岩体结构或者是荷载的不对称、岩石材料的各向 异性等原因，实际结构中的受力是非常复杂的，使
ZHOU Jiawen，XU Weiya，SHI Chong
(Institute of Geotechnical Engineering，Hohai University，Nanjing，Jiangsu 210098，China)
Abstract：Based on the analysis of the tip stress field of the compression-shear mixed-mode crack，the initial angle of compression-shear mixed-mode crack is deduced according to the minimum J2 criterion. By considering the rock compression-shear mixed-mode fracture and the rock yield criterion together，two fracture criteria of the rock compression-shear mixed-mode crack are obtained by use of Mohr-Coulumb and Drucker-Prager yield criteria which are adopted widely used in geotechnical materials. The calculation results show that the fracture criteria of the rock compression-shear mixed-mode crack based on the strength criteria are rational；and that the ratio between the fracture toughness of pure type II crack and pure type I crack is related with the Poisson′s ratio and the inner friction angle of the rock when the initial angle of the pure type II crack is a fixed value，instead of other rock mechanical parameters. Key words：rock mechanics；compression-shear crack；initial angle of crack；failure criterion；fracture criterion； fracture toughness
关键词：岩石力学；压剪裂纹；起裂角；破坏准则；断裂判据；断裂韧度
中图分类号：TU 45
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2007)06–1194–08
INVESTIGATION ON COMPRESSION-SHEAR FRACTURE CRITERION OF ROCK BASED ON FAILURE CRITERIA
为了方便后面的计算，把极坐标系下的应力分
量写成直角坐标系下的应力分量表达式。通过极坐
标系和直角坐标系之间的转换关系式，得
σr
= σx
+σ y 2
+σx
−σ y 2
cos(2θ
)
+
τ
xy
sin(2θ
⎫ )⎪
⎪
σθ
=
σx
+σ y 2
−σx
−σ y 2
cos(2θ ) −τ xy
sin(2θ
⎪ )⎬
⎪
(2)
θ
sin
3θ
⎟⎞
2πr 2 ⎝
2 2⎠
⎪ ⎪⎭
图 1 岩石裂纹压剪受力图 Fig.1 Force diagram of compression-shear crack
由于岩石裂纹的扩展实质上就是岩石破坏的过 程，岩石的断裂与破坏存在着必然的关系，同时岩 石的破坏准则可以充分考虑到岩石裂纹尖端的复杂 受力状态。因此，可以采用岩石的强度破坏准则来 建立岩石压剪断裂中 KΙ 和 KII 的关系，从而可以得
τ rθ
= τ xy cos(2θ ) − σ x
−σ y 2
sin(2θ )
⎪ ⎪ ⎭
通过式(1)和(2)则可以求得在直角坐标系下的 裂纹尖端应力表达式：
σx =
KI 2πr
θ cos
2
⎜⎛1 − sin θ
⎝
2
sin
3θ 2
⎟⎞ ⎠
−
⎫ ⎪
⎪
K II
sin
θ
⎜⎛ 2
+
θ cos
cos
3θ
⎟⎞
⎪ ⎪
2 岩石压剪裂纹尖端应力场
岩石裂纹压剪受力的情况见图 1。
o
当岩石裂纹受到压剪荷载作用时，裂纹尖端的 应力[12]在极坐标中可用下式表示：
σr = 2
1⋅ 2πr
⎫ ⎪ ⎪
⎡ ⎢⎣
cos
2
+
KII (3cosθ
−1) sin
θ 2
⎥⎦⎤⎪⎪⎪
⎬ (1)
σθ = 2
1 2πr
2πr 2 ⎝
2 2⎠ ⎪
⎪
σy =
KI 2πr
θ cos
2
⎜⎛1 + ⎝
θ sin
2
sin
3θ 2
⎟⎞ ⎠
+⎪⎪ ⎪
⎬
(3)
K II
sin
θ
θ cos
cos
3θ
2πr 2 2 2
⎪ ⎪ ⎪
τ xy =
KI
θ sin
θ cos
cos 3θ
+
2πr 2 2 2
⎪ ⎪ ⎪
⎪
K II
θ cos
⎜⎛1
−
sin
1 2
(σ
x
−σ
y )2
+
4τ
2 xy
⎫ ⎪
⎬
(5)
σ 3 = ν (σ x + σ y )
⎪⎭
结合岩石压剪裂纹尖端的应力状态即式(3)，就 可以得到 σ 1 ， σ 2 和 σ 3 的值。 3.2 Drucker-Prager准则
Drucker-Prager 准则的表达式如下：
f = αI1 + J2 − k ≤0
cos
θ 2
[
K
I
(1
+
cosθ
)
− 3KII
sinθ ]
⎪ ⎪ ⎪
τ rθ
= 2
1 2πr
θ cos
2
[KI
sinθ
+
KII (3cosθ
⎪ −1)] ⎪
⎭
式中： KI ， KII 分别为压、剪裂纹尖端的应力强度 因子；θ ，r 分别为裂纹某点与极轴的夹角和距离； σ r ，σ θ ，τ rθ 分别为径向应力、周向应力和剪切应力。
收稿日期：2006–07–05；修回日期：2006–09–10 基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412707)；国家自然科学基金重点项目(50539110) 作者简介：周家文(1982–)，男，2003 年毕业于华东交通大学建筑工程系，现为博士研究生，主要从事岩石力学与工程方面的研究工作。E-mail： hhzjw@
Mohr-Coulumb 准则的表达式如下：
τ = c + σ tan ϕ
(4)
其中，
τ = σ1 − σ 3 sin(2β ) 2
σ = σ 1 + σ 3 + σ 1 − σ 3 cos(2β )
2
2
3 个方向的主应力 σ1，σ 2，σ 3 的计算公式如 下：
σ 1，2
=
1 2
(σ x
+σ
y)±
(6)
式中：α 和 k 均为岩石材料常数，由岩石的材料参 数内摩擦角ϕ 和黏聚力 c 决定； I1 ， J 2 分别为应力 张量第一不变量和应力偏量第二不变量，且可分别 表示为
I1 = σ1 + σ 2 + σ 3
(7)
J2
=
1 6
[(σ
1
−σ 2)2
+ (σ 2
− σ 3 )2
+ (σ 3
− σ 1)2 ]
⎬ ⎪
3(3 − sinϕ) ⎪⎭
(9)
由 6 个直角坐标系下的应力分量求应力张量第 一不变量 I1 和应力偏量第二不变量 J2 的计算公式 如下：
I1 = σ x + σ y + σ z
国内外学者对裂纹的失稳扩展研究取得了丰硕 的成果，建立了相应的断裂准则。F. Erdogan 和 G. C. Sih[1]提出了最大周向应力准则；邓宗才等[2]提出了 最大拉应变断裂准则，其基本思想是当脆性材料中 某点的拉应变大于损伤阈值时，材料产生新的微裂 纹；李建林和孙志宏[3]提出了基于 Hoke-Brown 准则 的断裂准则；李洪升等[4]提出了基于 Mohr- Coulumb 准则和最大拉应力准则的断裂判据；赵均海和魏雪 英[5]提出了基于双剪统一强度理论裂纹断裂准则； 还有应变能密度准则[6]和能量释放率准则[7]等。对于 压剪复合型断裂问题，国内外学者[1，3，5～12]对此也 进行了一系列的研究，得到了许多很有意义的结论， 但由于压剪断裂问题的复杂性，还有许多问题需要 进一步的研究，尤其是压剪复合断裂的判据。本文 在分析了压剪复合型裂纹尖端应力场的基础上，将 岩石的断裂问题与岩石的破坏准则联系在一起，建 立了岩石压剪断裂判据，并且分析了纯 II 型裂纹的 断裂韧度 K IIc 和纯 I 型裂纹的断裂韧度 KIc 的关系， 计算结果表明 KIIc / KIc 的值与岩石的力学参数泊松 比ν 和内摩擦角ϕ 有关系，而与其他岩石的力学参 数无关。