小学奥数教程：中国剩余定理 及余数性质拓展_全国通用(含答案)
小学奥数：中国剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。
① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23…它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29…它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。
解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26…再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28…这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30…就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。
奥数数论：中国剩余定理例题及答案（一）
奥数数论：中国剩余定理例题及答案（一）展开全文中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
下面通过一系列经典例题讲解，帮助大家学好中国剩余定理。
例1：一个住校生，家里每星期给他36元生活费。
该生每天实际只用生活费5元，某天他小姨到学校看他并给了50元钱，他用此钱买了两本喜爱的课外读物花10元，买学习用具花2元，放假回家后说明情况并给家长交回55元。
问：该生带几个星期的生活费？实际在校住几天？一共有多少钱？花去多少钱？用方法二解：列式（36×□＋50－10－2）÷5＝□……55元｛36×（5＋55-50＋10＋2）＋50－10－2｝÷（5×36）＝（36×22＋50－10－2）÷180＝830÷180 (110)答;1，（110－50＋10＋2）÷36＝2，（括号内□内最小数）2，（110－55）÷5＝11，（括号外□内最小数）336×2＋50＝122，4，122－55＝67。
答：该生带2个星期的生活费，实际住校11天，一共有122元，花去67元。
例2：有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?解答：5和9的公倍数依次是45、90、135、180、225……这些公倍数中，被7除余1的数是2259和7的公倍数依次是63、126、189、252……这其中，被5除余2的是2525和7的公倍数是35、70、105、140、……其中被9除余5的数是140把以上225252140三个数相加，求得225+252+140=617579三个数的最小公倍数是5*7*9=315 617-315=302因此302就是这个年级至少人数。
小学奥数-中国剩余定理
9+11=20 20÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件； 20+11=31 31÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件； 但31÷4 =7……3，不符合“除以4余1"的条件； 31+99=130，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条
件； 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 因此这堆糖果至少有229个。
“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这 队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一 行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队 从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（10人）。
实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整 除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统 算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。 这就是 著名的中国剩余定理。
例6、今有物不知其数， 三三数之剩二， 五五 数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？
题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
所以这个两位数是56，70，84的公因数，答 案是14 。
例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个 10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个. 这盒乒乓球至少有多少个?
因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不 论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数， 都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
小学奥数—中国剩余定理及余数性质拓展
．
【例 22】在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被 7 整除，最大的 能被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
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【例 23】有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的能被 19 整除，请写出 一组这样的三个连续自然数．
【例 7】 某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是
。
【例 8】 一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？
【巩固】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？
【例 17】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向， 每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔．他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔．他 又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔．最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这 个圆圈上共有多少个孔吗?
与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a 21b 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍 数．
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❖ 这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准 备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌 诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是 多少呢?
❖ 歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数； 21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是 能被3和5整除，而被7除余1的最小数。
❖ 利用这个思路，我们来解答例7。 ❖ 因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。 ❖ 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
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例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
❖ 能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 ❖ 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7
除余1的最小数是225；能被5和7整除，而被9除余1 的最小数是280。 ❖ 1×126+2x225+4×280=696。 ❖ 这个数显然太大，接下来就要减去5、7和9的最小 公倍数315， ❖ 直到最后的结果小于315为止。 ❖ 1696 - 315×5 = 121。 ❖ 所以这个数最小是：121。
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
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例5、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4 个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?
❖ 这个问题可以概括为：一个数，除以4余1，除以9余4，除以 11余9。
件； ❖ 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 ❖ 因此这堆糖果至少有229个。
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第15讲 余数定理(含答案)
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（）71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
小学奥数余数性质（一）精选练习例题含答案解析（附知识点拨及考点）
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×23×1616除以5的余数等于3×3×11＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×23×1919除以5的余数等于3×3×44除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4678967除以9的余数为7知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥数余数性质(二)精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
余数性质（二）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃 9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与 b的和除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数之和，或这个和除以 c的余数。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39除以 5的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如： 23，19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23+19＝42除以 5的余数等于 3+4=7 除以 5的余数为 22.余数的加法定理a与 b的差除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数之差。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23－ 16＝7除以 5的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如： 23，14除以 5的余数分别是 3和 4，23－14＝9除以 5的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与 b的乘积除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23×16 除以 5的余数等于 3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。
例如： 23，19除以 5的余数分别是 3和 4，所以 23×19 除以 5的余数等于 3×4除以 5的余数，即 2. 乘方：如果 a与 b除以 m的余数相同，那么 a n与b n除以 m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以 9 的余数为 11898除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。
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1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：⨯+⨯+⨯±=-，其中k是自然数。
k k270321245[3,5,7]233[3,5,7]也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
例题精讲模块一、余数性质综合【例 1】一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是。
【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】除以3余2的数有：2、5、8、11、14除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11【答案】11【例 2】有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。
这时．又窜来4只猴子。
只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___个。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分【解析】56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,55的约数有：1、5、11、55，其中只有11=7+4，所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55÷11=5个.【答案】5【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。
但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分【解析】56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。
【答案】7【例 3】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118=1310=3--，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。
【答案】140【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。
问最多有多少名同学?【考点】余数性质综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第10题【解析】 此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。
13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学。
【答案】93【例 4】 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】 题意相当于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。
【答案】59【巩固】 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是 。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分【解析】 这个数加1能同时被2，3，4，5，6整除，而 [2，3，4，5，6]=60所以这个数最小是 60－1=59。
【答案】59【巩固】n 除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15。
n 最小为 。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分【解析】n 加上1后变成116~的公倍数，所以1n +最小为169571113720720⨯⨯⨯⨯⨯=，n 最小为720719。
【答案】720719【巩固】 小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。
那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第9题【解析】 那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整除，能同时被3,4,5整除最小整数位60。
所以这次活动小朋友至少拿了59个玩具。
【答案】59【巩固】 小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。
那么一起做游戏的小朋友至少有 人。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分【解析】 这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人【答案】59【例 5】 一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而[]7,8,9504=，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是570111573+++=，而504950485047787989191÷+÷+÷=⨯+⨯+⨯=，5731913÷=，所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504361506⨯-=．【答案】1506【例 6】数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有几个？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】[1，2，3，4，5，6]60=．三位数中60的倍数15个．所以，除了119外，还有15114-=（个）．【答案】14【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3题【解析】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上2之后是24，28，32的公倍数，而[24,28,32]672=，所以这批书的本数是k-(k是整数).由于这批书少于1000本，所以k只能为1，这批书有670本.6722【答案】670本【例 7】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。