力矩转动惯量定轴转动定律
AB O
h
1 2
l
转动惯量的计算
解: （1）建立图示坐标系，设棒的质量线密度为， 则质元的质量为dm=dx。
A
JO r 2dm
x dx
1 2
l
2
1 2
l
1 l3
12
O x dx x
1 2
l
JO
1 ml 2 12
转动惯量的计算
（2）建立图示坐标系。
J A r 2dm
解: 建立图示坐标系，
R
设圆盘的质量面密度为
，则质元的质量为
dr
r
dm=2rdr。
J r 2dm
0R 2r 3dr
m
R2
R4
2 J
1 mR2 2
转动惯量的计算
例题2 求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心O并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端A并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点B并和棒垂直。
平行轴定理
JB
1 ml 2 12
mh2
JO
1 ml 2 12
JA
1 ml 2 3
JA
JO
m( l )2 2
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间
的距离平方的乘积。
表达式： J Jc md 2
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
，平放在粗糙的水平桌面上，盘与桌面间摩擦系数
为。令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面
的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
R
r
d
dr
e
解：质元的质量dm=2redr， 则质元受到的摩擦力 矩为dMr=rgdm。
定轴转动定律
圆盘所受的摩擦力矩为
Mr dMr rgdm
解: 用隔离体法分析定滑轮和两个 物体的受力情况，画受力图。
Mr T1
T1
a T2 G1
T2
a
G2
m1 m2
定轴转动定律
由牛顿运动定律，以顺时针为正方向
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
由定轴转动定律
T2r T1r M r J
角、线量关系 a r
其它关系式
l
0
x
2dx
1l3
3
A
x
0
l
JA
1 ml 3
2
dx x
转动惯量的计算
（3）建立图示坐标系。
JB r 2dm
B
0
1lh
21l h
x
2dx
h
2
1 l 3 lh2
12
JB
1 ml 2 12
mh2
x dx x
1 2
l
ABh2
mi i
i 1
定轴转动定律
刚体定轴转动定律
Mz
J
J
d
dt
讨论：
比 较
F ma dp dt
(1) Mz 一定，J越大，越小。转动惯量是转动惯性大小的量度。
(2) Mz 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的 力矩为正
定轴转动定律
例3书P119例3-4 一半径为R，质量为m的匀质圆盘
力矩
力对z轴的力矩
Mz
r
F2
F2M为转平力O动面在O转z 动M平rz面FP内1 的FF分2力
r F1 对转动无贡献。
z
O Mrz
F2
dP
M z rF2 sin
M z F2d
在定轴转动中，如不加说明， 力矩是指力对定轴的力矩。
说明： 1)平行于转轴或作用线过转轴的力，对该轴力矩为零 2)对定轴的力矩沿轴向，可用+、-号表示方向。 3)合力矩等于各个力对定轴的力矩的代数和。
T2 T2
T1 T1
J
1 2
m
r
2
Mr
T1
T2
T1 a T2
G1
a
G2
定轴转动定律
解得：
a m2 m1g Mr / r
m2
m1
1 2
m
T1
m1[2m2
m2
1 2
m
g
M
r
m1
1 2
m
/
r]
T2
m2[2m1
1 2
m
g
M
r
m2
m1
1 2
0 t
t
0
0
0
3R
4g
0
定轴转动定律
例4书P117例3-3 定滑轮看作匀质圆盘，一轻绳跨 过一定滑轮，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体， 且m1<m2，如图所示。滑轮质量为m，半径为r，所 受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。 试求物体的加速度和绳的张力。
g r2 redr
2 ge R r2dr 0
2 geR3
3
因m=eR2 ，则
Mr
2 3
mgR
根据定轴转动定律，摩擦力矩使圆盘减速，求得角加速度。
定轴转动定律
由转动定律
Mr J 4g
3R
2 mgR 1 mR 2
3
2
由匀变速转动规律
对刚体所有质点的方程相加
N
N
N
ri Fi sin i ri fi sin i ( miri2 )
i 1
i 1
i 1
N
由于 ri fi sin i 0
i 1
N
Firi sin i M z
i 1
N
miri2 J
z
O
ri
fi
i
Fi
M z M1z M2z ...
2. 转动惯量（J） （1）定义式
单个质点类 J ri2mi
质量连续分布 J r 2dm
dm为质元的质量，r为质元到转轴的距离
（2）影响J的因素
转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴位置和
方向有关。 J与相对于转轴的质量分布有关。
（3）J的物理意义
3. 刚体定轴转动定律
质元mi受到 合外力 Fi
合内力 fi
应用牛顿第 二定律 Fi fi mi
ai
z
O
ri
fi
i
Fi
mi i
自然坐标系的切向分量式
Fi sin i fi sin i miai miri
两边乘以ri
ri Fi sin i ri fi sin i miri2
比 m是平动中惯性
J是转动中惯性大小的量度。 较 大小的量度
常见物体的转动惯量
圆环
圆环
球壳
J mr2
圆盘
J
1 2
mr
2
圆柱体
J
2 3
mr
2
球体
J
1 2
m
r
2
J
1 2
mr
2
J
2 5
m
r
2
转动惯量的计算
例1 求匀质圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m。
m
/
r]
a m2 m1g Mr / r
r
(m2
m1
1 2
m)r
例5 如图所示，物体的质量m1和m2，定滑轮的质量mA和
h
1 2
l
转动惯量的计算
解: （1）建立图示坐标系，设棒的质量线密度为， 则质元的质量为dm=dx。
A
JO r 2dm
x dx
1 2
l
2
1 2
l
1 l3
12
O x dx x
1 2
l
JO
1 ml 2 12
转动惯量的计算
（2）建立图示坐标系。
J A r 2dm
解: 建立图示坐标系，
R
设圆盘的质量面密度为
，则质元的质量为
dr
r
dm=2rdr。
J r 2dm
0R 2r 3dr
m
R2
R4
2 J
1 mR2 2
转动惯量的计算
例题2 求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心O并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端A并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点B并和棒垂直。
平行轴定理
JB
1 ml 2 12
mh2
JO
1 ml 2 12
JA
1 ml 2 3
JA
JO
m( l )2 2
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转轴的转动惯量 J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间
的距离平方的乘积。
表达式： J Jc md 2
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
，平放在粗糙的水平桌面上，盘与桌面间摩擦系数
为。令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面
的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
R
r
d
dr
e
解：质元的质量dm=2redr， 则质元受到的摩擦力 矩为dMr=rgdm。
定轴转动定律
圆盘所受的摩擦力矩为
Mr dMr rgdm
解: 用隔离体法分析定滑轮和两个 物体的受力情况，画受力图。
Mr T1
T1
a T2 G1
T2
a
G2
m1 m2
定轴转动定律
由牛顿运动定律，以顺时针为正方向
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
由定轴转动定律
T2r T1r M r J
角、线量关系 a r
其它关系式
l
0
x
2dx
1l3
3
A
x
0
l
JA
1 ml 3
2
dx x
转动惯量的计算
（3）建立图示坐标系。
JB r 2dm
B
0
1lh
21l h
x
2dx
h
2
1 l 3 lh2
12
JB
1 ml 2 12
mh2
x dx x
1 2
l
ABh2
mi i
i 1
定轴转动定律
刚体定轴转动定律
Mz
J
J
d
dt
讨论：
比 较
F ma dp dt
(1) Mz 一定，J越大，越小。转动惯量是转动惯性大小的量度。
(2) Mz 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的 力矩为正
定轴转动定律
例3书P119例3-4 一半径为R，质量为m的匀质圆盘
力矩
力对z轴的力矩
Mz
r
F2
F2M为转平力O动面在O转z 动M平rz面FP内1 的FF分2力
r F1 对转动无贡献。
z
O Mrz
F2
dP
M z rF2 sin
M z F2d
在定轴转动中，如不加说明， 力矩是指力对定轴的力矩。
说明： 1)平行于转轴或作用线过转轴的力，对该轴力矩为零 2)对定轴的力矩沿轴向，可用+、-号表示方向。 3)合力矩等于各个力对定轴的力矩的代数和。
T2 T2
T1 T1
J
1 2
m
r
2
Mr
T1
T2
T1 a T2
G1
a
G2
定轴转动定律
解得：
a m2 m1g Mr / r
m2
m1
1 2
m
T1
m1[2m2
m2
1 2
m
g
M
r
m1
1 2
m
/
r]
T2
m2[2m1
1 2
m
g
M
r
m2
m1
1 2
0 t
t
0
0
0
3R
4g
0
定轴转动定律
例4书P117例3-3 定滑轮看作匀质圆盘，一轻绳跨 过一定滑轮，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体， 且m1<m2，如图所示。滑轮质量为m，半径为r，所 受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。 试求物体的加速度和绳的张力。
g r2 redr
2 ge R r2dr 0
2 geR3
3
因m=eR2 ，则
Mr
2 3
mgR
根据定轴转动定律，摩擦力矩使圆盘减速，求得角加速度。
定轴转动定律
由转动定律
Mr J 4g
3R
2 mgR 1 mR 2
3
2
由匀变速转动规律
对刚体所有质点的方程相加
N
N
N
ri Fi sin i ri fi sin i ( miri2 )
i 1
i 1
i 1
N
由于 ri fi sin i 0
i 1
N
Firi sin i M z
i 1
N
miri2 J
z
O
ri
fi
i
Fi
M z M1z M2z ...
2. 转动惯量（J） （1）定义式
单个质点类 J ri2mi
质量连续分布 J r 2dm
dm为质元的质量，r为质元到转轴的距离
（2）影响J的因素
转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴位置和
方向有关。 J与相对于转轴的质量分布有关。
（3）J的物理意义
3. 刚体定轴转动定律
质元mi受到 合外力 Fi
合内力 fi
应用牛顿第 二定律 Fi fi mi
ai
z
O
ri
fi
i
Fi
mi i
自然坐标系的切向分量式
Fi sin i fi sin i miai miri
两边乘以ri
ri Fi sin i ri fi sin i miri2
比 m是平动中惯性
J是转动中惯性大小的量度。 较 大小的量度
常见物体的转动惯量
圆环
圆环
球壳
J mr2
圆盘
J
1 2
mr
2
圆柱体
J
2 3
mr
2
球体
J
1 2
m
r
2
J
1 2
mr
2
J
2 5
m
r
2
转动惯量的计算
例1 求匀质圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m。
m
/
r]
a m2 m1g Mr / r
r
(m2
m1
1 2
m)r
例5 如图所示，物体的质量m1和m2，定滑轮的质量mA和
合集下载
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的物理规律的公式。
在刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用力矩成正比，与转动惯量成反比。
具体公式为：
M = Iα
其中，M表示作用力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个公式的意义在于，当一个刚体绕定轴转动时，其转动惯量越大，需要的作用力矩也就越大，才能使其达到相同的角加速度。
反之，转动惯量越小，需要的作用力矩也就越小。
这个公式在实际应用中非常重要。
例如，在机械工程中，我们需要设计各种机械零件的转动部件，这时就需要考虑转动惯量的大小，以及所需的作用力矩大小。
只有在合理地设计转动部件的转动惯量和作用力矩，才能保证机械零件的正常运转。
刚体的定轴转动定律公式还可以用来解决一些物理问题。
例如，当我们需要计算一个刚体绕定轴转动的角加速度时，可以通过测量作用力矩和转动惯量，然后代入公式中进行计算。
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的重要公式，它在机械工程和物理学等领域都有着广泛的应用。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
物理ppt课件2.91 刚体的定轴转动力 矩转动定律转动惯 量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
高二物理竞赛课件：力矩转动惯量定轴转动定律
面内
即：都在转动平面内
三、定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi (外力)
fi (内力)
ri P
mi
fi
i
Fii
应用牛顿第二定律，可得： O
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
因为这个力矩与Z轴平行, 因此我们称这个力矩为力
转动 平面
r
F2
对转轴 Z 的力矩
我们将力对z轴的力矩记作Mz
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3）F1 对转轴的力矩为零 ，在定轴转动中不予考虑。
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i1
i1
i1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
得到：
N
N
Firi sini (miri2 )
的代数和 M z
.
Mz Jzβ
z
Fej
O rj mj
Fij
Mz
Jz Jz
d
dt
讨论：
（1） M 一定，J
β 转动惯量是转动
力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
12
第五章 刚体力学基础 动量矩
§5-3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元 取 ∆mi,其动能为 其动能为
ω
O
z
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆miri ω 2 2
刚体的总动能
r ri
r vi
P
• ∆mi
1 1 2 2 2 1 Ek = ∑Eki = ∑ ∆mi ri ω = ∑∆mi ri ω2 = Jω2 2 2 2
第五章 刚体力学基础 动量矩
m1g
m2g
五式联立，可解 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β
2012-4-16 11
总结
力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
v F =0
v v F = ma
静止 匀速直线
M = Jβ
M = 0 静止 匀角速转动
J—转动时惯性大小的量度 转动时惯性大小的量度 力矩的持续作用规律： 力矩的持续作用规律： 空间： 空间： 时间： 时间：
(2) M、J、β必须对同一转轴定义。 必须对同一转轴定义。 、 、 必须对同一转轴定义 (3) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 。 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。
M (5) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较：
14
讨论
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
θ2 θ2
1
(2) 合力矩的功
A= ∫
θ1
∑Midθ = ∑∫θ i i
Midθ = ∑Ai
第五章 刚体力学基础 动量矩
§5-3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能
设系统包括有 N 个质量元 取 ∆mi,其动能为 其动能为
ω
O
z
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆miri ω 2 2
刚体的总动能
r ri
r vi
P
• ∆mi
1 1 2 2 2 1 Ek = ∑Eki = ∑ ∆mi ri ω = ∑∆mi ri ω2 = Jω2 2 2 2
第五章 刚体力学基础 动量矩
m1g
m2g
五式联立，可解 五式联立，可解T1，T2，a1，a2，β
2012-4-16 11
总结
力的瞬时作用规律 力矩的瞬时作用规律
v F =0
v v F = ma
静止 匀速直线
M = Jβ
M = 0 静止 匀角速转动
J—转动时惯性大小的量度 转动时惯性大小的量度 力矩的持续作用规律： 力矩的持续作用规律： 空间： 空间： 时间： 时间：
(2) M、J、β必须对同一转轴定义。 必须对同一转轴定义。 、 、 必须对同一转轴定义 (3) M 正比于 β ，力矩越大，刚体的 β 越大 。 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同。
M (5) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较：
14
讨论
(1) 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。 力矩对刚体的功就是力对刚体的功。
θ2 θ2
1
(2) 合力矩的功
A= ∫
θ1
∑Midθ = ∑∫θ i i
Midθ = ∑Ai
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
2.91刚体的定轴转动力矩 转动定律 转动惯量
Fi 0 , M i 0
M r F
d
P
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章 守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
代入初始条件积分 得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章 守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章 守恒定律
t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守 恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i
ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1
M r F
d
P
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章 守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
代入初始条件积分 得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章 守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章 守恒定律
t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守 恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i
ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1
刚体定轴转动的力矩转动定律转动惯量资料重点
L L/ 2
12
例2、均质细圆环的转动惯量
任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
I r2dm r2 dm mr2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量
可看作由半径不同的圆环构成，盘面
单位面积的质量为 m R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
R
dm 2rdr
对转动惯量的贡献为: dI r2dm 2 r3dr
5）假想将物体的质量集中在半径为 rc 的细圆环
上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体 的回转半径.
I mrc2
注意
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状 及转轴的位置 .
说 明：
（1）实际上只有对于形状简单、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分的方法算出它们的转动惯量。
（2）对于任意刚体的转动惯量，通常是用实验的方法 测定出来的。
2、M 符号 ——使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；
确定了转轴方向时， M 方向与转轴方向相同取为正;
M 方向与转轴方向相反取为负.
§ 转动惯量的计算
1、定义（对轴）:
I miri2
i
（ri 为质元相对于转轴的垂直距离）
dm ➢ 物理意义：描述刚体对轴转动惯
性大小的物理量.
m
r
理论计算:
JC
J
Cdm
平行
1）对同一轴 I 具有可叠加性
I Ii
2）平行轴定理
I Ic md 2 d --两平行轴距离
2） 平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
IO IC md 2
4-2-力矩-转动定律-转动惯量jm
方向: 服从右手螺旋法则
2、刚体的定 轴 转动定律
M J
d: 力臂
Z
R Om
40
二 转动惯量
➢ 离散质点系 J miri2 ➢ 连续质点系 J r 2dm
* r: 质点到转轴的垂直距离
➢ 平行轴定理 J Jc md 2
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
7
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
刚体对转轴的合内力矩为零。
Mij 0
Z
M
O
rj
i
j F
d ri F
M
Mij M M Fd Fd 0
8
5、求合力矩
M rF
M Frsin Fd
R+ T
r
R
T1
T2
对转轴：M TR 转对轴：M T2R T1r
9
FT1
2L
o d
26
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同
27
例: 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，一轻绳
两边分别系 m1 和 m2 两物体挂于滑轮上，绳不伸
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
圆环：J mR 2 更稳定ຫໍສະໝຸດ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
定轴转动定理
M J
M / J
25
定轴转动定理 M J
细棒绕其一端 J 1 mL2
竿 子
3
长
高二物理竞赛力矩转动惯量定轴转动定律课件
垂直于转轴的分量。 平行转轴的力不产生转动效果， 该力对转轴的力矩为零。
M z r F
大小： M Fr sin Fd
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面
4
刚体定轴转动的角量描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X Q
X
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位置、角位移、角速度、角加速度）都相同.
1 3
mL L2
2 5
mo R2
mo
(L
R)2
24
例题 3-2
求：圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。
设圆盘的半径为R，质量为m，厚为 l，密度均匀。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm 2 rdr l
dJ r2dm 2lr3dr
dr
J dJ R 2 lr3dr 1 R4l
与转动惯量有关的因素：
• 刚体的质量 • 转轴的位置
质心rc
miri mi
rdm dm
• 刚体的形状（质量分布）
• 形状、大小相同的均刚体，总质量越大，J 越大。 • 总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。 • 同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布不同，J不同。
17
转动惯量 的物理意义
平动：
平动动能
1 mv2 2
线动量 mv
转动：
转动动能 1 J 2
2
角动量 J
可见：角速度 相当于 线速度 转动惯量 则相当于 质量。 质量是平动中惯性大小的量度， 转动惯量是转动中惯性大小的量度。
18
转动惯量 的计算
J ri2mi r2dm
质量为线分布 dm dl 其中、、分
M z r F
大小： M Fr sin Fd
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面
4
刚体定轴转动的角量描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X Q
X
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位置、角位移、角速度、角加速度）都相同.
1 3
mL L2
2 5
mo R2
mo
(L
R)2
24
例题 3-2
求：圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。
设圆盘的半径为R，质量为m，厚为 l，密度均匀。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm 2 rdr l
dJ r2dm 2lr3dr
dr
J dJ R 2 lr3dr 1 R4l
与转动惯量有关的因素：
• 刚体的质量 • 转轴的位置
质心rc
miri mi
rdm dm
• 刚体的形状（质量分布）
• 形状、大小相同的均刚体，总质量越大，J 越大。 • 总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。 • 同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布不同，J不同。
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转动惯量 的物理意义
平动：
平动动能
1 mv2 2
线动量 mv
转动：
转动动能 1 J 2
2
角动量 J
可见：角速度 相当于 线速度 转动惯量 则相当于 质量。 质量是平动中惯性大小的量度， 转动惯量是转动中惯性大小的量度。
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转动惯量 的计算
J ri2mi r2dm
质量为线分布 dm dl 其中、、分