苏科版七年级上册第二章有理数知识点汇总

苏科版月考知识点总结

第二章 有理数 知识点全归纳

第1讲 有理数的意义

知能解读 (一)正数和负数的意义

(1)像3+，l ，8％，3.5这样大于0的数(“＋”通常省略不写)叫作正数．．

． (2)像3-， 2.7-％， 4.5-， 1.2-这样在正数前面加上“－”(读负号)的数叫作负数．．，负数小于0．

注意：(1)0既不是正数也不是负数，它是一个整数，它表示正数和负数的分界．

(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为带“＋”的数是正数，带“－”的数是负数．如0+是0，0-也是0；当0a <时，a -就是正数．

(二)具有相反意义的量

正数和负数是根据实际需要而产生的，比如一些具有相反意义的量：收入200元与支出200元，上升7米与下降3米，零上2℃与零下7℃等．虽然它们都表示一定的数量，却意义相反，那么我们如何去表示它们呢?

我们把一种意义的量规定为正的(如收入200元规定为200+元)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(如支出200元规定为200-元)，于是就产生了正数和负数．

注意：(1)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义的量规定为正，是可以任意选定的(如将上升2米规定为2+米或2-米都可以)，一旦选定一种意义的量为正，则另一种意义相反的量就只能为负．

(2)具有相反意义的量的特点：①具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为具有相反意义的量；②与一个量意义相反的量不止一个；③具有相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量；④具有相反意义的量必须是同类量，如节约3吨油与浪费1吨水不是具有相反意义的量．

(三)有理数的分类

1．有理数的定义:凡能写成)0p q ,p (p

q ≠为整数且形式的数，都是有理数; 正整数、0、负整数统称整数．．．正分数和负分数统称分数．．．整数和分数统称有理数．．．．．

2．有理数的分类：

(1)按定义分类： 整数?

????正整数0负整数 分数???正分数负分数

（有限小数或无限循环小数也是分数） (2)按正负分类：

有理数?????正有理数???

正整数正分数0(即不是正数也不是负数)

负有理数???负整数负分数 注意：(1)在对有理数进行分类时，要做到不重不漏．

(2)在分类时，注意0的地位和意义．

(3)正整数，0统称非负整数(也叫自然数)；负整数，0统称非正整数．

(四)无理数：无限不循环小数角无理数；

注：无理数的常见形式：（1）无限不循环小数形式：-2.010010001…

（2）含π的形式：?-πππ3

1,, （3）含有根号的：?5,3,2（初二上学期学）

(五)数轴

规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫数轴；它满足以下要求：

(1)在直线上任取—个点表示数0，这个0点叫作原点；

(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；

(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示l ，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示1-，2-，3-，…(如图所示)．

点拨：(1)利用数轴，我们可以表示任意一个有理数，还可以表示任意一个无理数．

(2)数轴是研究数学的重要工具，也是“数形结合”的重要体现．

(3)数轴的定义包含三层含义：①数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；②数轴有三要素：原点、单位长度、正方向；③原点的位置、单位长度、正方向都是根据实际需要规定的．

65-5-1-2-3-412340有理数 自然数

(六)绝对值

一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作a ．

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即,00,0,0

a a a a a a >??==??-

点拨：因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即0a ≥．

(七)相反数

只有．．

符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数．其中一个数是另一个数的相反数；特别地，0的相反数是0．

(1)在数轴上，互为相反数的两个数对应的点与原点的距离相等(几何意义)．且在原点两侧；

(2)数a 的相反数是a ．若a ，b 互为相反数，则0a b +=(或a b =-，或b a =-)．

(八)有理数大小比较的常用方法

(1)数轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．

(2)代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．

(3)差值比较法：设a ，b 是两个任意数，

若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <；

(4)商值比较法：设a ，b 是两个正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <．（初中基本不用，高中用）

此外，还有倒数比较法、中间值比较法、平方比较法、换元比较法等．

（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

(九)绝对值的非负性(拓展点)

(1)正数和零统称非负数．．．

，绝对值的意义揭示了绝对值的一个重要性质：非负性，即对于任何有理数a ，都有0a ≥．如1122

-

=，00=，0.070.07=，故绝对值最小的数是0．

(2)非负数的重要性质：①非负数有最小值，是0；②若几个非负数之和等于0，每个非负数都等于0，即若0a b +=，则a b =，0b =；③有限个非负数之和仍是非负数． 等于本身的数汇总：

相反数等于本身的数：0

倒数等于本身的数：1，-1

绝对值等于本身的数：正数和0

平方等于本身的数：0,1

立方等于本身的数：0,1，-1.

(十)正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

第2讲 有理数的运算

知能解读 (一)有理数的加法

(1)有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数同0相加，仍得这个数．

(2)加法运算律：①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a b b a +=+；②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即()()a b c a b c ++=++． 点拨：（1）有理数的加法运算可概括为：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑；相反数相加“零”正好．（2）多个有理数相加的运算技巧：①看看有没有互为相反数的数，有就放在一起加；②和为整数的放一起加；③同分母的放一起加；④同符号的放一起加；⑤有小数和分数的最好统一成一种形式；

(二)

有理数的减法

有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数

的相反数变成加法进行运算．可表示为

．

点拨：有理数相减，符号有两变，先把减变加，减数变相反，统一成加后，再把结果算．

变减为加

(三)有理数的乘法

(1)有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数与0相乘，都得0． (2)有理数乘法法则的推广：①几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．③几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．

(3)乘法运算律：①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab ba =；②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即

()()ab c a bc =；

③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即()a b c ab ac +=+．

说明：(1)多个有理数相乘，负号当家起作用，奇负偶正规律定，一数为0积为0．

(2)由有理数乘法法则得出以下结论：

①如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负；

②如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负；

③如果两个数的积为0，那么这两个数中至少有一个是0．

(四)有理数的除法

(1)倒数：乘积是l 的两个数互为倒数．巧记为“分子分母颠倒位置”，如23-的倒数为32

-． 一般地，()110a a

a ?=≠，即若a 是不等于0(2)有理数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，也可表示为()10a

b a b b

÷=?≠．②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 注意：(1)0不能作除数．(2)巧记“除法化乘法，倒数是关键”．(3)求倒数的方法：①求一个整数(不为0)的倒数，只要写成这个整数分之一即可；②求一个真分数的倒数，只要把分数的分子和分母颠倒位置即可；③求一个带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再求它的倒数；④求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，再求它的倒数．

(五)有理数的乘方

(1)乘方的概念：求n 个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂．在n a 中，a 叫作底数，n 叫作指数．一个数可以看作这个数本身的1次方．

(2)乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂

是正数；0的任何正整数次幂都是0．

(六)有理数的混合运算顺序

运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号、大括号依次进行． 注意：(1)运算过程中，带分数一般化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤；另外有些运算可同时进行，也可简化解题步骤

(2)在进行混合运算时，除遵守以上原则外，还需注意灵活使用运算律，使运算准确而快捷．

(七)科学记数法

(1)把一个绝对值大于10的数表示成10n a ?的形式(其中110a ≤<，n 是正整数)，使用的是科学记数法．

注意：10n a ?中a 只有一位整数，n 等于原数的整数位数减1．

(2)把一个绝对值小于1的非零数表示成10n a ?的形式，其中110a ≤<，n 是一个负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数字左面所有的0的个数(包括小数点左面的那个0)．

(八)近似数

近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫作这个数的近似数，也叫近似值．

精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示．

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．

注意：(1)一个数要精确到哪一位，只要将它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数时不能连续从未位向前四舍五入．

(2)一个近似数的末尾的0不可省略，省略后原数的精确度会改变．

第三章 代数式知识点归纳 知识点一：整式的相关概念

代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式)

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：

a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。

3、整式: 单项式和多项式统称为整式。

4、列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a ；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×211应写成2

3a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a

3的形式； （6）a 与b 的差写作a -b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a -b 和b -a .

知识点二：整式的加减运算

1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏

3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。

注：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4、几个重要的代数式：（m、n表示整数）

（1）a与b的平方差是：a2-b2；a与b差的平方是：（a-b）2；（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1 ；

（4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是：-a2-b ，非负数是：a2 ，非正数是：-a2 .