2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(交点)
+3 x+
= 1 2
0
重合
2x - 6 y = 0
(3)
y
=1 3x源自+1 2平行
5
例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
6
例2 当 k 为何值时，直线 y = kx + 3
过直线 2x - y + 1 = 0 与 y = x + 5 的交点?
§7.3.3直线与直线的位置关系 （交点）
主讲：南平高级中学 胡敬衡
1
解下列方程组
3x + 4 y - 2 = 0
(1)
2
x
+
y
+
2
=
0
2x - 6 y = 0
(3)
y
=
1 3
x
+
1 2
2x - 6 y + 3 = 0
(2)
y = 1 x+ 1 32
2
由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二元一次 方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交于一点， 那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我们想要在已 知两直线方程的前提下求出交点，又应如何?这一交点是否与 两直线方程有着一定的关系呢?
-1= 0 -2=0
(2)
l1 : (
3-
2)x + y = 7
l2 : x + ( 3 + 2) y - 6 = 0
(3)
l1l:23:x4+x
5y + 3y
1= 0 =5
12
7
例3、已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： ① 相交，② 平行，③ 重合，④ 垂直
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标]1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理4解决一些简单的相关问题． [知识链接]公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．[预习导引]1．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． (1)若从公共点的数目分，可以分为 ①只有一个公共点——相交． ②没有公共点⎩⎨⎧平行.异面.(2)若从平面的基本性质分，可以分为 ①在同一平面内⎩⎨⎧相交.平行.②不同在任何一个平面内——异面． 2．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 4．等角定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]． (3)当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .要点一空间两条直线位置关系的判断例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案①平行②异面③相交④异面解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．规律方法 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．跟踪演练1(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 (1)D (2)C解析 (1)若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，那么a 、c 可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a ∥b ，a 、c 是异面直线，那么b 与c 不可能平行，否则由公理4知a ∥c .要点二 公理4、等角定理的应用例2 在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别是棱AB 、AD 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：(1)EF 綉E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1. 证明 (1)连接BD ，B 1D 1，在△ABD 中，因为E 、F 分别为AB 、AD 的中点，所以EF 綉12BD . 同理，E 1F 1綉12B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1綉DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 因此，BD 綉B 1D 1，又EF 綉12BD ，E 1F 1綉12B 1D 1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BM∥CF1.因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綉AB，所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BM∥A1E.因此，CF1∥A1E，同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F ＝∠E1CF1.规律方法(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．跟踪演练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.要点三求异面直线所成的角例3如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD 的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．解如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綉12AD，FM綉12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝3 2，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.规律方法 1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．2．求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线．(2)证明：用定义证明前一步的角为所求．(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．跟踪演练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________；(4)AC和A1B所成的角是________．答案(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案 D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交答案 B解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条答案 A解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．4．已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝80°，则β＝________.答案80°或100°解析由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或80°.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．答案 13解析 设棱长为1， 因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角． 在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．一、基础达标1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面答案 D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)． 2．a 、b 为异面直线是指①a ∩b ＝∅，且a 不平行于b ；②a ⊂平面α，b ⊄平面α，且a ∩b ＝∅；③a ⊂平面α，b ⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b ⊂α成立．( )A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①④答案 D解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案 C解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C 中RS与PQ是异面直线．4．下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A．4 B．3C．2 D．1答案 D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．5.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E 不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC 为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.一定成立的是________．答案③解析∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．解如图，连接BD、A1D，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴DD1綉BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.二、能力提升8.(2014·信阳高一检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B 与AD1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成角为60°.9．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()A．15°B．30°C．75°D．15°或75°答案 D解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉12AB，FG綉12CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．∵AB＝CD，∴EG＝GF.当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.10．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN ∥CD.以上结论中正确的是________(填序号)．答案①③解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF 与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．11．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．解连接A1C1，BC1，由A1B1綉D1C1，A1B1綉AB，得AB綉D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1綉AD1，∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．如右图所示，过B，C1分别作BM⊥A1C1，垂足为M，C 1N ⊥A 1B ，垂足为N . 由已知可设A 1B 1＝1， 则AA 1＝BB 1＝2， ∴A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝ 2.∴点M 是A 1C 1中点， ∴A 1M ＝22.∴cos ∠BA 1C 1＝A 1M A 1B ＝225＝1010.∵在Rt △A 1NC 1中， A 1N ＝A 1C 1cos ∠BA 1C 1＝55， ∴BN ＝A 1B －A 1N ＝5－55＝455.∴cos ∠A 1BC 1＝BN BC 1＝455×15＝45.三、探究与创新12.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE ∥F A ，BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥AD，GH＝12AD.又BC∥AD，BC＝12AD，∴GH∥BC，GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解C，D，F，E四点共面．证明如下：由BE∥F A，BE＝12F A，G为F A中点知，BE∥FG，BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，EF＝BG.由(1)知BG∥CH，BG＝CH，∴EF∥CH，EF＝CH，∴四边形EFHC是平行四边形，∴CE与HF共面，又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．13.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且OAOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49.。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
立交桥
六角螺母
C A
D B
两条直线 既不平行 也不相交
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，
那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、
相交 、异面 三种. (2)没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有 可能是异面直线. (3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条 的位置关系是 相交、异面 . (4)过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已 知直线垂直.
∠ADC与∠A′D′C′相等， ∠ABC与∠A′B′C′相等.
3. 等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线
分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两 条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所 成的角.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(1)课件人教新课标
个平面.
Al
B
C
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
文字语言：
平面公理3
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
P
a
符号语言：
P 且P l且P l.
公理3是判定两个平面是否相交的根据.
∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
结论：不同在任何一个平面内的两条直线 为异面直线.
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
只有一个 共面
平行 异面
没有 没有
共面 不共面
立交桥
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
C1 B1
D A
C B
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
张喜林制[2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
角是45 o (2)连接FH，
∥ ∥ ∵HD ∥ EA ， EA FB ∴HD FB = = =
H E
O
G
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
F
D
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作 直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
b b′
a′″
O
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就 称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
O
H E
G
在空间,如图所示, 正方体
ABCD－EFGH中, 异面直线AB
F D
C B
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
A
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成角: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线 a与b所成的角(或夹角).
(如线段的端点,线段的中点等)
例题示范
例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA'和CC'的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？ 解：（2）由 BB // CC 可知， BBA等于异面直线 CC 与 BA 的夹角,所以异面直线 CC 与 BA 的夹角为450 。 (3) 直线 AB, BC , CD, DA, AB, BC , C D, DA 与直线 AA 都垂直.
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（2）空间两条异面直线的画法
借助平面来反映线与线的异面关系
（3）异面直线的判定方法
证明和判断异面直线的方法有两种：
（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，此时需借反证法；
（2）定理法：
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（1）证明： ， ， ；
（2）求 的值。
有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：
（1）利用等角定理及其推论；
（2）利用三角形相似；
（3）利用三角形全等；
例4、如图所示，设 分别是空间四边形 的边 上的点，且 ，求证：
（1）当 时，四边形 是平行四边形；
（2）当 时，四边形 是梯形；
第二课时 异面直线及其夹角
推理模式： 与 是异面直线。
图形：
注：判定两直线为异面直线的常用方法是排除法核心思想是反证法。
2、异面直线所成的角
已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 所成的角（或夹角）。
若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作： ，以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的即有共面垂直，也有异面垂直这两种情形；
（5）求异面直线所成的角的基本步骤：一作、二证、三计算；
一“作”：作平行线，将“异面直线”的空间问题转化为“相交直线”的平面问题来解决，这是我们解决立体几何问题的常用方法；
作平行线的方法一般有三种：
①直接平移法；②中位线平移法（含成比例线平移法）；③补形平移法。
作平行线往往是在某个平面中完成，因此需要寻找一个“方便面”，该面的特点是：该面包含其中一条异面直线；该面与另一条异面直线相交，即方便作“平行线”。
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
α
β
方向相同或相反，结果如何？
β γ
α
一组边的方向相同，而另一组边的 方向相反，又如何？
β α
，互补
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的
角.
D1
C1
A1
B1
45
C
o
D
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB = 2 3 , AD = 2 3 ,AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答：
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
O
G
小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线
异面直线
异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
l1
A
l2
记作： l1 l2 A
l1
l2
两直线平行 ②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系ppt
.
在正方体A 在正方体 1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对直线的位 中 置关系
（1）AB和C1D1； ） 和 （2）A1C和D1B： ） 和 ： （3）AB和CC1； ） 和 ； A1 D A B D1 B1 C C1
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 异面直线
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A D C F B
作业： 作业：P51
习题 2.1
4、6、 、 、
空间两直线的位置关系： 空间两直线的位置关系： （1）从公共点的数目来看可分为： ）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线 ②没有公共点则 两直线为异面直线 （2）从是否共面，可分为： ）从是否共面，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 则两直线为异面直线。 ②不同在任何一平面内,则两直线为异面直线。 不同在任何一平面内 则两直线为异面直线
2.1.2空间中直线与直线 空间中直线与直线 之间的位置关系
在初中几何中，我们学过平行公理： 在初中几何中，我们学过平行公理： 平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 另外，我们还学过平行线的另一条重要性质： 另外，我们还学过平行线的另一条重要性质： 重要性质 在同一平面内， 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行。 那么这两条直线也互相平行。
O
.
α
a
Oห้องสมุดไป่ตู้
.
a1
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 相垂直. 相垂直
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思考1 思考1：教室内的日光灯管所在的直线与 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 也不平行；天安门广场上， 也不平行；天安门广场上，旗杆所在的 直线与长安街所在的直线， 直线与长安街所在的直线，它们既不相 也不平行.你还能举出这样的例子吗 你还能举出这样的例子吗? 交，也不平行 你还能举出这样的例子吗?
知识探究（ ）：等角定理 知识探究（三）：等角定理
思考1:在平面上， 思考1:在平面上，如果一个角的两边与 1:在平面上 另一个角的两边分别平行， 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？ 角的大小有什么关系？
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ ABCD-的底面是平行四边形， ADC与 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与 B′A′D′的两边分别对应平行 的两边分别对应平行， ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何 ?
例题讲解
在正方体ABCD— 分别是AA AB的中点 的中点， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 ，E、F分别是AA1、 AB的中点， 试判断下 ABCD 列各对线段所在直线的位置关系： 列各对线段所在直线的位置关系： AB与 DC； （1）AB与CC1；（2）A1B1与DC； DC与 CF. （3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.
例题讲解
例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 如图, 正方体ABCD-A′B′C′D′中 ABCD 直线A′B CC′的夹角是多少 A′B和 的夹角是多少？ （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ 哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ AA′垂直 （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？ A′B垂直 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
思考5:若点O的位置不同，则直线a′与 思考5:若点O的位置不同，则直线a′与 5:若点 a′ b′的夹角大小发生变化吗 为什么？ 的夹角大小发生变化吗？ b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为 了作图方便， 宜选在何处？ 了作图方便，点O宜选在何处？
b
O
α
a b'
b' a' o a' o'
知识探究（ ）：两条直线垂直 知识探究（二）：两条直线垂直 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 1: 0°，那么两条异面直线所成的角的取值 范围是什么？ 范围是什么？
思考4 把两条异面直线分别平移， 思考4：把两条异面直线分别平移，使之 在某处相交得到两条相交直线， 在某处相交得到两条相交直线，我们用 这两条相交直线所夹的锐角 或直角)来 锐角(或直角 这两条相交直线所夹的锐角 或直角 来 反映异面直线的相对倾斜程度， 反映异面直线的相对倾斜程度，并称之 异面直线所成的角.你能给 你能给“ 为异面直线所成的角 你能给“异面直线 b 所成的角”下个定义吗？ 所成的角”下个定义吗？ bˊ
思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 4:综上分析我们可以得到什么定理 定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补. 对应平行，那么这两个角相等或互补 思考5:上面的定理称为等角定理， 思考5:上面的定理称为等角定理，在等 5:上面的定理称为等角定理 角定理中， 角定理中，你能进一步指出两个角相等 的条件吗？ 的条件吗？ 角的方向相同或相反
A H E D B F G C
例3
作业: 作业: 习题2.1A组：3，6. 习题2.1A组 2.1A
知识探究（ ）：异面直线所成的角 知识探究（一）：异面直线所成的角
思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置 思考1:两条相交直线、 1:两条相交直线 关系，分别是通过什么几何量来反映的？ 关系，分别是通过什么几何量来反映的？ 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度， 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度， 2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度 若将两异面直线分别平行移动， 若将两异面直线分别平行移动，它们的相对 倾斜度是否发生变化？ 倾斜度是否发生变化？ 思考3: 3:设想用一个角反映异面直线的相对倾 思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾 斜度，但不能直接度量， 斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决 这个矛盾？ 这个矛盾？
C' D' C D A A' B D' C D A B' C' A' B B'
思考3:如图，在空间中AB// A′B′， 思考3:如图，在空间中AB// A′B′， 3:如图 A′C′，你能证明∠BAC与 AC// A′C′，你能证明∠BAC与 相等吗？ ∠B′A′C′ 相等吗？ C´ ´
E´ A´ E A D B D´ C B´
D′ A′ D A B B′ C C′
例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分 如图，在四面体ABCD中 ABCD AE BF 1 别是棱AD，BC上的点,且 ED = FC = 2 别是棱AD，BC上的点, AD 上的点 已知AB=CD=3， = 3 ,求异面直线AB和 已知AB=CD=3， 求异面直线AB和 AB=CD=3 EF AB A CD所成的角 CD所成的角. 所成的角
问题提出
1.同一平面内的两条直线有哪几种位 1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系? 置关系? 2.空间中的两条不同直线除了平行和 2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外， 相交这两种位置关系外，还有什么位 置关系呢? 置关系呢?
知识探究（ ）：异面直线的概念 知识探究（一）：异面直线的概念
D C F D A B E A B E C F
思考4:通过上述实验可以得到什么结论？ 思考4:通过上述实验可以得到什么结论？ 4:通过上述实验可以得到什么结论 公理4 公理4 平行于同一直线的两条直线互 相平行. 相平行. 思考5:公理4叫做三线平行公理， 思考5:公理4叫做三线平行公理，它说明 5:公理 三线平行公理 空间平行直线具有传递性， 空间平行直线具有传递性，在逻辑推理 中公理4有何理论作用？ 中公理4有何理论作用？
(0,
π
2
]
思考2:如果两条异面直线所成的角是 思考2:如果两条异面直线所成的角是 2: 90° 则称这两条直线互相垂直 两条直线互相垂直. 90°，则称这两条直线互相垂直.两条互 相垂直的异面直线a 记作a⊥b. 相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 在 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线? 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线
思考5:空间中的直线与直线之间有几种 思考5:空间中的直线与直线之间有几种 5: 位置关系？它们各有什么特点？ 位置关系？它们各有什么特点？
相交直线: 相交直线 共面直线 同一平面内， 同一平面内，有且 只有一个公共点； 只有一个公共点；
同一平面内， 同一平面内，没有 平行直线: 平行直线 公共点； 公共点； 异面直线: 不同在任何一个平面内， 异面直线 不同在任何一个平面内，没有 公共点
知识探究（ ）：三线平行公理 知识探究（二）：三线平行公理
思考1:设直线a//b，将直线a 思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作 1:设直线a//b 平行移动，在平移过程中a 平行移动，在平移过程中a与b仍保持平 行吗 ?
思考2:如图, 在长方体ABCD ABCD— 思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′ 2:如图 ,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′ BB′与 中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与 DD′平行吗 DD′平行吗 ?
如图，空间四边形ABCD中 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， ABCD 分别是AB BC，CD，DA的中点 AB， 的中点. H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. EFGH是平行四边形 (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? EFGH是什么图形 (2) 若AC=BD表面展开图, 例2 如图是一个正方体的表面展开图,如 A 果将它还原为正方体，那么AB CD，EF， AB， 果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF， GH这四条线段所在直线是异面直线的有 GH这四条线段所在直线是异面直线的有 A 多少对? 多少对? D
C A G D H E F E B H G C B F
D' A' D A B B' C C'
思考3 取一块长方形纸板ABCD， 思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分 ABCD 别为AB CD的中点 将纸板沿EF折起， AB， 的中点， EF折起 别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起， 在空间中直线AD BC的位置关系如何 AD与 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
C' B' C B A A' D D'
思考3 在平面几何中， 思考3：在平面几何中，垂直于同一条直 线的两直线互相平行 平行， 线的两直线互相平行，在空间中这个结 论还成立吗 ?
思考4 思考4：如果两条平行直线中有一条与某 一条直线垂直,那么另一条是否也与这条 一条直线垂直 那么另一条是否也与这条 直线垂直？为什么？ 直线垂直？为什么？
思考2:如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段 2:如图 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线 线段BC 所在直线分别与线段CD′所在直线， A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段BC 所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何? CD所在直线的位置关系如何 所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?