静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴
§I-1 静矩和形心
1． 静矩定义：
?
?
?
??==??A
y
A Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。
（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。
（3）量纲为长度的三次方。 2．形心坐标计算公式
（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。
（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。
?
??????==
?
?
?
==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。
Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。 Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA n
n
=
=
2
2·2
0210+=
+=
===++??
?n ab
n z b a dz
Z b
a
dz Z b a Z zdA S b
n n A b
o
n n
n n b y
②
()11100+=+====+???n ab
n b ab dz Z b a ydz dA A n n b
n n b
A
()2
1122++=
++==n b
n n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。 （1）
组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组
（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。
?
?
???
==∑∑==n
i i i y n
i i i Z z A S y A S 11
?????
??????
==∑∑
∑∑====n
i i n
i i i n
i i n
i i
i A z A z A y
A y 111
1
Example1 试求图形形心坐标z y ,
Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故
()
()
cm
O A A Z A Z A z y 67.12040
4
4
5200
22
22
12
211=--??-
=
++==π
π
Example2 求组合图形的形心坐标，z y ，
Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cm
y 988.111==
[No.9 90×90×10
A 2=17.2cm 2
()59.21859.222-=-=z cm
y
Solution ：以yz 作为参考坐标轴
()
cm
A A Z A Z A z 57.112
.177.255.2182.17957.2212211=+-?+?=++=
()cm
A A y A y A y 0874.02
.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+?=++=
§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义
??
?
??==??A z A y dA y I dA z I 2
2 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方
力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ?
??
==2
2··z z y y i A I i A I 2．惯性半径
???
??
??=
=A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径
i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。 3．惯性矩与极惯性矩的关系 （1）极惯性矩：
?=A
p dA I 2ρ
（2）
()
????+=+=+==A
z y A
A
A
p I I dA y dA z dA y z dA I 22222ρ
4．组合图形惯性矩的计算
当平面图形由若干个简单图形组成时，根据惯性矩的定义，可以先算出每个简单图形对某一轴的惯性矩，然后求其总和即整个图形对同一轴的惯性矩。
?
?
???
==∑∑==n
i zi z n
i yi y I I I I 11
Example1 试计算图形对y 、z
Soution
（1）
12·32/2/2
2bh dz z b dA z I bdz dA h h A y =
===??- （2）
12
y ·32
/2/2
2
hb dy h dA y I dy
h dA b b A z =
?===??-
Example2 试计算图形对y 、z 轴的惯性矩 Soution ：
（1）利用惯性矩与极惯性矩的关系
z
y z y p z
y p z
y p I I I I I I I D I I I I 22,32
4
==+===
+=π
（2）64
4
D I I z y π==
Example3 试计算空心圆图形对y 、z 轴的惯性矩 Soution ：利用组合图形计算惯性的方法
()6464644444d D d D I I z y -=-==πππ
§I-3 惯性积
1．定义：
?=A yz yzdA I
（1）由于yz 乘积可正、可负、可为零，因此惯性积I yz 值可正、可负、可为零。
（2）量纲为长度的四次方。
（3）y 、z 轴中只要有一轴为对称轴，则I yz =0 2．证明I yz =0的条件
证：如在z 轴两侧的对称位置各取一微分面积d A ，显然二者的z 坐标相同，而y 坐标数值相等而符号相反，它们在积分中相互抵消，最后导致
0==?A yz yzdA I
§I-4 平行移轴公式 1．证明：
??
???
+=+=+=abA I I A b I I A a I I yczc yz zc z yc y 2
2 证： （1）
?
?
?
??
??
===???A yczc A
zc A yc dA z y I dA y I dA
z I 002
02
（2）
?
?
?
?
?
??
===???A yz A
z A y yzdA I dA y I dA z I 22 （3）坐标变换关系
?
??
+=+=b y y a z z 00
（4）()?????+=++=+==A yc A
A A A y A a I dA z a dA a dA z dA a z dA z I 2022
02022 ()?????+=++=+==A
zc A
A
A
A
z A b I dA y b dA b dA y dA b y dA y I 2022
02
022
()()abA
I d z b dA y a abdA dA z y dA
a z
b y yzdA I ycz
c A
A
A
A
A
A
yz +=+++=++==??????000000
∴
??
???
+=+=+=abA I I A b I I A a I I yczc yz zc z yc y 2
2 注意：a 、b 是形心C 在oyz 坐标中的坐标，所以它们是有正负的。 Example 试确定T 形截面对形心y c 轴的I yc
Solution:
()()4
7232
32
2
221211mm 10013.6200
30155.7212
30200200
305.721301220030?=??-+?+??-+?=+++=A a I A a I I yc yc yc
§I-5 转轴公式与主惯性轴
1．转轴公式 （1）
?
?
?
?
???
===???A yz A z A y yzdA I dA y I dA z I 22
（2）约定α逆时针转向为正、顺为负
（3）求：
??
?
?
???===??
?A z y A
z A
y dA z y I dA y I dA
z I 111
1211
211 （4）坐标变换关系
??
?
??+=-=a z y y y z z sin cos sin cos 11ααα
（5）
()ααααααααα2sin sin cos cos sin 2sin cos sin cos 22222222
211yz y A
A
A
A
A
y I I I yzdA dA y dA z dA
y z dA z I -+=-+=-==?????
()α
αααααααα2sin sin cos cos sin 2sin cos sin cos 2222222
211yz y z A
A
A
A
A
z I I I yzdA dA z dA y dA
z y dA y I -+=++=+==?????
()()()
α
ααααααα2cos 2sin 2
2
1
2sin 21sin cos sin cos sin cos 221111yz z y y
z yz A
A
z y I I I I I I dA
y z z y dA z y I ++=+--=-+==??
利用三角恒等式
??
?????
-=
+=
22cos 1sin 2
2cos 1cos 22αααα
?
??????
??
+-=+--+=--+
+=
αααααα2cos 2sin 22sin 2cos 222sin 2cos 221111yz z y z y yz z y z y z yz z
y z y y I I I I I I I I I I I I I I I I
讨论：
（1）I y1、I z1、I y1z 皆为α的函数 （2）注意α逆为正，顺为负 （3）I y1+I z1=I y +I z =I p =const 2．主惯性轴 （1）求极值
???
?
??+--=ααα2cos 2sin 221
yz z y y I I I d dI 若o αα=时，能使
01=α
d dI y 即
02cos 2sin 2
00=+-ααyz z
y I I I 则
z
y yz I I I --
=22tan 0α
讨论：
a. 由上式可确定α0与α0+90°两个角度，从而确定一对坐标轴y 0、z 0图形对一对轴中一个轴的惯性矩为最大值I max ，而对另一个轴的惯性矩为最小值I min 。
b. 注意到
02cos 2sin 2
00=+-ααyz z
y I I I 恰好是I y0z0=0
说明图形对y 0，z 0这一对轴的惯性积为，这一对轴y 0，z 0称为主惯性轴。
c. 对y 0，z 0主惯性轴的惯性矩I y0、I zo 称为主惯性矩。
d. 推论：对称轴一定是主轴。因为图形对包含对称轴的一对坐标轴的惯性必然为零。
3．主惯性矩的计算 （1）由公式
z
y yz I I I --
=22tan 0α
求得α0，α0+90°，代入一般公式得：
??
?
??-+=-+=002
020*******sin sin cos 2sin sin cos ααααααyz y z z yz z y y I I I I I I I I 或
??
???
??
+--+=--++=
00002sin 2cos 222sin 2cos 2
2ααααyz z
y z y zo yz z
y z
y yo I I I I I I I I I I I I
（2）简便公式
()2
2
2
042tan 112cos yz
z y
z
y I
I I
I I +--=
+=
αα
()22
000422cos 2tan 2sin yz
z y
yz
I
I I
I +--=
?=ααα
代入（*）式得
22
min
max
22
yz z y z
y I I I I I I I +???
? ?
?-±+=??? （3）I max ，I min 与y 0、z 0轴如何对应,可采用: I yz >0，则I max 对应于二、四相限的轴。
4．形心主惯性轴，形心主惯性矩，形心主惯性平面。 （1）通过形心C 的主惯性轴称为形心主惯性轴。 （2）图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
（3）如要平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为形心主惯性平面。在杆件的弯曲理论中有重要意义。
Example 试求图形的形心主惯性轴和形心主惯性矩
Soltion ：
（1）求I y 、I z 、I yz
()()43332
323mm 101025105.779102.24510
8094012
8010101205191210120?=?+?=??++?+??-+?=y I ()()4
32
323mm 10347510
8054412
10801012044701212010?=??-+?+??-+?=z I ()[]()()()()()()
4
3mm
101092108054419400012044705190?-=?---++?---+=yz I
（2）求α0、α0+90°
()89.010
3475101025101092222tan 3330-=?-??--=--=z y yz I I I α 2α0=-41.7°
∴
α0=-20.8°
α0+90°=69.2°
（3）
106091038912222
min
max ??=+??? ??-±+=??
?yz z y z y I I I I I I I （4）I max 过一、三极限，∵I yz <0
截面形心和惯性矩的计算
截面形心和惯性矩的计算
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的 几何图形(以下简称图形)。定义：积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐
标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，
静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质 §I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴 §I-1 静矩和形心 1． 静矩定义： ? ? ? ??==??A y A Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。 （2）静矩可正值，可为负，亦可为零。 （3）量纲为长度的三次方。 2．形心坐标计算公式 （1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。 （2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。
? ??????== ? ? ? ==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。 Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。 Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA n n = = 2 2·2 0210+= += ===++?? ?n ab n z b a dz Z b a dz Z b a Z zdA S b n n A b o n n n n b y ② ()11100+=+====+???n ab n b ab dz Z b a ydz dA A n n b n n b A ()2 1122++= ++==n b n n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。 （1） 组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组
力学#形心与静矩(试题学习)
B.1 截面的形心和静矩Centroid and static moment of section 在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质 截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。 1. 形心与静矩 图B.1-1 图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C 的坐标为y c 和z c ，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为 ， （B.1-1） 式中:，，分别定义为截面对z 轴和y轴的静矩。由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截 面形心时（即y c =z c =0），则S z =S y =0；反之，当静矩S z =0时，说 明z轴通过截面形心；而当静矩S y =0时，说明y轴通过截面形心。此概念在确定梁的中性轴时十分有用。
2. 组合截面的形心与静矩 图B.1-2 在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为 ， （B.1-2） 式中A i 为分割后的各面积，y i 和z i 为A i 的形心在参考系中的坐标。 式中；，称为组合截面的静矩。 B.2 极惯性矩Polar momet of inertia 1. 定义 图B.2-1 任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为 （B.2-1） 极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。
力学#形心与静矩
Centroid and static moment of section截面的形心和静矩 B.1 在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩 等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练 地掌握其计算方法。形心与静矩1. C，设截面形心图示任一截面，选任一参考坐标系yoz ，由合力矩定理可知，均质厚dAz，取微截面积的坐标为y和cc坐标系中的坐标为度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz ）（B.1-1 ， 式中:，，分别定义为截面对z 轴和y轴的静矩。由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截图B.1-1 面形心时（即y=z=0），则S=S=0；反之，当静矩S=0时，说zzccy明z轴通过截面形心；而当静矩S=0时，说明y轴通过截面形y心。此概念在确定梁的中性轴时十分有用。 word
编辑版． 组合截面的形心与静矩2. 在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由 。若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2） n个部分，形心坐标为当确定它们的形心时，可将其分割成 （B.1-2） ，的形心在参考系中的坐为Az为分割后的各面积，y和式中A iiii标。图B.1-2 ；，称为组合截面的静矩。式中 B.2 极惯性矩 Polar momet of inertia 1. 定义 任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微面积dA，定义
截面对原点O的极惯性矩为 （B.2-1） 4），它恒为正。mm次方（ 4极惯性矩的量纲为长度的 B.2-1 图 word 编辑版． 2. 圆截面的极惯性矩 ），（图图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即B.2-2 ）的极惯性矩分读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3 别为： B.2-2）（ （ B.2-3）图B.2-2 ）（B.2-4 式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R—薄壁圆平均半径。0
惯性矩、静矩-形心坐标公式
惯性矩、静矩-形心坐标公式
§I?1 截面的静矩和形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d （I?1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ???== ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式（I?1），上式可写成 ? ??? ? ? ?====??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d （I?2） 或 ? ? ?==C y C z Az S Ay S （I?3） ???????= = A S z A S y y C z C （I?4） 图
如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即： ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 （I?5） 式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为 简单图形的个数。 将式（I ?5）代入式（I ?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为 ??????????? ?? ==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 11 1 1（I ?6） 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。 解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则 A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ =0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m y C 0.12m 0.4m y y 0.6m 0.2m O y z Ⅰ Ⅱ C C C 例 题