2022年浙江各地中考数学真题按知识点分类汇编专题15 压轴题(含详解)

专题15 压轴题一、解答题1．（2022·杭州）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且2AE BF =，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．(1)如图1，若4AB =，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH的面积，(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ． ①求证：2EK EH =；②设AEK α∠=，FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为1S ，2S ．求证：2214sin 1S S α=-． 2．（2022·湖州）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ． ①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=． (2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S -与S 之间的等量关系，并说明理由．3．（2022·嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1AB （如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造DPE ，使得DPE ∽CPB ．①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．②如图4，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ），猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．4．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 5．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠． (2)求证：△≌△BDE FDG ． (3)如图2，AD 为O 的直径． ①当AB 的长为2时，求AC 的长．②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．6．（2022·绍兴）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．(1)如图，当E 在边AD 上且2DE =时，求AEM ∠的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由． (3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．7．（2022·金华）如图，在菱形ABCD 中，310,sin 5AB B ==，点E 从点B 出发沿折线B C D --向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图1，点G 在AC 上．求证：FA FG =．(2)若EF FG =，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知8FG =，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与BEF 相似（包括全等）？8．（2022·丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在射线AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长． 9．（2022·台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度为h （单位：m ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度为EF 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5EF=；h=，0.5m①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．专题15 压轴题一、解答题1．（2022·杭州）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且2AE BF =，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．(1)如图1，若4AB =，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH的面积，(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ． ①求证：2EK EH =；②设AEK α∠=，FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为1S ，2S ．求证：2214sin 1S S α=-． 【答案】(1)5；(2)①见解析；②见解析 【解析】(1)解：∵4AB =，点M 是边AB 的中点， ∴2AE BE ==， ∵2AE BF =， ∴1BF =， 由勾股定理，得2225EF BE BF =+=， ∴正方形EFGH 的面积为5．(2)解：①由题意知90KAE B ∠=∠=︒， ∴90EFB FEB ∠+∠=︒， ∵四边形EFGH 是正方形， ∴90HEF ∠=︒， ∴90KEA FEB ∠+∠=︒， ∴KEA EFB ∠=∠，∴KEA EFB ∽△△， ∴2KE AE EF BF==． ∴22EK EF EH ==．②由①得HK HE GF ==，又∵90KHI FGJ ∠=∠=︒，KIH FJG ∠=∠，∴KHI FGJ ≌△△， 设KHI △的面积为1S ．∵∠K =∠K ， ∠KHI =∠A =90°，∴KHI KAE ∽△△， ∴2222122244sin 12S S KA KA KA S KH KE KE α⎛⎫ ⎪+⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， ∴2214sin 1S S α=-． 2．（2022·湖州）已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ，b 分别表示∠A ，∠B 的对边，a b >．记△ABC 的面积为S ．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ． ①若19S =，216S =，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=． (2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在△ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S -与S 之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①6；②见解析；(2)2114S S S -=，理由见解析 【解析】(1)∵19S =，216S = ∴b ＝3，a ＝4 ∵∠ACB ＝90°∴11S ab 34622==⨯⨯=②由题意得：∠F AN ＝∠ANB ＝90°，∵FH ⊥AB ∴∠AFN ＝90°－∠F AH ＝∠NAB ∴△F AN ∽△AN B ∴FA AN AN NB=∴a b aa b+=， 得：22ab b a += ∴122S S S +=． 即212S S S -= (2)2114S S S -=，理由如下： ∵△ABF 和△BEC 都是等边三角形∴AB ＝FB ，∠ABC ＝60°－∠FBC ＝∠FBE ，CB ＝EB ∴△ABC ≌△FBE （S A S ） ∴AC ＝FE ＝b ∠FEB ＝∠ACB ＝90° ∴∠FEC ＝30°∵EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a∴cos30b FE a CE ==︒=∴b =∴212S ab ==由题意得：21S =，22S =∴22221S S -== ∴2114S S S -=3．（2022·嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1AB （如图1），用直尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由．(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造DPE ，使得DPE ∽CPB ．①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．②如图4，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ），猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．【答案】(1)赞同，理由见解析，(2)①45︒，②点N 是线段ME 的“趣点”，理由见解析 【解析】(1)证明：赞同，理由如下： 等腰直角三角形ABC ，,45,AC BC A B 21cos 45,22ACAB ,AC AP 1,2AP AB ∴点P 为线段AB 的“趣点”． (2)①由题意可得：45,90,,CABB ACB AC AP BC11804567.5,2ACP APC9067.522.5,BCP 1804522.5112.5,CPBDPE ∽CPB ，D ，A 重合，112.5,DPE CPB 18045.CPE DPE CPB ②点N 是线段ME 的“趣点”，理由如下：当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ）， 1,2AD AC 而,AC AP 1,2AD AP1,,2AC A A AB ,ADP ACB ∽90,ADP ACB 45,,APD DP CB ∥22.5,DPC PCB PDE ,DMPM 9022.567.5,MDC MCD ,MD MC 同理可得：,MCMN,MP MD MC MN 22.5,45,MDP MPD E B 45,90,EMP MPE 1,2MP MNME ME∴ 点N 是线段ME 的“趣点”．4．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值．【答案】(1)158；(2)5544y x =+；(3)①97或2111；②199 【解析】(1)解：如图1，连结OD ．设半圆O 的半径为r ．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CD ⊥．∵BE CD ⊥， ∴OD BE ∥，∴△∽△COD CBE ， ∴OD CO BE CB=， 即535r r -=， ∴158r =，即半圆O 的半径是158．(2)由（1）得：1555284CA CB AB =-=-⨯=． ∵5,4AP BQ x BQ ==， ∴54AP x =． ∵CP AP AC =+， ∴5544y x =+． (3)①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情况． ⅰ）当90RPQ ∠=︒时，如图2．∵PR CE ⊥，∴90ERP ∠=︒． ∵90E ∠=︒，∴四边形RPQE 为矩形， ∴PR QE =．∵333sin 544PR PC C y x =⋅==+， ∴33344x x +=-， ∴97x =．ⅰ）当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，如图3，则四边形PHER 是矩形， ∴,PH RE EH PR ==． ∵5,3CB BE ==，∴4CE ==． ∵4cos 15CR CP C y x =⋅==+， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-，由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =． 综上所述，x 的值是97或2111．②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠'∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ， ∴∠EQR =∠PRQ ， ∵BQ x =，5544CP x =+，∴EQ =3-x ，∵PR ∥BE ，∴CPR CBE △∽△，∴CP CB CR CE=， 即：x CR +=555444，解得：CR =x +1，∴ER =EC -CR =3-x ，即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°，∴45F QR EQR ∠=∠='︒∴90BQF ∠='︒， ∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径，∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 5．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠．(2)求证：△≌△BDE FDG ．(3)如图2，AD 为O 的直径．①当AB 的长为2时，求AC 的长．②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．【答案】(1)902︒∠=-BFD α；(2)见解析；(3)①3；②5cos 8α= 【解析】(1)∵∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，①又∵180∠+∠=︒AFB BFD ，②②-①，得2180∠=︒-BFD α， ∴902︒∠=-BFD α．(2)由（1）得902︒∠=-BFD α，∵∠=∠=ADB ACB α， ∴180902∠=︒-∠-︒-∠=FBD ADB BFD α，∴DB DF =．∵FG AC ， ∴∠=∠CAD DFG ．∵CAD DBE ∠=∠，∴∠=∠DFG DBE ．∵BE FG =，∴()BDE FDG SAS △≌△．(3)①∵△≌△BDE FDG ，∴∠=∠=FDG BDE α，∴2∠=∠+∠=BDG BDF EDG α．∵DE DG =， ∴()11809022∠=︒-∠=︒-DGE FDG α， ∴在BDG 中，3180902∠=︒-∠-∠=︒-DBG BDG DGE α， ∵AD 为O 的直径，∴90ABD ∠=︒． ∴32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α． ∴AC 与AB 的度数之比为3∶2．∴AC 与AB 的的长度之比为3∶2，∵2AB =，∴3=AC ．②如图，连结BO ．∵OB OD =，∴∠=∠=OBD ODB α，∴2∠=∠+∠=BOF OBD ODB α．∵2∠=BDG α，∴∠=∠BOF BDG ． ∵902∠=∠=︒-BGD BFO α， ∴△∽△BDG BOF ，设BDG 与BOF 的相似比为k ， ∴==DG BD k OF BO ． ∵411=OF OE ， ∴设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，，∴114==+=+OB OD OE DE x kx ，154==+BD DF x kx ， ∴154154114114++==++BD x kx k BO x kx k ， 由154114+=+k k k，得247150+-=k k ， 解得154k =，23k =-（舍）， ∴11416=+=OD x kx x ，15420=+=BD x kx x ，∴232==AD OD x ，在Rt ABD △中，205cos 328∠===BD x ADB AD x ， ∴5cos 8α=． 6．（2022·绍兴）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．(1)如图，当E 在边AD 上且2DE =时，求AEM ∠的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90°；(2)DE ＝103；MN ∥BD ，证明见解析；(3)DE 的长为 【解析】(1)解：∵DE =2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°，由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM =∠AEB+∠BEM ＝90°；(2)如图1， ∵AB =6，AD =8，∴由勾股定理得BD =10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．由对称性得，∠ENC ＝∠BDC ，∴cos ∠ENC ＝2610EN =， ∴EN ＝103， ∴DE ＝EN ＝103； 直线MN 与直线BD 的位置关系是MN ∥BD ．由对称性知BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，又∵BN ＝BD ，∴△BMN ≌△DCB （SSS ），∴∠DBC ＝∠BNM ，所以MN ∥BD ；(3)①情况1：如图2，当E 在边AD 上时，直线MN 过点C ，∴∠BMC ＝90°，∴MC =∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∠BMC ＝∠EDC ＝90°，∴△BCM ≌△CED （AAS ），∴DE ＝MC ＝②情况2：如图3，点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝CN ＝8-∵∠BMC ＝∠CNE ＝∠BCD ＝90°，∴∠BCM ＋∠ECN ＝90°，∵∠BCM ＋∠MBC ＝90°，∴∠ECN ＝∠MBC ，∴△BMC ∽△CNE ， ∴BM MC CN EN=，∴EN MC CN BM ⋅=∴DE ＝EN综上所述，DE 的长为 7．（2022·金华）如图，在菱形ABCD 中，310,sin 5AB B ==，点E 从点B 出发沿折线B C D --向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．(1)如图1，点G 在AC 上．求证：FA FG =．(2)若EF FG =，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．(3)已知8FG =，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与BEF 相似（包括全等）？【答案】(1)见解析(2)7AG =或5(3)1s =或3225s =或327s =或1012s ≤≤ 【解析】(1)证明：如图1， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BA BC =，∴BAC BCA ∠=∠．∵FG BC ，∴FGA BCA ∠=∠，∴BAC FGA ∠=∠，∴△AFG 是等腰三角形，∴FA FG =．(2)解：记AC 中点为点O ．①当点E 在BC 上时，如图2，过点A 作AM BC ⊥于点M ，∵在Rt ABM 中，365AM AB ==，∴8BM =．∴6,2FG EF AM CM BC BM ====-=，∵,OA OC OE AM =∥，∴112122CE ME CM ===⨯=， ∴1AF ME ==，∴167AG AF FG =+=+=．②当点E 在CD 上时，如图3，过点A 作AN CD ⊥于点N ．同理，6,2FG EF AN CN ====，112AF NE CN ===， ∴615AG FG AF =-=-=．∴7AG =或5．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，作AN CD ⊥于点N ．①当点E 在线段BM 上时，08s <≤．设3EF x =，则4,3BE x GH EF x ===， ⅰ）若点H 在点C 的左侧，810s +≤，即02s <≤，如图4， 10(48)24CH BC BH x x =-=-+=-．∵GHC FEB △∽△，∴GH CH EF BE=，∴GH EF CH BE =， ∴33244x x =-， 解得14x =， 经检验，14x =是方程的根， ∴41s x ==．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34243x x =-， 解得825x =， 经检验，825x =是方程的根， ∴32425s x ==． ⅰ）若点H 在点C 的右侧，810s +>，即28s <≤，如图5，(48)1042CH BH BC x x =-=+-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =，∴33424x x =-， 此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴34423x x =-， 解得87x =，经检验，87x =是方程的根， ∴3247s x ==． ②当点E 在线段MC 上时，810s <≤，如图6，6,8,EF EH BE s ===．∴8,2BH BE EH s CH BH BC s =+=+=-=-．∵GHC FEB △∽△， ∴GH CH EF BE =， ∴GH EF CH BE =， ∴662s s=-， 此方程无解．∵GHC BEF △∽△， ∴GH CH BE EF =， ∴GH BE CH EF =， ∴626s s =-，解得1s =±经检验，1s =∵810s <≤，∴1s =③当点E 在线段CN 上时，1012s ≤≤，如图7，过点C 作⊥CJ AB 于点J ，在Rt BJC △中，10,6,8BC CJ BJ ===．8,EH BJ JF CE ===，∴BJ JF EH CE +=+，∴CH BF =，∵,90GH EF GHC EFB =∠=∠=︒，∴GHC EFB △≌△，符合题意，此时，1012s ≤≤．④当点E 在线段ND 上时，1220s <<，∵90EFB ∠>︒，∴GHC 与BEF 不相似．综上所述，s 满足的条件为：1s =或3225s =或327s =或1012s ≤≤． 8．（2022·丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在射线AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)证明过程见解析；(2)57；352或22+【解析】(1)证明：如图，设CD 与AB 相交于点M ， ∵O 与AH 相切于点A ， ∴90BAG ，∵CD AB ⊥，∴90AMC ∠=，∴AG CD ∥， ∴CAG ACD ，AGC FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴CAG AGC ∠=∠．(2)解：过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：FCD FAD ，∵AB 为O 的直径，且CD AB ⊥，由垂径定理可知：AC AD =，∴ACD ADC ∠=∠，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴FAD FCD ACD ADC ∠=∠=∠=∠，即FAD ADC ∠=∠，∴DP AP =，由同弧所对的圆周角相等可知：ACP DFP ，且CPA FPD ， ∴CPA FPD △≌△，∴PC PF =，∵FK AB ⊥，AB 与CD 交于点N ，∴90FKE CNE ． ∵KEF NEC ，90FKE CNE ， ∴KEF NEC △∽△，∴25KEEFEN CE ，设KE =2x ，EN =5x ， ∵点A 关于CD 的对称点为E ，5AN EN x ∴==，10AE AN NE x =+=，12AK AE KE x =+=，又FK PN ∥，∴APN AFK ， ∴551212PA ANx AF AK x ． ∵FCD CDA ，∴CF AD ∥， ∴57DPAP AP CP PF AF AP ； (3)解：分类讨论如下：解：如图1中，当∥OC AF 时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，则CAG ACD DCF AFG α∠=∠=∠=∠=，∵∥OC AF ，OCF AFC α∴∠=∠=，OC OA =，3OCA OAC α∴∠=∠=，45OAG ∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，OC OF =，OA OF =，22.5OFC OCF AFC ∴∠=∠-∠=︒，45OFA OAF ∴∠=∠=︒，AF ∴==，∵∥OC AF ，AE AF OE OC∴=∴， 1OA =，2AE ∴=2中，当∥OC AF 时，连接OC ，设CD 交AE 点M ．设OAC α∠=，∵∥OC AF ，FAC OCA α∴∠=∠=，2COE FAE α∴∠=∠=，AFD D ∠=∠，AGF D ∠=∠，3AGC AFG AEC FAE α∴∠=∠=∠+∠=，90AGC AEC ∠+∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，245α=︒，COM ∴∆是等腰直角三角形，OC ∴，OM ∴=1AM =，22AE AM ∴==如图3中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，2ACF ACD DCF α∠=∠+∠=，∵AC OF ∥，2CFO ACF α∴∠=∠=，4CAO ACO α∴∠=∠=，180AOC OAC ACO ∠+∠+∠=︒，10180α∴=︒，18α∴=︒，36COE ECO CFO ∴∠=∠-∠=︒，OCE FCO ∴∆∆ 、，2OC CE CF ∴=⋅ 、， ()11CE CE ∴=+ 、，CE AC OE ∴===AE OA OE ∴=-； 如图4中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，BF ．设FAO α∠=，∵AC OF ∥，CAF OFA α∴∠=∠=，2COF BOF α∴∠=∠=，AC AE =，AEC CAE EFB ∴∠=∠=∠，BF BE ∴=，由OCF OBF ∆≅∆，CF BF BE ∴==，E COF ∠=∠，COF CEO ∴∆∆，2OC CE CF ∴=⋅，BE CF ∴==AE AB BE ∴=+=．综上所述，满足条件的AE 的长为22352或 9．（2022·台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度为h （单位：m ）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度为EF 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.5m ，灌溉车到l 的距离OD 为d （单位：m ）．(1)若 1.5h =，0.5m EF =；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d 的取值范围；(2)若1m EF =．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h 的最小值．【答案】(1)①6m ；②(2,0)；③21d ≤≤；(2)6532【解析】（1）①如图1，由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点，设2(2)2y a x =-+． 又∵抛物线经过点(0,1)5.， ∴1.542a =+，∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+． 当0y =时，21(2)208x --+=，∴16x =，22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =，∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，即点B 是由点C 向左平移4m 得到，则点B 的坐标为(2,0)．③如图2，先看上边缘抛物线，∵0.5EF =，∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时，21(2)20.58x --+=．解得2x =±∵0x >，∴2x =+当0x >时，y 随着x 的增大而减小，∴当26x ≤≤时，要使0.5y ≥，则2x ≤+∵当02x ≤<时，y 随x 的增大而增大，且0x =时， 1.50.5y =>，∴当06x ≤≤时，要使0.5y ≥，则02x ≤≤+∵3DE =，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d 的最大值为(231+-=．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤，∴d 的最小值为2．综上所述，d 的取值范围是21d ≤≤．(2)h 的最小值为6532． 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点，∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0，h ） ∴40.5y a h h =++=解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =，∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的，∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D ，F 恰好分别在两条抛物线上， ∵DE =3∴设点(),0D m ，()3,0E m +，213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭， ∵D 在下边缘抛物线上，∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦， 解得 2.5m =，代入21(2)0.508m h -+++=，得6532h =． 所以h 的最小值为6532．。